4 Determinantes e inversa de matrices

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DETERMINANTES E INVERSA DE UNA MATRIZ
SEMANA 4 
EJEMPLO
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2
Solución 
1. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
4 2
5 6
= 4 6 − 5 2 = 24 − 10 = 14
EJEMPLO
Solución 
𝟕 𝟐 𝟓
𝟗 𝟒 𝟐
𝟐 𝟏 𝟑
= 𝟕
𝟒 𝟐
𝟏 𝟑
− 𝟐
𝟗 𝟐
𝟐 𝟑
+ 𝟓
𝟗 𝟒
𝟐 𝟏
Calcule el determinante de la matriz: 𝑨 =
𝟕 𝟐 𝟓
𝟗 𝟒 𝟐
𝟐 𝟏 𝟑
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3
METODO DE LOS COFACTORES
= 𝟕 𝟏𝟎 − 𝟐 𝟐𝟑 + 𝟓 𝟏 = 𝟕𝟎 − 𝟒𝟔 + 𝟓 = 𝟐𝟗
RESPUESTA: 𝐴 = 29
1
2
3
2. PROPIEDADES
4
5
6
𝑨 .𝑩 = 𝑨 . 𝑩
Sean 𝑨 y 𝑩𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐝𝐞 orden 𝒏𝒙𝒏
𝑨 + 𝑩 ≠ 𝑨 + 𝑩
Si 𝑨 ≈ 𝑼 . Entonces 𝑨 = 𝑼
𝑨𝑻 = 𝑨
Si 𝑨 tiene una fila (o columna) nula, entonces su determinante 
7
8
Si 𝑩 se ha obtenido de intercambiar una fila (o columna) de 𝑨,
entonces 𝑩 = − 𝑨
Si 𝑨 tiene 2 filas (o columnas)iguales, entonces su determinante
Si una fila (o columna) de 𝑨 es múltiplo de otra fila, entonces
es cero 
su determinante es cero.
es cero 
1 Sean: 𝑩 =
𝟏 𝟏
𝟑 𝟐
𝑨 =
𝟏 𝟏
𝟐 𝟏
𝑨𝑩 =
𝟒 𝟑
𝟓 𝟒
𝑨𝑩 = 𝟏𝑨 = −𝟏 𝑩 = −𝟏
Entonces 𝑨𝑩 = 𝑨 𝑩
2 Sean: 𝑨 =
𝟏 𝟏
𝟐 𝟏
𝑩 =
𝟏 𝟏
𝟑 𝟐
𝑨 + 𝑩 =
𝟏 𝟏
𝟑 𝟐
𝑨 + 𝑩 = −𝟒
Entonces 𝑨 + 𝑩 ≠ 𝑨 + 𝑩
3 𝑨 =
𝟏 𝟏
𝟐 𝟏
𝑼 =
𝟏 𝟏
𝟎 −𝟏
𝑨𝑻 = −𝟏
𝑨 = 𝑼Entonces
𝑨 = −𝟏
4 𝑨 =
𝟏 𝟏
𝟐 𝟏
𝑨𝑻 =
𝟏 𝟐
𝟏 𝟏
𝑨 = −𝟏
𝑼 = −𝟏
Entonces 𝑨 = 𝑨𝑻
EJEMPLOS
5 Sean: 𝑨 =
𝟓 −𝟐
𝟎 𝟎
𝑨 = 𝟎
6 Sean: 𝑨 =
𝟏 𝟏
𝟐 𝟏
𝑩 =
𝟐 𝟏
𝟏 𝟏
Entonces 𝑩 = − 𝑨
7 𝑨 =
𝟐 𝟏
𝟐 𝟏
Entonces 𝑨 = 𝟎
8 𝑨 =
𝟐 𝟑
𝟖 𝟏𝟐
Entonces 𝑨 = 𝟎
Entonces
𝑨 = −𝟏 𝑩 = 𝟏
x4
EJEMPLOS
3. INVERSA DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2
Sea 𝑨 =
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐
𝑨 tiene inversa si su determínate es diferente de cero.
Entonces, 
𝑨−𝟏 =
𝟏
𝟏𝟎
𝟑 𝟒
−𝟏 𝟐
=
Τ𝟑 𝟏𝟎 Τ𝟒 𝟏𝟎
Τ−𝟏 𝟏𝟎 Τ𝟐 𝟏𝟎
𝑨 ≠ 𝟎 .y 
EJEMPLO
Sea 𝑨 =
𝟐 −𝟒
𝟏 𝟑
Calcule 𝑨−𝟏 si existe
la inversa de 𝑨 es 𝑨−𝟏, y es de la forma:
Solución 
𝑨−𝟏 =
𝟏
𝑨
𝒂𝟐𝟐 −𝒂𝟏𝟐
−𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟏𝟏
𝑨 = 𝟏𝟎 . Entonces, 
PROPIEDAD
4. INVERSA DE UNA MATRIZ MEDIANTE OPERACIONES 
ELEMENTALES POR FILA 
METODO DE GAUSS JORDAN PARA CALCULAR LA INVERSA
Paso 1:
Paso 2:
mediante operaciones𝑨 𝑰
𝑰 𝑩 .
Convertir la matriz aumentada
elementales por fila, en la matriz aumentada Para luego 
𝑩 = 𝑨−𝟏
Este procedimiento se realiza mediante los siguientes pasos:
Convertir 𝑨 en una matriz triangular superior 𝑼, con todos los 
elementos de su diagonal distinto de cero.
Convertir la matriz triangular superior 𝑼 en la matriz identidad.
obtener : 
EJEMPLO
Calcule la inversa de la matriz 𝐀 =
𝟏 −𝟏 𝟏
𝟎 𝟎 𝟏
𝟏 𝟏 −𝟏
𝐬𝐢 𝐞𝐱𝐢𝐬𝐭𝐞
Solución 
Paso 1: Convertir 𝑨 en una matriz triangular superior 𝑼 con todos 
los elementos de su diagonal diferentes de cero
𝑨 =
𝟏 −𝟏 𝟏
𝟎 𝟎 𝟏
𝟏 𝟏 −𝟏
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
𝑭𝟏 −𝟏 + 𝑭𝟑
𝟏 −𝟏 𝟏
𝟎 𝟎 𝟏
𝟎 𝟐 −𝟐
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
−𝟏 𝟎 𝟏
𝟏 −𝟏 𝟏
𝟎 𝟐 −𝟐
𝟎 𝟎 𝟏
𝟏 𝟎 𝟎
−𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 𝟎
𝑭𝟐𝟑
𝑼
Todos los elementos de la
diagonal son diferente de cero
(Existencia de inversa)
Paso 2: Convertir 𝑼 en una matriz identidad
1 −1 1
0 2 −2
0 0 𝟏
1 0 0
−1 0 1
0 1 0
𝑭𝟑 𝟐 + 𝑭𝟐
1 −1 1
0 2 0
0 0 1
1 0 0
−1 2 1
0 1 0
1 −1 0
0 2 0
0 0 𝟏
1 −1 0
−1 2 1
0 1 0
𝑭𝟑 −𝟏 + 𝑭𝟏 𝑭𝟐 Τ𝟏 𝟐 + 𝑭𝟑
1 0 0
0 2 0
0 0 1
1
2 0 1
2
−1 2 1
0 1 0
𝟏 0 0
0 𝟏 0
0 0 𝟏
1
2
0 1
2
−1
2
1 1
2
0 1 0
𝑭𝟐 Τ𝟏 𝟐
𝑨−𝟏 =
Τ𝟏 𝟐 𝟎 Τ𝟏 𝟐
Τ−𝟏 𝟐 𝟏 Τ𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎
𝑰𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅RESPUESTA
EJEMPLO
Solución 
Paso 1: Convertir 𝑨 en una matriz triangular superior 𝑼 con todos 
los elementos de su diagonal diferentes de cero
𝑨 =
𝟏 −𝟑 𝟒
𝟐 −𝟓 𝟕
𝟎 −𝟏 𝟏
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
𝑭𝟏 −𝟐 + 𝑭𝟐 𝟏 −𝟑 𝟒
𝟎 𝟏 −𝟏
𝟎 −𝟏 𝟏
𝟏 𝟎 𝟎
−𝟐 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
𝟏 −𝟑 𝟒
𝟎 𝟏 −𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
𝟏 𝟎 𝟎
−𝟐 𝟏 𝟎
−𝟐 𝟏 𝟏
𝑼
Hay un elemento cero en
la diagonal entonces ∄𝑨−𝟏
(No existe inversa)
𝑭𝟐 𝟏 + 𝑭𝟑
RESPUESTA: No existe inversa
𝐀 =
𝟏 −𝟑 𝟒
𝟐 −𝟓 𝟕
𝟎 −𝟏 𝟏
Calcule la inversa de la matriz si existe