Ficha_olimpiadas_de_astronomia

Vista previa del material en texto

Ficha de ecuaciones para olimṕıadas de astronomı́a:
Leyes de la radiación:
Luminosidad (L):
L =
E
t
= [W ] =
[J
s
]
siendo E la cantidad de enerǵıa radiada en el tiempo t.
Brillo/Flujo/Intensidad (F):
F =
E
A.t
=
L
A
=
[W
m2
]
A = 4.π.r2
siendo A la superficie del cuerpo.
Magnitud relativa/aparente (m):
F1
F2
= cm2−m1 con c =
5
√
100
5
2
. log
(F1
F2
)
+m1 = m2
Magniutd absoluta (M): ley de Pogson
−5 · log(d⋆) + 5 +m⋆ = M⋆ M⋆ = [−8; 17]
r = 10
5+m−M
5
con d⋆ distancia a la estrella en parsecs.
5
2
. log
(L1
L2
)
+M1 = M2
Magnitud bolométrica (Mb,mb): es la magnitud absoluta/aparente si esta pudiera medirse
en ausencia de atmósfera y en todas las longitudes de onda.
Índice de color de una estrella:
iBV = mB −mV = [−0, 4; 5]
Donde:
Ultravioleta: mU , máxima sensibilidad en λU = 365 nm.
Blue (azul): mB, máxima sensibilidad en λB = 440 nm.
Visible: mV , máxima sensibilidad en λV = 548 nm.
1
siendo mb y mv las magnitudes respecto a la intensidad en el azul (B) y el visible (V). Si
iBV es más chico la estrella es azul, si está más cerca de 5 es roja.
Se cumple que si la estrella es del tipo espectral A0 entonces:
mU = mB = mV → (mB −mV ) = (mU −mB) = iBV = iUB = 0
Ley de Wien:
T.λmáx = 2, 9 · 10−3 K.m
siendo T la temperatura del cuerpo y λmáx la longitud de onda correspondiente a la inten-
sidad máxima.
Ley de Stefan-Boltzmann:
F = σ.T 4 =
[W
m2
]
siendo F la enerǵıa radiada por el cuerpo por unidad de área y unidad de tiempo, σ la
constante de Boltzmann y T la temperatura efectiva.
Consecuencia:
L = A.F = A.σ.T 4
e = 4.π.r2.σ.T 4
e = φ.r2.T 4
e con φ = 4.π.σ
siendo Te la temperatura efectiva (temperatura si radiara como un cuerpo negro).
Ley de Planck:
Fν(ν, T ) =
8.π.h.ν3
c2
.
1
e
h.ν
k.T − 1
siendo F la intensidad asociada a la frecuencia ν y temperatura T , h la constante de Planck,
c la velocidad de la luz en el vaćıo y k la constante de Boltzmann.
Propiedades de los cuerpos:
Emisividad/emitancia (ε): proporción de radiación que emite un cuerpo respecto de
lo que emitiŕıa si fuera un cuerpo negro.
ε =
radicación emitida por un cuerpo
radiación emitida si fuera un cuerpo negro
Absortividad/absorvancia (α): proporción de la radiación que incide sobre un cuerpo
y es absorvida por él.
Reflectividad (ρ): proporción de la radición que incide sobre un cuerpo y es reflejada
por él. Para cuerpos negros ρ = 0.
Transmitividad/transmitancia/transmitencia (τ): proporción de la radiación que inci-
de sobre un cuerpo y acaba transmitiéndose a través de él sin ser absorbida ni reflejada.
Para cuerpos opacos τ = 0.
2
Para todos los cuerpos se cumple que: α + ρ+ τ = 1.
Albedo: es la relación entre la cantidad de luz reflejada y la incidente por una superficie.
0 es una superficie que no refleja la luz (cuerpo negro) y 1 una superficie que refleja
toda la luz (cuerpo blanco).
Todas estas magnitudes son adimensionales.
Astrof́ısica:
Radio de Schwarzschild:
Rs =
2.G.M
c2
Efecto Doppler:
vr =
(f − f0
f0
)
· c =
−∆f
f0
· c =
(λ− λ0
λ0
)
· c =
∆λ
λ0
· c = Z · c
siendo vr la velocidad del cuerpo, λ0 la longitud de onda inicial, λ la medida y Z el corri-
miento al rojo (redshift).
Forma relativista:
f0 = f.
√
√
√
√
1− v/c
1 + v/c
Ley de Hubble: v = H0.d
siendo v la velocidad con la que se aleja el cuerpo y d su distancia desde cualquier punto.
Ley de gravitación universal:
~F =
G.M1.M2
d2
F́ısica atómica:
vluz en el vaćio = c = λ.ν
siendo λ la longitud de onda y ν la frencuencia.
Enerǵıa de un fotón:
E =
h.c
λ
= h.ν
E =
n.h.c
λ
con n = 1, 2, 3, 4, ...
Expresión para el momento angular de un electrón (Le− , como part́ıcula puntual):
Le− = me− .v.r = n.h̄
3
siendo n = 1, 2, 3, ... el nivel del orbital atómico.
Fórmula de Rydberg:
R∞.
( 1
n2
−
1
m2
)
=
1
λ
siendo n y m los números de los niveles atómicos inferior y superior respectivamente, λ la
longitud de onda del fotón con la enerǵıa necesaria y R∞ la constante de Rydberg.
Óptica:
Ley de refracción: î = r̂
siendo î y r̂ los ángulos de incidencia y de refracción de la luz respecto a la normal al espejo
respectivamente.
Poder de resolución/resolución angular (θ): sen θ = 1,22.λ
D
donde λ es la longitud de onda y D el diámentro del espejo.
Ley de Snell: n1.sen(̂i) = n2.sen(r̂) Índice de refracción: ni =
c
vi
Aumento angular (A): A = dfob
dfoc
= β
α
Razón focal: f
D
Apertura relativa: D
f
Escala de placa: α′′
1 mm
En espejos curvos: f = r
2
Dioptŕıas: P = ± 1
f
=
[
1
m
]
= [Dp] siendo + si es convergente y − si es divergente.
Ecuación de los focos conjugados para espejos esféricos:
1
f
=
2
r
=
1
I
+
1
O
Ecuación para lentes delgadas:
n1
O
+
n2
I
=
n2 − n1
n1
.
( 1
r1
−
1
r2
)
=
1
f
Ecuación de focos conjugados para un lente de radio r:
n1
O
+
n2
I
=
n2 − n1
r
siendo en todos los casos f la distancia focal, D el diámetro, I la distancia de la imagen a
la lente y O la distancia del objeto a la lente, n1 el ı́ndice de difracción del medio y n2 el
ı́ndice de difracción del medio, r el radio de cara cada de la lente.
Mecánica celeste:
1ra. ley de Kepler: todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describriendo
órbidas eĺıpticas. El sol se encuentra en uno de los focos de la elipse.
4
2da. ley de Kepler: dA
dt
= cte.
todos los cuerpos en órbita barren áreas iguales (A) en tiempos iguales.
3ra. ley de Kepler:
d3
P 2
= cte. ∼= 1
U.A.3
año2
siendo solo para el sistema solar, con d la distancia media al sol y P el peŕıodo de
revolución.
Expresión general:
d31
P 2
1
=
d32
P 2
1
tomando como hipótesis mplaneta ≈ 0 y eórbita = 0.
Con Newton:
4.π2.d3
P 2
= G.(M +m)
siendo M y m las masas de los cuerpos que se orbitan y G la constante de gravitación
universal.
Enerǵıa mecánica/Enerǵıa total (E):
E = Ec + Ep =
1
2
.m.v2 −
G.M.m
r
con m la masa del cuerpo considerado, v su velocidad, M el cuerpo al cual orbita y r la
distancia a este cuerpo. Considerando m << M :
E = −
G.M.m
2.a
siendo a el semieje mayor de la elipse que recorre el cuerpo.
Velocidad de escape para una órbita circular:
vescape =
2.G.M
r
Ley de Titius-Bode:
D = 0, 4 + 0, 3 · 2n = [U.A.] n = −∞, 0, 1, 2, 3, ...
siendo D la distancia del sol al planeta y n según el orden del planeta desde el sol.
Excentricidad de una elipse (e):
e =
c
a
=
√
a2 − b2
a
siendo c la distancia del centro al foco, a el simieje mayor y b el semieje menor.
5
e = [0; 1]
a = b → e = 0 y la elipse es un ćırculo
c = a → e = 1 y es una parábola
Paralaje (π): tg(π) = d⊕−⊙
d⊙−⋆
Peŕıodo sinódico:
Planetas inferiores: 1
Tsin
= 1
Tsidp
− 1
Tsid⊕
Tsin < Tsid⊕
Planetas superiores: 1
Tsin
= 1
Tsid⊕
− 1
Tsidp
Tsin > Tsid⊕
Generalización: 1
Tsin
=
∣
∣
∣
1
Tsidp
− 1
Tsid⊕
∣
∣
∣
Ángulo horario:
HT = Hestrella + αestrella
siendo Hestrella y αestrella los respectivos ángulo horario y ascensión recta de la estrella.
Ecuaciones de trigonometŕıa esférica:
cos(a) = cos(b). cos(c) + sen(b). sen(c). cos(A)
sen(a). cos(B) = sen(c)− cos(b)− cos(c). sen(b). cos(A)
sen a
senA
=
sen b
senB
=
sen c
senC
siendo a, b, c los arcos y A, B, C los ánguos entre arcos.
sen(90o−α) = cos(α) cos(α) = cos(−α) sen(α) = − sen(−α)
sen(2 · α)
2
= cos(α)·sen(α)
Constantes:
r⊕ = 6 378 km r⊙ = 700 000 km
m⊙ = 2 · 1030 kg m⊕ = 6 · 1024 kg
d⊕−⊙ = 150 000 000 km = 1 U.A. d⊕−luna = [356 700 km; 406 300 km] ∼= 384 400 km
M⊙ = 4, 83 m⊙ = −27, 74
k = kB = 1, 28 · 10−23 J
K
mvega (lira) = 0
G = 6, 67 · 10−11 N.m2
kg2
H0 = (67, 3± 1, 2) km
s.Mpc
σ = 5, 67 · 10−12 W
m2.K4 c = 300 000 km
s
h = 6, 62 · 10−34 J
s
h̄ = h
2.π
6