5 ESPACIOS Y SUBESPACIOS UNAC

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ESPACIOS Y SUBESPACIOS 
VECTORIALES
Tema: Espacios y Subespacios 
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1. ESPACIOS VECTORIALES
1.1. AXIOMAS
1.2. OBSERVACIONES
1.3. EJERCICIOS RESUELTOS
2. SUBESPACIOS VECTORIALES 2.1. EJERCICIOS RESUELTOS
3. APLICACIONES
4.CONCLUSIONES 
5. METACOGNICIÓN
6. REFERENCIAS 
BIBLIOGRAFICAS
Mapa conceptual
1. SUBESPACIO VECTORIAL 
DEFINICIÓN: Se dice que 𝑯 es un subespacio vectorial 𝑽 si 𝑯 es un subconjunto no vacío
de 𝑽 y 𝑯 es un espacio vectorial junto a las operaciones de suma entre vectores y
Multiplicación por un escalar definidas para 𝑽.
Un subconjunto 𝑯 ≠ ∅ de un espacio vectorial 𝑽 , es un subespacio de𝑽 si se cumplen las dos
reglas de cerradura: 𝑦 𝜶 ∈ ℝ tal que:
• 𝑺𝑼𝑴𝑨 + : 𝑺𝒊 𝒙 ∈ 𝑯 , 𝒚 ∈ 𝑯; entonces: 𝒙 + 𝒚 ∈ 𝑯
• 𝑴𝑼𝑳𝑻𝑰𝑷𝑳𝑰𝑪𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑷𝑶𝑹 𝑼𝑵 𝑬𝑺𝑪𝑨𝑳𝑨𝑹 • : 𝑺𝒊 𝒙 ∈ 𝑯 y α ∈ ℝ; entonces: 𝜶𝒙 ∈ 𝑯
❖ Todo subespacio de un espacio vectorial 𝑽 contiene al 𝟎
❖ Un subespacio propio de un espacio vectorial 𝑽 es un subespacio vectorial 𝑽 diferente 
de 𝟎 𝒚 𝑽
Highlight
Highlight
1. Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial de ℝ2:
𝑳 = Τ(𝒙, 𝒚) ∈ ℝ2 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝟎;∀𝒂 𝒚 𝒃 ∈ ℝ , siendo a y b no ambos cero.
1.1. EJERCICIOS RESUELTOS 
Resolución:
2. Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial de 𝑀2𝑥2:
𝑻 = ൗ
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐
∈ 𝑀2𝑥2
𝒂 𝒃
−𝒃 𝒄
; ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ .
1.1. EJERCICIOS RESUELTOS 
Resolución:
3. Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial de 𝑀2𝑥2:
𝑸 = ൗ
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐
∈𝑀2𝑥2
𝒂 𝒂 − 𝟏
𝟎 𝟎
; ∀𝒂 ∈ ℝ .
1.1. EJERCICIOS RESUELTOS 
Resolución:
∴ 𝑸 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒔𝒖𝒃𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍 𝒅𝒆𝑀2𝑥2
2. Aplicaciones
En una clase de matemática básica, el profesor Max, escribe los siguientes conjuntos en la 
pizarra:
𝑃 = Τ𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 4𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 = 0 𝑄 = ൗ
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐
∈𝑀2𝑥2
𝒂 𝟐𝒂
𝒃 𝟑𝒃
; ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℝ
y les dice a sus estudiantes que aquel que determine cuál de los conjuntos es un subespacio 
vectorial, tendrá un punto adicional en su examen T1. Juan afirma que 𝑃 es un subespacio
vectorial mientras que Lucas indica que el espacio vectorial es Q. 
¿Quién obtendrá el punto adicional?
Resolución:
COMBINACIÓN LINEAL (EJEMPLO)
Se ha visto que todo vector
𝑣 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 en ℝ3 se puede
representar en la forma
𝑣 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘
Esta forma de representación
la llamaremos combinación
lineal de los vectores i, j, k
COMBINACIÓN LINEAL
DEFINICIÓN: Sean 𝑋 = 𝑢1, 𝑢2, … 𝑢𝑛 un conjunto de
vectores del espacio vectorial 𝑉 y 𝑢 un elemento
de 𝑉. Diremos que 𝑢 es una combinación lineal de
los elementos de 𝑋 si existen escalares reales
𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 tales que:
𝑢 = 𝛼1𝑢1 + 𝛼2𝑢2 +⋯+ 𝛼𝑛𝑢𝑛
EJEMPLO 1
Dados los vectores 𝑥 = (1,2) y 𝑥 = 3,−1 , hallar el vector 
combinación lineal 𝑣 = 2𝑥 + 3𝑦SOLUCIÓN :
EJEMPLO 2:
Sean 𝑋 = (1, 2), (2, 1) un conjunto de vectores de 𝑉 = ℝ2 . 
Exprese el vector (3, 4) como una combinación lineal de 
los elementos de 𝑋.
SOLUCIÓN :
3. CONJUNTO GENERADOR DE UN 
ESPACIO
VECTORIAL
DEFINICIÓN: Sea 𝑋 = 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 un conjunto de vectores del espacio vectorial 𝑉. Diremos 
que 𝑋 es generador del espacio vectorial 𝑉, denotado por 𝑉 = 𝐿 𝑋 , si cualquier 𝑢 ∊ 𝑉 es 
una combinación lineal de los elementos de 𝑋. Es decir, 𝑋 = 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 es generador de 𝑉
si existen 
𝛼1, 𝛼2, …𝛼𝑛 tales que ∀𝑢 ∈ 𝑉, 𝑢 = 𝛼1𝑢1 + 𝛼2𝑢2 +⋯+ 𝛼𝑛𝑢𝑛
EJEMPLOS
v = (2, 3, – 4 )= 2.(1, 0 , 0) + 3.(0, 1, 0) + (– 4).(0, 0, 1)
v = (2, 3, – 4 )= 1.(1, 1 , 1) + 3.(0, 1, – 2) + 1.(1, – 1 , 1)
v = (2, 3, – 4 )= 2.(1, 2 , 3) + (– 2).(3, 2, 1) + 1.(6, 3, – 8)
Como vemos un mismo vector puede expresarse como combinación lineal de otros 
vectores de muchas formas diferentes
EJEMPLO 5:
Verifique si el conjunto 𝑋 = (1, 2), (2, 1) es un conjunto 
generador de ℝ2.
2. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
DEFINICIÓN: Un conjunto 𝑋 = 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 de vectores 
del espacio vectorial 𝑉 es llamado linealmente 
dependiente (L.D), si existen escalares 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 no 
todos nulos tales que:
• Si los vectores no son linealmente dependientes se 
dice que son linealmente independientes (L.I).
• Dicho de otra manera: 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 son linealmente 
independientes (L.I) si la ecuación
• 𝛼1𝑢1 + 𝛼2𝑢2 +⋯+ 𝛼𝑛𝑢𝑛 = 𝜃, implica que 
𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0.
𝛼1𝑢1 + 𝛼2𝑢2 +⋯+ 𝛼𝑛𝑢𝑛 = 𝜃
EJEMPLO 3:
Sean v1= (1, 2, 3), v2 = (4, 5, 6), v3 = (5, 7, 9)
Determinar si S=(v1, v2, v3) es un conjunto LD o LI
EJEMPLO 3:
Sean v1= (1, 1, 0), v2 = (0, 2, 3), v3 = (1, 2, 3)
Determinar si S=(v1, v2, v3) es un conjunto LD o LI
OBSERVACIONES
• Un conjunto 𝑋 = (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) es L.D, si y sólo si, son paralelos. 
• Esto es; 𝑋 = (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) es L.D, si y sólo si, 
𝑎
𝑐
=
𝑏
𝑑
= 𝑘. Caso 
contrario es L.I.
• Un conjunto 𝑋 = (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) es L.I si no es L.D.
EJEMPLOS:
1. Verifique que el conjunto 𝑋 = (2,−4), (−1, 2) es linealmente 
dependiente.
2. Verifique que el conjunto 𝑋 = (1, 1), (−3, 2) es linealmente 
dependiente.
EJEMPLO 4:
Verifique que 𝑋 = 2,−4 , −1,2 es linealmente dependiente
EJERCICIOS:
EJERCICIOS:
EJERCICIOS:
EJERCICIOS: