Resistência de Materiais U.T.P.L.

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SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
1 
 
 
 
   
SOLUCIONARIO  DE 
RESISTENCIA DE 
MATERIALES 
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL 
 
Singer Ferdinand L, Pytel Andrew; Resistencia de Materiales, introducción a la 
mecánica de sólidos; cuarta edición. 
 
2008 
Karen A. Romero M. 
U.T.P.L. 
24/07/2008 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
2 
 
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA 
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL 
CAPÍTULO I 
ESFUERZO SIMPLE 
103. Determine el máximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la 
figura P-103. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder 100 MPa, y 50 
MPa, respectivamente. Las áreas transversales de ambos son: 400 mm2 para el cable 
AB y 200 mm2 para el cable AC. 
 
200
 
100 10 
100 400
10
 
40 
 
109. En la figura P-109 se muestra parte del tren de aterrizaje de una avioneta. 
Determine el esfuerzo de compresión en el tornapunta AB producido al aterrizar 
por una reacción del terreno R=20. kN. AB forma un ángulo de 53.1° con BC. 
 
∑ 0 
0.65 53.13° 0.45 0 
20 0.65 0.36 0 
36.1 
36.13 
5.5 10
 
65.72 / 
 
 
0.02 0.015 
5.5 10 
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3 
 
112. Calcule el peso del cilindro más pesado que se coloca en la posición que se 
indica en la figura P-112, sin rebasar el esfuerzo de 50MN/m2 en el cable BC. 
Desprecie el peso de la barra AB. El área transversal del cable BC es 100 mm2. 
 
50 10 ⁄ 1 10 5 
6
10
 
53.13° 
 53.13° 0.8º 
 53.13° 0.6 
0 
4000 10 4 
10000 
0 
0.6 10000 
6000 // 
 
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114. Se quiere punzonar una placa, tal como se indica en la figura 1-10c, que tiene 
un esfuerzo cortante último de 300 MPa. (a) Si el esfuerzo de compresión 
admisible en el punzón es 400 MPa, determine el máximo espesor de la placa 
para poder punzonar un orificio de 100 mm de diámetro. (b) Si la placa tiene un 
espesor de 10 mm, calcule el máximo diámetro que puede punzonarse. 
 
(a) 
 
0.31416 
 
400 . . 
3.1416 
3.1416 
 
 
300
3.1416
0.31416
 
 3.1416
300 0.31416
 
0.033 
 
(b) 
 
0.01 1 
100 
100 
 
. 
1
100
 
 
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5 
 
 
 
100
300
 2 
 
1 2 
0.01
100
300
 
0.030 // . 
 
115. figura P-115 muestra la unión de un tirante y la base de una armadura de 
madera. Despreciando el rozamiento, (a) determine la dimensión b si el 
esfuerzo cortante admisible es de 900 kPa. (b) Calcule también la dimensión c 
si el esfuerzo de contacto no debe exceder de 7 MPa. 
 
 (a) 
900 10 / 
50 10 
150 
 30°
 
 
0 
30 30 0 
0.5 0.866 50 10 0 
86602.54 
 
 
 
900 10 /
30° 86602.54
0.150
 
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6 
 
900 10 ⁄
43301.27
0.150
 
135000 43301.27 
0.321 
321 //sol 
 
(b) 
7 . 7 10 / 
50 30° 
43.301 
 
 
7 10 /
50 30°
0.150
 
1050 43.301 
0.04123 
41.2 //sol 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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118. La palanca acodada que se representa en la figura P-118 está en equilibrio. (a) 
Determine el diámetro de la barra AB si el esfuerzo normal está limitado a 100 
MN/m2. (b) Determine el esfuerzo cortante en el pasador situado en D, de 20 mm de 
diámetro. 
 
(a) D=? 
100 / 
 
0 
0.2 30 60° 0.24 0 
0.2 6.24 
31.2 
 
0 
30 60° 0.24 
31.2 15 
46.2 
 
0 
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8 
 
30 60° 
26 
 
 
46.2 26 
53 
 
 
 
31200
100 10 /
 
3.12 10 
 
2
 
2
 
2
 
3.12 10
2
 
7.05 10 
 
2 
0.01410 1000 /1 
14.10 // 
 
(b) τ=? 
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9 
 
 
53.0
0.02
4
 
53.0
3.1415 10
 
168.7 / // 
 
119. La masa de la barra homogénea AB mostrada en la figura P-119 es 2000 kg. 
La barra está apoyada mediante un perno en B y mediante una superficie vertical 
lisa en A. Determine el diámetro del perno más pequeño que puede usarse en B 
si su esfuerzo cortante está limitado a 60 MPa. El detalle del apoyo en B es 
idéntico al apoyo b mostrado en la figura P-118 
 
2000 9.8 
19600 
0 
8 19600 3 0 
7350 
 
0 
 
7350 
 
0 
 
19600 
 
7350 19600 
20932.81 
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10 
 
20932.81 
 
 
 
20932.81
60 10 /
 
3.49 10 , 2 
2 
2
 
2
 
2
 
3.49 10
2
 
7.4529 10 
 
2 
2 7.45 10 
0.0149 1000 /1 
14.9 // 
 
 
 
 
 
 
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 120. Dos piezas de madera, de 50 mm de ancho y 20mm de espesor indica la figura 
P-120. (a) Aplicando las ideas que se expresan en la figura 1-4, determine la fuerza 
cortante y el esfuerzo cortante en la unión si P = 6000 N. (b) Generalice el 
procedimiento para demostrar que el esfuerzo cortante en una sección 
inclinada un ángulo θ respecto a una sección transversal de área A, tiene un 
valor dado por 2⁄ 2 
(a) 
6000 60° 
5196.1524 
 
6000 60° 
3000 
 
 
 
60°
50
 
57.74 
 
 
57.74 20 
1154.80 
 
0 
600 60° 
3000 // 
 
 
3000
1154.80 10
 
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2.598 . // 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
2 2 
 
 
 
2 
2
 
 L.Q.Q.D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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132. Un recipiente cilíndrico a presión está fabricado de placas de acero que tienen un 
espesor de 20 mm. El diámetro del recipiente es 500 mm y su longitud, 3 m. Determine la 
máxima presión interna que puede aplicársele si el esfuerzo en el acero está limitado 
a 140 MPa. Si se aumentara la presión interna hasta que el recipiente fallara, bosqueje 
el tipo de fractura que ocurriría. 
0.02 
0.5 
3 
 
140 10 / 
 
2
 
2
 
2
 
140 10 2 0.02
0.5
 
11200 / 
11.20 . 
Para cilindros en los que la parea tenga un espesor igual o menor que un décimo de 
su radio interior, el esfuerzo medio calculado es prácticamente igual al esfuerzo 
máximo que aparece en la superficie interior del cilindro: 
 
1
10
0.25 0.025 
0.02 0.025 
 
 
 
 
 
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134. Un depósito cilíndrico de agua de eje vertical tiene 8 m de diámetro y 12 m de altura. 
Si ha de llenarse hasta el borde, determinar el mínimo espesor de las placas que lo 
componen si el esfuerzo está limitado a 40 MPa. 
40 10 / 
 í 
? 
 
. 
1000 / 9.8 / 
9800 / 
 
 
9800 12 
117600 / 
 
 
. .
2
 
40 10 /
117600 / 8
2
 
0.01176 
11.76 
 
 
 
 
 
 
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135. En el depósito cilíndrico de la figura 1-16 la resistencia de las juntas longitudinales 
es de 480 kN y de las trasversales, de 200 kN. Si la presión interior ha de ser de 
1.5 MN/m2, determinar el máximo diámetro que se puede dar al depósito. 
1.5 10 / 
.
 
. 200 / 
. 480 / 
. . 
.
 
480 /
1.5 10 /
 
0.32 
2 
0.64 
 
.
2
 
2 . . 
2 .
 
2 200 /
1.5 10 /
 
0.267 
2 
0.53 // 
La resistencia interna admisible imprime de la resistencia de las juntas longitudinales 
 
 
 
 
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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA 
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL 
CAPÍTULO II 
DEFORMACIÓN SIMPLE 
204. Una barra prismática de longitud L, sección transversal A y densidad p se 
suspende verticalmente de un extremo. Demostrar que su alargamiento total es 
, llamando M a su masa total demostrar que también 
a) 
. 
. . 
 
. 
. . . 
 
.
.
 
. . . 
.
 
 
 
2
 
 
2
 
. .
2
 . . . 
 
 
b) . . 
. . .
2
, 
. .
2. . . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dy
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205. Una varilla de acero que tiene una sección constante de 300 mm y una longitud 
de 150 m se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de 
20 kN que pende de su extremo inferior. Si la densidad del acero es 7850 kg/m3 y 
E 200 x 10 3 MN/m2, determinar el alargamiento de la varilla. Indicación: 
Aplique el resultado del problema 204. 
300 0.0003 
150 
20 20 10 2040.82 
7850 / 
200 10 / 200 10 / 
 
 
0.0003 7850 150 
353.25 
 
. .
2
 
7850 9.8 150
2 200 10
 
0.004327 
4.33 . 
 
. .
2
 
353.25 9.8 150
2 0.0003 200 10
 
0.004327 
4.33 . 
 
 
 
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207. Una llanta de acero, de 10 mm de espesor, 80 mm de ancho y de 1500 mm de 
diámetro interior, se calienta y luego se monta sobre una rueda de acero de 1500.5 
mm de diámetro. Si el coeficiente de fricción estática es 0.30, ¿qué par se requiere 
para girar la llanta con respecto a la rueda? Desprecie la deformación de la rueda 
y use E = 200 GPa, 
 
: 
10 0.01 
80 0.08 
1500 1.5 
 
: 
1500.5 1.5005 
0.30 
? 
200 10 /  
209. Una barra de aluminio de sección constante de 160 mm2 soporta unas 
fuerzas axiales aplicadas en los puntos indicados en la figura. Si E= 70GPa. 
Determinar el alargamiento o acortamiento total de barra. 
 
10 10 0.8
160 10 70 10
5 10 1.0
160 10 70 10
35 10 0.6
160 10 70 10
 
7.147 10 4.46 10 0.001875 
0.001607 
1.61 
10KN 35 KN
15 KN 30 KN
 
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10KN
15 KN
PAl
 
35 KNPAl
 
 
210. Un tubo de aluminio está unido a una varilla de acero y a otra de bronce, tal 
como se indica en la figura P-210, y soporta unas fuerzas axiales en las 
posiciones señaladas. Determinar el valor de P con las siguientes condiciones: 
La deformación total no ha de exceder de 2 mm, ni las tensiones han de 
sobrepasar 140MPa en el acero, 80MPa en el aluminio ni 120MPa en el bronce. 
Se supone que el conjunto está convenientemente aislado para evitar el 
pandeo y que los módulos de elasticidad son 200 10 para el 
acero,70 10 para el aluminio y 83 10 para el bronce. 
3P
BRONCE
ALUMINIO
A=450 mm²
ACERO
A=600 mm²
A=300 mm²
2P
P 4P
 
3P P
PAL
 
2PPA
 
2 10 
3 0.6
450 10 83 10
2 1.0
600 10 70 10
2 0.8
300 10 200 10
2 10 
1.8
37.55
2
42
1.6
60
2 10 
4.82 10 4.76 10 2.67 10 2 10 
0.691 2 10 
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2.894 10 
28.94 
 
 
2 28.94
300 10
 
192933.33 / 
192.933 . 140 . í 
 
140
2
300 10
 
0.021 
21 
80
2
600 10
 
24 
 
120
3
450 10
 
18 
á 18 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A B
25 KN
T
D
50 KN
RC
C
211. Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente rígidas están 
articuladas en A y en D y separadas en C mediante un rodillo, como indica la 
figura P-211. En B, una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN. 
Determinar el desplazamiento vertical del rodillo situado en C. 
A B
C
D
50 KN
 
200 10 / 
300 
3 
 
∑ 0 
3 25 4.5 0 
37.5 
 
 
0 
50 2 4 0 
25 
A C
C'
y
 
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22 
 
W
TA TAL
masa=M
ACERO
E=200 GPa
L = 3m
ALUMINIO
E=70 GPa
L = 6m
 
37.5 3
300 10 200 10
 
0.001875 
 ∆ 
4.5 3
0.001875
 
3 0.0084375 
0.002812 
2.81 . 
 
212. Un bloque prismático de concreto de masa M ha de ser suspendido de 
dos varillas cuyos extremos inferiores están al mismo nivel, tal como se indica 
en la figura P-212. Determinar la relación de las secciones de las varillas, de 
manera que el bloque no se desnivele. 
 
 
.
.
.
.
 
2
5 3
200
3
5 6
70
 
0.006 5.14 10
 
0.006 . 5.14 10 . 
8.57 
8.57 . 
 
 
 
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50 KN
TA TAL
213. La barra rígida AB, sujeta a dos varillas verticales como se muestra en la 
figura P-213, está en posición horizontal antes de aplicar la carga P. Si 
50 , determine el movimiento vertical de la barra. 
ACERO
E=200 GPa
L = 3m
A=300 mm²
ALUMINIO
E=70 GPa
L = 4m
A=500 mm²
A B
P 
∑ 0 
5 50 2 0 
20 
 
0 
50 3 5 0 
30  
 
50 KN
30 KN 20 KN
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
24 
 
δ
P
.
.
30000 3
300 10 2 10 /
0.0015 1.5 
.
.
20000 4
500 10 7 10 /
2.286 10 2.29 
. 2.29 1.5 
. 0.79 . 
 
215. Una varilla de longitud L y sección circular tiene un diámetro que varía 
linealmente desde D en un extremo hasta d en el otro. Determinar el alargamiento 
que le producirá una fuerza P de tensión. 
 
2
 
.
2
 
2 
 
1
 
 
 
 
4
 
4 .
 
4
 
4
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
25 
 
4
1
 
4 1
 
4 1 1
 
4
2
 
4
 
4
 
4
 
4
 . 
 
216. Una varilla de longitud L y sección recta constante, situada en un plano 
horizontal experimenta una rotación alrededor de un eje vertical que pasa por uno 
de sus extremos llamado a la densidad y a la velocidad angular. Demostrar 
que el alargamiento total de la varilla viene dado por 
dx
W
 
 
 
. 
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26 
 
α
θ
L=3m
L=2 m
B
P C
A
2
 
2
 
 
 
.
2
 
.
.
 
. . . 2
.
 
2
 
2
 
2 6
 
2 6
 
3
 . . . 
 
217. Dos varillas de aluminio AB y BC articuladas en A y C a soportes rígidos, 
como indica la figura P-217, están unidas en B mediante un pasador y soportan la 
carga P = 20 kN. Si las varillas tienen una sección de 400 mm2 y E = 70 x 103 
MN/m2, determinar las deformaciones totales de cada una y el desplazamiento 
horizontal y vertical del punto B. Considérese α= 30˚ y β = 30°. 
 
0 
 30 30 20 
0.5 0.5 20 1 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
27 
 
0 
30 30 0 
0.87 0.87 2 
 
0.5 0.5 20 0.87 
0.87 0.87 0.5 
 
1 ^ 2 
0.435 0.4350.5 17.4 
0.435 0.435 0 
0.87 17.4 
 20 
 20 
 
20 2000
400 10 70 10
 
1.43 , 
 
0.87 20
0.87
 
20 
 
20 3000
400 10 70 10
 
2.14 , 
 
30 60 
1.238 0.5 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
28 
 
30 60 
1.853 0.5 
 
1.238 0.5 1.853 0.5 
0.5 0.5 3.091 3 
 
30 60 
0.715 0.87 
 
30 60 
1.07 0.87 
 
0.715 0.87 1.07 0.87 
0.87 0.87 0.355 4 
 
3 ^ 4 
0.5 0.5 3.091 0.87 
0.87 0.87 0.355 0.5 
 
0.435 0.435 2.689 
0.435 0.435 0.178 
0.87 2.857 
3.295 
2.885 
 
0.4095 
3.579 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
29 
 
0.0
5 
m
P
ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS O HIPERSTÁTICOS 
232. Una barra de acero de 50 mm de diámetro y 2 m de longitud se envuelve con un 
cascarón de hierro fundido de 5 mm de espesor. Calcular la fuerza de compresión que 
es preciso aplicar para producir un acortamiento de 1 mm en la longitud de 2 m de la 
barra compuesta. Para el acero, E = 200 x 109 N/m2, y para el hierro fundido, E = 100 x 
109 N/m2. 
. 0.025  
 
2 
0.005 
200 10 / 
100 10 / 
∆ 1 0.001 
 
 
0.03 0.025 
86394 10 
 
0.05 2 0.005 
0.06 
 
 
2
200 10
2
100 10
 
1 10 2 10 
2 
 
 
2
0.025 200 10
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
30 
 
5.09 10 
2
8.639 10 100 10
 
2.315 10 
 
0.001 5.09 10 
196463.65 
 
0.001 2.315 10 
43196.54 
 
 
196463.65 43196.54 
240  
 
233. Una columna de concreto armado de 250 mm de diámetro se diseña para soportar 
una fuerza axial de compresión de 400kN. Si el esfuerzo admisible en el concreto es 
de 6MPa y en el acero de 120MPa, determinar la sección de refuerzo de acero que se 
necesitará. Ec = 14GPa y Ea = 200GPa. 
0.1250.125 
 
 
 
14 10 200 10
 
0.07 
0.07 120 10 
8.4 10 / 
8.4 6 , 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
31 
 
t t
1200 KN
6 10 0.07 
85.71 10 / 
85.71 / 
 
 
 
400 10 6 10 0.125 85.71 10 
400 10 294527.31 6 10 85.71 10 
105475.69 70710000 
1.3232 10 
1323 
 
234. Una columna de madera de sección 250 x 250 mm se refuerza mediante placas 
de acero de 250 mm de ancho y espesor t, en sus cuatro caras laterales. Determinar 
el espesor de las placas de manera que el conjunto pueda soportar una carga axial 
de 1200kN sin que se excedan los esfuerzos admisibles de 8 MN/m2 en la madera y 
de 140 MN/m2 en el acero. Los módulos elásticos son Em = 10 x 103 MN/m2 y Ea = 
200 x 103 MN/m2 
800 
140 10 800 
175000 / 
4 
4 
4 
4 10 5 10 
800 
800 8 10 
6400 10 / 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
32 
 
M
Cobre
160 mm
Cobre
160 mm
Acero
240mm
6400
140, 
 
 
4 
1200 10 4 
1200 10 175 10 0.25 0.25 4 140 10 0.25 
1200 10 10937.5 140 10 
1189062.5 140 10 
8.4933 10 
8.4933 
 
235. Un bloque completamente rígido de masa M se apoya en tres varillas situadas 
en un mismo plano, como indica la figura P-235. Las varillas de cobre tienen una 
sección de 900 mm2, E = 120GPa, y esfuerzo admisible de 70MPa. La varilla de 
acero tiene una sección de 1200mm2, E = 200GPa, y el esfuerzo admisible es 
140MPa. Calcular el máximo valor de M. 
 ∑ 0 
2 
 
 
0.24
200 10
0.16
120 10
 
1.2 10 1.33 10 
1.11 10 
1.11 70 10 
77700000 / 
77.7 / 
 
2 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
33 
 
A
ce
ro
L=
1m B
ro
nc
e
L=
1.
6m
A
ce
ro
L=
1m
18 Mg
2 
77.7 10 1200 10 2 70 10 900 10 9.81 
22348.62 
22.35  
 
237. Los extremos inferiores de las barras de la figura P-237 están en el mismo 
nivel antes de colgar de ellas un bloque rígido de masa 18Mg. Las barras de 
acero tienen una sección de 600mm2 y E = 200 GN/m2. La barra de bronce tiene 
una sección de 900 mm2 y E = 83 GN/m2. Determinar el esfuerzo en las tres barras. 
 ∑ 0 
2 0 
2 18 10 9.81 
2 17580 
 
 
 
1
600 10 200 10
1.6
900 10 83 10
 
8.33 10 2.14 10 
2.57 
 
2 17580 
73910.53 
28753.96 
 
73910.53
600 10
 
123.18 10 / 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
34 
 
A
LU
M
IN
IO
A
C
E
R
O
A
LU
M
IN
IO
P
28758.96
900 10
 
31.9 10 /  
 
238. La plataforma rígida de la figura P-238 tiene masa despreciable y descansa 
sobre dos barras de aluminio, cada una de 250.00 mm de longitud. La barra central 
es de acero y tiene una longitud de 249.90 mm. Calcule el esfuerzo en la barra de 
acero una vez que la carga central P de 400kN se haya aplicado. Cada barra de 
aluminio tiene un área de 120 mm2 y un módulo E de 70GPa. La barra de acero 
tiene un área de 2400 mm2 y un módulo E de 200GPa. 
 
120 
70 
240 
200 
 
0.0001 
0.0001 
0.25
70 10
0.2499
200 10
0.0001 
3.57 10 1.25 10 0.0001 
3.57 10 0.0001
1.25 10
 
2.858 80 10 
 
 
400 10 2.856 80 10 
400 10 120 10 2.856 80 10 2400 10 
400 10 120 10 0.00685 192000 
592000 0.00697 
84935437.59 / 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
35 
 
1
3
2
M
85 10 / 
85 
 
2.858 80 10 
2.858 85 10 80 10 
162.76 10 / 
162.76 
 
240. Como indica la figura P-240, tres alambres de acero de 30 mm2 de sección 
cada uno soportan una carga de masa M. Las longitudes iniciales de los 
alambres son 19.994 m, 19.997 m y 20.000 m. (a) ¿Cuál es el esfuerzo en el 
alambre más largo, si M = 600 kg? (b) Si M = 200 kg, determinar el esfuerzo en 
el alambre más corto. Emplee 200 / 
300  
19.994  
19.997  
20.000  
600 
9.81
5886  
5886 19.994
30 10 200 10
0.01961  
19.61  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
36 
 
241. El conjunto de la figura P-241 consiste de una barra rígida AB, de masa 
despreciable, articulada en O mediante un perno y fija a las varillas de 
aluminio y de acero. En la configuración mostrada, la barra AB está en posición 
horizontal y hay un claro A=4 mm entre la punta inferior de la varilla de aluminio 
y su articulación en D. Calcule el esfuerzo en la varilla de acero cuando la 
punta inferior de la varilla de aluminio se articuló en el apoyo D. 
Acero (a)
A=300 mm²
E=200 GPa
L= 1.5 m
Aluminio (Al)
A=400 mm²
E=70 GPa
A
0
B
DC ? = 4 mm
 
0  
0.6 1.2 0 
2 1  
 
∆ ∆  
0.6
∆
1.2
 
2 ∆  
2 4 10  
4 10
2
 2 
 
1 2 
4 10
2
2 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
37 
 
R2R1
P
4 10
1.496
900 10 70 10
300 10 200 10
2 1.5
2 
80000 1.068 2 
3.068 80000 
26075.6 
26.1 
 
2 
52.2 
 
52.2 
300 10
 
174000 / 
174 
 
242. Una varilla homogénea de sección constante se empotra en sus extremos 
en soportes indeformables. Soporta una carga axial P aplicada, como indica la 
figura P-242. Demostrar que las reacciones vienen dadas por / y 
/ . Obsérvese que estas reacciones son análogas a las de una viga 
simplemente apoyada con una carga concentrada transversal aplicada en el 
mismo punto. 
  
∑ 0  
  
 
 
 
∆ ∆  
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
39 
 
TaPa
P PALPa
244. La barra representada en la figura P-244 está firmemente empotrada en 
sus extremos. Determinar los esfuerzos en cada material cuando se aplica la 
fuerza axial P = 200 kN 
P
A lu m in io (A l)
A = 9 0 0 m m ²
E = 7 0 G P a
A c e ro (a )
A = 1 2 0 0 m m ²
E = 2 0 0 G P a
 
 
0.3
1200 10 200 10
0.2
900 10 700 10
 
1.25 10 3.17 10 
2.336  
 
0  
 
2.586 200 
200 3.536 
56.561 
 
56.561
900 10
 
62.8 / 
2.586 200 
 143.44 
143.44 
1200 10
 
120 / 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
40 
 
PBR
P1 P2R PA
P1
R
PB
246. Una varilla está formada de tres partes distintas, como indica la figura 
P-246, y soporta unas tuerzas axiales P1 = 120kN y P2 = 50kN. Determinar los 
esfuerzos en cada material si los extremos están firmemente empotrados en 
unos nudos rígidos e indeformables. 
600 mm 400 mm 300 mm
P1 P2
Bronce
A=2400 mm²
E=87 GPa
Aluminio
A=1200 mm²
E=70 GPa
Acero
A=600 mm²
E=200 GPa
  
 
0  
 
 
0  
 
120 
120 
120 
 
0  
 
120 50 
170 
170 
 
0 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
41 
 
P
O
A
B
L-1.5 m
L-2m
0 
0.6
2400 10 83 10
120 10 0.4
1200 10 70 10
170 10 0.3
600 10 200 10
0 
3.01 10 4.76 10 5.71 10 25 10 4.25 10 0 
1.027 10 9.96 10 
96981.5 
97 
 
170 
97 170 
73 
 
73
600 10
 
122000 / 
122 / 
 
251. Según se muestra en la figura P-251 una viga rígida de masa despreciable 
está articulada en O y sujeta mediante dos varillas de diferentes longitudes; 
pero por lo demás idénticas. Determine la carga en cada varilla si P=30kN 
 
2 3.5
 
1.5
.
2
.
 
0.75 0.571 
0.76 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
42 
 
0  
30 2 2 3.5 0 
60 0.76 2 3.5 0 
60 1.52 3.5 0 
60 5.02 
11.95 
0.76 
0.76 11.95 
9.08  
 
252. Una viga rígida de masa despreciable está articulada en un extremo y 
suspendida de dos varillas. La viga está inicialmente en posición horizontal y en 
seguida se aplica la carga P. Calcule el movimiento vertical de la carga si P = 120kN. 
2m
P
3m 1m
Acero
A=600 mm²
E=200 GPa
L=4 m
Aluminio
A=900 mm²
E=70 GPa
L=3 m
 
4
600 10 200 10
 
3.33 10 
 
3
100 10 70 10
 
4.76 10 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
43 
 
3 6
 
1
3
3.33 10
1
6
4.76 10 
111 10 7.93 10 
0.714 
 
0  
3 120 5 6 0 
0.714 3 600000 6 0 
2.142 600000 6 0 
73691.97 
 
0.714 
0.714 73691.97 
52616 
 
6 5
 
5
65
6
 
5 4.76 10 73691.97
6
 
2.92 10 
2.92 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
44 
 
2m
P
3m 1m
Acero
A=900 mm²
E=200 GPa
L=3 m
Bronce
A=300 mm²
E=83 GPa
L=2 m
253. Una barra rígida, de masa despreciable, está articulada en un extremo y 
suspendida de una varilla de acero y una de bronce, según se muestra en la figura P-253. 
¿Cuánto vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el 
acero de 120 MN/m2 mínimo en el bronce de 70 MN/m2? 
  
0  
2 5 6 0 
 
 
 
3
200 10
2
83 10
 
1.5 10 2.41 10 
1.51 
1.61 70 10 
112.7 10 / 
112.7 / , por tanto el acero no sobrepasará su esfuerzo admisible de 
120 / sin que el bronce exceda el suyo. 
 
2 5 6 0 
6 2 5 
6 2 5 
6 2 112.7 10 800 10 5 70 10 300 10 
47553.33 
47.55  
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
45 
 
3mh
TB
10 kN
TB
TA
δA
δB
255. Tres varillas, situadas en un mismo plano, soportan conjuntamente una fuerza de 
10kN como se indica en la figura P-255. Suponiendo que antes de aplicar la carga 
ninguna de las tres estaba ni floja ni tensa, determinar las tensiones que aparecen en 
cada una. Para el acero, Ea = 200 x 109 N /m2, y para el bronce. Eb = 83 x 109 N /m2, 
10 kN
Bronce
Bronce
Acero L=3m
 
 
cos 30°
3
 
3.46  
 
 
 
0  
2 30 10 
 á  
 
0.87 
0.87 
3.46
83 10
0.87
3
200 10
 
4.17 10 1.5 10 0.87 
0.313 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
46 
 
2 0.313 cos 30 10000 
1.544 10000 
 6476.68 
 6.48 
 
0.313 
0.313 6.48 
2.03 
 
256. Tres barras AB, AC y AD se articulan en A para soportar juntas un carga P= 20kN, 
como se indica en la figura P-256. El desplazamiento horizontal del punto A está impedido 
por una corta varilla horizontal AE que se supone infinitamente rígida. Determinar los 
esfuerzos en cada barra y la fuerza total en AE. Para la barra de acero, A = 200 m2 y 
E = 200 GPa, y para cada una de las barras de aluminio, A 400 mm2 y E = 70 GPa. 
Acero
Aluminio
Aluminio
L=3 m
P
E
B C D
 
cos 45 
cos 30 
cos 30 cos 45
 
3
200 10 200 10
1
cos 30
.
3.46
400 10 70 10
1
cos 45
.
4.24
400 10 70 10
 
75 10 1.42 10 2.13 10 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
47 
 
1.42 10
75 10
 
1.89 
1.42 10
2.13 10
 
0.66 
 
ESFUERZOS DE ORIGEN TÉRMICO 
261. Una varilla de acero de 150 mm2 de sección está sujeta en sus extremos a dos 
puntos fijos, estando estirada con una fuerza total de 5000 N a 20º C. Calcular el esfuerzo 
de la varilla a -20ºC ¿A qué temperatura se anulará el esfuerzo? 11.7 / °c y 
E = 200 x 109 N/m2. 
δT δP1
Acero
A=150 mm²
P=5000 N
atº=20ºC
 
 
∆ 
200 10
5000
150 10 200 10
11.7 10 40 
5 10 1.666 10 0.000468 
5 10 0.0006346 
126.92 10 / 
127 / 
 
0 1.666 10 11.7 10 ∆ 
∆
1.666 10
11.7 10
 
∆ 14.24 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
48 
 
1.
8 
m
Acero
Rueda
0.075 m
Acero
δTA
δPA
 
20 14.24 
34.24 
 
264. Una llanta de acero de 10 mm de espesor y 75 mm de ancho se coloca 
sobre una rueda motriz de locomotora, de 1.8 m de diámetro, calentándola a 
90°C, temperatura a la cual encaja perfectamente sobre la rueda, que está a 
20°C. Determinar la presión de contacto entre ambas ruedas al descender la 
temperatura común a 20°C. Despreciar la deformación de la rueda producida 
por la presión de contacto 11.7 / °c y E = 200 x 103 N/m2. 
 
0.075 0.01 
0.00075 
 
0.9 
2.545 
 
0.9 0.01 0.075 
0.06825 
∆ 
11.7 10 2 0.9 90 
5.95 10 
 
∆ 
11.7 10 2 0.9 50 
3.31 10 
 
 
5.95 10
5.654
7.5 10 200 10
3.31 10 
0.00264 3.77 10 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
49 
 
D=
 0
.6
 m
Bronce
0.1 m
D=0.57 m
Acero
t=0.015 m
t=0.02 m
70026.53 
 
70026.53
0.06825
 
1026029.67 / 
 
.
 
1026029.67
0.97001
0.9
 
923426.70 0.91 
1014454.62 / 
1.015 / 
 
265. Un aro de bronce de 20 mm de espesor cuyo diámetro interior es de 
600mm se coloca perfectamente ajustado sobre otro de acero de 15 mm de 
espesor, a una temperatura común de 130°C. EI ancho, igual para los dos, es de 
100 mm. Determinar la presión de contacto entre ambos aros cuando la 
temperatura descienda hasta 20°C. Despreciar el hecho de que el aro interior 
pueda abollarse por pandeo. Ea = 200GPa y 11.7 / °c . Eb= 83GPa y 
19 / °c . 
 
: 
∆ 
19 10 0.310 2 110 
3.94 10 
 
2 0.310 
1.884 
 
1.884 3.94 10 
1.8800 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
50 
 
2 
1.880 2 
0.29921 
 
: 
∆ 
11.7 10 0.3 2 110 
2.425 10 
 
2 0.30 
1.884 
 
1.884 2.425 10 
1.881 
 
2 
1.881 2 
0.29945 
 
 
3.94 10 2.425 10 
0.001515 
0.001515 
0.001515
1.884
200 10
1.884
83 10
 
0.001515 6.28 10 1.1349 10 
0.001515 1.762 10 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
51 
 
85981.84 
 
0.21 0.015 
0.0015 
 
0.1 0.02 
0.002 
 
0.1 0.035 
0.0035 
 
85981.84
0.0035
 
24566240 / 
.
 
24565240 0.035
0.3
 
2866061 / 
2.87 / 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
52 
 
55Mg
BronceBronce Acero
266. A una temperatura de 20°C se coloca una plancha rígida que tiene una 
masa de 55 Mg sobre dos varillas de bronce y una de acero, como se indica en 
la figura P-266. ¿A qué temperatura quedará descargada la varilla de acero? 
Datos Acero: A = 6000 mm2, E = 200 x 109 N/m2 y 11.7 / °c . Bronce 
(cada una): A = 6000 mm2, E = 83 x 109 N/m2 y 19 / °c . 
 
 
 
55 10 9.81 / 
539.55 
 
 
 
∆ 
 
19 10 0.25 ∆ 11.7 10 0.3 ∆
269.775 0.25
600 10 83 10
 
0.00000124∆ 1.354 10 
∆ 109.22 
109.22 20 
129.22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
53 
 
267. A una temperatura de 20°C hay un claro ∆ = 0.2 mm entre el extremo inferior 
de la barra de bronce y la losa rígida suspendida de las dos barras de acero, 
según se muestra en la figura P-267. Despreciando la masa de la losa, determi-
ne el esfuerzo en cada barra cuando la temperatura del conjunto se eleva a 
100°C. Para la barra de bronce, A = 600 mm2, E = 83 x 109 N/m2 y 
18.9 / °c . Para cada barra de acero, A = 400 mm2, E = 200 x 109 N/m2 y 
11.7 / °c . 
A
C
E
R
O
B
R
O
N
C
E
A
C
E
R
O
800 mm
Δ
 
∆ 0 
∆ ∆ ∆ 0 
0.0002 11.7 10 0.8 80
0.8
400 10 200 10
2 0.8
600 10 83 10
18.9 10 0.8 80 0 
0.0002 0.0007488 1 10 3.212 10 0.0012096 0 
4.212 10 0.0002608 
6191.83 
 
6.19183 
400 10
 
15473.53 / 
 
2 6.19183 
600 10
 
20639.43 / 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
54 
 
268. Un cilindro de aluminio y otro de bronce, perfectamente centrados, se 
aseguran entre dos placas rígidas que se pueden apresar mediante dos 
tornillos de acero, como se observa en la figura P-268. A 10°C no existen 
fuerzas axiales en conjunto del dispositivo. Determinar las tensiones en cada 
material a 90°C, con los siguientes datos: 
Aluminio, A = 1200 mm2, E = 70 x 109 N/m2; y 
Bronce, A = 1800 mm2, E = 83 x 109 N/m2, y 
Cada tornillo, A = 500 mm2, E = 200 x 109 N/m2, y 
 
20 mm 75 mm 100 mm 20 mm
ALUMINIO BRONCE
 
 
23 10 0.075 80
2 0.075
1200 10 70 10
19 10 0.1 80
2 0.1
1800 10 83 10
11.7 10 0.215 80
0.215
500 10 200 10
 
13.8 10 1.79 10 15.2 10 1.34 10 20.124 10 2.15 10 
88.76 10 5.28 10 
16810.61 
16811 
 
2 
2 
33622 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
55 
 
TaPa
P PALPa
16811 
500 10
 
33.62 
2 16811 33622 
 
33622 
1200 10
 
28.02 / 
 
33622 
1800 10
 
18.68 / 
 
273. La barra compuesta de figura P-273, está firmemente sujeta a soportes 
indeformables. Se aplica una fuerza axial P = 200kN a una temperatura de 
20°C. Calcular los esfuerzos en cada material a la temperatura de 60°C. 
11.7 / °c para el acero y 23.0 / °c para el aluminio. 
P
Aluminio (Al)
A=900 mm²
E=70 GPa
Acero (a)A=1200 mm²
E=200 GPa  
 
0  
 
 
0  
200000 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
56 
 
200000 2 
100 10 
 
 
23 10 0.2 20 11.7 10 0.3 40 
100 10 0.2
900 10 70 10
0.3
1200 10 200 10
 
0.000184 0.0001404 3.17 10 1.25 10 
5920 / 
5.920 / 
 
100 10
900 10
 
111111111.1 / 
111.111 / 
 
275. Una varilla está formada por los tres segmentos que indica la figura P-275. 
Si las fuerzas axiales P1 y P2 son nulas, determinar los esfuerzos en cada 
material al descender la temperatura 30°C en los casos siguientes: (a) los 
soportes no se mueven en absoluto, y (b) los soportes ceden 0.300 mm. 
 18.9 / °c Para el bronce, 23.0 / °c para el aluminio y 
11.7 / °c para el acero. 
800 mm 500 mm 400 mm
P1 P2
Bronce
A=2400 mm²
E=83 GPa
Aluminio
A=1200 mm²
E=70 GPa
Acero
A=600 mm²
E=200 GPa
 
a) 
 
∆ ∆ ∆ 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
57 
 
0.8
2400 10 83 10
0.3
1200 10 70 10
0.4
600 10 200 10
18.9 10 0.8 20 23 10 0.3 30 11.7 10 0.4 90 
1.33 10 9.39 10 
70602 
 
70602
2400 10
 
29.42 / 
 
70602
1200 10
 
58.84 / 
70602
600 10
 
117.7 / 
 
b) 
0.3 10 
1.33 10 9.39 10 0.3 10 
1.33 10 6.39 10 
48045.11 
48045.11 
2400 10
 
20 / 
 
48045.11 
1200 10
 
40 / 
48045.11 
600 10
 
80 / 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
58 
 
277. La barra está articulada mediante un perno en O y conectada a dos 
varillas según se muestra en la figura P-277. Si la barra AB se mantiene en 
posición horizontal a determinada temperatura, calcule la relación de áreas de las 
varillas para que la barra AB se mantenga horizontal a cualquier temperatura. Desprecie 
la masa de la barra AB. 
Acero
E=200 GPa
L= 8 m
Aluminio
E=70 GPa
L=8 m
A
0
B
 
23.0 / °c Aluminio 
11.7 / °c Acero. 
 
 
∆ ∆ 
23 10 ∆
70 10
 0 
1610090.5∆ 
2340000 ∆ 
 
0  
3 4 0 
4
3 
 
3
4 
2340000∆ 
 312 10 ∆ 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
59 
 
2m 3m
Acero
A=900 mm²
E=200 GPa
L=3 m
Bronce
A=1200 mm²
E=83 GPa
L=2 m
312 10 ∆ 1610090.5∆ 
 
0.516 
 
278. Una barra rígida horizontal de masa despreciable está conectada a dos varillas 
según se muestra en la figura P-278. Si el sistema está originalmente libre de esfuerzos, 
determine el cambio de temperatura que causará un esfuerzo de tensión de 60MPa en 
la varilla de acero. 
  18.9 / °c Bronce 
11.7 / °c Acero. 
 
2 5
 
0  
2 5 0 
5
2
 
2.5 
 
2 5
 
 
1
2
18.9 10 2 ∆
2.5 2
1200 10 83 10
 
1
5
1.7 10 3 ∆
3
900 10 200 10
 
1.89 10 ∆ 2.51 10 7.02 10 ∆ 3.33 10 
11.88 10 ∆ 2.18 10 
60 10 900 10 
54000 
11.88 10 ∆ 0.0011772 
∆ 99 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
60 
 
279. Para el conjunto mostrado en la figura P-279, determine el esfuerzo en cada 
una de las dos varillas verticales si la temperatura se eleva 40°C después que se aplica 
la carga P = 50 kN, Desprecie la deformación y la masa de la barra horizontal AB. 
3m
50 kN
Acero
A=600 mm²
E=200 GPaAlnuminio
A=900 mm²
E=70 GPa
3m 3m
3m 4m
 
23.0 / °c Aluminio 
11.7 / °c Acero. 
 
0  
3 6 50 10 9 
150 10 2 1 
 
6 3
 
2 2 
4
600 10 200 10
11.7 10 4 40
2
3
900 10 70 10
23 10 3 40 
3.33 10 1787 10 9.52 10 5.52 10 
3.33 10 9.52 10 3.65 10 3 
 
1 3 
3.33 10 9.52 10 150 10 2 3.65 10 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
61 
 
2.238 10 17.95 10 
80206 ó 
10412 ó 
: 
10412 
900 10
 
11.56 / 
 
80206 
600 10
 
134 / 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
62 
 
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA 
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL 
CAPÍTULO III 
TORSIÓN 
304.  Calcular  el  mínimo  diámetro  de  un  árbol  de  acero  que,  sometido  a  un  momento 
torsionante de 14  . , no debe experimentar una deformación angular superior a 3° en una 
longitud de 6 m.  ¿Cuál es  entonces  el  esfuerzo  cortante máximo  que  aparecerá  en  él? 
Use  83 /   
.
.
 
.
.
 
14 10 3
3 180 83 10
 
1.932 10  
.
32
 
1.932 10 32 /
 
0.118  
118  
.
 
14 10 0.1182
1.932 10
 
43 /  
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
63 
 
305. En un árbol macizo de 5m de  longitud, en el que el árbol  total de  torsión es de 4º, el 
esfuerzo  cortante máximo es de 60 MPa. Si G= 83GPa,  calcular  su diámetro. ¿Qué pòtencia 
podrá transmitir a 20r/s? 
     
.
 
60 10
.
 
60 10 .  
60 10
 1  
2
 
. 2 .  
0.0130 2 20  
1.64  
 
.
.
 
. .
 
4 180 83 10
5
 
1158898623 .  
1158.90 . 2  
 
1 2  
60 10
1158.90  
60 1158.90  
 5.177 10  
5.177  
103.54  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
64 
 
306.  Hallar  la  longitud  de  una  varilla  de  bronce  de  2 mm  de  diámetro  para  que  pueda 
torcerse dos vueltas completas sin sobrepasar el esfuerzo cortante admisible de 70 . Use 
 35 . 
 
35 10 4 0.0022
70 10
 
6.283 10  
6.283  
 
308.  Demostrar  que  un  árbol  hueco  de  sección,  circular,  cuyo  diámetro  interior  sea  la 
mitad del exterior, tiene una resistencia a la torsión que es igual a  de la que tiene un árbol 
macizo del mismo diámetro exterior. 
 
Á : 
16
 
16
 
5.093
 
 
Á : 
16
 
16
2 
 
16
16
16 
 
16 16
15 
 
5.432
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
65 
 
ó : 
5.432
 
5.093  
1.0665
16
15
 
16
15
 . . .  
 
311. Un árbol de  transmisión de acero corista de una parte hueca de  2 m de  longitud  y 
diámetros de 100 mm y 70 mm, y otra parte maciza  de  70 mm  de  diámetro  y  1.5  ni de 
longitud. Determinar el máximo momento torsionante que puede soportar sin que el esfuerzo 
sobrepase el valor de 70 / , ni el ángulo total de torsión supere el valor de 2.5° en la 
longitud total de 3.5 m, Use  83 / . 
 
 
2.5
180
2 1.5
 
3.49 10
2
7.46 10 83 10
1.5
2.357 10 83 10
 
313. El árbol de la figura P‐313 gira a 3 r/ s absorbiendo 30 kW en A y 15 kW en B de los 45 kW 
aplicados en C. Si  83 10 / , calcular el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de 
torsión de la rueda A respecto de la rueda C. (Material acero.) 
 
30 10 . /
2 3
 
1591.55 .  
15 10 . /
2 3
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
66 
 
795.77 . /  
45 10 . /
2 3
 
2387.32 . /  
 
0.05
32
 
6.14 10  
0.075
32
 
3.11 10  
.
 
1591.55 0.025
6.14 10
 
64.80 . 
 
 
2387.32 0.0375
3.11 10
 
28.80 /  
 
314. Un árbol de acero se encuentra cargado según se muestra en la figura P‐314. Usando un 
módulo  83 / , calcule el diámetro requerido del árbol si el esfuerzo cortante está 
limitado a 600 /  y el ángulo de rotación en el extremo libre no debe exceder de 4°. 
 
4
180
 
6.98 10 . 
1000 500  
500 .  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
67 
 
500 .  
1000 .  
   
500 
500 500 1000 
.
.
 
6.98 10
500 2
32 83 10
1000 3
32 83 10
 
6.98 10 1.23 10 3.68 10  
6.98 10 4.91 10  
7.03438 10  
5.15 10  
51.5  
16
 
60 10
16 500
 
188495559.2 8000 
4.244  
0.03488  
34.88  
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
68 
 
315. A un eje de sección constante y 5m de longitud que gira a 2 r/s se le aplican 70 kW a 
través de un engrane situado a 2 m del extremo izquierdo, en donde se absorben 20 kW Em el 
extremo derecho se utilizan 30 kW y a 1.5m de éste, los otros 20 kW. (a) Dimensionar el 
árbol si el esfuerzo cortante no ha de exceder 60 MN/m2. (b) Si el eje tiene un diámetro de 
100mm, determinar el ángulo total de torsión de un extremo al otro. Use  
 83 /  
 
2
 
70  
20  
30  
20  
60 10 /  
2
 
32
 
70
2 2
 
5.57 
50
2 2
3.98 .  
20
2 2
1.59 .  
30
2 2
2.39 .  
20
2 2
1.59 .  
 
16
 
60 10
16 5.57
 
60 10 89.12 
4.73 10  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
697.79 10  
47.9  
 
16
 
16
 
60 10
16 3.98
 
188495.55 63.68 
3.3783 10  
6.964 10  
69.64  
 
.
.
 
0.1
32
3.98 5
83 10
 
9.82 10 83 10 19.90 
0.815 19.90 
24.42
180
 
0.426° 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
70 
 
316. Un  eje  de  acero  de  3 m  de  longitud  tiene un diámetro que varía uniformemente 
desde  60  mm  en  un  extremo  hasta  30mm  en  el  otro.  Suponiendo  que  es  válida  la 
ecuación  (3‐1) en cada elemento diferencial de  longitud sin   error apreciable, determinar el 
ángulo total de torsión si transmite un par torsor de 170 N.m. Use  83 10 /  
 
0.015 3
 
0.005  
0.03 2 0.005  
0.03 0.01  
0.03 0.01
32
 
0.03 0.01 3 10 1 10 10 3  
 
.
32 0.03 0.01 .
 
170 32
10 3 83 10
 
2.09 3  
2.09 3  
2.09
3
3  
2.09
3
3 3 3  
0.02257 
180
 
1.29° 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
71 
 
317. Un árbol hueco de bronce de 75 mm de diámetro exterior y 50 mm interior tiene dentro 
un eje de acero de 50 mm de diámetro y de  la misma  longitud, estando ambos materiales 
firmemente unidos en los extremos del eje. Determinar el máximo esfuerzo en cada material 
cuando se somete el conjunto a un par torsor de 3 kN.m.  35 /  para el bronce y 
 83 /  para el acero. 
 
.
.
 
32
 
0.05
32
 
6.14 10  
32
 
0.075 0.05
32
 
  
2.49 10  
 1   
 
 
.
6.14 10 83 10
.
2.49 10 35 10
 
1.962 10 1.147 10  
0.585 2  
2 1  
 
3 10 0.585  
3 10 1.585  
1892.74 .  
16
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
72 
 
16 1107.26
0.05
 
45113831 /  
45.11 /  
 
 
3 10 1892.74 
1107.26 .  
 
16 .
 
16 1892.74 0.075
0.075 0.05
 
28474030 /  
28.5 /  
 
318. Un  árbol  compuesto  está  construido  con  tres materiales diferentes  y  sujeto  a dos 
pares aplicados según se  ilustra en  la figura P‐318. (a) Calcule el máximo esfuerzo cortante 
desarrollado en cada material. (b) Calcule el ángulo de rotación del extremo libre del árbol. 
Use los siguientes valores:  28 / ;  83 / ; 35 /  
 
 
0.1
32
 
9.82 10  
32
 
0.075
32
 
3.11 10  
1                
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
73 
 
2               4 10  
1.5 10 .  
16
 
16 1.5 10
0.075
 
18108396 /  
18.11 / . 
 
16
 
16 1.5 10
0.075
 
18108396 /  
18.11 / . 
 
4 10  
1.5 10 4 10  
3 5.5 10  
 
  
4 10 1.5 10  
2.5 10  
16
 
16 2.5 10
0.1
 
12732406 /  
12.73 / . 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
74 
 
.
.
 
1.5 10 1.5 
3.11 10 35 10
 
2.067 10
180
 
1.1843° 
1°11 3.48  
 
319. En el árbol de  la  figura P‐319,  firmemente empotrado en  sus extremos,  la porción AB 
tiene 75 mm de diámetro y es de bronce, con  60 /  y  35 / . La porción 
BC es de  acero, de 50 mm de diámetro,  80 / ; 83 / .   Si  a= 2 m y 
b=1.5 m, determinar el par torsor máximo T que puede aplicarse en el punto B de unión de 
las dos partes. 
 
∑ 0 
 1  
 
.
.
.
.
 
. 1.5
6.14 10 83 10
. 2
3.11 10 35 10
 
2.934 10 1.837 10  
0.624 1  
 
0.624  
1.624  
 
1.602 1  
 
 1.602  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
75 
 
2.602  
 
32
0.075
32
3.1063 10  
32
0.05
32
6.14 10  
 
.  
80 10
0.05
2
6.14 10
 
1964.8 .  
1.964 10 .  
 
.  
60 10
0.05
2
3.11 10
 
4976 .  
4.976 10 .  
 
1.624 4.976  
8.08 .  
 
2.602 1.964  
5.11 .  
 
á  
6.94 . á . 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
76 
 
320. En el problema anterior determinar  la relación de  longitudes b/a que debe existir para 
que el acero y el bronce trabajen al máximo esfuerzo posible. ¿Qué par torsor T es necesario 
para ello? 
 
.
.
.
.
 
.
6.14 10 83 10
.
3.11 10 35 10
 
1.962 10 . 9.186 10 .  
.
. 
.
.
 
0.46819  
 1  
.  
 
80 10 6.14 10
0.025
1964.8 .  
60 10 3.11 10
0.0375
4976 .  
 1 : 
  
4976
1964.8
 .  
4976
1964.8
 . 0.46819  
1.19 
 
1.964 . 4.976 .  
6.94 .  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
77 
 
321. Un árbol compuesto, que consta de un segmento de aluminio y uno de acero, está some‐
tido a dos momentos de torsión como se muestra en la figura P‐321. Calcule el máximo valor 
admisible de T de acuerdo con  las siguientes condiciones:  100 ; 70 , y 
el  ángulo  de  rotación  del  extremo  libre,  limitado  a  12˚.  Use  los  valores 
 83 ; 28 . 
 
32
0.075
32
3.11 10  
. 6.14 10  
 
10485.95 .  
1  
2  
2 .
.
 
2 . 1.5
6.14 10 83 10
 
12
180
5.89 10  
3556.52 .  
 
 
3  
3556.52 2  
1778.26 .  
 
16
 
16 1778.26
0.075
 
21.47 70  
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
78 
 
16
 
70 10
16
0.075
 
5798.45 .  
 
16
 
100 10 0.05 16  
2454.375 .  
2  
3  
3 10485.95 .  
3495.32 .  
 
16 3495.32
0.075
 
42.2 70  
 
322.  Un  par  torsor  T  se  aplica,  como  indica  la  figura  P‐322,  a  un  árbol macizo  con 
extremos  empotrados.  Demostrar  que  los  momentos  torsionantes  en  los 
empotramientos son  / /  ¿Variarían estos valores si el árbol fuera 
hueco? 
 
 
.
.
.
.
 
. .  
.
 
.
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
79 
 
 
.
 
. . .  
.  
.
 
.
 . . . . 
 
 
.
 
. . .  
.  
.
 
.
 . . . . 
 
324.  Un  árbol  se  compone  de  tres  porciones  AC,  CD  y  DB  soldadas  entre  sí  y  el 
conjunto firmemente empotrado en sus extremos y cargado como  indica  la figura P‐
324.  Para  el  acero  83 / ;  para  el  aluminio G=  28  GN/m2;  y   para  el  bronce 
 35 / . Determinar la tensión cortante máxima en cada material. 
 
∑ 0 
300 700 1  
300 2  
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
80 
 
32
0.025
32
3.83 10  
32
0.05
32
6.14 10  
32
0.025
32
3.83 10  
0 
.
.
.
.
.
.
0 
. 2
3.83 10 83 10
1000 1
3.83 10 35 10
300 1.5
6.14 10 28 10
0 
6.29 10 0.74599 7.46 10 0.02617 8.725 10 0 
0.00146225 0.77216 
 
528 1000 
472 .  
 
.  
472 0.0125
3.83 10
 
156 10 /  
 
528 .  
 
.  
528 0.0125
3.83 10
 
172 10 /  
 
528 300 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
81 
 
228 .  
 
.  
228 0.025
6.14 10
 
9.3 10 /  
 
338. Un tubo de 3mm de espesor, tiene una forma elíptica. Hallar el momento torsionante que 
producirá en el esfuerzo cortante de 60 MN/m2  
 
. .
4
 
0.15 0.075
4
 
8.84 10  
. 2 .  
60 10 2 8.84 10 3 10  
3.182 .  
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
82 
 
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA 
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL 
CAPÍTULO IV 
FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN VIGAS 
Escribir  las  distribuciones  de momentos  flexionantes  y  fuerza  cortante  en  las  vigas  de  los 
problemas siguientes. Trazar también sus diagramas, marcando los valores en todos los puntos 
de discontinuidad, y en los de fuerza cortante nula, despreciar el peso propio de las vigas. 
 403. La viga cargada como se indica en la figura. 
 
 
0 
6 50 2 20 7 0 
40  
 
 
0 
50 4 6 20 1 0 
30  
 
0 
40 30 50 20 
70 70 
 
30  
30  
30 50 
20  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
83 
 
 
30 50 2  
30 50 100 
100 20  
30 50 40 
20 
30 50 2 40 6  
30 50 100 40 240 
20 140 
 : 
 : 
100 20  
5  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
84 
 
406. La viga cargada como se indica en la figura. 
 
 
0 
20 2 1 20 2 20 4 2 40 2 4 0 
40 40 160 80 4  
40  
 
0 
40 2 20 2 1 20 2 3 4 20 2 5 20 6 0 
80 40 120 4 200 120 0 
140  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
85 
 
0 
20 40 20 6  
140 40 20 40 120 
180 180 
 
20 20 
20 20
2
 
20 10  
 
20 20 140 
20 120 
 
20
220 140 2  
10 20 140 280 
10 120 280 
 
140 20 40 20  
80 20  
 
20
2
20 140 2 40 4  
10 20 140 280 40 160 
10 80 120 
X  V  M 
0  AB  ‐20  0 
2  ‐60  ‐80 
2  BC  80  ‐80 
4  40  40 
4  CD  0  40 
6  ‐40  0 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
86 
 
410. Ménsula cargada con la carga triangular que indica la figura. 
 
 
 
 
2
.
2
 
2
 
. .  
6
.  
 
2
2  
  
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
87 
 
413. Viga con la carga indicada en la figura. 
 
∑ 0 
25 5 50 4.5 0 
40  
 
0 
5 25 30 1.5 20 1 0 
5 25 45 20 
10  
 
 
 
 
 
10 0 1 
10  
 
  10 1 2   
  10 25  
 
 
10 10 2 2 5 
10 10 20 
30 10  
10 25 10 2
1
2
2  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
88 
 
10 25 5 2 2  
10 25 5 2  
5 2 10 25  
 
 
10 40 10 2 5 7 
50 10 20 
70 10  
10 25 40 5 10 2
1
2
2  
10 25 40 200 5 2  
5 2 50 270  
 
 : 
30 10 0 
3 
 
5 2 10 25 
5 3 2 10 3 25 
58 30 25 
0 
 
30
3
10
 
1  
30 10  
0 30 10  
30 10  
1  
X V  M 
0 10  0 
1 10  10 
1 10  ‐15
2 10  ‐5 
2 10  ‐5 
5 ‐20 ‐30
5 20  ‐20
7 0  0 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
89 
 
418. Voladizo o ménsula cargada como indica la figura. 
 
0 
60 5 2 4 0 
20 .  
 
0 
20 60 5 2 3 0 
10  
 
  
0 
5 2 10 
10 0 10 
10 10 0 
 
 0 
10 2 0.5 10 
10 10 2 30 
30 60 30 
30 10 1 20 
20 20 0 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
90 
 
419. Viga cargada como indica la figura. 
0 
 
30 
 
0 
20 3 0.5
2
3
3 5  
60 5  
12  
30 12 
18  
 
 
 
 
 
0 3 
20
3
 
6.67  
 
18
2
 
18
6.67 .
2
 
18 3.33  
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
91 
 
18
2 3
 
18 . .  
18 1.11  
3 5 
 
18
20 3
2
 
12  
 
18 30
2
3
3  
18 30 60 
60 12  
 
 á : 
18 3.33  
18 3.33  
2.32  
 
18 1.11  
18 2.32 1.11 2.32  
27.89 .  
 
  X  V  M 
AB  0  18  0 
3  ‐12  24 
BC  3  ‐12  24 
5  ‐12  0 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
92 
 
420. Una carga distribuida con un total de 60 kN, soportada por una reacción uniforme como 
indica la figura. 
 
7.5  
7.5 .
2
 
3.75  
 
15 7.5 2) 
15 1 7.5 2 2  
15 1 3.75 2  
                                                                    
 
 
 
 
 
 
15 30 7.5 6) 
15 7.5 6) 
15 1 3.75 2  
 
X  V  M 
0  0  0 
2  15  15 
4  0  30 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
93 
 
422. Determinar las distribuciones de V y M en el arco semicircular de la figura, si (a) la fuerza 
P es vertical como se indica, y (b) si es horizontal y hacia la izquierda, pero aplicada en el 
mismo punto.
    
 
cos 90  
2
sen θ 0 θ 90 
2
x  
cos θ  
cos θ  
1  
2
1  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
94 
 
cos 90
/
 
cos 180  
cos 180  
cos 180  
cos  
 
2
sen θ 
2
 
2
 
2 2
 
2
1  
 
V  M 
0  0  0 
22.5  0.19  0.038
45  0.35  0.146
67.5  10.46 0.309
90  0.5  0.500
90  ‐0.5  0.500
112.5 ‐0.46  0.309
135  ‐0.35  0.146
157.5 ‐0.19  0.033
180  0  0 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
95 
 
Sin escribir la ecuaciones de momento flexionante y fuerza cortante, trazar los diagramas 
correspondientes a las vigas de los problemas siguientes. Dar los valores numéricos en todos 
los puntos de discontinuidad y en los de fuerza cortante nula.  
429. Viga cargada como indica la figura. 
 
: 
0 
20 2 6 5 20 4 10 4 2 10 2 1 0 
5 240 80 80 20 
76  
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
96 
 
0 
20 2 10 6 76 20 0 
44  
 
á : 
 . 0 
 . 20 2 40 
 . 20 2 76 36 
 . 20 2 76 36 
 . 20 2 76 20 16 
 . 20 2 76 20 10 4 24 
 . 24 44 20 
 . 20 10 2 0 
 
∆ Á  
 : ∆  
 
 0 
 ∆ 0 20 2 40 
 20 2 76 36 
 ∆ 36 0 36 
 ∆ 36 20 16 
 ∆ 10 10 4 24 
 ∆ 24 44 20 
 ∆ 20 10 2 0 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
97 
 
á : 
∆ Á  
 0 
 ∆ 0 40 2 0.5 40 
 ∆ 40 36 1 4 
 ∆ 4 16 1.6 0.5 8.8 
 ∆ 8.8 24 2.4 0.5 20 
 ∆ 20 20 2 0.5 0 
 
16 24
4
 
64 16 24  
64 40  
1.60  
24 2.4
 
10  
8.80 .
2
0 
8.8 10 .
2
 
1.33  
 
á 8.80 4.6  
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
98 
 
431. Viga cargada y apoyada como indica la figura. 
 
0 
7 10 7 3.5 50 5 20 4 2 10 3 1.5 40 3 0 
7 245 250 160 45 120 0 
70  
 
0 
50 2 10 7 3.5 20 4 5 7 10 3 8.5 40 10 0 
100 245 400 7 255 400 0 
200  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
99 
 
0 
70 200 50 10 10 20 4 40 
270 270 
 
70 10 0 2 
70 10
2
  
70 5  
 
70 50 10 2 3 
20 10  
70 10
2
50 2  
70 5 50 100 
5 20 100 
 
70 50 10 20 3 3 7 
70 50 10 20 60  
80 30  
70 50 2 10
2
20 3
3 
2
 
70 50 100 5 10 30 30 90 
15 80 10 
 
70 50 10 20 4 200 7 10 
 140 10  
70 50 2 10
2
20 4 5
200 7  
5 140 900 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
100 
 
  X  V  M 
AB  0  70  0 
2  50  120 
BC  2  0  120 
3  ‐10  115 
CD  3  ‐10  115 
7  ‐130  ‐165
DE  7  70  ‐165
10  40  0 
 
434. Viga cargada como se muestra en la figura. 
 
 
∑ 0 
30 1 20 3 1.5 60 5 0 
24  
0 
30 6 5 20 3 3.5 60 0 
66  
 
0 
66 24 30 20 3  
90 90 
30 0 1 
30  
 
30 66 20 1 1 4 
36 20 20  
20 56  
30 66 1 20 1
1
2
 
30 66 66 10 1  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
101 
 
10 1 36 66 
 
 
30 66 20 3 4 5 
24  
30 66 1 20 3 2.5  
30 66 66 60 150 
24 84 
 
 
 
 
24  
30 66 1 60 2.5 60 
24 144 
á 36 .  
 
  X  V  M 
AB  0  ‐30  0 
1  ‐30  ‐30 
BC  1  36  ‐30 
4  ‐24  ‐12 
CD  4  ‐24  ‐12 
5  ‐24  ‐36 
DE  5  ‐24  24 
6  ‐24  0 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
102 
 
435. Viga cargada como indica la figura. 
 
 
0 
20 40 10 4  
100  
 
0 
40 2 1 10 2 1 20 2 40 3 5 0 
5 40 120 
32  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
103 
 
0 
10 4 5 5 20 3 40 2 16 1 0.5 16 1 0.5 0 
200 60 80 5  
68  
 
 : 
∆ Á  
 
 0 
∆ 0 10 2 20 
∆ 20 68 48 
∆ 48 10 2 28 
∆ 28 20 8 
∆ 8 0 8 
∆ 8 40 32 
∆ 32 16 2 0 
0 
 : 
∆ Á  
0 
∆ 0 0.5 20 2 20 
∆ 20
48728
2
2 56 
∆ 56 8 1 64 
∆ 64 32 1 32 
∆ 32 32 2 0.5 0 
 
á 64 .  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
104 
 
436. Viga en voladizo cargada como indica la figura. 
 
0 
20 2 1 10 3 20 5 0 
40 30 100 
30 .  
 
0 
10 1 0.5 10 9 20 2 4 5 30 0 
20 160 30 5  
150 5  
30  
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
105 
 
0 
20 10 20 2 0 
30  
 
 : 
 
 0 
0 10 2 20 
20 0 20 
20 10 10 
10 0 10 
10 20 2 30 
30 30 0 
 
 : 
0 
0 0.5 20 2 20 
20 20 1 40 
40 10 1 50 
50 0.5 10 0.5 52.5 
52.5 0.5 30 1.5 30 
 
á 52.5 .  
40
2
10
 
 
0.5  
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
106 
 
439. Una viga apoyada en tres puntos como se muestra en la figura consiste en dos segmentos 
unidos en un perno liso en el que el  momento flexionante es nulo. 
 
0 
. 40 40 80 
. 160  
0 
4 5 40 2 20 2 1 0 
4 5 120 1  
 
0 
5 40 3 1 20 2 4 0 
5 280 2  
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
107 
 
0 
5 20 4 3 0 
48  
 
0 
20 4 2 5 0 
32  
 
4 5 120 1  
120 5 32
4
 
70  
 
5 280 2  
180 70
5
 
42  
 
160  
42 70 48 160  
160 160  
 
 : 
∆ Á  
0 
∆ 0 42 42 
∆ 42 2 20 2 
∆ 2 40 38 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
108 
 
∆ 38 0 38 
∆ 38 70 32 
∆ 32 0 32 
∆ 32 4 20 0 48 
∆ 48 48 0 
 
 : 
∆ Á  
0 
0
2 42
2
2 44 
44 38 2 32 
32 32 2 32 
32
32 1.6
2
57.6 
57.6
48 2.4
2
0 
 
á 57.6 . 1.6  
32 48
4
 
128 48 32  
1.6SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
109 
 
440. Un marco ABCD, con esquinas rígidas en B y C, sostiene la carga concentrada P como se 
muestra en la figura  
 
0 
0 
 
 
2
0 
 
 
 
 
0  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
110 
 
 
 
 
 
2
0 
 
0 
2
 
 
0  
2
 
2 2
 
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
111 
 
444. Viga cargada como indica la figura. 
 
0 
1
2
 
2
1
2
 
2
 
 
2
 
 
0 
1
2 2 2
2
3 2
 
1
2 2
1
3 2
 
4
5
6
 
4 6
 
1
4
 
4
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
112 
 
2 4
 
4
 
 
 : 
∆ Á  
0 
∆ 0
1
4 4
 
∆
4
1
2 2
0 
0 
∆ 0
1
2 2
1
4
 
∆
4 4
0 
 
 : 
∆ Á  
0 
0
1
0
1
4 2
2 1 24
 
24 24
0 
 
á 24
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
113 
 
445. Viga cargada como indica la figura. 
 
180  
100  
 
180 40 2 40 2  
100 40 2  
180 2 40 2 2 1 40 2
2
2
  
180 2 80 1 20 2  
 
40  
40
2
 
20  
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
114 
 
 
80
3
26.67  
 
26.67
2
 
13.33  
26.67
2 3
 
4.44  
 
180 40 4 26.67 5
1
2
 
20 13.33 5  
180 2 40 4 2
1
3
5
26.67 5
2
 
20 2 4.44 5 
 
 
 
á 80 .  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
115 
 
447. Viga cargada como indica la figura. 
 
0 
60 3 0.5
2
3
3 20 4 5 5 20 7 0 
144  
 
0 
60 3 0.5
1
3
3 2 20 2 1 20 2 1 5 20 2 0 
46  
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
116 
 
∑ 0 
46 144 60 3 0.5 20 4 20 
190 190 
 
60
3
 
20  
 
2
46 
20
2
46 
10 46 
 
46
30
2 3
 
46
20
6
 
 
46 60 3 0.5 20 3  
46 90 20 60 
20 16 
46 90 2 20 3
3
2
 
46 90 180 10 3  
 
46 90 144 20 2 20 5  
60 20 100 
20 160 
46 90 2 144 5 20 2 4
20 5
5
2
  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
117 
 
46 90 180 144 720 40 160 10 5  
10 5 60 380 
á 80 .  
46 1.75 46
1
3
1.75  
53.67 .  
46 3 60 3 0.5
1
3
3  
48 .  
 
  X  V  M 
AB  0  46  0 
3  ‐44  48 
BC  3  ‐44  48 
5  ‐84  ‐80 
CD  5  60  ‐80 
7  20  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
118 
 
448. Viga cargada como indica la figura. 
 
 
FIGURA   ÁREA  .
 
 
20  0.5  10 
 
 
90  3  270 
 
 
60  2.5  150 
Σ  170    430 
 
 
170  
2.53  
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
119 
 
0 
5 170 2.53  
86  
 
0 
170 2.47 5  
84  
 
0 
170 
84 86 170 
170 170 
 
 : 
∆ Á  
0 
84 
84 20 1 64 
64 0 64 
64 20 3 0.5 60 3 86 
86 86 0 
64 20 1 0.5 6.67 1 40.66 
 
 : 
∆ Á  
0 
0.5 84 64 1 74 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
120 
 
74 63.53 137.53 
137.53 46.23 5.88 85.42 
85.42 86 1 0.58 
 
á 137.53 
 
 
80
3
 
26.67 
26.67 80
3
 
1  
 
60
3
 
20  
 
0.5 1.075 86  
46.23  
 
0.205 86
2
 
5.88  
 
64 
20 20 0.5 64 
20 10 64 0 
5 10 32 0 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
121 
 
1.72  
 
29.6 1.72
3
 
16.97  
 
29.6 64 1.72 0.5 16.97 
63.53  
 
449. Una viga sobre la cual actúa carga triangular de la figura, está sostenida por una reacción 
distribuida uniforme  
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
122 
 
2 0.5 6 60  
2 180 
90 /  
2
60
3
 
40  
 
á : 
0 
0.5 2
1
3
2 26.67 
60 3 0.5
1
3
3 90 1 0.5 45 
26.67 
0 
 
1
 
40 2
2 1
26.67 
 
 
1
30
1
 
30 
1 10
2 1
3.33 
30 1
1 1
15 
 
 
Á 45 .  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
123 
 
450. Viga cargada y apoyada como indica la figura. 
 
20 4 50 50 4 0.5 1 0.5 1  
180 4  
36  
 
 : 
0 
∆ 0 36 1 0.5 18 
50 18 50 32 
∆ 32 80 36 4 32 
∆ 32 50 18 
∆ 18 36 1 0.5 0 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
124 
 
6 
2 32
1 1
32 
32 
6 
 
 : 
 
0 
6 
26 
6 
0 
 
á 26 .  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
125 
 
452. Viga cargada como indica la figura. 
 
 
FIGURA   ÁREA  .
 
 
 
36  2  72 
 
 
27  8  216 
Σ  63    288 
 
63  
4.57 
0 
63 4.57 9  
32  
 
0 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
126 
 
9 63 4.43  
31  
 
0 
63 
31 32 63 
63 63 
 
 : 
31 
31 12 6 0.5 5 
5 18 3 0.5 32 
32 32 0 
 
 : 
0 
47.5 
47.5 4.45 43 
43 15 27 1 
 
12
6
 
2  
31 
31 2 12 2 0.5  
31 2 6  
6 31 0 
31 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
127 
 
9.32 
 
31 12 2.58 
0.75 31
3
 
7.75  
 
31 2.58 0.5  
40  
 
47.75  
á 47.5 . 3.33  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
128 
 
453. Una carga variable uniformemente está sostenida por dos reacciones uniformemente 
distribuidas, como se muestra en la figura. 
 
FIGURA   ÁREA    .  
1  5  0.33  1.65 
2  6  0.66  3.96 
Σ  11    5.61 
 
11  
. 0.51  
 
12
6 1
 
2 /  
12
6 5
 
10 /  
0 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
129 
 
4 0.5 10 5
1
3
5 11 0.51 0 
4 41.67 5.61 
9.0  
 
FIGURA   ÁREA    .  
1  5  1.67  8.35 
2  30  3.33  99.90 
Σ  35    108.25 
 
35  
3.09  
 
0 
0.5 2 1
1
3
1 4 35 3.09 0 
0.33 108.15 4  
27.0  
0 
12 6 0.5  
9 27 36 
36 36 
 
  
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
130 
 
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA 
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL 
CAPÍTULO V 
ESFUERZOS EN VIGAS 
503. Una  viga  en  voladizo,  de  60 mm  de  ancho  por  200 mm  de  canto  y  6 m  de  longitud, 
soporta una carga que varía uniformemente desde cero en el extremo libre hasta 1000 N/m  
en el empotramiento. Determinar el valor y el signo del esfuerzo en una  fibra situada 
a 40 mm del extremo superior de la viga en una sección a 3 m del extremo libre. 
 
 
12
0.06 0.2
12
4 10  
500 3
2
1
3
3 750 .  
 
 
 
750 0.06
4 10 
 
1125000 /  
 
505. Una sierra de cinta de acero de alta resistencia, que tiene 20 mm de ancho y 0.8 mm 
de  espesor,  pasa  por  unas  poleas  de  600  mm  de  diámetro.  ¿Qué  esfuerzo  máximo  se 
desarrolló por  la flexión al rodear  las poleas?   ¿Qué diámetro mínimo pueden tener  las 
mismas sin que sobrepase el esfuerzo de 400 MPa. ? E = 200 GPa.  
 
12
0.02 0.008
12
8.53 10  
1  
2  
1 2  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
131 
 
 
 
 
200 10 /
0.3 
8.53 10  
5.69 10 .  
 
 
8.53 10
0.0004
 
2.13 10  
 
á
.
 
á
5.69 10
2.13 10
 
á 267136.15 /  
á 267  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
132 
 
508. Determinar el espesor mínimo b de la viga de la figura, de manera que el máximo 
esfuerzo normal no exceda de 10 MPa . 
 
0 
5000 2000 4  
13000 
0 
5000 2 8000 1 3  
6000  
7000  
 
 : 
 0 
0 2000 1 2000 
2000 7000 5000 
2000 3 7000 1000 
2000 3 7000 5000 4000 
2000 4 7000 5000 6000 
2000 4 7000 5000 6000 0 
 
 : 
0 
2000 1 0.5 1000 
1000 0.5 5000 1000 2 5000 
5000 0.5 4000 6000 1 0 
 
á 5000 .  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
133 
 
12
0.3
12
6.67 10  
 
10 10
5000 0.1
6.67 10
 
0.075  
75  
 
510. Una barra de 40 mm ele diámetro se emplea como viga simplemente apoyada sobre 
un  claro  de  2 m. Determine  la máxima  carga  uniformemente  distribuida  que  puede 
aplicarse a  lo  largo de  la mitad derecha de  la viga si el esfuerzo debido a la flexión está 
limitado a un valor de 60 /  
 
1  
0 
1.5 2  
0.75  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
134 
 
0.25  
 : 
 0.25  
0.25  
0.75  
 : 
1
0.25
 
0.25  
0 
0.25  
0.25 0.03125 0.28125  
0 
Á 0.28125  
 
 
0.02
4
 
6.28 10  
 
á  
á
0.28125
6.28 10
 
60 10 44785  
1340 /  
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIADE MATERIALES U.T.P.L. 
 
135 
 
518. Una viga de sección S380x74, está simplemente apoyada en sus extremos. Soporta una 
carga concentrada central de 40 kN y una uniformemente distribuida de 1.5 kN/m, incluido su 
peso propio. Calcular  la máxima  longitud que puede tener si el esfuerzo admisible es de 140 
MPa. 
DENOMINACIÓN  ÁREA(mm2)  ALTURA(mm)  ANCHO 
(mm) 
ESPESOR(mm)  ALMA(mm)
S380x74  9500  381  143  15.87  14 
 
10   / 10   /  
203  1060  146 
 
 
 
 
0 
2 15 40 
15 40
2
 
7.5 20 
7.5 20 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
136 
 
0 
7.5 20 
7.5 20 15
2
7.5 20 7.5 20 
20 40 20 
20 15
2
20 7.5  
20 7.5 20 7.5 0 
 
Á 0.5 2
7.5 20 20  
Á 0.25 7.5 40  
Á 1.875 10  
 
140 10 /  
2 203 10  
406 10 10  
4.06 10  
 
40 10
0.251 7.5 40 0.1805
4.06 10
 
56.84 0.357 1.905  
5.08 159.215 0 
10.33 .  
15.41  
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
137 
 
520. Una viga de sección W200 x 27 se usa como viga en voladizo de 6 m de longitud. Calcule 
la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a  todo  lo  largo de  la 
viga, además de  su propio peso,  si el esfuerzo  por  flexión  no  ha  de  exceder  el  valor  de 
140MN/m2. 
 
 
 
 
 
 
Á .  
1
4
 
140 10 /  
 
140 10
2
 
0.1035
25.8 10 10
 
7.224 6 0.1035  
7.224 3.726  
1.94 /  
 
DENOMINACIÓN  ALTURA(mm)  10 / 10
W200x27  207  25.80  249 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
138 
 
531. Se aplica una carga concentrada de 90 kN en el centro de una viga simplemente apoyada 
de 8m de claro. Si el esfuerzo admisible es de 120MN/m2, elegir la sección w más ligera. 
   
180 10 .
1200 10 /
 
0.0015
10
1
 
1500 10  
 
10   DENOMINACIÓN  MASA (Kg/m)  A(mm2)  I(106mm4) 
1550  W530x74  74.7  9520  411 
 
74.7
9.81
732.81 /  
0.73281 /  
 
 
1550 10 1500 10 48.7 10  
1550 10 1548.7 10  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
139 
 
 
1550 10 120 10 
1
10
1548.7 10  
1550 10 185844000 .  
119.90 
10
1
 
25  
119.90  
 
2.92 4 0.5 5.84 .  
5.84
120 10
 
4.87 10 
10
1
 
48.7 10  
 
567. Una viga de madera de 90 mm de ancho y 160 mm de altura está sometida a una fuerza 
cortante vertical de 20 kN. Determinar el esfuerzo cortante en puntos tomados de 20 en 20 mm a 
lo alto de la viga, a partir de su borde superior 
 
 
12
0.09 0.160
12
30.72 10  
20
30.72 10 0.09
0.09 0.02 0.07  
911.46 /  
 
20
30.72 10 0.09
0.09 0.04 0.06  
1562.50 /  
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
140 
 
20
30.72 10 0.09
0.09 0.06 0.05  
1953.125 /  
 
20
30.72 10 0.09
0.09 0.08 0.04  
2083.33 /  
3
2
3
2
20
0.09 0.16
 
2083.33 /  
 
570.  Una  viga  simplemente  apoyada  de  4 m  de  claro  tiene  la  sección  indicada  en  la  figura 
Determinar la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a todo lo largo de la 
viga si el esfuerzo está limitado a 1.2 MPa. 
 
.
0.150 0.2
12
0.1 0.15
12
 
. 71.875 10  
∑ 2 2 0.1 0.025 0.05 0.1 0.025 0.0875
71.875 10 0.05
 
260.87  
1.2  
260.87 1.2 10  
4600 /  
4.6 /  
 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
141 
 
573. la sección recta de una viga de madera es un triángulo isósceles, con el vértice hacia 
arriba, de altura h y de base b. Si V es el esfuerzo cortante vertical, demostrar también que 
á 3 / , y que tiene lugar en el punto medio de la altura. 
 
á
3
 
2
3
 
1
3
 
1
3
2
3
 
2
9 3
 
2
3
2
9
 
2
 
2
2
3
 
. 36
 
2
 
á
4
3
2 3 .
6
9
36
 
á
4
3
8
4
2
4
1
4
 
á
3
 . . . . 
 
36
 
2
2
3
2
3
2
9
  
18 2 3
3
 
6 2
9
  
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
142 
 
2
3
2 3 6 2  
4
3
2 3 3  
4
3
6 2 9 3  
4
3
2 9 3  
4
3
3 18  
3 18 0 
3
18
1
6
 
 
581. Una viga está  formada por tres tablas de sección 150 x 60 mm, encoladas entre sí para 
formar una sección de 150 mm de ancho por 180 mm de altura. Si el cortante admisible en las 
juntas es de 600 kPa, el cortante admisible en  la madera es 900 kPa y el normal permisible 
también en la madera vale 8 MPa, determinar la carga máxima uniformemente distribuida que 
puede resistir la viga sobre un claro de 2 m. 
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
143 
 
 
. .
 
7.29 10  
á  
 
7.29 10 0.15
0.06 0.15 0.05  
49.38  
600 49.38  
12.15 /  
 
.
0.09 0.15 0.045
7.29 10 0.15
 
. 55.56  
900 55.56  
16.20 /  
 
 
2 0.09
7.29 10
 
617.28  
8 10 / 617.28  
12.96 /  
 
 
 
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
144 
 
582. Calcule  las dimensiones del cuadrado más pequeño que sea  la sección transversal de  la 
viga mostrada en la figura, si  900 y  80  
  
∑ 0 
4 
0 
5 4 2 3 0 
5 8 3  
1  
3  
 
0 
3 1 3 
3 5 2 
2 3 1 1 
1 1 1 0 
 
á 3  
á 3 .  
 
.
 
3
12
2
.
4
 
9
2
 
900 /
9
2
 
9
900 2
 
SOLUCIONARIO  DE RESISTENCIA DE MATERIALES U.T.P.L. 
 
145 
 
0.0707  
 
 
3 . 2
12
 
36
2 
 
18  
8 10 /
18
 
0.131