Resistência de Materiais: Torsão

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Ejercicios	resueltos	de	torsión	resistencia	de	materiales	pdf
(1)Prefacio	El	presente	libro	estudia	los	temas	más	importantes	en	Resistencia	de	Materiales,	con	énfasis	en	aplicación	a,	solución	de	problemas	y	diseño	de	elementos	estructurales	y	dispositivos	mecánicos.	El	libro	está	orientado	para	alumnos	de	Ingeniería	del	segundo	o	tercer	año.	El	desarrollo	del	curso	de	Resistencia	de	Materiales	presupone	que
el	alumno	posee	los	recursos	propios	del	cálculo	infinitesimal,	cálculo	integral,	geometría	de	masas	en	lo	referente	a	saber	calcular	centros	de	gravedad	y	momentos	de	inercia	de	figuras	planas,	y,	fundamentalmente,	de	la	Estática,	sin	cuyo	conocimiento	es	impensable	poder	obtener	un	suficiente	aprovechamiento	del	curso.	
En	la	mayoría	de	los	capítulos	el	primer	objetivo	es	la	determinación	de	las	tensiones	normales	y	transversales,	luego	la	determinación	de	los	valores	máximos	de	estos	tensiones	y	finalmente	el	cálculo	de	las	correspondientes	deformaciones.	Se	estudian	como	tipos	de	carga:	Tracción,	Corte,	Torsión	y	Flexión.	Inicialmente	se	estudia	la	teoría	y	esta	se
complementa	con	un	apreciable	número	de	ejemplos	o	problemas	resueltos	y	luego	con	problemas	propuestos	para	que	el	alumno	refuerce	su	comprensión.	En	el	primer	capítulo	se	hace	una	introducción	al	estudio	de	la	Resistencia	de	Materiales	marcando	sus	objetivos	y	estableciendo	los	principios	generales,	que	completan	las	conclusiones	de	la
teoría	de	la	Elasticidad,	para	poder	desarrollar	la	disciplina	siguiendo	el	método	lógico-deductivo.	En	el	resto	de	los	capítulos	se	hace	un	análisis	sistemático	de	las	acciones	que	se	derivan	de	una	solicitación	externa	actuando	sobre	un	prisma	mecánico.	Y	este	estudio	se	hace	considerando	los	efectos	producidos	por	cada	una	de	las	posibles
magnitudes	causantes,	actuando	cada	una	de	ellas	independientemente	de	las	otras.	Así,	las	tensiones	normal	y	cortante	que	someten	al	prisma	a	tracción	o	compresión	y	a	cortadura,	respectivamente,	son	tratados	en	los	Capítulos	2	y	3.	En	el	capítulo	4	se	estudia	la	teoría	de	la	torsión	y	los	tres	capítulos	siguientes	se	dedican	al	estudio	de	la	flexión,
en	sus	múltiples	aspectos.	En	los	dos	primeros	de	éstos	se	expone	la	teoría	general	haciendo	en	uno	de	ellos	un	análisis	del	estado	tensional	que	se	crea	en	el	prisma	mecánico	cuando	se	le	somete	a	flexión	pura	o	flexión	simple,	y	en	el	otro,	el	estudio	de	las	deformaciones	producidas	por	la	misma	causa.	El	importante	tema	del	pandeo	es	tratado	en	el
Capítulo	8,	en	el	que	hay	que	abandonar	una	de	las	hipótesis	fundamentales	admitidas	en	Resistencia	de	Materiales	cual	es	la	de	pequeñez	de	las	deformaciones.	Finalmente,	un	último	capítulo	se	dedica	al	estudio	de	los	estados	tensional	y	de	deformaciones	cuando	la	solicitación	que	actúa	sobre	el	prisma	mecánico	es	arbitraria.	Era	necesario	acabar
la	obra	con	un	tema	que	nos	hiciera	ver	la	generalidad	de	aplicación	de	las	teorías	de	la	Resistencia	de	Materiales	a	todo	tipo	de	piezas.	En	toda	la	obra	se	usa	el	Sistema	Técnico	de	Unidades	o	el	Sistema	Internacional	de	Unidades	y	para	la	solución	de	muchos	de	los	problemas	se	usó	software	matemático.	Agradezco	la	ayuda	y	sugerencias	de	los
docentes	de	Ingeniería	Mecánica	y	Electromecánica	de	la	UMSA,	quienes	realizaron	valiosos	aportes	al	texto.	(2)Contenido	Prefacio	INDICE	1	Conceptos	Básicos	de	la	Resistencia	de	Materiales	1.1.	Objeto	y	Finalidad	de	la	Resistencia	de	Materiales	1.2.	Concepto	de	Sólido	Elástico	1.3.	Modelo	teórico	de	sólido	utilizado	en	Resistencia	de	Materiales.	
(Prisma	mecánico)	1.4.	Principios	generales	de	la	Resistencia	de	Materiales	1.5.	Tipos	de	Cargas	exteriores	sobre	un	prisma	mecánico	1.6.	Equilibrio	estático	y	equilibrio	elástico	1.7.	Tipos	de	Solicitación	1.8.	Determinación	de	las	Cargas	Internas	(Método	de	las	Secciones)	1.9.	Tensiones	o	Tensiones	1.10.	
Deformación	1.11.	Diagrama	Tensión	y	Deformación	1.12.	Constantes	Elásticas	1.13,-	Diagrama	Tensión	–	Deformación	para	otros	materiales	1.14.	Diagramas	Ideales	1.15.	Coeficiente	de	Seguridad,	Tensión	Admisible	y	Carga	Admisible	1.16.	Falla	frente	a	Cargas	Estáticas	y	Variables	PROBLEMAS	RESUELTOS	PROBLEMAS	PROPUESTOS	2
Tracción	y	Compresión	2.1.	Introducción	2.2.	Diagramas	de	Fuerzas	Normales:	2.3.-	Tracción	Compresión	Mono	axial	2.4.-	Tracción	Compresión	Biaxial	2.6.-	Problemas	Estáticamente	Indeterminados	(Hiperestáticos)	2.7.-	Trabajo	de	las	Fuerzas	en	Tracción	Compresión	(Energía	Potencial	de	Deformación)	PROBLEMAS	RESUELTOS	PROBLEMAS
PROPUESTOS	3	Corte	Puro	3.1.	Introducción	2.2.-	Tensiones	y	Deformaciones	en	Corte	Puro	2.3.	Problemas	Estáticamente	Indeterminados	(Hiperestáticos)	PROBLEMAS	RESUELTOS	PROBLEMAS	PROPUESTOS	4.-	Torsión	4.1.	Introducción	4.2.	Diagrama	de	Momentos	de	Torsión:	4.3.-	Torsión	Circular	4.4	Torsión	en	Elementos	con	Sección
Rectangular	4.5	Tensiones	en	Secciones	Cerradas	de	Pequeño	Espesor	4.6.	Problemas	Estáticamente	Indeterminados	(Hiperestáticos)	PROBLEMAS	RESUELTOS	PROBLEMAS	PROPUESTOS	5.-	Flexión	-	Fuerza	Cortante	y	Momento	Flector	5.1.	Introducción	5.2.	Cargas	5.3.	Tipos	de	Apoyos	5.4.	Tipos	de	Vigas	5.5.	Cálculo	de	Reacciones	5.6.	Momento
Flector	y	Fuerza	Cortante	5.7.	Relación	entre	el	momento	Flector	y	la	Fuerza	Cortante	5.8.	Determinación	del	Momento	Flector	y	la	Fuerza	Cortante	5.9.	Valores	del	Momento	Flector	y	la	Fuerza	Cortante	en	los	extremos	5.10.	Cálculo	de	Momentos	por	funciones	de	Singularidad	5.11.	Diagrama	de	Fuerzas	Cortantes	y	de	Momentos	Flectores
PROBLEMAS	RESUELTOS	(3)PROBLEMAS	PROPUESTOS	6.-	Flexión	–	Tensiones	Normales	y	Cortantes	6.1.	Introducción	6.2.	Tensiones	Normales	en	Flexión	6.3.	Tensiones	Cortantes	en	Flexión	6.4.	Perfiles	Comunes	Usados	en	Vigas	PROBLEMAS	RESUELTOS	PROBLEMAS	PROPUESTOS	7.-	Deformaciones	en	Flexión	7.1.	Introducción	7.2	Línea
Elástica	7.3	Método	de	la	Ecuación	Diferencial	de	la	Elástica	o	Doble	Integración	del	Momento	7.4.	Método	de	Superposición	7.5.	Método	del	Área	del	Diagrama	de	Momentos	o	Teoremas	de	Mohr	7.6.	Método	de	la	viga	conjugada	7.7.	Sistemas	Hiperestáticos	PROBLEMAS	RESUELTOS	PROBLEMAS	PROPUESTOS	8.-	Solicitación	Compuesta	8.1.
Introducción	8.2.	Combinación	de	Tensiones	8.3.	Combinación	de	Deformaciones	8.4	Casos	de	Solicitación	Compuesta	PROBLEMAS	RESUELTOS	PROBLEMAS	PROPUESTOS	9.-	Métodos	Energéticos	9.1.	Introducción	9.2.	Trabajo	9.3	Energía	Potencial	9.4	Ecuaciones	de	la	energía	9.5	Teorema	de	Castigliano	9.6	Ecuaciones	de	Castigliano
PROBLEMAS	RESUELTOS	PROBLEMAS	PROPUESTOS	10.-	Pandeo	de	Columnas	10.1.	Introducción	10.2	Equilibrio	Estable,	Inestable	e	Indiferente	10.3.	Tipos	de	apoyos	y	Columnas	10.4	Carga	Crítica	de	Euler	10.5.	Ecuación	de	la	línea	elástica:	10.6.	Límites	de	Aplicación	de	la	Formula	de	Euler	10.7.	Columnas	cargadas	Excéntricamente	–	Formula
de	la	Secante	PROBLEMAS	RESUELTOS	(4)1	Conceptos	Básicos	de	la	Resistencia	de	Materiales	1.1	Objeto	y	Finalidad	de	la	Resistencia	de	Materiales	El	objetivo	del	presente	libro	es	establecer	los	criterios	que	nos	permitan	determinar	el	material	más	conveniente,	la	forma	y	las	dimensiones	más	adecuadas	que	hay	que	dar	a	los	elementos	de	una
estructura	o	máquina	para	que	puedan	resistir	la	acción	de	las	fuerzas	y	momentos	exteriores	que	los	solicitan,	así	como	para	obtener	este	resultado	de	la	forma	más	económica	posible.	Si	se	someten	dos	cables	de	la	misma	forma	y	dimensiones,	pero	de	distinto	material	como	podían	ser	de	acero	y	cobre	a	una	misma	fuerza	por	ejemplo	el	peso	de	un
cuerpo,	mismo	que	se	incrementa	paulatinamente,	se	observa	que	el	cable	de	cobre	es	el	primero	en	el	que	se	produce	la	rotura.	Por	lo	tanto	se	puede	decir	que	el	acero	posee	mayor	resistencia	mecánica	que	el	cobre,	entendiendo	por	tal	la	capacidad	de	oponerse	a	la	rotura	al	ser	sometido	a	una	solicitación	exterior.	En	cuanto	a	las	deformaciones
que	experimentan	ambos	materiales,	también	se	observa	que	son	distintas.	Se	llama	rigidez	a	la	propiedad	que	presenta	el	material	de	oponerse	a	lasdeformaciones.	
Otro	aspecto	de	gran	importancia	es	la	estabilidad,	entendiendo	por	tal	la	capacidad	de	oposición	del	elemento	a	grandes	desplazamientos	y	deformaciones	como	resultado	de	las	cargas	exteriores.	El	cálculo	de	la	estabilidad	de	la	pieza	nos	permitirá	conocer	su	capacidad	de	conservar	las	formas	de	equilibrio	que	adopta	en	estado	deformado.
Teniendo	presentes	las	anteriores	consideraciones,	podemos	dar	una	definición	más	simple	aún	que	la	dada	inicialmente,	y	decir	que	Resistencia	de	Materiales	es	la	ciencia	que	trata	del	cálculo	de	la	Resistencia	Mecánica,	Rigidez	y	Estabilidad	de	las	piezas	de	una	estructura	o	máquina.	
En	el	presente	libro	se	estudiaran	principalmente	dos	problemas	fundamentales:	1.°	Problema	de	dimensionamiento.	
Conocido	el	sistema	de	cargas	que	solicita	a	una	pieza	de	una	estructura	o	máquina,	calcular	sus	dimensiones	para	que	la	pieza	resista	y	las	deformaciones	que	se	originan	no	sobrepasen	unos	valores	límites	fijados	de	antemano.	2.°	Problema	de	comprobación.	Conocida	la	solicitación	exterior	y	terminado	el	dimensionamiento	de	una	pieza,	comprobar
su	resistencia	y	calcular	las	deformaciones.	
La	Resistencia	de	Materiales	tiene	importantes	aplicaciones	en	todas	las	ramas	de	la	ingeniería.	Sus	métodos	los	utilizan	los	ingenieros	aeronáuticos	y	navales	para	el	diseño	y	construcción	de	aviones	y	barcos,	respectivamente;	los	ingenieros	civiles,	al	proyectar	puentes,	presas	y	cualquier	tipo	de	estructura;	los	ingenieros	de	minas,	para	resolver	la
necesidad	de	conocimientos	de	construcción	que	exige	su	profesión;	los	ingenieros	mecánicos	y	electromecánicos.	para	el	proyecto	y	construcción	de	maquinaria	y	todo	tipo	de	construcciones	mecánicas,	como	son	los	recipientes	a,	presión;	los	ingenieros	energéticos,	para	proyectar	los	diferentes	componentes	de	un	.reactor;	los	ingenieros
metalúrgicos,	por	la	necesidad	que	tienen	del	conocimiento	de	los	materiales	actuales	para	la	búsqueda	de	nuevos	materiales:	los	ingenieros	eléctricos,	para	el	proyecto	de	máquinas	y	equipos	eléctricos,	y,	en	fin,	los	ingenieros	químicos,	para	el	diseño	de	instalaciones	en	industrias	de	su	especialidad.	
(5)1.2	Concepto	de	Sólido	Elástico	La	Estática	y	la	Mecánica	Teórica	consideran	indeformables	los	cuerpos	materiales,	ya	se	encuentren	en	estado	de	movimiento	o	de	reposo.	
Las	conclusiones	que	se	obtienen	con	esta	suposición	son	en	gran	número	de	casos	buenas	aproximaciones	de	lo	que	realmente	ocurre.	Pero	para	determinar	la	resistencia	de	una	pieza	y	sus	deformaciones	se	deben	analizar	los	cuerpos	como	deformables.	Según	lo	indicado	se	pueden	considerar	los	sólidos	como:	a)	Sólido	rígido,	b)	Sólido	elástico	y	c)
Sólido	verdadero.	a)	Sólido	rígido.-	Es	aquel	que	se	supone	indeformable	y	que	ante	cualquier	carga	(por	grande	que	sea)	a	que	está	sometido,	la	distancia	entre	dos	moléculas	cualesquiera	permanece	invariable.	b)	Sólido	elástico.-	Es	aquel	que	ante	una	tensión	exterior	se	deforma	y	recupera	su	forma	original	al	cesar	la	causa	exterior.	A	los	sólidos
elásticos	se	les	supone	una	serie	de	cualidades	como	son	las	de	isotropía,	homogeneidad	y	continuidad.	
Un	cuerpo	es	isótropo	cuando	sus	propiedades	físicas	no	dependen	de	la	dirección	en	que	se	han	medido	en	dicho	cuerpo.	El	sólido	es	homogéneo	si	toda	región	del	mismo	posee	idéntica	composición	y	características	que	otra	cualquiera.	Finalmente	el	cuerpo	es	continuo	si	no	existen	huecos	entre	partículas	ni,	por	consiguiente,	distancias
intersticiales.	c)	Solido	verdadero.-	Las	propiedades	de	isotropía,	homogeneidad	y	continuidad	no	concurren	en	ningún	material,	ya	sea	natural	o	elaborado	por	el	hombre:	no	es	posible	que	se	dé	un	grado	de	elasticidad	exactamente	igual	en	todas	las	direcciones	debido	a	la	distribución	de	sus	átomos	o	moléculas	en	redes	cristalinas	ordenadamente
dispuestas.	Tampoco	existe	en	la	realidad	la	homogeneidad	perfecta,	así	como	sabemos	por	las	teorías	modernas	de	la	materia	que	ésta	no	es	continua	y	que	existen	espacios	vacíos	entre	las	moléculas	y	entre	los	mismos	átomos	que	la	componen.	Por	lo	tanto	en	algunos	materiales	como	la	madera	y	el	hormigo	el	cuerpo	no	puede	ser	analizado	como
Solido	Elástico	y	debe	ser	analizado	como	solido	verdadero.	Entonces	sólido	verdadero	es	aquel	que	resulta	de	considerarlo	como	deformable	ante	las	cargas	a	que	está	sometido	y	falto	de	isotropía,	homogeneidad	y	continuidad	El	considerar	a	los	sólidos	continuo	es	muy	cómoda,	pues	permite	admitir,	cuando	existe	una	deformación	debida	a	la
aplicación	de	una	fuerza	a	unas	moléculas	del	sólido,	que	el	tensión	es	absorbido	en	parte	por	las	moléculas	próximas	y	de	esta	forma	queda	repartido	de	forma	continua	y	apta	para	el	cálculo.	Los	materiales	a	que	nos	refiramos	en	lo	sucesivo	los	consideraremos	como	sólidos	elásticos.	Quiere	ello	decir	que	si	microscópicamente	no	son	ciertas	las
hipótesis	que	se	lo	hacen,	sí	lo	son	macroscópicamente,	pues	los	resultados	que	se	obtienen	quedan	sancionados	por	la	experiencia.	Aún	podremos	en	muchos	casos,	por	ejemplo,	cuando	falte	la	homogeneidad	en	un	sólido,	considerar	la	existencia	de	varios	sólidos	elásticos	dentro	del	sólido	dado,	cada	uno	de	los	cuales	estará	concretado	por	zonas
que	posean	perfecta	homogeneidad,	y	aplicarles	las	consideraciones	teóricas	que	hagamos	para	los	sólidos	elásticos	en	general.	1.3	Modelo	teórico	de	sólido	utilizado	en	Resistencia	de	Materiales.	(Prisma	mecánico)	Con	objeto	de	estudiar	los	sólidos	elásticos	se	crea	un	modelo	teórico	que	se	denomina	prisma	mecánico,	que	desde	el	punto	de	vista
físico	posea	las	propiedades	de	isotropía,	homogeneidad	y	continuidad	y	que	se	define	atendiendo	a	un	criterio	meramente	geométrico.	(6)Se	llama	prisma	mecánico	al	sólido	engendrado	por	una	sección	plana	S	de	área	cuyo	centro	de	gravedad	G	describe	una	curva	llamada	línea	media	o	directriz,	siendo	el	plano	que	contiene	a	S	normal	a	la	curva.
La	mayoría	de	las	piezas	pueden	considerarse	como	uno	de	los	siguientes	tipos	de	prismas:	a)	Barra.	
Se	llama	así	al	prisma	mecánico	cuyas	dimensiones	de	la	sección	transversal	son	pequeñas,	en	comparación	con	la	longitud	de	la	línea	media.	Pertenecen	a	este	tipo	los	elementos	de	estructuras	y	los	cables,	por	ejemplo.	Este	es	tipo	de	prisma	mecánico	más	usado.	Adicionalmente	la	mayor	parte	de	barras	son	planos,	es	decir	con	línea	media
contenida	en	un	plano,	siendo	éste,	además,	plano	de	simetría	del	prisma.	En	estructuras	de	hormigón	armado	se	emplean	sección	transversal	rectangular	y	cuadrada,	mientras	que	en	estructuras	metálicas	secciones	muy	usuales	son	el	perfil	laminado	doble	te	I	en	vigas,	o	dos	secciones	en	U	soldadas	en	pilares.	Fig.	1	Barra	b)	Placa.	Es	un	cuerpo
limitado	por	dos	planos,	cuyo	espesor	es	pequeño	en	comparación	con	las	otras	dos	dimensiones.	Fig.	2	Placa	Pertenecen	a	este	tipo	las	losas	que	se	fabrican	para	tapar	depósitos	subterráneos,	as;	como	las	placas	utilizadas	como	forjados	en	las	edificaciones.	c)	Cascara.	
Es	un	cuerpo	limitado	por	dos	superficies	no	planas,	cuya	distancia	es	pequeña	en	comparación	con	las	otras	dos	dimensiones	(Fig.	1.7).	Fig.	3	Cascara	Son	de	este	tipo	los	depósitos,	como	los	tanques	de	agua,	silos,	gasómetros,	etc.,	así	como	las	tuberías	de	gran	diámetro	y,	en	general,	las	estructuras	laminares.	En	los	últimos	tipos,	es	decir,	en
placas	y	cascaras,	en	vez	de	línea	media	se	utiliza	la	superficie	media,	que	se	define	como	la	constituida	por	los	puntos	que	dividen	el	espesor	en	dos	partes	iguales.	(7)1.4	Principios	generales	de	la	Resistencia	de	Materiales	Como	se	mencionó	anteriormente	la	Resistencia	de	Materiales	requiere	hipótesis	simplificativas,	en	el	presente	texto	se	asumen
las	siguientes	hipótesis:	a)	Los	materiales	se	consideran	continuos.-	La	mayoría	de	los	materiales	cumple	con	esta	hipótesis	aun	cuando	existan	poros	o	se	considere	la	discontinuidad	de	la	estructura	de	la	materia,	compuesta	por	átomos	que	no	están	en	contacto	rígido	entre	sí,	ya	que	existen	espacios	entre	ellos	y	fuerzas	que	los	mantienen
vinculados,	formando	una	red	ordenada.	b)	Los	materiales	se	consideranhomogéneos.-	Con	esta	hipótesis	se	consideran	las	propiedades	idénticas	en	todos	los	puntos.	c)	Los	materiales	se	consideran	isótropos.-	Con	esta	hipótesis	se	consideran	las	propiedades	idénticas	en	todas	las	direcciones.	Los	metales	son	materiales	homogéneos	e	isótropos	y	la
madera,	el	hormigón	y	la	piedra	no	lo	son.	d)	Las	fuerzas	interiores	que	preceden	a	las	cargas	son	nulas.-	Las	fuerzas	interiores	entre	las	partículas	del	material	se	oponen	al	cambio	de	la	forma	y	dimensiones	del	cuerpo	sometido	a	cargas.	
Al	hablar	de	fuerzas	interiores	no	consideramos	las	fuerzas	moleculares	que	existen	en	un	sólido	no	sometido	a	cargas.	e)	Es	válido	el	principio	de	superposición	de	efectos.-	Debido	a	que	las	deformaciones	de	los	cuerpos	son	pequeños	en	comparación	con	las	dimensiones	del	mismo,	las	ecuaciones	de	equilibrio	correspondiente	a	un	cuerpo	cargado
pueden	plantearse	sobre	su	configuración	inicial,	es	decir,	sin	deformaciones,	y	que	las	deformaciones	son	proporcionales	a	las	cargas.	f)	Es	aplicable	el	principio	de	Saint	Venant.-	Según	este	principio	las	fuerzas	interiores	en	los	puntos	de	un	sólido,	situados	lejos	de	los	lugares	de	aplicación	de	las	cargas	no	dependen	del	modo	de	aplicación	de	las
mismas,	por	lo	que	se	puede	sustituir	un	sistema	de	fuerzas	por	otro	equivalente	1.5	Tipos	de	Cargas	exteriores	sobre	un	prisma	mecánico	Las	cargas	exteriores	sobre	una	pieza	están	constituidas	por	las	cargas	directamente	aplicadas	y	las	reacciones	debidas	a	los	apoyos.	Las	cargas	se	clasifican	en:	a)	Fuerzas	de	volumen	y	fuerzas	de	superficie.-	Las
primeras	actúan	sobre	todos	los	puntos	del	sólido	y	se	deben	a	campos	de	fuerzas	tales	como	el	campo	gravitatorio,	el	campo	de	fuerzas	de	inercia,	o	el	campo	magnético.	Las	fuerzas	de	superficie	son	las	que	se	aplican	a	la	superficie	exterior	del	prisma.	Pueden	ser	concentradas	o	repartidas.	b)	Cargas	concentradas	y	distribuidas.-	Las	cargas
concentradas	son	aquellas	que	se	aplican	en	un	punto	mientras	que	las	cargas	distribuidas	las	que	están	aplicadas	en	porciones	de	área	o	volumen,	En	la	naturaleza	no	existen	fuerzas	concentradas	sino	solo	distribuidas	sin	embargo	cuando	el	área	o	volumen	de	aplicación	son	pequeños	las	cargas	pueden	considerarse	como	concentradas.	
Las	cargas	distribuidas	pueden	ser	de	superficie	(presión	del	viento	o	del	agua	sobre	una	pared)	o	de	volumen	(peso	propio).	c)	Cargas	estáticas	y	dinámicas.-	Las	cargas	cuya	magnitud,	punto	de	aplicación	y	dirección	no	varían	o	lo	hacen	muy	lentamente,	se	llaman	cargas	estáticas	mismas	que	no	provocan	vibraciones	de	las	estructuras	o	elementos,
mientras	que	las	cargas	que	varían	con	el	tiempo	se	llaman	cargas	dinámicas	y	son	las	que	provocan	vibraciones	(8)Si	la	variación	de	la	carga	es	de	carácter	periódico,	es	decir,	que	los	valores	máximos	de	la	carga	se	repiten	cada	determinado	intervalo	de	tiempo	las	cargas	se	denominan	cargas	de	régimen	estable	o	cargas	de	repetición	periódica.	La
resistencia	para	cargas	estables	se	analiza	en	el	presente	libro	pero	no	para	cargas	de	régimen	no	estable.	1.6	Equilibrio	estático	y	equilibrio	elástico	Para	que	un	sólido	rígido	se	encuentre	en	equilibrio	es	necesario	y	suficiente	que	se	verifiquen:	1	Que	la	suma	de	las	fuerzas	que	actúan	sobre	el	sólido	sea	igual	a	cero,	o	lo	que	es	lo	mismo,	que	la
resultante	sea	nula.	Esta	condición	asegura	que	el	sólido	no	tenga	desplazamientos.	2	Que	el	momento	resultante	de	todas	las	fuerzas	respecto	de	cualquier	punto	sea	igual	a	cero.	Esta	condición	asegura	que	el	sólido	no	experimente	giros.	En	un	Sólido	Elástico	estas	condiciones	son	necesarias	pero	no	suficientes,	ya	que	si	suponemos	realizado	en	el
sólido	un	corte	ideal	y	prescindimos	de	una	de	las	partes,	es	necesario	que	el	sistema	de	fuerzas	interiores	en	los	puntos	de	la	sección	ideal	sea	equivalente	al	sistema	de	fuerzas	que	actúan	sobre	la	parte	eliminada.	Así,	para	el	equilibrio	en	un	sólido	elástico	no	sólo	se	requieren	las	condiciones	del	equilibrio	estático,	sino	también	que	exista	equilibrio
entre	las	fuerzas	exteriores	y	las	internas	en	cada	una	de	las	infinitas	secciones.	Esta	última	condición	es	la	característica	del	equilibrio	elástico:	es	necesario	que	las	fuerzas	exteriores	que	actúan	sobre	el	sólido	sean	contrarrestadas	por	las	fuerzas	interiores	de	cohesión	molecular.	1.7	Tipos	de	Solicitación	Considérese	un	cuerpo	en	equilibrio
sometido	a	la	acción	de	fuerzas	y	momentos	externos,	en	cualquier	sección	interna	aparecen	una	fuerza	y	un	momento	resultantes	internos	que	equilibran	las	cargas	externas.	Los	valores	de	la	fuerza	y	el	Momento	internos	se	hallan	generalmente	con	las	ecuaciones	de	la	estática	P1	P2	P3	P4	Pn	M	1	P1	M	2	M	3	M	n	Fue	rza	In	te	rn	a	M	o	m	en	to	In
te	rn	o	Fig.	4	Fuerza	y	Momento	Internos	La	fuerza	y	el	momento	internos	pueden	descomponerse	en	componentes	paralelas	y	normales	a	la	sección.	Del	análisis	individual	de	estas	componentes	definen	los	diferentes	tipos	de	carga.	Así	la	Fuerza	Normal	produce	cargas	Normales	de	Tracción	Compresión,	la	Fuerza	Tangencial	produce	cargas	de
Corte,	el	Momento	Normal	produce	cargas	de	Torsión	y	el	Momento	Tangencial	produce	cargas	de	Flexión.	(9)a)	Tracción	Compresión.-	Un	cuerpo	está	sometido	a	Solicitación	de	Tracción	o	Compresión,	cuando	sobre	él	se	apliquen	fuerzas	paralelas	al	eje	centroidal	y	perpendiculares	a	la	sección	transversal.	Dependiendo	si	la	carga	tiende	a	estirar	o
a	comprimir	la	pieza,	la	carga	será	de	tracción	o	compresión.	
Fig.	5	Tracción	b)	Corte.-	Un	cuerpo	está	sometido	a	Solicitación	de	Corte	cuando	sobre	él	se	apliquen	fuerzas	perpendiculares	al	eje	centroidal	y	paralelas	a	la	sección	transversal.	
Fig.	
6	Corte	c)	Torsión.-	Un	cuerpo	está	sometido	a	Solicitación	de	Torsión	cuando	sobre	él	se	aplican	Momentos	paralelos	al	eje	centroidal	y	perpendiculares	a	la	sección	transversal.	Fig.	7	Torsión	d)	Flexión.-	Un	cuerpo	está	sometido	a	Solicitación	de	Flexión	cuando	sobre	él	se	aplican	Fuerzas	y	Momentos	perpendiculares	a	su	eje	centroidal	y	paralelos	a
la	sección	transversal.	(10)Fig.	8	Flexión	e)	Cargas	Combinadas.-	Los	cuerpos	y	elementos	en	condiciones	reales	presentan	combinaciones	de	los	anteriores	tipos	de	carga.	En	el	presente	texto	inicialmente	se	analizan	los	tipos	de	carga	de	forma	individual	y	su	combinación	se	analiza	posteriormente	1.8	Determinación	de	las	Cargas	Internas	(Método
de	las	Secciones)	En	un	cuerpo	sometido	a	fuerzas	y	momentos,	para	hallar	las	cargas	internas	por	el	método	de	corte	o	secciones	se	imagina	un	plano	imaginario	que	seccione	o	divida	el	cuerpo	en	dos	partes.	Para	que	cada	parte	este	en	equilibrio,	en	la	superficie	de	corte	de	cada	una	de	las	partes	por	la	interacción	que	ejerce	la	otra	deben	actuar
una	fuerza	y	un	momento	internos	que	equilibran	las	cargas	exteriores,	que	actúan	sobre	la	parte	separada.	Los	valores	de	la	Fuerza	y	el	Momento	internos	se	pueden	hallar	generalmente	con	las	ecuaciones	de	la	estática	P1	P2	P3	P4	Pn	M	1	P1	M	2	M	3	M	n	Fue	rza	In	te	rn	a	M	o	m	en	to	In	te	rn	o	Fig.	9	Fuerza	y	Momento	Internos	La	fuerza	y	el
momento	internos	tienen	componentes	tangencial	y	normal	a	la	sección.	La	componente	normal	de	la	fuerza	a	la	sección	“N”	produce	tracción,	la	componente	tangencial	de	la	fuerza	a	la	sección	“Q”	produce	corte,	la	componente	normal	del	momento	a	la	sección	“Mt”	produce	torsión	y	la	componente	tangencial	del	momento	a	la	sección	“Mf”	produce
flexión.	Frecuentemente	las	fuerzas	exteriores	se	encuentran	en	un	mismo	plano,	los	momentos	exteriores	perpendiculares	a	este	plano	y	no	existen	momentos	de	torsión	Mt	(11)1.9	Tensiones	o	Tensiones	a)	Análisis	Molecular	Considérese	una	barra	sometida	a	la	acción	de	dos	fuerzas	iguales,	opuestas	y	colineales	en	sus	extremos.	
Se	verifica	el	equilibrio:	P	-	P	=	0	Fig.	11	Fuerzas	en	las	Moléculas	Realizando	un	análisis	molecular,	la	fuerza	externa	se	distribuye	en	pequeñas	fuerzas	tirando	de	cada	molécula,	que	tratan	de	separarla	de	sus	vecinas,	sin	embargo	la	atracción	entre	moléculas	opone	resistencia	con	una	fuerza	igual	y	contraria,	lo	que	finalmente	impide	quelas
moléculas	se	alejen	entre	sí.	Tomando	un	par	de	ellas	se	verifica	que:	-Pi	Fi	-	Fi	Pi	(1.1	Donde	Pi	es	la	acción	sobre	cada	molécula	generada	por	las	fuerzas	“P”	y	“Fi	“	la	reacción	que	opone	el	material	generada	por	la	atracción	molecular	(o	Atómica).	Aumentando	“P”	aumenta	la	reacción	Fi	,	que	podrá	crecer	hasta	un	determinado	límite,	más	allá	del
cual	las	moléculas	se	separan	irremediablemente,	y	como	consecuencia	la	barra	se	deforma	permanentemente	o	se	separa.	
b)	Hipótesis	de	Navier	Según	esta	hipótesis	los	sólidos	homogéneos	se	imaginan	como	una	sucesión	de	innumerables	secciones	transversales	paralelas	entre	si	y	perpendiculares	a	su	eje	longitudinal	(similar	naipes	pegados	entre	sí).	Cada	sección	es	tan	delgada	como	el	diámetro	de	un	átomo	y	los	átomos	están	ordenados	según	un	arreglo	matricial
Fig.	1.12	Hipótesis	de	Navier	Entonces	:	n	P	Pi		(1.2	P	y	Pi	Fuerzas	externa	e	interna	sobre	cada	átomo	(12)c)	Vector	Tensión	Considérese	un	cuerpo	sometido	cargas	exteriores,	si	el	mismo	es	cortado	idealmente	en	dos	partes	A	y	B	por	medio	de	un	plano	π	y	se	suprime	una	de	las	partes,	por	ejemplo	la	B,	de	la	condición	de	equilibrio	elástico	se
concluye	que	en	toda	la	sección	S	aparece	una	distribución	continua	de	fuerzas	Fig.	1.13	Vector	Tensión	Si	df	es	la	fuerza	resultante	en	un	punto	P,	se	define	como	tensión	en	el	punto	a:	A	F	Area	Fuerza	Esfuerzo		(1.3	dS	f	d	S	f	t	dS							lim	0	(1.4	El	tensión	o	tensión	es	un	vector	colineal	con	df.	
e)	Tipos	de	Tensiones	o	Tensiones	El	vector	tensión	puede	descomponerse	en	una	componente	normal	al	plano	()	que	recibe	el	nombre	de	tensión	normal	y	en	una	componente	paralela	al	plano	()	que	recibe	el	nombre	de	tensión	tangencial	o	cortante.	A	ambas	tensiones	se	denomina	componentes	intrínsecas	del	vector	tensión.	Fig.	
1.14	Tensiones	Normales	y	Cortantes	La	tensión	normal	provoca	que	las	partículas	que	están	en	el	plano	dado,	tiendan	a	separarse	o	a	acercarse	mientras	que	las	tensiones	tangenciales	provocan	el	deslizamiento	de	las	partículas	del	material,	en	el	plano	de	la	sección	en	cuestión.	(13)Los	materiales	no	tienen	una	determinada	resistencia	a	las	fuerzas
y	momentos,	ya	que	ella	depende	de	las	dimensiones,	pero	sí	tienen	determinadas	resistencias	a	las	tensiones	normales	y	cortantes	En	las	caras	de	un	elemento	diferencial	cúbico	actuarán	en	el	caso	general	las	tensiones	de	la	figura	Fig.	1.15	Estado	tensional	f)	Densidad	de	Tensiones	Fig.	1.16	Densidad	de	Tensión	Cuando	una	barra	de	sección
variable	se	somete	a	cargas	de	tracción	F,	en	cualquier	sección	transversal	aparece	una	fuerza	interna	F	que	equilibra	a	la	externa	que	se	distribuye	en	tensiones	normales.	Sin	embargo	la	magnitud	de	estos	tensiones	es	variable	debido	a	la	variación	del	área.	Estos	tensiones	son	mayores	donde	las	secciones	normales	son	las	menores	y	viceversa.
Dibujando	líneas	equidistantes	de	la	periferia	se	puede	apreciar	que	ellas	tienen	mayor	“concentración”	o	“densidad”	donde	el	área	es	menor.	La	magnitud	de	las	tensiones	es	proporcional	a	la	concentración	de	líneas	equidistantes.	Este	fenómeno	es	similar	a	la	velocidad	que	adquiere	un	fluido	en	una	tubería	por	lo	que	también	es	conocido	por	flujo
de	tensiones.	g)	Concentradores	de	tensión	Fig.	1.17	Concentración	de	Tensiones	Los	cambios	o	variaciones	de	las	secciones	transversales	de	una	pieza	y	especialmente	las	variaciones	bruscas,	resultan	en	la	magnificación	de	las	tensiones	efecto	conocido	como	Concentración	de	Tensiones.	(14)Las	hendiduras,	agujeros	y	cambios	de	sección	bruscos
son	Concentradores	de	Tensiones.	Se	ha	podido	verificar	que	por	ejemplo	un	agujero	circular	en	una	placa	plana	incrementa	las	tensiones	hasta	tres	veces.	1.10	Deformación	Consideremos	dos	puntos	P	y	Q	en	un	sólido	elástico	en	estado	neutro,	sin	carga,	es	decir,	no	sometido	a	solicitación	alguna	Fig.	1.18	Deformación	Aplicadas	las	cargas	externas
hay	deformación	y	los	dos	puntos	pasan	a	las	posiciones	P'	y	Q'.	Se	definen	como	deformación	total	y	unitaria	a	la	variación	de	distancia	entre	estos	dos	puntos	y	a	la	variación	sobre	la	distancia	original,	respectivamente	r	d	r	d	Q	P	Q	P							'	'	'	'	'		(1.5	r	d	r	d	r	d	PQ	PQ	Q	P								'	'	'		(1.6	Los	sólidos,	bajo	la	acción	de	cargas	externas	se	deforman	y
cambian	sus	dimensiones	o	forma,	Al	cambio	de	dimensión	se	le	denomina	deformación	lineal	y	al	cambio	de	forma	deformación	angular.	a)	Deformación	provocada	por	Cargas	de	Axiales	Fig.	1.19	Deformación	por	Cargas	Axiales	Una	barra	sometida	a	cargas	axiales	además	de	experimentar	una	deformación	en	la	dirección	de	axial	también	presenta
otra	deformación	en	la	dirección	transversal.	Las	cargas	de	tracción	provocan	alargamiento	en	la	dirección	axial	y	adelgazamiento	en	la	dirección	transversal,	mientras	que	las	cargas	de	compresión	provocan	acortamiento	en	la	dirección	axial	y	ensanchamiento	en	la	dirección	transversal.	
Las	deformaciones	se	cuantifican	con:	(15)ε	=	(lf	–	lo)/lo	Deformación	longitudinal	unitaria	(1.8	δq	=	df	-	do	Deformación	transversal	(1.9	εq	=	(df	–	do)/do	Deformación	transversal	unitaria	(1.10	Donde	lf,	lo,	df	y	do	son	las	longitudes	y	diámetros	final	e	inicial	b)	Deformación	provocada	por	Cargas	de	Corte	Las	cuerpos	sometidos	a	cargas	de	corte	no
presentan	deformaciones	significativas	(no	se	verifica	cambio	de	dimensiones)	pero	si	presentan	distorsión	(se	verifica	cambio	de	forma).	Fig.	1.20	Distorsión	por	Cargas	de	Corte	La	deformación	se	cuantifica	con:	γ	Angulo	de	inclinación	de	las	caras	c)	Deformación	provocada	por	Cargas	de	Torsión	Las	barras	sometidas	a	cargas	de	torsión	no
presentan	deformaciones	longitudinales	sino	rotaciones	o	deformaciones	angulares	entre	secciones.	Las	secciones	transversales	giran	una	respecto	a	otra.	Fig.	1.21	Deformación	por	Cargas	de	Torsión	La	deformación	se	cuantifica	con:	φ	Angulo	de	rotación	entre	secciones	de	los	extremos	de	la	barra	d)	Deformación	provocada	por	Cargas	de	Flexión
Los	cuerpos	generalmente	rectos	sometidos	a	cargas	de	Flexión	se	vuelven	curvos	por	lo	que	presentan	deformaciones	lineales	y	angulares.	(16)Fig.	1.22	Deformación	por	Cargas	de	Flexión	Las	deformaciones	se	cuantifican	con:	ô	Deformación	lineal	θ	Deformación	angular	1.11	Diagrama	Tensión	y	Deformación	La	deformación	depende	de	las	cargas
externas	y	consecuentemente	de	las	tensiones	y	de	fuerzas	de	atracción	molecular,	es	decir,	de	la	estructura	interna	del	material.	Para	obtener	la	relación	entre	tensiones	y	deformaciones	se	procede	por	vía	experimental	mediante	ensayos	realizados	en	el	laboratorio,	en	donde	se	comprueba,	en	efecto,	que	para	dos	piezas	de	distintos	materiales,	de
iguales	dimensiones	y	sometidas	al	mismo	estado	de	cargas,	las	deformaciones	son	distintas.	El	ensayo	más	simple	que	se	hace	es	el	de	tracción.	En	este	ensayo	sometiendo	una	pieza	de	dimensiones	normalizadas	llamada	probeta	a	una	carga	de	tracción	que	se	aumenta	gradualmente	hasta	la	rotura.	En	la	probeta	se	realizan	previamente	dos	marcas,
que	determinan	una	longitud	denominada	distancia	entre	puntos,	sobre	las	que	se	efectúa,	por	medio	de	un	extensómetro,	la	medida	de	los	alargamientos.	Si	A	es	la	sección	de	la	probeta	y	P	la	fuerza	aplicada	en	sus	extremos	en	dirección	axial,	la	fuerza	origina	en	el	interior	del	material	un	estado	de	tensiones	que	se	supone	constante.	A	P			(1.11	La
probeta,	debido	al	tensión,	se	alarga.	La	deformada	unitaria	longitudinal	es:	o	o	f	l	l	l				(1.12	Aumentando	progresivamente	el	valor	de	P,	midiendo	ε	y	llevando	los	valores	a	un	gráfico,	se	obtiene	para	el	acero	dulce	el	diagrama	tensión-deformación	similar	al	de	la	figura	(17)Fig.	1.23	Diagrama	ζ	-	ε	En	este	diagrama	pueden	distinguirse	ciertas	zonas
con	determinadas	características:	a)	Período	elástico.-	Este	período	queda	delimitado	por	la	tensión	Se	(límite	de	elasticidad).	El	límite	de	elasticidad	se	caracteriza	porque,	hasta	llegar	al	mismo,	el	material	se	comporta	elásticamente,	es	decir	que	producida	la	descarga,	la	probeta	recupera	su	longitud	inicial.	
En	la	práctica,	este	límite	se	considera	como	tal	cuando	en	la	descarga	queda	una	deformaciónespecifica	remanente	igual	al	0.001	%.	Este	período	comprende	dos	zonas:	la	primera,	hasta	el	Sp	(límite	de	proporcionalidad),	dónde	el	material	verifica	la	ley	de	Hooke.	La	segunda	zona	entre	Sp	y	Se,	si	bien	es	elástica,	no	manifiesta	proporcionalidad
entre	tensiones	y	deformaciones.	
En	la	primera	zona:	E	d	d							(1.13	En	la	segunda	zona	)	(			f	d	d		(1.14	En	general,	los	límites	de	proporcionalidad	y	de	elasticidad	difieren	muy	poco	entre	sí.	b)	Período	elasto-plástico.-	Para	tensiones	superiores	al	límite	elástico,	la	pieza	no	recobra	su	dimensión	original	y	la	deformación	es	permanente	acorde	con	la	carga	aplicada.	A	medida	que
aumenta	la	solicitación,	la	gráfica	disminuye	el	valor	de	su	tangente,	tendiendo	a	anularse	en	el	tramo	final	del	período,	al	cual	se	llega	con	un	valor	de	tensión	que	se	indica	como	Sy	(tensión	de	fluencia).	c)	Período	plástico	(fluencia).-	Una	vez	arribado	al	valor	de	tensión	Sy	(límite	de	fluencia),	el	material	fluye,	aumentan	las	deformaciones	sin	que
existe	aumento	de	tensión.	El	fenómeno	no	es	tan	simple,	ya	que	la	tensión	oscila	entre	dos	valores	cercanos	entre	sí,	denominados	límites	de	fluencia	superior	e	inferior,	respectivamente.	La	tensión	de	proporcionalidad	es	aproximadamente	80%	la	de	fluencia	(18)Fig.	1.24	Líneas	de	Chernov	-	Lüders	Los	experimentos	demuestran	que	durante	la
fluencia	se	producen	deslizamientos	relativos	entre	los	cristales	y	en	la	superficie	de	la	probeta	aparecen	las	llamadas	líneas	de	Chernov	-	Lüders,	que	forman	con	el	eje	de	la	misma	un	ángulo	de	45º.	d)	Período	de	endurecimiento	y	de	estricción.-	Luego	de	la	fluencia	hay	un	reacomodamiento	cristalográfico	y	el	material	se	endurece	e	incrementa	su
resistencia,	es	decir,	admite	un	incremento	de	carga.	En	este	período	las	deformaciones	son	muy	pronunciadas.	La	tensión	aumenta	hasta	alcanzar	un	valor	máximo,	denominado	“tensión	de	rotura”,	a	partir	del	cual	la	tensión	disminuye	hasta	que	alcanza	una	determinada	deformación	de	rotura,	produciéndose	la	rotura	física.	La	tensión	Sut	no	es	en
realidad	la	máxima	tensión	que	se	origina	en	la	probeta	sometida	a	carga.	En	efecto,	alcanzado	el	valor	de	la	deformación	específica	correspondiente	a	Sut,	comienza	a	manifestarse	en	la	probeta	un	fenómeno	denominado	“estricción”.	Fig.	1.25	Fenómeno	de	estricción	La	estricción	es	la	reducción	de	una	sección	central	de	la	pieza,	misma	que	hace
que	las	tensiones	aumenten	y	que,	en	realidad,	el	diagrama	efectivo	en	lugar	de	presentar	su	concavidad	hacia	abajo	muestra	un	punto	de	inflexión	en	las	vecindades	de	Sut	y	cambia	su	curvatura	presentando	una	rama	creciente	hasta	alcanzar	la	deformación	de	rotura.	
Entonces	el	diagrama	que	anterior	suele	denominarse	“diagrama	convencional,	ya	que	los	cálculos	de	las	tensiones	se	realizan	siempre	sobre	la	base	de	suponer	la	sección	transversal	constante,	con	área	igual	a	la	inicial.	
La	estricción	se	mide	por	el	“coeficiente	de	estricción	lateral”	con	la	siguiente	expresión:	f	f	i	A	A	A				(1.15	Dónde:	Ai	y	Af	área	inicial	y	final	respectivamente	En	los	aceros	comunes	φ	≈	50	%	(19)Fig.	1.26	Diagrama	ζ	-	ε	efectivo	y	convencional	Para	tensiones	mayores	a	la	fluencia	como	M	en	la	gráfica	la	pieza	presenta	deformaciones	permanentes.
Cuando	se	quita	la	carga	las	tensiones	y	deformaciones	desaparecen	a	través	de	una	recta	paralela	a	la	del	período	elástico.	Si	la	probeta	vuelve	a	cargarse	la	curva	llega	al	punto	N,	pero	con	un	nuevo	recorrido	donde	ya	no	existe	el	período	de	fluencia	y	la	zona	recta	se	prolonga	hasta	un	valor	ζ'p	>	ζp.	Fig.	1.27	Endurecimiento	mecánico	del	acero
dulce	Este	fenómeno	se	denomina	endurecimiento	mecánico	o	por	trabajo	en	frío,	y	también	puede	lograrse	por	laminado	en	frío,	trefilado	o	torsión.	El	trefilado	se	utiliza	para	endurecer	alambres	o	barras	circulares	finas,	y	el	torsionado	especialmente	para	barras	redondas	(en	general,	con	conformaciones	superficiales),	para	hormigón	armado.	Para
aceros	endurecidos	mecánicamente	o	los	de	dureza	natural,	logrado	por	un	mayor	contenido	de	carbono	o	mediante	aleaciones	especiales,	el	diagrama	ζ	-	ε	es	distinto	del	que	se	vio.	Las	características	más	importantes	son	las	siguientes:	-	Sus	límites	de	proporcionalidad	y	elasticidad	son	más	elevados	que	los	aceros	comunes.	
-	No	poseen	un	límite	de	fluencia	definido	ni	tampoco	zonas	de	escurrimiento	plástico.	-	La	deformación	de	rotura	se	reduce	considerablemente.	Al	no	existir	un	límite	de	fluencia	definido,	este	se	determina	en	forma	convencional	como	la	tensión	para	la	cual	la	deformación	especifica	remanente	alcanzan	al	0.2	%.	
(20)Fig.	1.28	Límite	Convencional	de	Fluencia	0,%	Los	materiales	como	el	acero	dulce,	que	presentan	una	gran	capacidad	de	deformación	antes	de	alcanzar	la	rotura,	se	denominan	“dúctiles”.	Se	puede	decir	que	estos	materiales	avisan	la	rotura	física,	ya	que	antes	de	alcanzarse	la	misma	las	deformaciones	son	tan	grandes,	que	la	estructura	llega	a	la
falla	por	este	motivo.	Los	materiales	como	el	acero	duro,	para	los	cuales	la	rotura	se	produce	bruscamente,	sin	grandes	deformaciones	previas,	se	denominan	“frágiles”.	e)	Elasticidad	y	Plasticidad.-	La	propiedad	que	posee	un	material	de	volver	parcial	o	completamente	a	su	forma	inicial	una	vez	que	desaparece	la	carga	es	lo	que	se	llama
“elasticidad”.	Si	la	pieza	recupera	completamente	su	longitud	inicial,	se	dice	que	el	material	es	“perfectamente	elástico”	sino	“parcialmente	elástico”.	Un	material	es	“perfectamente	plástico”	cuando	al	dejar	de	actuar	la	carga	que	lo	deforma	mantiene	su	configuración	deformada.	
En	la	realidad	ningún	material	es	perfectamente	elástico	o	plástico,	pero	el	acero,	aluminio,	goma,	la	madera	y	el	hormigón	se	consideran	perfectamente	elásticos	dentro	de	ciertos	límites.	Otros	materiales	como	la	arcilla	y	la	masilla	pueden	considerarse	como	perfectamente	plásticos.	1.12	Constantes	Elásticas	El	comportamiento	lineal	elástico	de	los
sólidos,	permite	definir	las	constantes	elásticas,	a)	Módulo	de	Elasticidad	Longitudinal	(E).-	Considérese	una	barra	recta	sometida	a	tracción.	
Fig.	1.33	Barra	de	sección	constante	sometida	a	tracción	La	deformación	unitaria	es	:	(21)L	L				(1.16	En	la	zona	elástica,	las	tensiones	son	proporcionales	a	las	deformaciones	Fig.	1.34	Proporcionalidad	entre	ζ	–	ε	en	la	zona	elástica	E	Tg						(1.17			E	(1.18	Ecuación	conocida	como	de	Hooke.	La	constante	E,	se	conoce	como	módulo	de	elasticidad
longitudinal	o	módulo	de	Young.	Es	la	más	importante	de	las	cuatro	constantes	elásticas.	b)	Módulo	de	Elasticidad	Transversal	(G).-	Sea	un	paralelepípedo	fijo	en	su	parte	inferior	y	con	una	fuerza	P	en	su	cara	superior.	Fig.	1.35	Distorsión	provocada	por	tensiones	cortantes	La	deformación	se	cuantificada	por	el	ángulo	y	la	tensión	tangencial	o
cortante	es:	A	P			(1.19	(22)-	Dentro	de	la	zona	elástica,	la	constante	que	vincula	la	tensión	tangencial	con	la	deformación	angular,	es	llamada	módulo	de	elasticidad	transversal	o	módulo	de	rigidez	(G).	G	Tg						(1.20	Esta	es	la	ecuación	de	Hooke	para	tensiones	cortantes.	Para	el	acero	común	Sy’	=	0,57	Sy	c)	Coeficiente	de	Poisson	Al	someter	a	una
barra	a	un	tensión	axial,	además	de	experimentar	deformación	según	la	dirección	de	la	fuerza,	el	cuerpo	también	deforma	en	la	dirección	normal	a	ella.	
Fig.	
1.37	Deformaciones	Longitudinal	y	Transversal	Las	deformaciones	unitarias	son:	L	L				(1.21	a	a	q				(1.22	Experimentalmente	se	ha	visto	que	ambas	deformaciones	son	proporcionales	(23)ν	se	define	como	el	coeficiente	o	módulo	de	Poisson	y	su	valor	depende	del	material,	En	general	para	materiales	isótropos,	varía	entre	0,25	y	0,33.	En	cualquier
caso	ν	<	0,50	Valores	de	Constantes	Elásticas	según	el	material	Material	E	(Ton/cm²)	γ	Acero	2.000	a	2.100	0.22	a	0.33	Cobre	1.160	a	1.300	0.31	a	0.34	Bronce	1.100	0.32	a	0.35	Hierro	fundido	750	a	1600	0.23	a	0.27	Aluminio	760	0.32	a	0.36	Madera	(paralela	a	la	fibra	80	a	120	-	Hormigón	150	a	350	0.10	a	0.20	Mampostería	de	ladrillo	<	120	-
Caucho	0.01	0.47	Corcho	-	»	0.00	Los	módulos	de	elasticidad	longitudinal	y	transversal	están	relacionados	por:	E	=	2	G	(	1	+	ν	)(1.24	Donde	ν	es	el	coeficiente	de	Poisson	1.13	Diagrama	Tensión	–	Deformación	para	otros	materiales	En	la	figura	1.29	se	presentan	los	diagramas	tensión	–	deformación	para	diferentes	materiales.	Ahora	bien	como	se
observa	en	la	figura	1.30,	hay	algunos	materiales	para	los	cuales	se	observa	que	el	diagrama	ζ	-	ε	es	una	curva	continua	sin	tramos	rectos,	es	decir,	que	prácticamente	en	ningún	momento	se	verifica	la	ley	Hooke.	Un	ejemplo	clásico	es	el	hormigón,	donde	interesa	la	curva	ζ	-	ε	en	compresión.			Mat.	Dúctil	Mat.	Frágil			Acero	de	Alta	Calidad	Acero
Media	Calidad	Acero	Corriente	(24)En	estos	casos	no	puede	hablarse	de	un	módulo	de	elasticidad	único.	Cabe	distinguir	tres	valores	del	módulo	de	elasticidad:	Fig.	1.30	Módulos	Tangentes	y	Secantes	a)	Módulo	al	origen.-	Es	el	valor	al	origen	E	=	tg	α	(1.25	b)	Módulo	Instantáneo.-	Su	valor	lo	da	la	pendiente	a	la	curva	ζ	-	ε	en	cada	punto:	)	(	o	tg	d	d
E						(1.26	c)	Módulo	Secante.-	Su	valor	viene	dado	por	la	tangente	trigonométrica	del	ángulo	α1.	Para	estos	materiales,	Bach,	propuso	como	relación	entre	ζ	-	ε	una	ley	de	tipo	exponencial	que	lleva	su	nombre:	ζk	=	E	e	(1.27	el	coeficiente	k	depende	del	material	(valor	medio,	ya	que	depende	de	muchas	variables):	Material	Coeficiente	k	Hormigón	k	=
1,15	Cobre	k	=	1,10	Latón	k	=	1,085	Cuero	k	=	0,70	Fig.	1.31	Diagramas	no	lineales	ζ	-	ε	En	el	caso	que	k	=	1,	0	se	obtiene	la	ley	de	Hooke.	Ciertos	materiales	presentan	un	comportamiento	diferente	en	compresión	que	a	tracción,	tal	es	el	caso	del	hormigón.	(25)1.14	Diagramas	Ideales	Los	diagramas	que	se	vieron	a	veces	son	reemplazados	por
diagramas	idealizados	por	Prandtl,	resumiendo	las	características	fundamentales	de	los	tres	tipos	de	materiales.	El	diagrama	ideal	correspondiente	a	un	material	dúctil	se	compone	de	dos	tramos	rectos:	uno	inclinado,	correspondiente	al	período	elástico;	el	otro	horizontal,	materializando	el	período	de	fluencia.	El	período	de	endurecimiento	no	interesa
porque	la	deformación	al	final	de	la	fluencia	es	tan	significativa	que	el	material	está	en	falla	antes	de	llegar	a	la	rotura.	Fig.	1.32	Diagramas	ideales	a)	material	dúctil	b)	material	frágil	c)	material	plástico	En	los	materiales	frágiles	el	límite	de	proporcionalidad	es	próximo	a	la	tensión	de	rotura,	prescindiéndose	del	tramo	curvo	y	en	materiales	plásticos
el	diagrama	es	una	recta	horizontal,	lo	que	significa	que	sometidos	a	una	carga,	se	deforman	indefinidamente	sin	incremento	de	tensión.	1.15	Coeficiente	de	Seguridad,	Tensión	Admisible	y	Carga	Admisible	No	hay	la	seguridad	absoluta	y	las	piezas	están	amenazadas	por	incertidumbres.	Existen	numerosas	causas	de	incertidumbres:	Las	hipótesis	de
cargas,	las	hipótesis	de	cálculo,	los	errores	de	cálculos,	los	defectos	del	material,	los	errores	de	las	dimensiones,	los	errores	de	ejecución,	etc.	La	falla	de	una	pieza	puede	provocar	pérdidas	económicas	y	humanas	por	lo	que	se	debe	buscar	la	máxima	seguridad.	Para	evitar	la	falla,	la	tensión	máxima	en	una	pieza	no	debe	superar	un	valor	límite.	Para
materiales	dúctiles	el	valor	límite	es	el	límite	de	fluencia	y	para	de	materiales	frágiles	es	el	límite	de	resistencia	o	tensión	de	rotura	Sadm	=	Sy/		Para	materiales	dúctiles	(1.28	Sadm	=	Sut/		Para	materiales	frágiles	(1.29	Donde		es	el	coeficiente	de	seguridad.	
La	elección	del	coeficiente	de	seguridad	es	compleja	pero	disposiciones	reglamentarias	que	tratan	sobre	construcciones	de	acero;	indican	valores	que	varían	entre	1.25	y	1.60,	para	estructuras	de	hormigón	armado,	los	coeficientes	de	seguridad	varían	entre	1,75	y	2,10	y	en	la	construcción	de	máquinas	el	valor	varía,	entre	1.5	a	2.5.	(26)1.16
Resistencia	para	Cargas	Estáticas	y	Variables	a)	Cargas	Estáticas.-	Son	aquellas	cuya	magnitud	no	varía	con	el	tiempo,	P	t	Pmin	Pmax	Fig.	1.38	Carga	Estática	Como	se	mencionó	anteriormente,	la	falla	frente	a	cargas	estáticas	se	previene	con	:		=	E		<	Sadm	(1.30		=	G		<	S’adm	(1.31	b)	Cargas	Variables.-	Son	aquellas	cuya	magnitud	varía	con	el
tiempo.	Cuando	la	variación	es	de	carácter	periódico	y	los	valores	máximos	de	la	carga	se	repiten	cada	determinado	intervalo	de	tiempo	las	cargas	se	denominan	de	régimen	estable	o	de	repetición	periódica.	En	el	presente	libro	se	analiza	la	resistencia	solo	para	cargas	estables	P	t	Pmin	Pmax									2	min	max	P	P	Pmed	Fig.	1.39	Carga	variable	de
régimen	estable	Los	dos	casos	más	comunes	de	cargas	variables	de	régimen	estable	son:	-	Cargas	Intermitentes.-	Son	aquellas	que	aparecen	y	desaparecen.	Es	decir	que	varían	periódicamente	de	un	valor	máximo	a	cero.	(	Pmin	=	0	)	P	t	Pmin	Pmax								2	max	P	Pmed	Fig.	1.40	Carga	Intermitente	-	Cargas	Alternantes.-	Son	aquellas	cuya	magnitud
cambia	de	un	valor	positivo	al	mismo	valor	negativo.	(	Pmax	=	-	Pmin)	(27)P	t	Pmin	Pmax	0	2	min	max									P	P	Pmed	Fig.	1.41	Carga	Alternante	Existen	varias	teorías	para	verificar	la	falla	frente	a	cargas	variables.	En	el	presente	libro	se	desarrollará	sólo	la	teoría	de	Goodman	Modificado.	Esfu	erzos	M	á	xim	o	s	Esfu	erzos	M	ed	io	s	Esfu	erzos	M	íni	m
o	s	4	5º	Sy	Sut	Se	-Se	med	Fig.	1.42	Diagrama	de	Goodman	Modificado	Según	esta	teoría	la	pieza	no	falla	mientras	las	tensiones	se	encuentran	dentro	de	la	región	sombreada.	Para	construir	el	diagrama	se	necesitan:	El	Limite	de	Rotura	Sut	,	El	Limite	de	Fluencia	Sy	y	el	Limite	de	Resistencia	a	la	fatiga	Se	(cuyo	valor	aproximado	es	la	mitad	de	la
resistencia	a	la	rotura.	Se	=	Sut/2).	Por	cada	una	de	estas	tensiones	se	traza	una	línea	horizontal	que	intersecte	a	una	línea	a	45	grados	que	constituye	la	línea	de	Tensiones	Medias.	(28)PROBLEMAS	RESUELTOS	1.1.	Se	tiene	dos	cables	metálicos,	el	primero	de	Aluminio	con	un	diámetro	de	1	mm	y	el	segundo	de	Acero	con	un	diámetro	de	0.5	mm.
Tomar	Syal	=	283	Mpa	(2884.8	Kg/cm²)	y	Sy	ac	=	428	Mpa	(4362.8	Kg/cm²).	Se	pide	hallar	la	carga	máxima	que	pueden	soportar	ambos	cables	y	cuál	es	el	de	mayor	resistencia	Cable	Al		0.1	[cm]	Cable	Ac		0.05	[cm]	(a)	(b)	Solución:	Para	evitar	la	falla		=	P/A	<	Sy	Despejando	P	=		d2	Sy	/4	Reemplazando	valores	Pal	=	22.65	Kg	Pac	=	8.56	Kg	El	cable
de	aluminio	es	más	resistente.	1.2.	Dos	piezas	“a”	y	“b”	con	una	longitud	inicial	de	10	cm	y	100	cm,	se	deforman	hasta	alcanzar	longitudes	finales	de	11	cm	y	105	cm	respectivamente.	Se	pide	calcular	la	deformada	total	y	unitaria	Solución:		=	lf	–	l		=		/	l	=	(lf	-	l)/	l	a	=	1	cm	a	=	0.1	(10%)	b	=	5	cm	b	=	0.05	(5%)	Nótese	que:	a	<	b	pero	a	>	b	1.3.	Si	en
el	problema	anterior	los	diámetros	de	ambas	piezas	es	de	1	cm.	Se	pide	calcular	la	deformada	total	y	unitaria	transversal.	
Tomar		=	0.3	Solución:	q	=	-	df	=	q	d	+	d	(29)qa	=	-	0.03	(3%)	dfa	=	0.97	cm	qb	=	-	0.015	(1.5%)	dfb	=	0.985	cm	1.4.	Para	el	problema	1.2	se	pide	hallar	las	tensiones	a	los	que	están	sometidas	las	piezas	si	son	de	acero.	Tomar	E	=	2.1	x	10	6	Kg/cm²	Solución:		=	E		a	=	0.1	(10%)	b	=	0.05	(5%)	Entonces	a	=	210000	Kg/cm²	b	=	105000	Kg/cm²	Ningún
material	soporta	estos	tensiones.	Estas	deformadas	(10	y	5	%)	son	imposibles.	1.5.	Cuál	es	la	deformada	máxima	que	puede	tener	un	acero	antes	de	fallar.	Tomar	Sy	=	428	Mpa	(4362.8	Kg/cm²)	y	E	=	2.1	x	10	6	Kg/cm²	Solución:		<	Sy		=	E			<	=	Sy/	E	=	0.00207	(0.2%)	1.6.	Una	carga	de	100	Kg	se	aplica	a	dos	piezas	de	aluminio	y	acero	con	el	mismo
diámetro	de	1	cm.	
Tomando	Eacero	=	2.1	x	10	6	Kg/cm²,	Ealuminio	=	0.9	x	10	6	Kg/cm²,	Syacero	=	428	Mpa	(4362.8	Kg/cm²)	y	Sy	aluminio	=	283	Mpa	(2884.8	Kg/cm²).	Se	pide	hallar	:	La	relación	de	deformadas	y	la	relación	de	factores	de	seguridad.	Solución:		=		/	E		=	Sy/	acero	=	P/A	=	aluminio	acero/aluminio	=	Ealuminio	/	Eacero	=	0.428	(42.8	%)	acero	/	aluminio
=	Syacero/	Syaluminio	=	1,512	(151,2	%)	Estos	resultados	muestran	primero	que	el	acero	se	deforma	menos	que	el	aluminio	y	segundo	que	el	acero	resiste	más	que	el	aluminio	1.7.	Hallar	los	módulos	de	elasticidad	al	corte	para	los	materiales	del	1.anterior.	Tomar		=	0.3	Eac	=	2.1	x	10	6	Kg/cm²,	Eal	=	0.9	x	10	6	Kg/cm²	(30)G	=	E/[2	(	1	+		)]	Gacero	=
8,07	x	105	Kg/cm²	Galumino	=	3,46	x	105	Kg/cm²	1.8.	Construir	el	diagrama	de	Goodman	Modificado	para	un	material	con	Sy=	4000	Kg/cm²	Sut	=	6000	Kg/cm²	y	Se	=	Sut/2	=	3000	Kg/cm²	Solución:	45º	6000	med	S	4000	3000	-3000	A	B	C	D	E	A(0,3000)	B(6000,6000)	C(4000,4000)	E(0,-3000)	1.9.	En	el	anterior	1.hallar	las	ecuaciones	de	las
tensiones	máximas,	tensiones	medios	y	tensiones	mínimas.	Solución:	A	(0,3000)	B	(6000,6000)	C	(4000,4000)	E	(0,-3000)	La	ecuación	de	la	recta	conocidos	dos	puntos	es	(y	–	y1)/(x	–	x1)	=	(y2	–	y1)/(x2	–	x1)	Para	(A,B)	(y	–	3000)/(x	-	0)	=	(6000	–	3000)/(6000	–	0)	Smax	=	x/2+3000	para	Smax<	4000	Las	curvas	de	tensiones	mínimas	van	de	B	a	E	y	de	C
a	D	(y	–	6000)/(x	-	6000)	=	(-3000	–	6000)/(0	-	6000)	Smin	=	1,5	x	–	3000	para	min	<	0	Cuando	Smin	=	0	se	halla	que	x	=	2000	y	D	=	(	2000,0)	(y	–	4000)/(x	-	4000)	=	(0	–	4000)/(2000	-	4000)	y	=	2	x	–	4000	(31)Smin	=	2x	–	4000	para	min	>	0	1.10.	
Hallar	las	tensiones	admisibles	para	carga	estática,	carga	intermitente	y	carga	alternante	del	material	de	los	problemas	6	y	7	Solución:	a)	Carga	estática	S	=	Sy	=	4000	Kg/cm²	b)	Carga	intermitente	S	=	.	Smax	=	x/2+3000	y	x	=	2000	S	=	4000	Kg/cm²	c)	Carga	alternante	S	=	Se	=	3000	Kg/cm²	1.11.	Para	las	cargas	dadas	determinar	en	cada	caso	si
hay	o	no	falla	con	el	material	de	los	problemas	6	y	7	max	=	3500	Kg/cm²	y	min	=	–	3500	Kg/cm².	max	=	3500	Kg/cm²	y	min	=	–	500	Kg/cm².	max	=	4500	Kg/cm²	y	min	=	0	Kg/cm².	max	=	4500	Kg/cm²	y	min	=	1500	Kg/cm².	Solución:		med	=	(max+	min)/2	a	med	=	0	b	med	=	1500	Kg/cm²		c	med	=	2250	Kg/cm²	d	med	=	3000	Kg/cm²	45º	6000	med	S
4000	3000	-3000	A	B	C	E	D(20000,0)	a)	a	med	=	0	(32)b)		b	max	=	1500	Kg/cm²	<	4000	Kg/cm²	y	=	x/2+3000	Smax	=	3750	>	b	max	=	3500	Kg/cm²	No	hay	falla	b	min	=	-	500	Kg/cm²	<	0	y	=	1,5	x	–	3000	Smin	=	-	750	<	b	min	=	-500	Kg/cm²	No	hay	falla	c)		c	max	=	2250	Kg/cm²	<	4000	Kg/cm²	y	=	x/2+3000	Smax	=	4125	<	b	max	=	4500	Kg/cm²	Hay
falla	d)	d	max	=	3000	Kg/cm²	<	4000	Kg/cm²	y	=	x/2+3000	Smax	=	4500	<	b	max	=	4500	Kg/cm²	No	hay	falla		d	min	=	3000	Kg/cm²	>	0	y	=	2x	–	4000	Smin	=	2000	>	b	min	=	1500	Kg/cm²	Si	hay	falla	1.12.	Hallar	las	ecuaciones	genéricas	de	las	tensiones	máximas,	medios	y	mínimos.	45º	med	S	A	B	C	D	E	A(0,0.5*Sut)	B(S	ut,Sut)	C(S	y,Sy)
D(Descon,0)	E(0,0.5*Sut)	Sy	S	ut	S	e	-S	e	La	ecuación	de	la	recta	conocidos	dos	puntos	es	(y	–	y1)/(x	–	x1)	=	(y2	–	y1)/(x2	–	x1)	La	curva	de	tensiones	máximas	va	de	A	a	B	(y	–	0.5	Sut)/(x	-	0)	=	(Sut	–	0.5	Sut)/(Sut	–	0)	Smax	=	(x	+	Sut)/2	para	Smax<	Sy	Las	curvas	de	tensiones	mínimas	van	de	B	a	E	y	de	C	a	D	BE)	(y	–	Sut)/(x	–	Sut)	=	(-0.5	Sut	–	Sut)/(0	–
Sut)	Smin	=	1,5	x	–	0,5	Sut	para	min	<	0	CD)	Cuando	Smin	=	0	se	halla	que	x	=	Sut/3	y	la	coordenada	de	D	(	Sut/3,	0)	(y	–	Sy)/(x	–	Sy)	=	(0	–	Sy)/(Sut/3	–	Sy)	y	=	(x	–	Sy)(	–	Sy)/(Sut/3	–	Sy)	+	Sy	(33)PROBLEMAS	PROPUESTOS	1.13.	Se	pide	hallar	la	carga	que	pueden	levantar	(resistencia)	dos	cables	metálicos,	el	primero	de	Aluminio	con	un	diámetro
de	2	mm	y	el	segundo	de	Acero	con	un	diámetro	de	1	mm.	Tomar	S	y	al	=	2884.8	Kg/cm²	y	S	y	ac	=	4362.8	Kg/cm²	1.14.	
Se	pide	hallar	resistencia	de	los	cables	del	1.anterior,	para	cargas	Alternante	e	Intermitente.	1.15.	Una	carga	de	100	Kg	se	aplica	a	una	pieza	de	Acero	con	un	diámetro	de	1	cm	y	una	longitud	de	100	cm.	Se	pide	calcular	las	deformadas	longitudinal	y	transversal.	1.16.	En	el	anterior	1.se	pide	calcular	la	variación	del	volumen	debido	a	la	deformación.	
1.17.	Que	carga	aplicada	a	una	pieza	cilíndrica	de	Acero	con	un	diámetro	de	1	cm	y	una	longitud	de	100	cm	produce	una	deformación	de	0,1	mm.	1.18.	Cuál	es	la	deformada	máxima	que	puede	tener	un	Aluminio	antes	de	alcanzar	la	fluencia.	Tomar	Sy	=	2884.8	Kg/cm²	y	E	=	0.7	x	10	6	Kg/cm²	1.19.	Construir	el	diagrama	de	Goodman	Modificado	para
un	material	con	Sy	=	3000	Kg/cm²	Sut	=	5000	Kg/cm²	y	Se	=	Sut/2	=	2500	Kg/cm²	1.20.	
En	el	anterior	1.hallar	las	ecuaciones	de	las	tensiones	máximas,	tensiones	medios	y	tensiones	mínimas.	1.21.	Hallar	las	tensiones	admisibles	para	carga	estática,	carga	intermitente	y	carga	alternante	del	material	de	los	problemas	4	y	5	1.22.	Para	las	cargas	dadas	determinar	en	cada	caso	si	hay	o	no	falla	con	el	material	de	los	problemas	4,	5	y	6		max
=	3000	Kg/cm²	y		min	=	–	3000	Kg/cm².		max	=	3000	Kg/cm²	y		min	=	–	500	Kg/cm².	
	max	=	4000	Kg/cm²	y		min	=	0	Kg/cm².		max	=	4000	Kg/cm²	y		min	=	1500	Kg/cm².	1.23.	Hallar	las	ecuaciones	genéricas	de	las	tensiones	máximas,	tensiones	medios	y	tensiones	mínimas.	(34)PROPIEDADES	MECANICAS	Material	Sy	Sut	E	G		Ksi	MPa	Ksi	MPa	Ksi	GPa	Ksi	GPa	Aluminun	allys	2014-T4	41	283	62	428	10,6	73	4	27.6	0.33	Aluminun	allys
2014-T6	60	410	70	480	10,6	73	3,8	26.2	0.33	Aluminun	allys	2024-T4	48	331	68	470	10,6	73	3,9	27	0.33	Aluminun	allys	6061-T6	40	276	45	310	10,4	72	3,9	27	0.33	Aluminun	allys	7075-T6	70	483	80	552	10	69	3,75	26	0.33	Brass	(Red,	cold	rolled)	60	414	75	518	15	104	5,5	38	0.34	Brass	(Red,	annealed)	15	104	40	276	15	104	5,5	38	0.34	Bronze	(cold
rolled)	75	772	100	515	15	104	6,5	44.9	0.34	Bronze	(annealed)	20	138	50	345	15	104	6,5	44.9	0.34	Cast	iron	(tension)	29.5	205	40	274.5	25	173	12,5	86.3	0.28	Cast	iron	(compression)	-	-	125	870	25	173	12,5	86.3	0.28	Concrete	(compression)	2	13.8	5	35	4,5	31	-	-	0.15	Copper	(cold-drawn)	40	280	45	310	17	117	6,3	43.5	.35	Plate	glass	-	-	10	70	10	69
4	27.6	0.2	Magnesium	alloy	22	150	40	280	24	166	20	138	0.35	Monel	(wrough,	hot	rolled)	50	345	90	621	26	179	9,5	65.6	.32	Nickel	alloy	60	414	80	552	30	207	11,4	78.7	0.31	Nylon	-	-	9	60	400	2.76	-	-	0.4	Polyethylene	-	-	2.5	17.5	150	1	-	-	0.4	Rubber	(average)	0.6	4	2	13.5	.4	.00276	.0007	41.5	0.48	Steel	.2%	C	hardened	62	428	90	620	30	207	11,6	80
.32	Steel	.2%	C	cold-rolled	60	414	85	587	30	207	11,6	80	.32	Steel	.2%	C	hot-rolled	53	366	62	428	30	207	11,6	80	.32	Steel	.4%	C	hot-rolled	53	366	84	580	30	207	11,6	80	.32	Steel	.8%	C	hot-rolled	76	524	122	842	30	207	11,6	80	.32	Steel	Stainless	(cold-rolled)	165	1140	190	1310	29	200	12,5	86.3	.27	Steel	Stainless	(heat-treated)	132	911	150	1040
29	200	12,5	86.3	.27	Steel,	structural	-	-	-	-	-	Steel	ASTM-A36	36	250	60	400	29	200	11	75.9	.32	Steel	ASTM-A572	50	340	70	500	29	200	11	75.9	.32	Steel	ASTM-A514	100	700	120	830	29	200	11	75.9	.32	Douglas	Fir	6	41	7.4	51	1,3	9	-	-	.29	Southern	Pine	6.5	45	8.4	58	1,9	13.1	-	-	.3	Red	Oak	4.6	32	6.9	48	1,8	12.4	-	-	.3	(35)2	Tracción	y	Compresión	2.1
Introducción	Un	elemento	está	sometido	a	tracción	o	compresión	cuando	al	realizar	un	corte	por	cualquier	sección	recta	no	aparecen	momentos	internos,	tampoco	fuerzas	de	corte	y	solo	se	verifica	una	fuerza	normal	N	en	el	centro	de	gravedad	de	la	sección,	es	decir,	en	todas	las	secciones	rectas	del	elemento	se	anulan	el	tensión	cortante	y	los
momentos	torsor	y	flector.	Dependiendo	si	la	carga	tiende	a	estirar	o	a	comprimir	la	pieza,	la	carga	será	de	tracción	o	compresión.	Fig.	
2.1	Tracción	Ejemplos	de	elementos	sometidos	a	tracción	compresión	son:	Los	cables	metálicos,	los	arriostres,	los	elementos	de	las	vigas	armadas	y	elementos	de	las	estructuras	metálicas.	Para	la	validez	de	las	ecuaciones	y	resultados	de	este	capítulo	se	asume	la	veracidad	de	las	siguientes	condiciones:	1.-	Se	cumple	la	hipótesis	de	Bernoulli
(Conservación	de	las	secciones	planas)	2.-	Los	elementos	tienen	secciones	transversales	uniformes	3.-	Los	materiales	son	homogéneos	4.-	Las	cargas	están	aplicadas	en	los	centros	de	gravedad	de	la	sección	5.-	Los	miembros	sometidos	a	compresión	no	son	tan	esbeltos	y	no	hay	pandeo.	2.2	Diagramas	de	Fuerzas	Normales:	Se	denominan	diagramas	de
fuerzas	normales	a	los	diagramas	que	dan	las	fuerzas	normales	N	en	cada	sección	de	una	barra	prismática.	(36)Fig.	
2.4	Diagrama	de	Fuerzas	Normales	2.3	Tracción	Compresión	Monoaxial	a)	Tensiones	Considérese	una	barra	prismática	sometida	a	Tracción-Compresión.	Fig.	2.1	Tensiones	en	Tracción	Compresión	Realizando	un	corte	en	la	barra	por	la	sección	recta	transversal	A,	se	observa	que:	n	=	P/A	(2.1	n	=	0	(2.2	La	hipótesis	de	Bernoulli	se	comprueba
experimentalmente	observando	que	en	una	barra	sin	carga	en	la	que	se	trazaron	líneas	rectas	paralelas	y	perpendiculares	a	su	eje	longitudinal,	con	carga	las	líneas	paralelas	al	eje	longitudinal	se	alargan	porigual	(La	deformación	longitudinal	es	constante),	Fig.	
2.1	Hipótesis	de	Bernoulli	Entonces	si	εX	=	cte,	de	la	ley	de	Hooke	se	concluye	que	como	el	área	es	también	constante,	las	tensiones	resultan	constantes.	Para	una	pieza	de	sección	variable	las	tensiones	varían	inversamente	proporcionalmente	a	la	magnitud	del	área	(37)Si	en	lugar	de	cortar	la	barra	por	la	sección	recta	transversal	A,	se	la	corta	por
una	sección	inclinada	en	un	ángulo	α	Fig.	2.3	Tensiones	en	una	sección	inclinada	Por	equilibrio,	la	fuerza	externa	P	genera	una	fuerza	interna	de	igual	magnitud,	sin	embargo	esta	ya	no	es	perpendicular	a	la	sección	y	se	la	puede	descomponer	en	una	componente	N	perpendicular	a	la	sección	que	producirá	tensiones	normales	y	en	otra	componente	Q
tangencial	a	la	sección	que	producirá	tensiones	cortantes.	Se	tiene:	N	=	P	Cos	α	(2.3	Q	=	P	Sin	α	(2.4	α	=	N/Aα	(2.5	α	=	Q/Aα	(2.6	AN	=	Aα	Cos	α	(2.7	De	2.2,	2.3	y	2.6	α	=	N/Aα	=	P	Cos	α	/(AN	/Cos	α)	=	P	Cos2	α	/	AN	(2.8	α	=	(P/2AN)	(1	+	Cos	2	α)	(2.9	De	2.4,	2.5	y	2.6	α	=	Q/Aα	=	P	Sin	α/(AN	/Cos	α)	=	P	Sin	α	Cos	α	/	AN	(2.10	α	=	(P/2AN)	Sin	2	α
(2.11	Reemplazando	α	=	0	en	2.7	y	2.8,	se	verifican	los	resultados	obtenidos	en	2.1	La	ecuación	de	una	circunferencia	es	:	(x	–	xo)2	+	(y	–	yo)2	=	R2	(2.12	Y	se	verifica	que	(38)P/2AN		max	max		Fig.	2.4	Tensiones	en	una	sección	normal	Entonces,	la	relación	entre	las	tensiones	α	y	α	puede	se	representa	por	una	circunferencia	con	un	radio	de	P/2AN	y
con	centro	desplazado	horizontalmente	con	el	mismo	valor	del	radio.	b)	Tensiones	Principales	Se	llaman	tensiones	principales	a	las	tensiones	máximas.	De	2.7,	2.8	y	del	gráfico	Para	α	=	0	max	=	N	=	P/AN	min	=	0	(2.14	Para	α	=	45	45	=	P/2AN	max	=	P/2AN	(2.15	Para	cargas	de	tracción	y	compresión	en	una	dimensión	las	tensiones	normales
máximos	ocurren	en	una	sección	transversal	α	=	0	y	las	tensiones	cortantes	máximos	en	una	sección	a	α	=	45º.	Para	prevenir	la	falla,	ambos	tensiones	máximas	no	deben	exceder	las	fluencias.	max	=	P/AN	<	Sy	(2.16	max	=	P/2AN	<	S´y	(2.17	c)	Deformaciones	Una	pieza	recta	de	sección	constante	y	longitud	l	cargada	en	sus	extremos	por	una	fuerza
de	tracción	(compresión)	sufre	una	deformación	L	Fig.	
2.5	Deformación	en	una	pieza	de	sección	constante	En	la	zona	elástica,	la	deformada	es	proporcional	a	la	carga	y	es	válida	la	ecuación	de	Hooke	x	=	P/AN	=	E	x	(2.18	y	=	z	=	0	(2.19	x	=	/L	(2.20	(39)Entonces	x	=	PL/EA	(2.22	Resultado	válido	para	piezas	con	sección	constante.	Para	piezas	con	sección	variable	se	aplica	la	anterior	ecuación	a	un
elemento	diferencial	“dx”	donde	el	área	se	puede	considerar	constante.	dx	P	P	l	lf	Fig.	2.6	Deformación	en	una	pieza	de	sección	variable	d	=	Pdx/EA	(2.23			l	EA	Pdx	0		(2.24	Para	una	sección	transversal	constante	se	obtienen	los	mismos	resultados	de	2.17	d)	Cargas,	Tensiones	y	Deformadas	debido	al	Peso	Propio	En	objetos	de	gran	altura	como	por
ejemplo	edificios,	torres	y	otros,	el	peso	propio	es	una	carga	que	tiene	mucha	importancia	y	debe	ser	tomada	en	cuenta.	El	peso	es	una	carga	variable	ya	que	a	analizando	una	sección	horizontal	a	una	altura	“y”,	esta	soporta	el	peso	de	la	porción	del	objeto	que	se	encuentra	encima	de	ella.	Para	entender	mejor	esto	se	presenta	la	analogía	de	una	torre
humana	de	3	personas	cada	una	con	un	peso	de	75	Kg.	En	ésta	torre	la	persona	de	arriba	no	soporta	sobre	sus	hombros	ninguna	carga,	la	del	medio	soporta	75	Kg.	y	la	de	abajo	soporta	150	Kg.	sobre	sus	hombros.	y	h	dy	A	W(y	)	Peso	sobre	"y	"	Fig.	2.7	Peso	Propio	Para	un	elemento	diferencial	“dy”	el	área	de	la	sección	se	considera	constante	y	su
peso	es	dW	=		A(y)	dy	(2.25	El	peso	de	la	porción	de	la	pieza	que	se	encuentra	sobre	una	sección	a	una	altura	“y”	es			h	y	dy	y	A	y	W(	)		(	)	(2.26	(40)Un	error	común	es	tomar	el	límite	inferior	como	cero,	ya	que	en	este	caso	el	peso	calculado	es	el	de	toda	la	pieza.	
Entonces	se	enfatiza	en	que	el	límite	inferior	de	la	integral	es	“y”.	La	tensión	en	una	sección	a	una	altura	“y”	es:	)	(	)	(	)	(	)	(	)	(	y	A	dy	y	A	y	A	y	W	y	h	y						(2.27	La	deformación	longitudinal	debido	al	peso	propio	se	halla	con	la	ecuación	2.19	reemplazando	en	ella	el	peso	como	carga														h	h	y	h	EA	dy	dy	y	A	EA	Pdy	0	0	)	(			(2.28	e)	Deformaciones
debido	a	la	temperatura	Además	de	las	deformadas	debido	a	las	cargas	externas	se	presentan	deformadas	originados	por	cambios	de	temperatura,	conocidas	como	dilataciones	y	contracciones.	Los	cambios	de	temperatura	originan	una	deformación	lineal	uniforme	en	todas	las	direcciones,	que	se	calcula	por	:	lf	=	l	+l	T	(2.29	Entonces	t	=	l	T	(2.30	t	=
T	(2.31		es	el	coeficiente	de	dilatación	que	es	un	valor	específico	de	cada	material.	Material	Aluminio	23.2	Fundición	10.4	Cobre	16.7	Acero	11.7	Hormigón	10.8	Las	deformada	total	es	por	consiguiente	la	suma	de	las	deformadas	debido	a	cargas	externas	y	la	deformada	debido	a	los	cambios	de	temperatura.	tot	=	mec	+	t	=	/E	+	T	(2.32	Si	la
deformación	por	cambios	de	temperatura	se	restringe,	provocan	tensiones.	Para	encontrar	estas	tensiones,	se	usa	la	anterior	ecuación	escrita	en	otra	forma	que	se	conoce	como	la	ley	de	Hooke	extendida	o	la	ley	de	Duhamel	–	Neumann		=	E	(tot	-	T)	(2.33	Cuando	la	expansión	térmica	de	un	sistema	se	restringe	por	ejemplo	anclando	una	pieza	entre
dos	paredes	rígidas,	aun	pequeños	cambios	de	temperatura	producen	grandes	tensiones	térmicos.	Esto	se	debe	al	módulo	de	Young	que	para	la	mayoría	de	los	materiales	usados	en	Ingeniería	es	grande