Sistemas Numéricos y Aplicações

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Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador Unidad - 3 
 
Indice 
 
Los sistemas numéricos y su aplicación en el computador 
 
Conceptos básicos………............……………..………….………………….. 1 
 
Sistemas numéricos 
 
Decimal………………………………………………………….…….……… 4 
Binario…………………………………………………………….....………... 5 
Octal…………………...…………………………………………...…............ 7 
Hexadecimal………………..……...…………………………...…….……… 8 
 
Conversiones entre los diferentes sistemas numéricos 
 
De decimal a: binario, octal y hexadecimal……………………………….. 10 
De binario, octal y hexadecimal a: decimal……………………………….. 15 
De binario a: octal y hexadecimal………………………………………….. 18 
De octal y hexadecimal a: binario………………………………………….. 22 
 
Operaciones con números binarios 
 
Suma…………………………………..…………………………….……...... 24 
Resta…………..…………………………….………………….……….……. 26 
Multiplicación…..……………………………………………..…………........ 29 
División………………………………..…………………………….……....... 30 
 
 Bibliografía………............……………..………..………….………………….. 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
 
 
 
 
 
 
¿Qué es un sistema 
de numeración? 
 
 
“Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que 
permiten construir todos los números válidos.” 
 
(http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n) 
 
 
“m. Mat. Conjunto de reglas y signos para representar los números. 
(Real Academia Española) 
 
A lo largo de la historia, las distintas culturas, fueron desarrollando los diferentes 
sistemas numéricos que existen, debido a la necesidad de contar, actividad que en 
principio, realizaban utilizando lo único que tenían, los dedos de sus manos, 
instrumento que en un momento dado dejó de funcionarles. 
 
Hoy en día el sistema de numeración que usamos a diario es el decimal, de base 10 y es 
muy fácil de comprender, sin embargo, los Sistemas Digitales, como las computadoras, 
manejan información binaria, es decir, disponen solamente de dos valores para representar 
cualquier información: el cero (0) y el uno (1), (como vimos y explicamos en la unidad 
anterior). Es por ello que son más exactos y por ende más confiables que los analógicos, 
 
 
 
 
 
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Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
lógicamente, es más fácil distinguir entre dos valores que entre una cantidad ilimitada 
de ellos. 
 
Como decía, el sistema decimal es usado universalmente para representar 
cantidades fuera de un sistema digital, de ahí que tenga gran importancia, pero 
siempre existirá la necesidad de que los valores decimales tengan que ser 
convertidos en valores binarios (códigos que el computador entiende) antes de ser 
introducidos en un sistema digital y viceversa, es decir, que habrán valores binarios 
de las salidas de un circuito digital que tendrán que ser convertidos en valores 
decimales (códigos que el usuario entiende) para ser presentados al mundo 
exterior. 
 
Es por ello, que en esta unidad veremos una introducción a los sistemas de 
numeración, haciendo énfasis en el sistema de numeración binario, por su aplicación 
directa en los computadores. 
 
Definiciones 
 
Sistema de numeración 
 
Es el conjunto de símbolos ordenados y reglas, que se combinan para representar 
cantidades numéricas. Un sistema de numeración se puede expresar en el siguiente 
formato: (N = S, R), donde: 
 
� N es un número válido en el sistema de numeración utilizado. 
� S es el conjunto de símbolos usados, por ej. en el sistema decimal van del 0 
al 9. 
� R son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y 
cuáles no. 
 
Estas reglas pueden variar para cada sistema de numeración, sin embargo existe 
una común a todos, y es que para construir números válidos sólo se pueden utilizar 
los símbolos usados en ese sistema. 
 
Para indicar en qué sistema de numeración se representa una 
cantidad, se añade como subíndice a la derecha el número de 
símbolos que se pueden representar en dicho sistema. Ej.510. en 
donde el símbolo usado es el 5 y el 10 en subíndice nos dice que 
el sistema numérico es el decimal. 
 
 
 
 
Subíndice, 
número que se 
coloca en la parte 
inferior derecha 
de la cifra. 
 
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Dígito. En un sistema numérico, un dígito es un símbolo que no es combinación de 
otros y que representa un entero positivo. 
 
Bit. Es un dígito binario (Abreviación del inglés binary digit), es decir, un 0 ó un 
1. 
 
Base de un sistema numérico. Se refiere al número de dígitos diferentes usados en 
ese sistema. 
 
En el cuadro siguiente podemos ver los sistemas numéricos comúnmente usados, 
con su respectivo conjunto de símbolos o dígitos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En lo adelante, vamos a encerrar entre paréntesis el número que nos interese 
trabajar y al pie a la derecha, el subíndice, indicando la base que se está usando, 
para distinguir entre los diferentes sistemas numéricos. 
 
Ejemplos: 
 (1011)2 =1011 base 2 (sistema binario) 
 15 = 15 base 10 (sistema decimal) 
 (34)16 = 34 base 16 (sistema hexadecimal) 
 (354)8 = 354 base 8 (sistema octal) 
 
Estos sistemas de numeración son llamados posicionales y se 
caracterizan porque cada dígito tiene distinto valor según la 
posición que ocupa en la cifra. Este valor está asociado al de 
una potencia de la base (2, 8, 10 ó 16), cuyo exponente es 
igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando 
desde la derecha. Por ejemplo: (850)x, (usando la x como 
base para presentar este ejemplo de forma genérica). Se 
expresa de la forma que sigue: 
 
 8*x3-1 + 5*x2-1 + 0*x1-1 
 8*x2 + 5*x1 + 0*x1 
 
Base Sistema Dígitos 
16 Hexadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 
10 Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
 8 Octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
 2 Binario 0, 1 
Potencia producto 
que resulta de 
multiplicar una 
cantidad o expresión 
por sí misma una o 
más veces. 
Cuando el subíndice 
no está expresamente 
indicado, se entiende 
que la base es 10. 
 
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A continuación, presentamos un cuadro donde se muestra la equivalencia entre estos 
sistemas numéricos: 
 
Tabla de equivalencias 
DECIMAL BINARIO OCTAL 
HEXA 
DECIMAL 
0 0000 0 0 
1 0001 1 1 
2 0010 2 2 
3 0011 3 3 
4 0100 4 4 
5 0101 5 5 
6 0110 6 6 
7 0111 7 7 
8 1000 8 
9 1001 9 
10 1010 A 
11 1011 B 
12 1100 C 
13 1101 D 
14 1110 E 
15 1111 F 
 
 
Sistema de numeración decimal. 
 
Como habíamos dicho antes, el sistema de numeración que utilizamos habitualmente 
es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) 
a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: 
unidades, decenas, centenas, unidad de mil, etc. El número 356, por ejemplo, en el 
sistema decimal, significa: 
 
3 centenas + 5 decenas + 6 unidades, es decir: 
3*102 + 5*101 + 6*100 o, lo que es lo mismo: 
300 + 50 + 6 = 356 
 
 
 
 
 
 
 
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Sistema de numeración binario. 
 
El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1), tal 
como lo indica su nombre. Es el sistema que se utiliza en las computadoras, debido a 
que internamente, éstas trabajan con dos niveles de voltaje,por lo que su sistema de 
numeración natural es el binario (encendido 1, apagado 0) y es precisamente por eso 
que en esta unidad lo hemos importantizado. 
 
Los números binarios a menudo se escriben con subíndices, prefijos o sufijos para 
indicar su base, como se indica en la siguiente tabla: 
 
Estas notaciones son equivalentes 
100101 binario Declaración explícita del formato 
100101b Sufijo que indica formato binario 
100101B Sufijo que indica formato binario 
bin 100101 Prefijo que indica formato binario 
1001012 Subíndice que indica base 2, o bien, binaria 
 %100101 Prefijo que indica formato binario 
0b100101 
Prefijo que indica formato binario, usado 
comúnmente en lenguajes de programación 
 
 
El uso del sistema numérico binario es ideal en los sistemas digitales, ya que la 
electrónica digital permite que una computadora manipule simples señales eléctricas 
de encendido y apagado, es por eso que se acostumbra representar los dígitos 
binarios (bits) de esta manera: 
 
 1 = encendido = ON o también= alto = H 
 0 = apagado = OFF o también= bajo = L 
 
Si queremos dominar debidamente la electrónica digital y ramas afines, es importante 
que podamos memorizar, por lo menos, algunos números en binario, especialmente 
los primeros, de manera tal que también podamos aprender a contar en este sistema 
numérico, lo que sería de gran ayuda, cuando vayamos a realizar diferentes 
operaciones en base a éste. 
 
 
 
 
 
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Unidad - 3 
Si repasamos la manera en que contamos en decimal, veremos que es similar en 
binario: 
 
� Se enlistan de manera ordenada los dígitos desde el 0 hasta el 9. 
 
� Al llegar al 9, se repite el paso 1 pero incrementando en uno el dígito en la 
columna de la izquierda cada vez que se llegue al 9. Se hace esto hasta agotar 
otra vez los dígitos en esta posición (hasta llegar al 99). 
 
� Se repiten los pasos 1 y 2 incrementando en uno el dígito de la izquierda cada 
vez que se alcance en las primeras dos columnas el 99, hasta llegar al 999, etc. 
 
Este proceso se ilustra en la siguiente tabla para el sistema binario: 
 
Binario Comentario 
 0 Se enlistan los dígitos del 0 al 1 
 1 Se agotan los dígitos para la primera columna 
 10 Se incrementa la segunda 
 11 Se agotan los dígitos para la 1era.y 2da. columnas 
 100 Se incrementa la tercera 
 101 
 110 
 111 Se agotan los dígitos para la 1a., 2a. y 3a. columnas 
 1000 
 1001 
 1010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sistema de numeración octal 
 
La representación de números binarios presenta el inconveniente de generar cifras 
muy largas. En estos casos, los sistemas de numeración octal y hexadecimal, 
también llamados intermedios, resultan muy convenientes para representar las cifras 
numéricas. 
 
Más adelante veremos cómo, con el uso de estos sistemas numéricos intermedios 
podemos reducir significativamente las cifras binarias y hacer más cómoda la 
escritura de estas. 
 
El sistema de numeración octal representa los números mediante ocho dígitos 
diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, al igual que en los demás 
sistemas, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupe. El valor de cada una de 
las posiciones viene determinado por las potencias de base 8. 
 
En el cuadro de la derecha pueden notar que los 7 primeros 
números del sistema decimal u octal se representan con 
tres dígitos en el sistema binario. Por lo que convertir un 
número entre estos sistemas de numeración equivale a 
"expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o 
"contraer" grupos de tres caracteres binarios a su 
correspondiente dígito octal. 
 
Es por esto que los sistemas de numeración octal y 
hexadecimal, también encuentran amplias aplicaciones en 
los sistemas digitales, como veremos, ambos sistemas 
numéricos tienen la ventaja de que pueden convertirse muy fácilmente al binario y 
viceversa. 
DEC. OCTAL BIN. 
0 0 000 
1 1 001 
2 2 010 
3 3 011 
4 4 100 
5 5 101 
6 6 110 
7 7 111 
 
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Sistema de numeración hexadecimal 
 
En la tabla de equivalencias de estos sistemas numéricos, nos damos cuenta de que 
el sistema hexadecimal integra dieciséis símbolos válidos para representar los 
números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F, donde los caracteres A, B, C, D, E 
y F, representan las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, 
debido a que no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. 
 
El valor de cada uno de estos símbolos, también depende de su posición, que se 
calcula mediante potencias de base 16. Tomando el siguiente cuadro desde la tabla 
de equivalencias, vemos que para cada dígito hexadecimal existen sus equivalentes 
cuatro dígitos binarios: 
 
BINARIO HEXA 
DECIMAL 
0000 0 
0001 1 
0010 2 
0011 3 
0100 4 
0101 5 
0110 6 
0111 7 
1000 8 
1001 9 
1010 A 
1011 B 
1100 C 
1101 D 
1110 E 
1111 F 
 
Por tanto, cuando convertimos de hexadecimal a binario, lo que hacemos es 
aumentar cada dígito hexadecimal en cuatro dígitos binarios, mientras que a lo 
inverso, de binario a hexadecimal, se disminuyen cuatro dígitos binarios a un dígito 
hexadecimal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidad - 3 
¿Pero cuántos números podemos representar con una cantidad determinada de 
dígitos en cada sistema? 
 
La cantidad exacta de dígitos necesarios para representar un número, dado en 
cualquiera de los sistemas numéricos especificados, se determina con la siguiente 
regla general: 
 
Con n dígitos se pueden representar (x)n números, siendo x la base del sistema 
usado (2, 8,10 ó 16) y el número más grande que se puede escribir con n dígitos es 
xn–1. 
 
Por ejemplo: si queremos saber cuántos números podemos representar con tres bits 
en el sistema numérico binario, aplicando la regla: (x)n, tenemos que: 23=8. 
 
Esto decir que con tres dígitos binarios, sólo podemos representar 8 números. 
 
Y para saber cuál de esos 8 números es el mayor, sustituimos: 
23-1=7, 
 
Esto decir que 7 es el número mayor que se puede representar con tres bits. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conversiones 
 
De decimal a: binario, octal y hexadecimal. 
 
Para convertir un número decimal a cualquiera de los sistemas numéricos indicados, 
podemos utilizar el Método de divisiones sucesivas, que consiste en realizar 
divisiones entre la base sucesivamente y escribir los restos obtenidos en cada 
división en orden inverso, ese resultado es el número que buscamos. 
 
De decimal a binarioDe decimal a binarioDe decimal a binarioDe decimal a binario 
 
1. Convertir el número (86)10 a binario. 
 
 86/2= 43 Resto:0 
43/2= 21 Resto: 1 
21/2= 10 Resto: 1 
10/2= 5 Resto: 0 
5/2= 2 Resto: 1 
2/2= 1 Resto: 0 
1/2= 0 Resto: 1 
 
Tomando los restos obtenidos en orden inverso tenemos la cifra: 
(1010110)2 
 
 
2. Convertir el número (156)10 a binario. 
 
156156156156 2 
16 78 2 
0000 18 39 2 
 0000 19 19 2 
 1111 1111 9 2 
 1111 4 2 
15615615615610101010 = = = = 111100111001110011100111000000002222 
 
 0000 2222 2 
 00001111 
Ver video tutorial: 
http://www.youtube.com/watch?v=aogt_pNmc78&feature=relat 
 
 
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De decimal a octal 
 
 
1. Convertir el número (174)10 a octal. 
 
 
 174 ÷ 8 = 21 Resto: 6 
 21 ÷ 8 = 2 Resto: 5 
 2 ÷ 8 = 0 Resto: 2 
 
Tomando los restos obtenidos en orden inverso tenemos la cifra: 
 
(256)8 
 
 
2. Convertir el número (2471)10 a octal. 
 
 
2471 8 
071 308 8 
7777 68 38 8 
 4444 6666 4 8 
 4444 0 
 
Tomando los restos obtenidos en orden inverso tenemos la cifra: 
 
(4647)8 
 
Ver video tutorial: 
http://www.youtube.com/watch?v=ekKVHguZci4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidad - 3 
De decimal a hexadecimal 
 
 
1. Convertir el número (2850)10 a hexadecimal. 
 
2850 16 
125 178 16 
130 18 11 16 
 2222 2222 11111111 0 
 
También podemos verlo de la siguiente manera: 
 
2850 ÷ 16 = 178 resto 2 
 178 ÷ 16 = 11 resto 2 
 11 ÷ 16 = 0 resto 11 
 
Tomando los restos obtenidos en orden inverso tenemos la cifra: 1122. Sustituimos 
el 11, que equivale, según la tabla a la letra B: 
(2850)10 = (B22)16 
 
2. Convertir el número (24,048)10 a hexadecimal. 
 
24048 16 
080 1503 16 
0048 63 93 16 
0000 15151515 13131313 5555 
 
También podemos verlo de la siguiente manera: 
 
24048 ÷ 16 = 1503 resto 0 
 1503 ÷ 16 = 93 resto 15 
 93 ÷ 16 = 5 resto 13 
 5 ÷ 16 = 0 resto 5 
 
En orden inverso, se forma la cifra: 513150. Sustituimos el 13 y el 15, que equivalen, 
según la tabla, a las letras DF 
(24048)10 = (5DF0)16 
 
Ver video tutorial: 
http://www.youtube.com/watch?v=lSnREqik7RI&feature=related 
 
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Unidad - 3 
En el caso de las conversiones de decimal a binario, también podemos utilizar el 
Método de distribución, que consiste en colocarle un uno (1) a las potencias 
sucesivas de la base, de mayor a menor, cuya suma sea igual al número decimal a 
convertir, comenzando con la inferior más cercana a éste, y ceros a las demás. 
(Recuerden que si el dígito binario es uno indica encendido/sí y si es cero indica 
apagado/no). O sea que los valores a los que asignemos un uno deben ser tomados 
en cuenta en la suma de las potencias y a los que asignemos un cero, no. 
 
La siguiente tabla será de gran ayuda cuando vayamos a utilizar el método de 
distribución. 
 
 
 
 
 
1. Usemos el número 86, del ejercicio anterior. 
 
 
En este caso necesitaremos las 6 primeras potencias de 2, ya que 27 = 128, 
superior al número a convertir. 
 
Utilizando la tabla anterior, se comienza asignándole un 1 en la potencia 6, cuyo 
resultado es igual a 64, decimal más cercano a 86; a la potencia 5 se le coloca un 
cero (0), debido a que 25= 32 que sumado a 64 es superior a 86; a la potencia 4 se le 
coloca un uno (1), ya que 24=16 y 64+16=80 es inferior a 86; a la potencia 3 se le 
coloca un cero (0), porque 23=8 y 80+8=88 es superior a 86; a la potencia 2 se le 
coloca un uno (1), en razón de que 22=4 y 80+4=84 menor que 86; a la potencia 1 se 
le coloca un uno (1), puesto que 21=2 y 84+2=86; finalmente a la potencia 0 le 
corresponde un cero (0), ya que 20=1 y 86+1=87 es superior a 86. 
 
26 25 24 23 22 21 20 
64 32 16 8 4 2 1 
1 0 1 0 1 1 0 
 
En este ejemplo, esas potencias son: 26=64, 24=16, 22=4 y 21=2, que sumadas 
dan como resultado el número buscado: 
 
64+16+4+2=86 
 
(86)10= (1010110)2 
27 26 25 24 23 22 21 20 
128 64 32 16 8 4 2 1 
 
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Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
 
2. Convertir a binario el número (156)10. 
 
27 26 25 24 23 22 21 20 
128 64 32 16 8 4 2 1 
1 0 0 1 1 1 0 0 
 
128+16+8+4=156 
 
(156)10= (10011100)2 
 
Ver el video tutorial: 
http://www.youtube.com/watch?v=KySjjvBEDaA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
De binario, octal y hexadecimal a: decimal. 
 
Para convertir un número de cualquiera de los sistemas numéricos indicados a 
decimal, podemos utilizar el método de suma de potencias, en el cual cada dígito 
de la cifra numérica dada, representa, en base 10, un valor que depende de su 
posición, el que se obtiene multiplicándolo por la base (2, 8 ó 16) elevado a la 
posición que ocupa el número menos uno, contando de derecha a izquierda. 
 
El número decimal correspondiente se obtiene sumando los productos resultantes de 
esta operación. 
 
 
De binario a decimal. 
 
 
1)1 Convertir el número (1011)2 a decimal. 
 
23 22 21 20 
8 4 2 1 
1 0 1 1 
8 0 2 1 
11 
 
1*24-1 + 0*23-1 + 1*22-1 + 1*21-1, es decir: 
1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 
 8 + 0 + 2 + 1 =11 
 (1011)2= (11)10 
 
 
1)2 Convertir el número (111001)2 a decimal. 
 
25 24 23 22 21 20 
32 16 8 4 2 1 
1 1 1 0 0 1 
32 16 8 0 0 1 
57 
 
1*26-1+1*25-1+1*24-1 + 0*23-1 + 0*22-1 + 1*21-1, es decir: 
1*25 +1*24 +1*23 + 0*22 + 0 *21 + 1*20 = 
 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 =57 
(111001)2= (57)10 
 
 
 
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Unidad - 3 
De octal a decimal. 
 
 
1) Convertir el número (345)8 a decimal 
 
82 81 80 
64 8 1 
3 4 5 
192 32 5 
229 
 
 
 3*82 + 4*81 + 5*80 = 
 192 + 32 + 5 = 22910 
 
 (345)8 = (229)10 
 
 
2) Convertir el número (4647)8 a decimal. 
 
83 82 81 80 
512 64 8 1 
4 6 4 7 
2048 384 32 7 
2471 
 
 4*83 + 6*82 + 4*81 + 7*80 = 
 2048 + 384 + 32 + 7 = 2471 
 
(4647)8 = (2471)10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
De hexadecimal a decimal. 
 
 
1) Convertir el número (B22)16 a decimal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B*162 + 2*161 + 2*160 
 11*256 + 2*16 + 2*1 = 2850 
 
 (B22)16= (2850)10 
 
 
2) Convertir el número (C130)16 a decimal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 C*163 + 1*162 + 3*161 + 0*160 
 12*4096 +1*256 + 3*16 + 0*1 = 49,456 
 
 (C130)16=(49,456)10 
 
 
Ver video tutorial: 
http://www.youtube.com/watch?v=Adxz0FtLLCc&feature=related 
 
162 161 160 
256 16 1 
11 2 2 
2816 32 2 
2850 
163 162 161 160 
4096 256 16 1 
12 1 3 0 
49152 256 48 0 
49456 
 
 18 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
De binario a: octal y hexadecimal 
 
De binario a octal. 
 
Para convertir un número binario a octal, podemos utilizar dos métodos: 
 
� Método de sustitución: En el que primero, se divide la cifra 
dada en grupos de tres bits y luego, se sustituye ese valor 
por su equivalente octal, en esta tabla de equivalencias: 
 
 
DEC. OCTAL BIN. 
0 0 000 
1 1 001 
2 2 010 
3 3 011 
4 4 100 
5 5 101 
6 6 110 
7 7 111 
 
1) Convertir el número (101100100010)2 a octal. 
 
0102 = 28 
1002 = 48 
1002 = 48 
1012 = 58 
 
(101100100010)2 = (5442)8 
 
2) Convertir el número (110111011110)2 a octal. 
 
1102 = 68 
0112 = 381112 = 78 
1102 = 68 
 
(110111011110)2 = (6736)8 
Ver video tutorial: 
http://www.youtube.com/watch?v=ADeaZtuCNe0 
 
 
 
Al dividir la cifra 
binaria, debemos 
comenzar desde la 
derecha. 
Tomamos los 
resultados 
obtenidos en orden 
inverso, tal como 
indica la flecha. 
 
 19 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
� Método de suma de potencias. Después que dividimos la cifra binaria en 
grupos de tres bits, utilizamos este método tal como lo hemos hecho 
anteriormente, es decir, multiplicando cada dígito por la base (2) elevada a la 
posición que ocupa el número menos uno, contando de derecha a izquierda, 
donde el resultado de cada grupo representa un dígito del número octal que 
buscamos. Ese dígito se obtiene sumando los productos resultantes en cada 
grupo. 
 
 
 
1) Convertir el número (101100100010)2 a octal. 
 
 
1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 
22 21 20 22 21 20 22 21 20 22 21 20 
4 0 1 4 0 0 4 0 0 0 2 0 
5 4 4 2 
 
(101100100010)2 = (5442)8 
 
 
2) Convertir el número (110111011110)2 a octal. 
 
 
1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 
22 21 20 22 21 20 22 21 20 22 21 20 
4 2 0 4 2 1 0 2 1 4 2 0 
6 7 3 6 
 
(110111011110)2 = (6736)8 
 
 20 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
De binario a hexadecimal 
 
Para convertir un número binario a hexadecimal, podemos utilizar dos métodos: 
 
� Método de sustitución: En el que primero, se divide la cifra dada en grupos de 
cuatro bits y luego, se sustituye ese valor por su equivalente hexadecimal, en 
esta tabla de equivalencias: 
 
BINARIO HEXA 
DECIMAL 
0000 0 
0001 1 
0010 2 
0011 3 
0100 4 
0101 5 
0110 6 
0111 7 
1000 8 
1001 9 
1010 A 
1011 B 
1100 C 
1101 D 
1110 E 
1111 F 
 
 
1) Convertir el número (110111011110)2 a hexadecimal. 
 
11102 = E16 
11012 = D16 
11012 = D16 
 
(110111011110)2 = (DDE)16 
 
2) Convertir el número (10000110000100)2 a hexadecimal. 
 
01002 = 416 
10002 = 816 
00012 = 116 
00102 = 216 
 (10000110000100)2 = (2184)16 
Ver video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=r2XrzadqsW8 
 
 
Si al dividir la 
cifra en grupo de 
tres o de cuatro, 
en las 
conversiones de 
binario a octal y a 
hexadecimal, 
queda un grupo 
incompleto como 
en este ejemplo, 
podemos 
completar con 
ceros. Es 
opcional. 
 
 21 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
Método de suma de potencias. Después que dividimos la cifra binaria en grupos 
de cuatro bits, utilizamos este método tal como lo hemos hecho anteriormente, es 
decir, multiplicando cada dígito por la base (2) elevada a la posición que ocupa el 
número menos uno, contando de derecha a izquierda, donde el resultado de cada 
grupo representa un dígito del número que hexadecimal que buscamos. Ese dígito 
se obtiene sumando los productos resultantes en cada grupo. 
 
 
1) Convertir el número (110111011110)2 a hexadecimal. 
 
 
1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 
23 22 21 20 23 22 21 20 23 22 21 20 
8 4 0 1 8 4 0 1 8 4 2 0 
13 13 14 
 
(110111011110)2 = (DDE)16 
 
 
2) Convertir el número (10000110000100)2 a hexadecimal. 
 
 
0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 
23 22 21 20 23 22 21 20 23 22 21 20 23 22 21 20 
0 0 2 0 0 0 0 1 8 0 0 0 0 4 0 0 
2 1 8 4 
 
(10000110000100)2 = (2184)16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
De octal y hexadecimal a: binario 
 
De octal a binario 
 
La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, 
reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para 
convertir el número 54428 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de 
sus dígitos. 
 
OCTAL BINARIO 
0 000 
1 001 
2 010 
3 011 
4 100 
5 101 
6 110 
7 111 
 
 
1) Convertir el número (5442)8 a binario. 
 
58 = 1012 
48 = 1002 
48 = 1002 
28 = 0102 
 
(5442)8 = (101100100010)2 
 
 
 
2) Convertir el número (6736)8 a binario. 
 
68 = 1102 
78 = 1112 
38 = 0112 
68 = 1102 
 
(6736)8 = (110111011110)2 
 
 
 
 
Al escribir el 
resultado binario 
debemos comenzar 
de arriba hacia 
abajo. 
 
 23 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
De hexadecimal a binario 
 
Las conversiones entre números hexadecimales y binarios, podemos hacerla de igual 
forma, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes. Por 
ejemplo, para convertir el número BEBE16 a binario, tomaremos el equivalente en el 
sistema binario de cada uno de sus dígitos. 
 
BINARIO HEXA 
DECIMAL 
0000 0 
0001 1 
0010 2 
0011 3 
0100 4 
0101 5 
0110 6 
0111 7 
1000 8 
1001 9 
1010 A 
1011 B 
1100 C 
1101 D 
1110 E 
1111 F 
 
1) Convertir el número (BEBE)16 a binario. 
 
B16 = 10112 
E16 = 11102 
B16 = 10112 
E16 =11102 
 
(BEBE)16 = (1011111010111110)2 
 
2) Convertir el número (9CEA2)16 a binario. 
 
916 = 10012 
C16 = 11002 
E16 = 11102 
A16 = 10102 
216 = 00102 
 
(9CEA2)16 = (10011100111010100010)2 
 
Al escribir el 
resultado binario 
debemos comenzar 
de arriba hacia 
abajo. 
 
 24 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
Operaciones con números binarios 
 
 
Suma de números binarios 
 
Antes de aprender a sumar en binario, debemos memorizar las posibles 
combinaciones que se dan al sumar en este sistema numérico, de la misma forma en 
que lo hicimos cuando, de niños, queríamos aprender a sumar en decimal, con la 
ventaja de que en el binario, las combinaciones posibles, son mucho menos, pues 
sólo cuenta con dos dígitos, por lo que es más fácil. 
 
Las posibles combinaciones se determinan con la siguiente regla: 
 
Posibles combinaciones entre números = 2n, donde n= a la base del sistema o lo que 
es lo mismo, la cantidad de números con que cuenta el sistema. En este caso 2 
(0,1), que son los únicos dígitos válidos en el sistema binario. Es decir que: 
 
Posibles Combinaciones= 22=4 
 
Las sumas básicas en binario, entonces, se reflejan en esta tablita: 
 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 10 
 
En esta tabla podemos notar que al sumar 1 + 1 el resultado es 
10, que parece 1010, pero sabemos que es 2 en el sistema 
decimal, que en binario se escribe con dos cifras (10). Esto se 
hace de la misma forma que lo hacemos en el sistema decimal 
(9+1=10), acarreando o arrastrando una unidad a la siguiente 
posición de la izquierda. Como no hay más dígitos, entonces 
comenzamos a combinar con los que tenemos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acarreo: en 
aritmética, se 
refiere al hecho de 
llevar o transferir 
un dígito de una 
columna a otra. 
 
 25 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
 
1) Sumar las siguientes cifras binarias 
 
 1 (acarreo) 
(1000100)2 64+ 0+0+0+4+0+0=68 
(0100101)2 0 +32+0+0+4+2+1=37 
(1101001)2 (105)10, 
 
Verificando: 
 
26 25 24 23 22 21 20 
64 32 16 8 4 2 1 
64+32+ 0 + 8+0+0+1= (105)10, 
 
Cuando hay un 1 en la cadena de bits, quiere decir que es un sí o que está 
encendido, por tanto el valor correspondiente es incluido en la suma. 
 
2) Sumar las siguientes cifras binarias 
 
 1 (acarreo) 
(1010111)2 64+0+16+0+4+2+1 =87 
(0011100)2 0 +0+16+8+4+0+0 =28 
(1110011)2 (115)10 
 
Verificando:26 25 24 23 22 21 20 
64 32 16 8 4 2 1 
64+32+16+0+0+2+1= (115)10 
 
Otra forma, que tal vez les parezca más sencilla es convertir la operación binaria en 
una operación decimal, resolver el decimal, y después transformar el resultado en un 
número binario. 
 
1) Sumar las siguientes cifras binarias 
 
 
 a) 48 110000 b) 78 1001110 
 17 10001 42 101010 
 65 1000001 120 1111000 
 
 
Ver video tutorial: 
http://www.youtube.com/watch?v=UsI3sLUNeLk 
 
 26 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
 
Resta de números binarios 
 
Esta operación en sistema binario es igual que en el sistema decimal. Los términos 
que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. 
 
Regla: combinaciones posibles=2n=22=4 
 
Las restas básicas en binario 
 
 
Cuando restamos nos. Iguales la diferencia=0 
 
 
Recuerda: 10 es la representación de 2 en binario. 
 
Ejemplo 
 
 
Minuendo 
 
Sustraendo 
 
 
 
 
 
En el primer cuadro, con los números en color rojo tratamos de mostrar cómo cambia 
el valor de la celda durante el proceso de la operación de la resta que se muestra en 
el segundo cuadro: 
 
Al igual que en el sistema decimal, se comienza a restar desde la derecha: 1-1=0, 1-
0=1, luego, aparece la irregularidad 0-1 y al no poder restar 1 de 0, el minuendo le 
toma 1 prestado a la siguiente columna del sustraendo y se forma el número 10 y 
decimos 10-1=1, porque 10 en binario es 2 y 2-1=1. El 1 que tomamos prestado se 
devuelve a la siguiente columna, en la que el 1 devuelto se suma con el 1 de la celda 
(1+1=10), entonces restamos 1-0=1 y se acarrea o se lleva 1, nuevamente. En la 
última columna, tenemos que (1-1=0) uno de la celda y uno del acarreo. 
 
 
Ver video tutorial: 
http://tu.tv/videos/resta-de-numeros-binarios 
 
 
 
0 - 0 = 0 
1 - 1 = 0 
1 - 0 = 1 
0 - 1 = 10 
1 1 10 1 1 
1 
0 
1+1=10 
1 0 1 
0 1 1 1 0 
1 1 0 1 1 
 1 1 0 1 
0 1 1 1 0 
 
 27 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
 
 
1) Restar las siguientes cifras binarias. 
 
 1 (unidad prestada de la posición anterior) 
(10101)2 16+0+4+0+1=21 
(01001)2 0+8+0+0+1= 9 
(01100)2 1210 
 
Verificando: 
 
24 23 22 21 20
 
16 8 4 2 1 
0+8+4+0+0=1210 
 
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores, podemos 
utilizar los siguientes métodos: 
 
 
���� Dividiendo los números largos en varios grupos. En el siguiente ejemplo, 
vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas: 
 
 1 Resta larga 3 restas cortas 
 
 100111011101 1001 1101 1101 
 100010011000 1000 1001 1000 
 000101000101 0001 0100 0101 
 
 
���� Utilizando el complemento a dos (C2). El complemento a dos de un número N, 
es utilizado, normalmente en las restas de números binarios para convertirlas en 
suma, con el objetivo de facilitar estas operaciones, que a veces pueden resultar 
muy complicadas por el acarreo. 
 
Este se obtiene al escribir el sustraendo de derecha a izquierda de forma normal, 
hasta llegar al primer dígito igual a 1, a partir del cual se invierten los demás 
dígitos que siguen, es decir, donde hay un cero, se coloca un 1 y viceversa. Este 
número se le sumará al minuendo de la resta binaria. 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
 
 
2) Restar las siguientes cifras binarias. 
 
 1000010000 1000010000 
 0010001100 el C2 de 0010001100 es 1101110100 1101110100 
 0110000100 10110000100 
 
 
 
Como vimos en el ejemplo anterior, cuando el sustraendo tiene menos dígitos que el 
minuendo, se completa con ceros a la izquierda para que tengan la misma cantidad, 
porque al utilizar el complemento a dos de un número, los sumandos deben tener la 
misma cantidad de dígitos. 
 
 
El bit sobrante a la izquierda en el resultado de la suma, se desprecia, ya que el 
número resultante no puede ser más largo que el minuendo de la resta. 
 
 
 
3) Restar las siguientes cifras binarias. 
 
 11000011 11000011 
 00101000 el C2 de 00101000 es 11011000 11011000 
 10011011 110011011 
 
 
Para su mejor comprensión ver el siguiente tutorial: 
 
 
Ver video tutorial: 
http://www.youtube.com/watch?v=crZEBYXNpDQ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
 
 
 
Producto de números binarios 
 
Tabla de multiplicar para números binarios: 
 
 
Recuerda: que multiplicar por 0=0. Y que la unidad es el elemento neutro 
de la multiplicación. 
 
 
 
 
Para multiplicar números binarios, el procedimiento es igual que con números 
decimales, pero más fácil, pues sólo usamos los dígitos ceros y unos, que siempre 
darán como resultado ceros y unos. Veamos: 
 
 
1) Multiplicar 11100001 por 11. 
 
 11100001 
 11 
 11100001 
 11100001 
 1010100011 
 
 
 
2) Multiplicar 110110 por 1011. 
 
 110110 
 1011 
 110110 
 110110 
 000000 
 110110 
 1001010010 
 
Ver video tutorial: 
http://www.youtube.com/watch?v=YHKlkbuwkNo&feature=related 
 
 
 
0 x 0 = 0 
1 x 1 = 1 
1 x 0 = 0 
0 x 1 = 0 
 
 
 30 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
 
 
 
División de números binarios 
 
Igual que en decimal. Sólo que la resta debe ser expresada. 
 
 
 
1) Dividir el número (1000011100)2 entre (1000)2. 
 
 
1000011100 1000 
1000 1000011 
000001110 
 1000 
 01100 
 1000 
 0100 
 
 
 
2) Dividir el número (101100001110)2 entre (1001011)2: 
 
 
101100001110 1001011 
1001011 100101 
0001101011 
 1001011 
 010000010 
 1001011 
 0110111 
 
 
 
Ver video tutorial: 
http://www.youtube.com/watch?v=RPQZsPuszBc 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
 
 
 
Bibliografía Consultada 
 
 
Cisco System, Inc., Tutorial/Manual de Cisco semestre 1, CCNA, módulo Matemática 
de Redes, edición 2008. 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n 
 
 
Sitios Webs Sugeridos: 
 
http://www.youtube.com/watch?v=KySjjvBEDaA 
 
 
Conversiones 
 
Por divisiones sucesivas 
 
De decimal a binario 
 
http://www.youtube.com/watch?v=aogt_pNmc78&feature=relat 
 
De decimal a octal 
 
http://www.youtube.com/watch?v=ekKVHguZci4 
 
De decimal a hexadecimal 
 
http://www.youtube.com/watch?v=lSnREqik7RI&feature=related 
 
Por divisiones sucesivas 
 
De decimal a: binario, octal y hexadecimal 
 
Por tabla de potencias 
 
De binario, octal y hexadecimal a: decimal 
 
http://www.youtube.com/watch?v=Adxz0FtLLCc&feature=related 
 
Por sustitución 
 
De binario a octal 
 
 32 
 
Introducción al Procesamiento de Datos Raquel Hernández 
Los sistemas numéricos y su aplicación al computador 
 
Unidad - 3 
 
http://www.youtube.com/watch?v=ADeaZtuCNe0 
 
 
De binario a hexadecimal 
 
http://www.youtube.com/watch?v=r2XrzadqsW8 
 
 
Operaciones 
 
Suma de números binarios 
 
http://www.youtube.com/watch?v=UsI3sLUNeLk 
 
Resta de números binarios 
 
http://tu.tv/videos/resta-de-numeros-binarios 
 
Complemento a dos 
 
http://www.youtube.com/watch?v=crZEBYXNpDQ 
 
Multiplicación de números binarios 
 
http://www.youtube.com/watch?v=YHKlkbuwkNo&feature=relatedDivisión de números binarios 
 
http://www.youtube.com/watch?v=RPQZsPuszBc