4 1 Anexo de Determinantes

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CAPÍTULO2
Matrices cuadradas:
determinante y matriz inversa
2.1. Determinante
DEFINICIÓN. A toda matriz cuadrada A =(aij)n×n se le asocia un número llamado
determinante, que indicaremos por det(A), o bien |A|, que se define recursivamente
de la siguiente manera:
• Si n = 1 se define:
det(A) =a11 .
• Si n > 1 se define:
det(A) =
n�
j=1
aij(−1)i+j det (Aij) .
donde Aij es la submatriz cuadrada de orden n− 1 que se obtiene suprimiendo la fila
i y la columna j deA.
Nota. Es fácil ver que para n = 2 y n = 3 la definición proporciona las conocidas
fórmulas:
�
�
�
�
a11 a12
a21 a22
�
�
�
�
= a11a22 − a12a21 .
�
�
�
�
�
�
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
�
�
�
�
�
�
= a11
�
�
�
�
a22 a23
a32 a33
�
�
�
�
− a12
�
�
�
�
a21 a23
a31 a33
�
�
�
�
+ a13
�
�
�
�
a21 a22
a31 a32
�
�
�
�
= a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31
−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 .
26 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
DEFINICIÓN. El det(Aij) se llamamenor complementario del elemento aij , y el pro-
ducto (−1)i+j det (Aij) se conoce como adjunto del elemento aij . Representaremos
el adjunto del elemento aij por Aij . Así,
Aij = (−1)i+j det (Aij) .
Nota. La definición que hemos dado de determinante constituye lo que se conoce
como el desarrollo del determinante por los elementos de la fila i. También podríamos
calcular el desarrollo por los elementos de la columna j.
Proposición. Se verifica que cualquiera que sea la fila i, o la columna j, el valor de
det(A) es siempre el mismo. Es decir.
det(A) =
n�
j=1
aij(−1)i+j det (Aij) =
n�
j=1
aijAij , i = 1, 2, . . . , n .
det(A) =
n�
i=1
aij(−1)i+j det (Aij) =
n�
i=1
aijAij , j = 1, 2, . . . , n .
EJEMPLO
�
�
�
�
�
�
1 2 5
−1 −2 −3
3 0 4
�
�
�
�
�
�
3a fila
= 3 ×
�
�
�
�
2 5
−2 −3
�
�
�
�
− 0 ×
�
�
�
�
1 5
−1 −3
�
�
�
�
+ 4 ×
�
�
�
�
1 2
−1 −2
�
�
�
�
= 3 × (2 × (−3) − 5 × (−2)) + 4 × (1 × (−2) − 2 × (−1))
= 12 ,
�
�
�
�
�
�
1 2 5
−1 −2 −3
3 0 4
�
�
�
�
�
�
2a columna
= −2 ×
�
�
�
�
−1 −3
3 4
�
�
�
�
+ (−2) ×
�
�
�
�
1 5
3 4
�
�
�
�
− 0 ×
�
�
�
�
1 5
−1 −3
�
�
�
�
= −2 × (−1 × 4 − (−3) × 3) − 2 × (1 × 4 − 5 × 3)
= 12 .
Nota. La definición de determinante no sirve para calcularlo de manera eficiente
cuando el orden de la matriz es elevado. Las siguientes propiedades nos serán de
gran ayuda para simplificar dicho cálculo.
MATRICES CUADRADAS: DETERMINANTE Y MATRIZ INVERSA 27
Propiedades.
1. Si los elementos de una línea (fila o columna) son todos nulos, el determinante
es igual a cero.
2. Si se multiplica por un escalar λ cada uno de los elementos de una línea, el
determinante queda multiplicado por λ.
3. Si se cambian entre sí dos líneas paralelas, el determinante cambia de signo pero
conserva su valor absoluto.
4. Si dos líneas paralelas son iguales o proporcionales, el determinante es nulo.
5. El determinante no varía si se cambian las filas por las columnas. De donde se
deduce que: |A| =
�
�At
�
�.
6. Si a una línea se le suma una combinación lineal de otras líneas paralelas, el
determinante no varía.
7. Si una línea es combinación lineal de otras líneas paralelas, el determinante es
nulo.
EJEMPLO
Todos los elementos de una línea nulos:
�
�
�
�
�
�
1 −1 2
0 0 0
2 −1 3
�
�
�
�
�
�
= 0 .
EJEMPLO
Multiplicar por un escalar cada uno de los elementos de una línea:
�
�
�
�
�
�
1 −1 8
3 1 4
2 −1 12
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
1 −1 4 · 2
3 1 4 · 1
2 −1 4 · 3
�
�
�
�
�
�
= 4
�
�
�
�
�
�
1 −1 2
3 1 1
2 −1 3
�
�
�
�
�
�
.
EJEMPLO
Intercambiar dos líneas paralelas:
�
�
�
�
�
�
3 1 1
1 −1 2
2 −1 3
�
�
�
�
�
�
= −
�
�
�
�
�
�
1 −1 2
3 1 1
2 −1 3
�
�
�
�
�
�
.
28 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
EJEMPLO
Dos líneas iguales: �
�
�
�
�
�
3 1 3
1 −1 1
2 −1 2
�
�
�
�
�
�
= 0 .
EJEMPLO
Determinante de la matriz traspuesta:
�
�
�
�
�
�
3 1 1
1 −1 2
2 −1 3
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
3 1 2
1 −1 −1
1 2 3
�
�
�
�
�
�
.
EJEMPLO
Sumar a una línea una combinación lineal de otras líneas paralelas:
�
�
�
�
�
�
3 1 1
1 −1 2
2 −1 3
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
3 + 2 · 1 − 3 · 2 1 + 2 · (−1) − 3 · (−1) 1 + 2 · 2 − 3 · 3
1 −1 2
2 −1 3
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
−1 2 −4
1 −1 2
2 −1 3
�
�
�
�
�
�
.
EJEMPLO
Una línea es combinación lineal de otras líneas paralelas:
�
�
�
�
�
�
−4 1 −5
1 −1 2
2 −1 3
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
2 · 1 − 3 · 2 2 · (−1) − 3 · (−1) 2 · 2 − 3 · 3
1 −1 2
2 −1 3
�
�
�
�
�
�
= 0 .
Basándonos en estas propiedades podemos resumir esquemáticamente cómo afectan
las operaciones elementales al valor del determinante:
Proposición.
1. A
fλ
ij−−→ B =⇒ det(B) = det(A).
2. A
fλ
i−−→ B =⇒ det(B) = λdet(A).
3. A
fij−−→ B =⇒ det(B) = − det(A).
Un caso especial lo constituyen las matrices triangulares (o diagonales):
Proposición. El determinante de toda matriz triangular (o diagonal) es igual al pro-
ducto de los elementos de la diagonal principal.
MATRICES CUADRADAS: DETERMINANTE Y MATRIZ INVERSA 29
EJEMPLO
�
�
�
�
�
�
�
�
3 2 1 3
0 1 9 12
0 0 2 8
0 0 0 4
�
�
�
�
�
�
�
�
= 3 × 1 × 2 × 4 = 24 .
Proposición. Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n se verifican las si-
guientes propiedades:
1. det(In) = 1.
2. det(A ·B) = det(A) det(B) = det(B ·A).
3. det(A) �= 0 ⇐⇒ r(A) = n.
2.1.1. Cálculo efectivo de determinantes
2.1.1.1. Desarrollo por una línea
El cálculo por este método puede resultar muy tedioso si el orden es elevado, pero este
proceso se simplifica notablemente cuando la fila o columna está compuesta en su ma-
yoría por ceros. Así pues el procedimiento a seguir será el de crear el mayor número
de ceros en una línea utilizando las propiedades descritas en el apartado anterior.
EJEMPLO
�
�
�
�
�
�
�
�
4 −1 3 −1
3 1 0 2
0 1 2 2
1 2 −1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
f3
14
=
f2
34
�
�
�
�
�
�
�
�
7 5 0 2
3 1 0 2
2 5 0 4
1 2 −1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
= −(−1) ×
�
�
�
�
�
�
7 5 2
3 1 2
2 5 4
�
�
�
�
�
�
f−1
21
=
f−2
31
�
�
�
�
�
�
7 5 2
−4 −4 0
−12 −5 0
�
�
�
�
�
�
= 2 ×
�
�
�
�
−4 −4
−12 −5
�
�
�
�
= −56 .
Este procedimiento se facilita cuando junto con las operaciones elementales por filas
(fλ
ij) se emplean también las operaciones elementales por columnas (cλ
ij).
EJEMPLO
�
�
�
�
�
�
1 −1 2
3 1 1
2 −1 3
�
�
�
�
�
�
c1
12
=
�
�
�
�
�
�
0 −1 2
4 1 1
1 −1 3
�
�
�
�
�
�
f−4
23
=
�
�
�
�
�
�
0 −1 2
0 5 −11
1 −1 3
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
−1 2
5 −11
�
�
�
�
= 1 .
30 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
2.1.1.2. Método de Gauss
Aplicando este método llevamos la matriz a su forma escalonada (por filas). Pero
las formas escalonadas por filas de una matriz cuadrada son triangulares superiores,
luego el determinante se calcula inmediatamente con el producto de los elementos de
la diagonal principal. Únicamente tendremos que llevar la cuenta de cómo modifican
el determinante las operaciones elementales realizadas. Nótese además que si durante
el proceso de reducción aparece un pivote que no está en la diagonal principal, ya se
puede concluir que el determinante es nulo (porque un elemento de la diagonal será
entonces nulo).
EJEMPLO
|A| =
�
�
�
�
�
�
�
�
0 8 −14 11
−2 −6 12 −17
−6 −6 11 −35
−6 −10 18 −40
�
�
�
�
�
�
�
�
f14−−−−−−→
×(−1)
�
�
�
�
�
�
�
�
−6 −10 18 −40
−2 −6 12 −17
−6 −6 11 −35
0 8 −14 11
�
�
�
�
�
�
�
�
f
−1/3
21−−−−→
f−1
31
�
�
�
�
�
�
�
�
−6 −10 18 −40
0 −8/3 6 −11/3
0 4 −7 5
0 8 −14 11
�
�
�
�
�
�
�
�
f−3
2−−−−−−→
×(−3)
�
�
�
�
�
�
�
�
−6 −10 18 −40
0 8 −18 11
0 4 −7 5
0 8 −14 11
�
�
�
�
�
�
�
�
f
−1/2
32−−−−→
f−1
42
�
�
�
�
�
�
�
�
−6 −10 18 −40
0 8 −18 11
0 0 2 −1/2
0 0 4 0
�
�
�
�
�
�
�
�
f−2
43−−−→
�
�
�
�
�
�
�
�
−6 −10 18 −40
0 8 −18 11
0 0 2 −1/2
0 0 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Entonces:
det(A) × (−1) × (−3) = −6 × 8 × 2 × 1 = −96 =⇒ det(A) =
−96
3
= −32 .
2.2. Matriz regular, matriz singular y matriz adjunta
DEFINICIÓN.
• Diremos que una matriz cuadrada A es regular si su determinante es distinto de
cero.
• Diremos que una matriz cuadrada A es singular si su determinante es cero.
MATRICES CUADRADAS: DETERMINANTE Y MATRIZ INVERSA 31
EJEMPLO
Matriz regular:
�
2 1
2 3
�
.
Matriz singular:�
2 4
1 2
�
.
Proposición. Una matriz cuadrada A de orden n es regular si y sólo si r(A) = n.
DEFINICIÓN. Llamaremos matriz adjunta de una matriz cuadrada A = (aij) a la
traspuesta de la matriz formada por los adjuntos de A. Representaremos la matriz
adjunta por A∗:
A∗ =





A11 A12 · · · A1n
A21 A22 · · · A2n
...
...
. . .
...
An1 An2 · · · Ann





t
=





A11 A21 · · · An1
A12 A22 · · · An2
...
...
. . .
...
A1n A2n · · · Ann





.
EJEMPLO
Calculemos la adjunta de la matriz
A =


1 0 3
2 1 1
1 4 0

 .
Calculamos en primer lugar los adjuntosAij :
A11 =
�
�
�
�
1 1
4 0
�
�
�
�
= −4 , A12 = −
�
�
�
�
2 1
1 0
�
�
�
�
= 1 , A13 =
�
�
�
�
2 1
1 4
�
�
�
�
= 7 ,
A21 = −
�
�
�
�
0 3
4 0
�
�
�
�
= 12 , A22 =
�
�
�
�
1 3
1 0
�
�
�
�
= −3 , A23 = −
�
�
�
�
1 0
1 4
�
�
�
�
= −4 ,
A31 =
�
�
�
�
0 3
1 1
�
�
�
�
= −3 , A32 = −
�
�
�
�
1 3
2 1
�
�
�
�
= 5 , A33 =
�
�
�
�
1 0
2 1
�
�
�
�
= 1 .
Finalmente calculamos la traspuesta de la matriz de los adjuntos:


−4 1 7
12 −3 −4
−3 5 1


t
=


−4 12 −3
1 −3 5
7 −4 1

 = A∗ .
32 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
2.3. Matriz inversa
Teorema. SiA es una matriz cuadrada regular de orden n, entonces existe una única
matriz cuadrada de orden n, que llamaremos matriz inversa de A y denotaremos por
A−1, tal que
A ·A−1 = A−1 ·A = In .
Nota. Si A es singular, entonces no existe ninguna matriz que verifique la anterior
condición, es decir, A no tiene inversa.
Teorema de la adjunta. Dada una matriz regular A, se verifica:
A−1 =
1
|A|A
∗ .
EJEMPLO
Volviendo al ejemplo anterior tendremos que
A−1 =
1
|A|A
∗ =
1
17


−4 12 −3
1 −3 5
7 −4 1

 =


−4/17 12/17 −3/17
1/17 −3/17 5/17
7/17 −4/17 1/17

 .
Propiedades.
1. El determinante de la matriz inversa es el recíproco del determinante de la matriz
original:
�
�A−1
�
� =
1
|A| .
2. La inversa de la matriz inversa es la matriz original:
(A−1)−1 = A .
3. La inversa de la traspuesta es la traspuesta de la inversa:
(At)−1 = (A−1)t ≡ A−t .
4. SiA y B son matrices regulares del mismo orden:
(A ·B)−1 = B−1 ·A−1 .
5. La multiplicación por la matriz inversa representa en el álgebra de matrices un
papel análogo al de la división en el álgebra de números. Así, si A es regular:
A · X = Y =⇒ A−1 ·A ·X = A−1 ·Y =⇒ X = A−1 ·Y .
6. Si A es una matriz diagonal regular, su inversa es otra matriz diagonal, cuyos
elementos son los recíprocos deA.
MATRICES CUADRADAS: DETERMINANTE Y MATRIZ INVERSA 33
EJEMPLO
A =




2 0 0 0
0 4 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 3




=⇒ A−1 =




1/2 0 0 0
0 1/4 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 1/3




.
2.3.1. Cálculo efectivo de la matriz inversa
2.3.1.1. Método de la adjunta
Una forma de calcular la matriz inversa es a través de la adjunta, según el anterior
teorema. Sin embargo este método no es efectivo para matrices de orden elevado.
2.3.1.2. Método de Gauss
Este método, muy práctico para el cálculo de la inversa, se basa en los siguientes
resultados:
Lema. Si A es una matriz regular de orden n, su forma escalonada reducida es la
matriz identidad In.
Teorema. SeaA una matriz regular de orden n, y sea {f} el conjunto de operaciones
elementales (por filas) que transforman A en su forma escalonada reducida (es decir,
en In). Entonces, aplicando este mismo conjunto de operaciones elementales {f} a la
matriz In se obtiene la matriz inversa A−1. Esquemáticamente:
A
{f}−−−→ In =⇒ In
{f}−−−→ A−1 .
Para aplicar este método, lo más práctico es colocar la matriz identidad al lado de
la matriz A, y efectuar sobre esta matriz ampliada las operaciones elementales que
transforman A en su forma escalonada reducida, lo que nos asegura que la matriz
identidad se transforma en la inversa A−1. Lo vemos más claramente en el siguiente
ejemplo:
EJEMPLO
Vamos a hallar la inversa de la matriz
A =




−2 −1 −2 −4
5 1 4 11
2 0 0 3
1 0 1 3




.
34 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
Formamos la matriz ampliada y la llevamos a la forma escalonada reducida:
(A| I) =




−2 −1 −2 −4 1 0 0 0
5 1 4 11 0 1 0 0
2 0 0 3 0 0 1 0
1 0 1 3 0 0 0 1




f14−−→




1 0 1 3 0 0 0 1
5 1 4 11 0 1 0 0
2 0 0 3 0 0 1 0
−2 −1 −2 −4 1 0 0 0




f−5
21 , f−2
31−−−−−−−→
f2
41




1 0 1 3 0 0 0 1
0 1 −1 −4 0 1 0 −5
0 0 −2 −3 0 0 1 −2
0 −1 0 2 1 0 0 2




f1
42−−→




1 0 1 3 0 0 0 1
0 1 −1 −4 0 1 0 −5
0 0 −2 −3 0 0 1 −2
0 0 −1 −2 1 1 0 −3




f34−−→




1 0 1 3 0 0 0 1
0 1 −1 −4 0 1 0 −5
0 0 −1 −2 1 1 0 −3
0 0 −2 −3 0 0 1 −2




f−2
43−−−→




1 0 1 3 0 0 0 1
0 1 −1 −4 0 1 0 −5
0 0 −1 −2 1 1 0 −3
0 0 0 1 −2 −2 1 4




f−3
14 , f4
24−−−−−−→
f2
34




1 0 1 0 6 6 −3 −11
0 1 −1 0 −8 −7 4 11
0 0 −1 0 −3 −3 2 5
0 0 0 1 −2 −2 1 4




f1
13−−−→
f−1
23




1 0 0 0 3 3 −1 −6
0 1 0 0 −5 −4 2 6
0 0 −1 0 −3 −3 2 5
0 0 0 1 −2 −2 1 4




f−1
3−−−→




1 0 0 0 3 3 −1 −6
0 1 0 0 −5 −4 2 6
0 0 1 0 3 3 −2 −5
0 0 0 1 −2 −2 1 4




.
La matriz ampliada está ahora en su forma escalonada reducida. El bloque de la izquierda es
I, y el bloque de la derecha será la matriz inversa buscada:
A−1 =




3 3 −1 −6
−5 −4 2 6
3 3 −2 −5
−2 −2 1 4




.
MATRICES CUADRADAS: DETERMINANTE Y MATRIZ INVERSA 35
Podemos comprobar el resultado obtenido:
A ·A−1 =




−2 −1 −2 −4
5 1 4 11
2 0 0 3
1 0 1 3








3 3 −1 −6
−5 −4 2 6
3 3 −2 −5
−2 −2 1 4




=




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1




= I .
Nota. No es necesario saber de antemano que la matriz es inversible para empezar
a aplicar el algoritmo. Partiendo de una matriz cuadrada cualquiera, si al obtener
su forma escalonada reducida resulta que el bloque de la izquierda es I, entonces
podemos concluir que la matriz es inversible, y la inversa es el bloque de la derecha.
Nota. Nótese además que si durante el proceso de reducción a forma escalonada re-
ducida de una matriz cuadrada aparece un pivote fuera de la diagonal principal, ya
no podemos obtener la matriz I en el bloque de la izquierda y, por tanto, podemos
concluir que la matriz no tiene inversa.
EJEMPLO
Vamos a hallar la inversa de la matriz
A =




1 0 3 1
2 2 6 0
−1 0 −3 1
4 1 12 0




.
Formamos la matriz ampliada y aplicamos el algoritmo:
(A | I) =




1 0 3 1 1 0 0 0
2 2 6 0 0 1 0 0
−1 0 −3 1 0 0 1 0
4 1 12 0 0 0 0 1




f−2
21 , f1
31−−−−−−→
f−4
41




1 0 3 1 1 0 0 0
0 2 0 −2 −2 1 0 0
0 0 0 2 1 0 1 0
0 1 0 −4 −4 0 0 1




f
−1/2
42−−−−→




1 0 3 1 1 0 0 0
0 2 0 −2 −2 1 0 0
0 0 0 2 1 0 1 0
0 0 0 0 0 −1/2 0 1




.
Como la tercera fila no tiene el pivote en la tercera columna podemos concluir que A no es
regular. Podríamos comprobar este resultado calculando el determinante y observando que
det(A) = 0.
36 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 2.1
Calcúlese el determinante de la siguiente matriz:




2 −7 2 5
−1 3 −1 4
5 2 5 8
−1 0 −1 −6




.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
La primera columna y la tercera columna son iguales. Por tanto, el determinante de la matriz
es cero.
PROBLEMA 2.2
Calcúlese el determinante de la siguiente matriz:




3 6 −6 0
2 2 0 6
2 4 −3 4
1 1 0 2




.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
�
�
�
�
�
�
�
�
3 6 −6 0
2 2 0 6
2 4 −3 4
1 1 0 2
�
�
�
�
�
�
�
�
f−2
13
=
�
�
�
�
�
�
�
�
−1 −2 0 −8
2 2 0 6
2 4 −3 4
1 1 0 2
�
�
�
�
�
�
�
�
= −3 ×
�
�
�
�
�
�
−1 −2 −8
2 2 6
1 1 2
�
�
�
�
�
�
c−1
21
= −3 ×
�
�
�
�
�
�
−1 −1 −8
2 0 6
1 0 2
�
�
�
�
�
�
= −3 × (−(−1)) ×
�
�
�
�
2 6
1 2
�
�
�
�
= −3 × (−(−1)) × (2 × 2 − 6 × 1) = 6 .
MATRICES CUADRADAS: DETERMINANTE Y MATRIZ INVERSA 37
PROBLEMA 2.3
Calcúlese el determinante de la siguiente matriz:
A =






5 −1 −3 4 −3
2 −1 0 6 −3
−1 2 0 −8 6
1 0 0 2 0
0 1 0 0 5






.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
|A| =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
5 −1 −3 4 −3
2 −1 0 6 −3
−1 2 0 −8 6
1 0 0 2 0
0 1 0 0 5
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= −3 ×
�
�
�
�
�
�
�
�
2−1 6 −3
−1 2 −8 6
1 0 2 0
0 1 0 5
�
�
�
�
�
�
�
�
c−2
31
= −3 ×
�
�
�
�
�
�
�
�
2 −1 2 −3
−1 2 −6 6
1 0 0 0
0 1 0 5
�
�
�
�
�
�
�
�
= −3 × 1 ×
�
�
�
�
�
�
−1 2 −3
2 −6 6
1 0 5
�
�
�
�
�
�
c−5
31
= −3 × 1 ×
�
�
�
�
�
�
−1 2 2
2 −6 −4
1 0 0
�
�
�
�
�
�
= −3 × 1 × 1 ×
�
�
�
�
2 2
−6 −4
�
�
�
�
= −3 × 1 × 1 × (2 × (−4) − 2 × (−6))
= −12 .
38 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
PROBLEMA 2.4
Calcúlese el determinante de la siguiente matriz:
A =




−1 0 2 0
−1 −1 2 0
−3 0 6 + a −2a
4 6 −4 − a −6 + 2a




.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
|A| =
�
�
�
�
�
�
�
�
−1 0 2 0
−1 −1 2 0
−3 0 6 + a −2a
4 6 −4 − a −6 + 2a
�
�
�
�
�
�
�
�
c2
31
=
�
�
�
�
�
�
�
�
−1 0 0 0
−1 −1 0 0
−3 0 a −2a
4 6 4 − a −6 + 2a
�
�
�
�
�
�
�
�
= −1 ×
�
�
�
�
�
�
−1 0 0
0 a −2a
6 4 − a −6 + 2a
�
�
�
�
�
�
= −1 × (−1) ×
�
�
�
�
a −2a
4 − a −6 + 2a
�
�
�
�
f1
21
= −1 × (−1) ×
�
�
�
�
a −2a
4 −6
�
�
�
�
= −1 × (−1) × a ×
�
�
�
�
1 −2
4 −6
�
�
�
�
= 2a .
PROBLEMA 2.5
Sean
A =






2 0 0 0 0
2 −3 0 0 0
5 10 4 0 0
6 1 4 1 0
−8 −3 −7 8 −1






, B =






−1 0 0 0 0
2 −1 0 0 0
3 7 3 0 0
−4 3 9 2 0
8 3 −1 4 2






.
Calcúlese el valor de det
�
At ·B−1
�
.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
Como las dos matrices son triangulares, el determinante de cada una de ellas será el producto
de los elementos de su diagonal:
det(A) = 2 × (−3) × 4 × 1 × (−1) = 24 ,
det(B) = −1 × (−1) × 3 × 2 × 2 = 12 .
Por tanto
det
�
At ·B−1
�
= det
�
At
�
· det
�
B−1
�
= det (A)
1
det (B)
=
24
12
= 2 .
MATRICES CUADRADAS: DETERMINANTE Y MATRIZ INVERSA 39
PROBLEMA 2.6
Calcúlese el determinante de la siguiente matriz:




0 2 −1 1
2 1 3 1
−1 1 2 0
−3 2 2 3




.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
Aplicamos el método de Gauss:
�
�
�
�
�
�
�
�
0 2 −1 1
2 1 3 1
−1 1 2 0
−3 2 2 3
�
�
�
�
�
�
�
�
f31−−−−−−→
×(−1)
�
�
�
�
�
�
�
�
−1 1 2 0
2 1 3 1
0 2 −1 1
−3 2 2 3
�
�
�
�
�
�
�
�
f2
21−−−→
f−3
41
�
�
�
�
�
�
�
�
−1 1 2 0
0 3 7 1
0 2 −1 1
0 −1 −4 3
�
�
�
�
�
�
�
�
f42−−−−−−→
×(−1)
�
�
�
�
�
�
�
�
−1 1 2 0
0 −1 −4 3
0 2 −1 1
0 3 7 1
�
�
�
�
�
�
�
�
f2
32−−→
f3
42
�
�
�
�
�
�
�
�
−1 1 2 0
0 −1 −4 3
0 0 −9 7
0 0 −5 10
�
�
�
�
�
�
�
�
f
−5/9
43−−−−→
�
�
�
�
�
�
�
�
−1 1 2 0
0 −1 −4 3
0 0 −9 7
0 0 0 55/9
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Entonces:
det(A) × (−1) × (−1) = −1 × (−1) × (−9) × 55
9
= −55 =⇒ det(A) = −55 .
PROBLEMA 2.7
Calcúlese el determinante de la siguiente matriz:




1 −2 −3 4
1 0 1 4
2 2 6 9
−1 0 −1 −6




.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
Aplicamos el método de Gauss:
�
�
�
�
�
�
�
�
1 −2 −3 4
1 0 1 4
2 2 6 9
−1 0 −1 −6
�
�
�
�
�
�
�
�
f−1
21 f−2
31−−−−−−→
f1
41
�
�
�
�
�
�
�
�
1 −2 −3 4
0 2 4 0
0 6 12 1
0 −2 −4 −2
�
�
�
�
�
�
�
�
f−3
32−−−→
f1
42
�
�
�
�
�
�
�
�
1 −2 −3 4
0 2 4 0
0 0 0 1
0 0 0 −2
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Vemos que el pivote de la tercera fila no va a estar en la diagonal principal. Por tanto, el
determinante de la matriz es cero.
40 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
PROBLEMA 2.8
Calcúlese el determinante de la siguiente matriz:






2 4 −3 −1 1
1 3 2 0 1
−1 3 −2 1 5
2 3 −2 1 1
1 4 6 1 2






.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
Aplicamos el método de Gauss:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 4 −3 −1 1
1 3 2 0 1
−1 3 −2 1 5
2 3 −2 1 1
1 4 6 1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f21−−−−−−→
×(−1)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 3 2 0 1
2 4 −3 −1 1
−1 3 −2 1 5
2 3 −2 1 1
1 4 6 1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f−2
21 f1
31−−−−−−→
f−2
41 f−1
51
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 3 2 0 1
0 −2 −7 −1 −1
0 6 0 1 6
0 −3 −6 1 −1
0 1 4 1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f52−−−−−−→
×(−1)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 3 2 0 1
0 1 4 1 1
0 6 0 1 6
0 −3 −6 1 −1
0 −2 −7 −1 −1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f−6
32 f3
42−−−−−→
f2
52
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 3 2 0 1
0 1 4 1 1
0 0 −24 −5 0
0 0 6 4 2
0 0 1 1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f53−−−−−−→
×(−1)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 3 2 0 1
0 1 4 1 1
0 0 1 1 1
0 0 6 4 2
0 0 −24 −5 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f−6
43−−−→
f24
53
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 3 2 0 1
0 1 4 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 −2 −4
0 0 0 19 24
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f
19/2
54−−−−→
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 3 2 0 1
0 1 4 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 −2 −4
0 0 0 0 −14
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Entonces:
det(A) × (−1) × (−1) × (−1) = 1 × 1 × 1 × (−2) × (−14) = 28 =⇒ det(A) = −28 .
MATRICES CUADRADAS: DETERMINANTE Y MATRIZ INVERSA 41
PROBLEMA 2.9
Calcúlese la inversa de la siguiente matriz:
A =


1 −1 1
2 −3 1
1 −2 −2

 .
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
Formamos la matriz ampliada y la llevamos a la forma escalonada reducida:
(A| I) =


1 −1 1 1 0 0
2 −3 1 0 1 0
1 −2 −2 0 0 1


f−2
21−−−→
f−1
31


1 −1 1 1 0 0
0 −1 −1 −2 1 0
0 −1 −3 −1 0 1


f−1
32−−−→


1 −1 1 1 0 0
0 −1 −1 −2 1 0
0 0 −2 1 −1 1


f−1
2−−−−→
f
−1/2
3


1 −1 1 1 0 0
0 1 1 2 −1 0
0 0 1 −1/2 1/2 −1/2


f−1
13−−−→
f−1
23


1 −1 0 3/2 −1/2 1/2
0 1 0 5/2 −3/2 1/2
0 0 1 −1/2 1/2 −1/2


f1
12−−→


1 0 0 4 −2 1
0 1 0 5/2 −3/2 1/2
0 0 1 −1/2 1/2 −1/2

 .
Por tanto, la matriz inversa es
A−1 =


4 −2 1
5/2 −3/2 1/2
−1/2 1/2 −1/2

 .
42 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
PROBLEMA 2.10
Calcúlese la inversa de la siguiente matriz:
A =




1 0 −6 −2
−3 3 2 1
−2 2 5 2
−1 1 0 0




.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
Formamos la matriz ampliada y la llevamos a la forma escalonada reducida:
(A| I) =




1 0 −6 −2 1 0 0 0
−3 3 2 1 0 1 0 0
−2 2 5 2 0 0 1 0
−1 1 0 0 0 0 0 1




f3
21f
2
31−−−−−→
f1
41




1 0 −6 −2 1 0 0 0
0 3 −16 −5 3 1 0 0
0 2 −7 −2 2 0 1 0
0 1 −6 −2 1 0 0 1




f42−−→




1 0 −6 −2 1 0 0 0
0 1 −6 −2 1 0 0 1
0 2 −7 −2 2 0 1 0
0 3 −16 −5 3 1 0 0




f−2
32−−−→
f−3
42




1 0 −6 −2 1 0 0 0
0 1 −6 −2 1 0 0 1
0 0 5 2 0 0 1 −2
0 0 2 1 0 1 0 −3




f
−2/5
43−−−−→




1 0 −6 −2 1 0 0 0
0 1 −6 −2 1 0 0 1
0 0 5 2 0 0 1 −2
0 0 0 1/5 0 1 −2/5 −11/5




f
1/5
3−−−→
f5
4




1 0 −6 −2 1 0 0 0
0 1 −6 −2 1 0 0 1
0 0 1 2/5 0 0 1/5 −2/5
0 0 0 1 0 5 −2 −11




f2
14f
2
24−−−−−→
f
−2/5
34




1 0 −6 0 1 10 −4 −22
0 1 −6 0 1 10 −4 −21
0 0 1 0 0 −2 1 4
0 0 0 1 0 5 −2 −11




f6
13−−→
f6
23




1 0 0 0 1 −2 2 2
0 1 0 0 1 −2 2 3
0 0 1 0 0 −2 1 4
0 0 0 1 0 5 −2 −11




.
MATRICES CUADRADAS: DETERMINANTE Y MATRIZ INVERSA 43
Por tanto, la matriz inversa es
A−1 =




1 −2 2 2
1 −2 2 3
0 −2 1 4
0 5 −2 −11




.
PROBLEMA 2.11
Calcúlese la inversa de la siguiente matriz:
A =




1 −1 4 2
4 −5 −7 −16
−11 8 −3 16
0 −1 −3 −4




.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
Formamos la matriz ampliada y la llevamos a la forma escalonada reducida:
(A| I) =




1 −1 4 2 1 0 0 0
4 −5 −7 −16 0 1 0 0
−11 8 −3 16 0 0 1 0
0 −1 −3 −4 0 0 0 1




f−4
21−−−→
f11
31




1 −1 4 2 1 0 0 0
0 −1 −23 −24 −4 1 0 0
0 −3 41 38 11 0 1 0
0 −1 −3 −4 0 0 0 1




f−3
32−−−→
f−1
42




1 −1 4 2 1 0 0 0
0 −1 −23 −24 −4 1 0 0
0 0 110 110 23 −3 1 0
0 0 20 20 4 −1 0 1




.
Las filas tercera y cuarta de la parte correspondiente a la matriz A son proporcionales. Por
tanto, el determinante deA es cero yA no es inversible.
44 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
PROBLEMA 2.12
Calcúlese la inversa de la siguiente matriz:
A =






4 −6 −14 −2 −20
−3 3 7 1 9
−2 2 12 2 6
−1 1 1 0 3
−3 3 7 1 10






.
✞
✝
☎
✆SOLUCIÓN
Formamos la matriz ampliada y la llevamos a la forma escalonada reducida:
(A| I) =






4 −6 −14 −2 −20 1 0 0 0 0
−3 3 7 1 9 0 1 0 0 0
−2 2 12 2 6 0 0 1 0 0
−1 1 1 0 3 0 0 0 1 0
−3 3 7 1 10 0 0 0 0 1






f41−−→






−1 1 1 0 3 0 0 0 1 0
−3 3 7 1 9 0 1 0 0 0
−2 2 12 2 6 0 0 1 0 0
4 −6 −14 −2 −20 1 0 0 0 0
−3 3 7 1 10 0 0 0 0 1






f−3
21 f−2
31−−−−−−→
f4
41f
−3
51






−1 1 1 0 3 0 0 0 1 0
0 0 4 1 0 0 1 0 −3 0
0 0 10 2 0 0 0 1 −2 0
0 −2 −10 −2 −8 1 0 0 4 0
0 0 4 1 1 0 0 0 −3 1






f42−−→






−1 1 1 0 3 0 0 0 1 0
0 −2 −10 −2 −8 1 0 0 4 0
0 0 10 2 0 0 0 1 −2 0
0 0 4 1 0 0 1 0 −3 0
0 0 4 1 1 0 0 0 −3 1






f
−2/5
43−−−−→
f
−2/5
53






−1 1 1 0 3 0 0 0 1 0
0 −2−10 −2 −8 1 0 0 4 0
0 0 10 2 0 0 0 1 −2 0
0 0 0 1/5 0 0 1 −2/5 −11/5 0
0 0 0 1/5 1 0 0 −2/5 −11/5 1






f5
4−−→
f5
5






−1 1 1 0 3 0 0 0 1 0
0 −2 −10 −2 −8 1 0 0 4 0
0 0 10 2 0 0 0 1 −2 0
0 0 0 1 0 0 5 −2 −11 0
0 0 0 1 5 0 0 −2 −11 5






f−1
54−−−→
MATRICES CUADRADAS: DETERMINANTE Y MATRIZ INVERSA 45






−1 1 1 0 3 0 0 0 1 0
0 −2 −10 −2 −8 1 0 0 4 0
0 0 10 2 0 0 0 1 −2 0
0 0 0 1 0 0 5 −2 −11 0
0 0 0 0 5 0 −5 0 0 5






f−1
1 f
−1/2
2−−−−−−−→
f
1/10
3
f
1/5
5






1 −1 −1 0 −3 0 0 0 −1 0
0 1 5 1 4 −1/2 0 0 −2 0
0 0 1 1/5 0 0 0 1/10 −1/5 0
0 0 0 1 0 0 5 −2 −11 0
0 0 0 0 1 0 −1 0 0 1






f3
15−−−→
f−4
25






1 −1 −1 0 0 0 −3 0 −1 3
0 1 5 1 0 −1/2 4 0 −2 −4
0 0 1 1/5 0 0 0 1/10 −1/5 0
0 0 0 1 0 0 5 −2 −11 0
0 0 0 0 1 0 −1 0 0 1






f−1
24−−−−→
f
−1/5
34






1 −1 −1 0 0 0 −3 0 −1 3
0 1 5 0 0 −1/2 −1 2 9 −4
0 0 1 0 0 0 −1 1/2 2 0
0 0 0 1 0 0 5 −2 −11 0
0 0 0 0 1 0 −1 0 0 1






f1
13−−−→
f−5
23






1 −1 0 0 0 0 −4 1/2 1 3
0 1 0 0 0 −1/2 4 −1/2 −1 −4
0 0 1 0 0 0 −1 1/2 2 0
0 0 0 1 0 0 5 −2 −11 0
0 0 0 0 1 0 −1 0 0 1






f1
12−−→






1 0 0 0 0 −1/2 0 0 0 −1
0 1 0 0 0 −1/2 4 −1/2 −1 −4
0 0 1 0 0 0 −1 1/2 2 0
0 0 0 1 0 0 5 −2 −11 0
0 0 0 0 1 0 −1 0 0 1






.
Por tanto, la matriz inversa es
A−1 =






−1/2 0 0 0 −1
−1/2 4 −1/2 −1 −4
0 −1 1/2 2 0
0 5 −2 −11 0
0 −1 0 0 1






.
46 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 2.1. Calcúlense la inversa y el determinante de las siguientes matri-
ces:
(a)


1 1 2
1 3 4
2 5 9

 .
(b)


1 2 0
−1 3 1
0 1 0

 .
(c)


5 0 −4
0 3 0
2 0 −1

 .
(d)




1 2 4 5
0 1 2 3
4 9 3 8
5 9 9 9




.
(e)




1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1




.
(f)




2 0 1 2
−1 3 0 −1
2 −2 4 6
1 1 −1 −1




.
(g)






1 2 3 4 5
1 2 4 5 6
2 3 5 7 9
−1 0 0 1 2
2 0 1 3 0






.
(h)






1 2 3 1 5
2 1 3 0 1
1 1 2 0 2
4 4 8 1 8
0 1 2 0 3






.
(i)






2 1 1 1 −1
1 −1 1 0 1
−1 1 0 1 2
1 −2 1 0 0
1 1 1 1 1






.
PROBLEMA 2.2. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n. Calcúlese el
valor de det
�
A−t · Bt · B−1
�
sabiendo que det(A) = 7 y det(B) = −2.
PROBLEMA 2.3. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n. Calcúlese el
valor de det
�
A ·B2 · A
�
sabiendo que det
�
A−1 ·B
�
= 0.
PROBLEMA 2.4. Calcúlese el determinante de la matriz




1 8 0 2
−14 − 4 a 2 −6 − 2 a 0
5 + 2 a −4 3 + a 0
0 6 0 2




.