Capitulo4 - Modo helicoptero

Vista previa del material en texto

Caṕıtulo 4
Modo helicóptero
El rotor es el encargado del gobierno del helicóptero y requiere una gran atención en
la fase de modelado. Las fuerzas y los momentos del rotor se calculan tradicional-
mente (y en la mayoŕıa de las referencias citadas) utilizando el análisis del elemento
de pala que es un método simple y eficiente. Al estar este método extendido y bien
probado será el que se utilice en este trabajo.
El fenómeno central de este desarrollo es el denominado flapping o aleteo que sufre
la pala del rotor durante el giro de éste. A partir la aceleración, la velocidad y
del ángulo de flapping y de las caracteŕısticas del rotor en [4], se desarrollan las
ecuaciones por medio de las cuales se pueden obtener las fuerzas y pares que el rotor
realiza en su giro.
A continuación se expondrá de manera resumida la forma en que se obtienen las
ecuaciones que describen el aleteo.
4.1. Análisis del elemento de pala
Con el fin de derivar las ecuaciones que describen el flapping de las palas y las
fuerzas generadas, es necesario examinar las fuerzas aerodinámicas en un pequeño
elemento de la pala. Mediante la integración de éstas se pueden encontrar las fuerzas
aerodinámicas resultantes y esfuerzos de torsión de la hoja.
En la figura (4.1) se puede observar el buje de un rotor y una pala que gira a
39
4.1 Análisis del elemento de pala
Figura 4.1: Sección transversal de una pala
una velocidad angular Ω, donde dr es un elemento infinitesimal de ésta, el cual
proporcionará una fuerza aerodinámica de sustentación dL. La longitud de la pala
será R y el elemento diferencial estará a una distancia r de la articulación. Podemos
ver en la figura que se ha representado una articulación e que permite el flapping de
la pala. En nuestro caso dicha articulación no existe produciéndose este fenómeno
por la flexibilidad propia de la pala. Aún aśı según [15] podemos modelar la pala
como ŕıgida con una articulación virtual de un 10 % de la longitud de la pala.
El ángulo de pitch de cada pala es controlado por el plato oscilante, el cual trans-
forma el actuador fijo al cuerpo en variaciones armónicas de los ángulos de flapping
de las palas. El pitch en función del ángulo ψ de azimut puede ser formulado como:
θr = θcol − θlat cosψ − θlon sinψ + θt
e+ r
R
(4.1)
Donde θcol, θlon y θlat, son el valor de los mandos colectivos, longitudinal y lateral,
mientras que θt, es el ángulo de torsión de la hoja y define cómo cambia el pitch a
lo largo perfil de la pala.
A la vista del resultado anterior, el ángulo de flapping de este elemento diferencial
de la pala puede ser descrito como función del ángulo ψ como el primer armónico de
una serie de Fourier y a partir de ella podemos obtener sus derivadas temporales.
β = acol − alon cosψ + alat sinψ (4.2)
β̇ = ȧcol − (ȧlon − ȧlatΩ) cosψ + (ȧlat + alonΩ) sinψ (4.3)
β̈ = äcol − (älon − 2ȧlatΩ− alonΩ2) cosψ + (älat + 2ȧlonΩ− alatΩ2) sinψ (4.4)
En la figura (4.2) podemos observar con más claridad cada uno de los ángulos hasta
ahora definidos.
40
Modo helicóptero
Figura 4.2: Definición de los ángulos de flapping y de control
Figura 4.3: Sección transversal de una pala
4.1.1. Análisis aerodinámico básico
En la figura (4.3) podemos ver una sección de una pala. Ella muestra las dos fuer-
zas que actúan sobre el elemento diferencial dr: la sustentación, perpendicular a la
dirección de la velocidad Vb de la pala, y la resistencia, paralela a dicha velocidad.
Estas fuerzas se definen como
dL =
1
2
ρV 2
b Clαc dr dD =
1
2
ρV 2
b Cdc dr
Donde ρ es la densidad, c la longitud de la cuerda, y α es el ángulo de ataque, que
multiplicado por el coeficiente de sustentación Cl, proporciona una aproximación a la
pendiente de la curva de sustentación CL. Cd a su vez es el coeficiente de resistencia.
41
4.1 Análisis del elemento de pala
En la figura también podemos observar que el ángulo de ataque es la suma del pitch
de la pala y del ángulo de incidencia del viento αi de manera que
α = θr + αi = θr + arctan
(
Ut
Up
)
' θr +
Ut
Up
Esta última expresión se ha simplificado ya que la velocidad horizontal de la hoja
es mucho mayor que su velocidad vertical |Ut| � |Up|, lo que conlleva que
Vb =
√
U2
t + U2
p ' Ut
Con todo esto las expresiones de la sustentación y la resistencia quedan de la si-
guiente manera
dL =
1
2
ρU2
t Cl
(
θr +
Ut
Up
)
c dr dD =
1
2
ρU2
t Cdc dr (4.5)
Dos fenómenos diferentes influyen en la velocidad horizontal de la pala. La rotación
de ésta alrededor del eje es el principal, pero el movimiento del helicóptero también
influye. Esto permite formular dicha velocidad como
Ut = mrvxmr sinψ − mrvymr cosψ + Ωmr(e+ r cos β)
' mrvxmr sinψ − mrvymr cosψ + Ωmr(e+ r)
' ΩmrRmr
(
e+ r
Rmr
+ µx sinψ − µy cos psi
)
(4.6)
Expresiones donde se ha asumido pequeños ángulos de flapping y se han definido
los ratios de avance del rotor.
µx =
mrvxmr
ΩmrRmr
y µy =
mrvymr
ΩmrRmr
También podemos observar que aparecen las variables mrvxmr y mrvymr . Éstas son las
componentes x e y de la velocidad del origen de los ejes de rotor principal expresadas
en estos mismos ejes. Para hallar esta velocidad se puede acudir a la composición
de velocidades y, según la figura (4.4) se podrán obtener como sigue:
mrvmr = hvh + hωh × hRmr
trvtr = hvh + hωh × hRtr
42
Modo helicóptero
Figura 4.4: Posición de los rotores
En la velocidad vertical de las palas del rotor intervienen un mayor número de
elementos, el más significativo de ellos es la velocidad inducida por el rotor vi. En
[4] se puede encontrar un desarrollo más extensivo de la expresión de esta velocidad
que, dado lo limitado de este proyecto, no puede ser incluida. Aśı Up queda como
sigue
Up ' ωmrRmr (λ− µxβ cosψ − µyβ sinψ)− β̇r + (4.7)
+(e+ r) (mrωxmr cosψ − mrωymr sinψ) (4.8)
Ecuación donde aparecen el ratio de viento incidente o inflow ratio λ y el número
de bloqueo de la pala o blade lock number γ que se definen (gracias al momento de
inercia Ib) de la siguiente manera:
λ =
mrvzmr − vi
ΩmrRmr
γ =
ρClcR
4
mr
Ib
El inflow ratio es la relación entre la velocidad actual del rotor en el eje z y la
velocidad de avance de la pala. En ella aparece la velocidad del viento incidente vi.
Esta variable no es directamente conocida, lo que complicará el cálculo de dicho
ratio. La variable vi se puede calcular a partir de la expresión
vi =
T
2ρA
√
mrv2
xmr + mrv2
xmr + (mrvxmr − vi)2
La cual, sustituida en la definición de λ nos da la siguiente expresión:
λ =
mrvzmr − vi
ΩmrRmr
=
mrvzmr − vi
ΩmrRmr
− CTΩmrRmr
2
√
mrv2
xmr + mrv2
xmr + (mrvxmr − vi)2
= µz −
CT
2
√
mrv2
xmr + mrv2
xmr + λ2
43
4.2 Dinámica del rotor
Se observa que tenemos una expresión de cuarto grado cuya solución anaĺıtica es
harto dif́ıcil de hallar. En la literatura se suelen encontrar dos direcciones diferentes
para su cálculo. En [4] el autor se inclina por encontrar una expresión anaĺıtica con
la ayuda de software de cálculo simbólico, mientras que en [15] podemos ver que el
autor prefiere llegar a la solución haciendo uso de un cálculo iterativo. En nuestro
caso se seguirá la formulación de este último, ya que el número de iteraciones suele
ser pequeño (entre 3 y 5 iteraciones suelen ser suficientes) mientras que el número
de términos que componen la solución anaĺıtica es tan alto y de una complejidad
suficiente como para que la velocidad de la solución se vea comprometida.
A partir de ahora, se buscarán las expresiones que nos ayudarán a obtener la fuerza
que ejerce el rotor y por tanto que controla el helicóptero. En adelante todos los
desarrollos que se siguen se harán en los ejes definidos sobre el rotor principal, y
en el caso de las fuerzas del rotor de cola los ejes serán los situados en éste, por lo
tanto, una vez halladas las fuerzas habrán de proyectarse en los ejes cuerpo que son
donde se necesitan para la resolución de las velocidades a partir de las ecuacionesde movimiento linealizadas.
4.2. Dinámica del rotor
La dinámica del rotor esta dominada por el flapping de sus palas, el cual está gober-
nado por diferentes momentos trabajando sobre ellas. Para determinar la dinámica
del movimiento de flap usaremos una ecuación de equilibrio de momentos
τa + τcf + τβ + τcor + τR + τba + τbn = 0
donde los momentos son el aerodinámico, centŕıfugo, de inercia, de Coriolis, de
resistencia y los momentos de aceleración angular y normal.
A continuación examinaremos cada uno de ellos y daremos una expresión para su
cálculo.
Par aerodinámico Es el principal. Está originado por las fuerzas de susten-
tación. Se puede calcular por la integración de dicha fuerza sobre la longitud
de la pala
τa =
∫ R−e
0
r dL =
∫ R−e
0
1
2
ρU2
t Cl
(
θr +
Ut
Up
)
c r dL (4.9)
44
Modo helicóptero
Par centŕıfugo Provocado por las fuerzas centŕıfugas que actúan sobre la
pala consecuencia del giro del rotor. Trabajan perpendicularmente al eje de
rotación y, debido al flapping de la pala, provocan un momento alrededor de la
articulación de ésta. Su expresión para el cálculo asumiendo pequeñas ángulos
de flapping es la siguiente:
τ ' −Ω2(eMb + Ib)β
donde Mb y Ib son el primer y segundo momento de inercia y cuyo cálculo
puede verse en el anexo(A)
Par de aleteo Es debido al movimiento de flap de la pala originado por la
aceleración angular de ésta alrededor de la articulación. Podemos expresarlo
como
τb = −Ibβ̈
Par de Coriolis Originado por las fuerzas de Coriolis debidas al movimiento
de rotación de los ejes del rotor. Puede ser calculado a partir de
τcor =
∫
r dFcor ' −2(mrωymr cosψ + mrωxmr sinψ)(eMb + Ib)
Momento de resistencia Debido a la flexibilidad de la pala. Se modela como
un muelle en la articulación con una constante de elasticidad Ks
τR = −Ksβ
Par angular La fuerza generada en un un elemento diferencial de la pala por
la aceleración angular del helicóptero alrededor de los ejes XbYb son
dFba = r(hω̇yh cosψ − hω̇xh sinψ)dmb
Ecuación que integrada proporciona la expresión del par angular
τba =
∫
rdFba = (hω̇yh cosψ − hω̇xh sinψ)Ib
Par normal Es debido a la aceleración a lo largo del eje Zb, ésta provoca una
fuerza que podemos formular como
dFbn = (hv̇zh − hvxh
hωyh + hvzh
hωxh)
Ésta, una vez integrada, nos proporciona la siguiente expresión para el par
normal
τbn =
∫
r dFbn = Mb(
hv̇zh − hvxh
hωyh + hvzh
hωxh)
45
4.3 Expresiones del flapping
4.3. Expresiones del flapping
Una vez descrito todos los momentos que actúan sobre las palas del rotor podemos
obtener las expresiones de los ángulos de flapping. Para conseguir estas ecuaciones
sustituiremos las fórmulas dadas para los pares en la expresión(4.9) junto con (4.2),
(4.3) y (4.4). Esto nos proporciona una fórmula en la que aparecen una serie de
armónicos de orden superior como sin 2ψ que serán despreciados, cosa que también
haremos con los términos e3 y e4.
Finalmente, igualando los elementos que contienen sinψ a älat, los que tienen cosψ a
älon y los constantes a äcol, podremos escribir las ecuaciones que describen la dinámi-
ca del plano de puntas del rotor y que pueden verse desarrolladas en el anexo(A)
4.4. Fuerzas y momentos del rotor principal
La fuerza dominante en el rotor es la tracción a lo largo del eje Zb (T = −Fz) y el
par dominante se produce también en torno a dicho eje. Asumiremos que las fuerzas
generadas por el rotor son debidas principalmente a la sustentación y la resistencia
aerodinámicas siendo la contribución de otras fuerzas despreciadas.
Las fuerzas infinitesimales dL y dD pueden ser proyectadas en los ejes del rotor
principal como se ve en las figuras (4.5) y (4.6) obteniéndose aśı las siguientes ecua-
ciones:
dFxmr = − (dD cosαi − dL sinαi) sinψ + (dL cosαi + dD sinαi) sin β cosψ
dFymr = (dD cosαi − dL sinαi) cosψ + (dL cosαi + dD sinαi) cosψ sinψ
dFzmr = − (dL cos β cosαi + dD cos β sinαi)
Estas ecuaciones han de ser integradas para obtener la fuerza total. Para simplifi-
car asumiremos que los ángulos β y αi toman valores pequeños, lo cual reduce las
ecuaciones anteriores a
dFxmr =− dD sinψ + dL (β cosψ + αi sinψ) (4.10)
dFymr = dD cosψ + dL (β sinψ − αi cosψ) (4.11)
dFzmr =− dL (4.12)
46
Modo helicóptero
Figura 4.5: Proyección vertical de las fuerzas de la pala
Figura 4.6: Proyección horizontal de las fuerzas de la pala
47
4.4 Fuerzas y momentos del rotor principal
Las fuerzas infinitesimales serán ahora integradas en la longitud de la pala, desde 0
hasta R − e y promediamos sobre una revolución del ángulo de azimut integrando
desde 0 a 2π y divididiendo entre 2π. Finalmente, las fuerzas resultantes se calculan
multiplicando el número de hojas b.
Fx =
bc
2π
ρ
2
∫ 2π
0
∫ R−e
0
U2
t
(
−Cd sinψ + Cl
(
θr +
Up
Ut
)(
β cosψ +
Up
Ut
sinψ
))
drdψ
(4.13)
Fy =
bc
2π
ρ
2
∫ 2π
0
∫ R−e
0
U2
t
(
−Cd cosψ + Cl
(
θr +
Up
Ut
)(
β sinψ − Up
Ut
cosψ
))
drdψ
(4.14)
Fz =
bc
2π
ρ
2
∫ 2π
0
∫ R−e
0
U2
t Cl
(
θr +
Up
Ut
)
drdψ (4.15)
Los pares generados por el rotor principal también son generados por las fuerzas
aerodinámicas, pero esta vez, a diferencia del caso de las fuerzas, si se considerará la
contribución de otros efectos. Aśı, para el caso de los ejes X e Y, el par creado por
las fuerzas de resistencia śı será incluido.
El par en el eje Z, al considerarse sólo las fuerzas de sustentación y resistencia, es el
más fácil de calcular y puede ser formulado de la siguiente manera:
dτz = −(e+ r)(dD cosαi − dL sinαi) ' −(e+ r)(dD − dLαi)
Y el par puede ser calculado por medio de la integración de
τz =
bc
2π
ρ
2
∫ 2π
0
∫ R−e
0
U2
t (r + e)
(
−Cd + Cl
Up
Ut
(
θr +
Up
Ut
))
drdψ (4.16)
La sustentación aerodinámica contribuye a los pares longitudinal y lateral como se
puede ver en la figura (4.7). Y teniendo en cuenta la aproximación de pequeños
ángulos para β obtenemos:
τa = eL cos β

τax = eL sinψ
τay = −eL cosψ
(4.17)
48
Modo helicóptero
Figura 4.7: Par debido a la sustentación aerodinámica
Por otra parte, el par debido a la resistencia de deformación de la pala puede for-
mularse para los ejes X, Y como sigue
τR = Ksβ

τRx = Ksβ sinψ
τRy = Ksβ cosψ
(4.18)
Finalmente, gracias a las ecuaciones (4.17) y (4.18) podemos obtener las expresiones
de los pares en ejes X e Y integrando las siguientes expresiones.
τx =
bc
2π
ρ
2
eCl
∫ 2π
0
∫ R−e
0
U2
t
(
θr +
Up
Ut
)
sinψdrdψ +
b
2π
Ks
∫ 2π
0
β sinψdψ (4.19)
τx =− bc
2π
ρ
2
eCl
∫ 2π
0
∫ R−e
0
U2
t
(
θr +
Up
Ut
)
cosψdrdψ +
b
2π
Ks
∫ 2π
0
β cosψdψ (4.20)
Los resultados de las integrales (4.13), (4.14), (4.15), (4.16), (4.19) y (4.20) se pueden
ver en el apéndice (A).
Estas expresiones junto con las de flapping cierran el problema. Las ecuaciones desa-
rrolladas de los ángulos del plano de punta pueden formularse de la siguiente manera
ẋ = Ax+ bu donde ẋ = [äcol älon älat ȧcol ȧlon älat]
T , x = [ȧcol ȧlon ȧlat acol alon alat]
T ,
49
4.5 Fuerzas y momentos del rotor de cola
u = [θcol θlon θlat θt λ ωx ωy ω̇x ω̇y v̇z]
T y
A =

a3×6
I3×3 03×3
 y B =

b3×10
03×10

Siendo I la matriz identidad, 0 la matriz nula, a y b los coeficientes que multiplican
a los componentes de los vectores x e u y que tienen las dimensiones indicadas.
Gracias a esta formulación las ecuaciones lineales de segundo orden pueden ser
resueltas numéricamente por el software Matlab. Una vez integradas, los valores de
los ángulos de flapping se usarán para obtener el valor de las fuerzas que genera el
rotor.
Finalmente, obtenidas las fuerzas, habrán de ser proyectadas a los ejes cuerpo de
nuestra aeronave, eso provocará la aparición de unos momentos debido a que las
fuerzas no están siendo aplicadas en el centro de gravedad de nuestro aparato.
4.5. Fuerzas y momentos del rotor de cola
Para finalizar el modelado del helicóptero falta definir las fuerzasque hará nuestro
rotor de cola, realizando un análisis análogo al expuesto para el rotor principal,
sin tener en cuenta los efectos del flapping dado que la longitud de estas palas
es suficientemente pequeña para poder despreciarlos. Aśı, la fuerza y momentos
realizadas en el eje perpendicular al plano de palas del rotor de cola, es decir, el eje
Ztr se pueden formular de la siguiente manera:
Fztr = −btrctr
2π
ρ
2
Cltr
∫ 2π
0
∫
Rtr0U
2
ttr
(
θtr +
Uttr
Uptr
)
drtrdψtr (4.21)
τztr =
btrctr
2π
ρ
2
∫ 2π
0
∫
Rtr0U
2
ttrrtr
(
−Cdtr + Cltr
Uttr
Uptr
(
θtr +
Uttr
Uptr
))
drtrdψtr (4.22)
50
Modo helicóptero
4.6. Fuselaje
Para cerrar el modelo del helicóptero falta tener en cuenta la resistencia que opone
el fuselaje al movimiento del avión. Durante el proyecto se ha mencionado que la
obtención de derivadas de estabilidad para un helicóptero es una tarea complicada,
por tanto se han tomado dos soluciones diferentes para la obtención de la contribu-
ción del fuselaje. La primera de ellas se utilizará más adelante en la sección 6.1.1,
en este caso se define un coeficiente de resistencia CD y a partir de él se obtiene una
estimación de la fuerza de resistencia. Esto habrá de hacerse para cada superficie
de resistencia de nuestro helicóptero, es decir la superficie del plano YZ que ofrece
resistencia a la velocidad U , otra superficie, la contenida en el plano XZ para la
velocidad V y por último la del plano XY para la velocidad W .
En nuestro caso, dado el estado en que encuentra, se realizó una aproximación de
las superficies. Éstas se modelaron como planos de una determinada área, es decir,
el fuselaje se ha modelado como un paraleleṕıpedo recto.
La segunda manera de modelar la fuerza aerodinámica de resistencia se basa en el
análisis dimensional y la semejanza f́ısica. Se parte de la solución de un helicóptero
que se admite dimensionalmente semejante. En este supuesto, ambos problemas
poseen la misma solución adimensional, con lo que basta con multiplicar estos valores
por el coeficiente de referencia adecuado para obtener las variables dimensionales
del helicóptero deseado. La solución semejante se puede obtener en la literatura, por
ejemplo en [17].
51