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Cap. 4/1
PROPIEDADES DE LOS LÍQUIDOS
UNIDAD TEMÁTICA II
Fluidos: sustancias que carecen de forma fija (en continuo movimiento).
Incluyen a líquidos y gases.
Líquidos: - volumen definido
- densidad casi independiente de la presión (incompresibles).
Gases: - volumen no definido (se expanden hasta ocupar todo el recipiente) 
- densidad dependiente de presión (compresibles) y temperatura.
Fases de la materia. Las fuerzas interatómicas son:
• Tan intensas en los sólidos que los átomos permancen en posiciones fijas.
• Suficientes en los líquidos como para mantenerlos juntos ocupando el
menor volumen posible.
• Tan débiles en los gases que se mueven libremente por el recipiente
que los contiene.
Cap. 4/2
Capítulo 4
MECÁNICA DE FLUIDOS
4.1 Hidrostática
4.1.1 Densidad y presión
4.1.2 Presión hidrostática
4.1.3 Principio de Arquímedes
4.1.4 Ejemplos biológicos
4.3 Hidrodinámica de fluidos reales
4.3.1 Viscosidad
4.3.2 Ley de Poiseuille
4.3.3 Circulación sanguínea
4.3.4 Ley de Stokes y sedimentación
4.2 Hidrodinámica de fluidos ideales
4.2.1 Ecuación de continuidad
4.2.2 Ecuación de Bernoulli
4.2.3 Aplicaciones y ejemplos biológicos
Cap. 4/3
4.1 Hidrostática
4.1.1 Densidad y presión
Estudia los fluidos estáticos (en equilibrio: en reposo respecto al recipiente).
Un fluido consta de un número muy elevado de partículas, por lo que los
conceptos de fuerza y masa no son manejables. Se sustituyen por los de
presión y densidad, respectivamente. 
La densidad de una sustancia (sólido, líquido o gas) relaciona su masa 
con el volumen que ocupa:
V
m
=ρ Unidades SI: kg/m
3
Unidades cgs: g/cm3 (también kg/l: 1 l = 1 dm3 = 103 cm3)
La presión de un fluido hace referencia a la fuerza que éste ejerce sobre 
las paredes del recipiente que lo contiene. Dicha fuerza es siempre
perpendicular a la superficie considerada (cualquier fuerza tangencial 
haría que el fluido dejara de estar en reposo debido a su falta de rigidez).
Cap. 4/4
La suma de todas las fuerzas normales FN que actúan sobre 
una superficie dividida por el área A de la misma es la 
presión media que ejerce el fluido sobre esa superficie.
La densidad depende de la presión y la temperatura: 
Algunas densidades en condiciones normales: T = 0 °C y p = 1 atm (nivel del mar)
Sólidos ρ (g/cm3) Líquidos ρ (g/cm3) Gases ρ (g/cm3)
Oro 19.3 Mercurio 13.6 CO2 0.0020
Hierro 7.96 Sangre 1.05 O2 0.0012
Tierra (media) 5.52 Agua de mar 1.025 Aire 0.0013
Vidrio 2.6 Agua 1.0 Aire (20 °C) 0.0012
Hueso 1.7 Aceite 0.93 Vapor de agua 0.0006
Hielo 0.92 Etanol 0.81 Helio 0.00018
Madera 0.7 Gasolina 0.68 Hidrógeno 0.00009
A
F
p N= Unidades SI: 1 N/m
2 = 1 Pa (pascal)
(también la atmósfera: 1 atm = 101 325 Pa) 
p es un escalar
Cap. 4/5
4.1.2 Presión hidrostática
Es la presión en cada punto de un fluido estático.
mg
A
h
p
p0
Al sumergirnos en un líquido la presión aumenta con la profundidad. 
Análogamente, la presión atmosférica disminuye al aumentar la altitud. 
En el caso de un líquido (densidad constante) la presión 
aumenta linealmente con la profundidad. Demostrémoslo.
El peso de esta columna de líquido es: AhgVgmg ρ=ρ=
∑ ==ρ−− )equilibriodecondición :0F( 0AhgAppA i0
ghpp 0 ρ+=⇒ Teorema fundamental de la hidrostática
p = presión del fluido a una profundidad h
p0 = presión en la parte superior 
(si abierto, es la atmosférica patm) 
F0
F
Cap. 4/6
Émbolo pequeño Émbolo grande
Principio de Pascal: la presión aplicada a un fluido incompresible
(líquido) se transmite por igual a todos los puntos del fluido y a las
paredes del recipiente que lo contiene.
Vemos que la presión es idéntica para todos los puntos a la misma 
profundidad e independiente de la forma del recipiente. Consecuencia:
1
1
2
2
2
2
1
1
21 FA
A
F
A
F
A
F
pp =⇔=⇔=
(gatos y herramientas hidráulicas,
frenos de los coches, …)
1212 A Asi FF >>>>
Aplicación: Prensa o elevador hidráulico
Dos émbolos de distinto tamaño:
Cap. 4/7
Aplicaciones del principio fundamental de la hidrostática:
(experimento de Torricelli)
Barómetro de mercurio
p = 0
h
patm
Para medir la
presión atmosférica
Tubo de vidrio completamente lleno de mercurio
y después invertido en una cubeta de mercurio.
A nivel del mar y 0 °C: h = 760 mm Hg (10.33 m H2O)
ghpatm ρ= ρ = densidad del Hg
patm estándar ⇔ presión de una columna de Hg de 760 mm
El peso de la atmósfera (masa de aire que envuelve a la Tierra) origina 
lo que llamamos presión atmosférica.
La densidad del aire disminuye al aumentar la altura ⇒ No es fácil 
hacer un cálculo exacto, pero es fácil medirla.
Cap. 4/8
Determinación de densidades desconocidas de líquidos
patm
h1
1
2
patm
h2
A B
22atm11atm hgphgρp ρ+=+BA pp =
Se necesitan líquidos inmiscibles
1
2
1
2 h
h
ρ=ρ
Por tanto:
Manómetro de tubo abierto en forma de U: Utilizan la presión atmosférica 
como nivel de referencia y miden presión manométrica= p-patm
ghpppp atmBA ρ+===
ghp-p atm ρ=⇒
presión 
manométrica
Líquido de densidad alta para que h sea pequeña:
se suele usar mercurio
Para medir la
presión p
p
h
patm
pA pB
Fluido cuya presión
queremos medir
Cap. 4/9
Unidades de presión
SI: 1 N/m2 = 1 Pa (Pascal)
cgs: 1 dyn/cm2 = 1 baria
Otras unidades habituales:
1 atm ≡ presión ejercida por una columna de Hg de 760 mm a 0 °C
1 bar = 106 barias
barias 10
cm
dyn10
cm 10
m 1
N 1
dyn 10
m
N1
m
N 1Pa 1
224
25
22
====
1 mm Hg → 1 torr (torricelli) (usada en medicina)
= 1.0133 x105 Pa
= 1.0133 x106 barias 
= 1 013 mbar (usada en meteorología) 
= 760 mm Hg
= ρHg g hHg
mm10
m1 mm 760
s
m8.9
m
kg106.13 323
3 ××××=
Cap. 4/10
Presión sanguínea
Pa10x39.1m35.1x
s
m8.9x
m
kg10x05.1gh 423
3
H ==ρ
BHF ppp :pieDe >>
Sistema cardio-
vascular animal:
• Jirafas: su corazón bombea a p = 260 mm Hg 
para que la sangre alcance el cerebro.
• Reptiles y conejos mueren al ponerlos de pie.
• Animales arbóreos: p muy alta (evitan falta riego)
y corazón cerca de la cabeza. 
B: cerebro
H: corazón
F: pies
Presión hidrostática manométrica 
promediada a lo largo del ciclo cardíaco
200 torr 70 torr 100 torr 98.5 torr 100 torr 99.5 torr
Los organismos vivos no son aplastados por la presión de la atmósfera 
porque los fluidos que llevan dentro están prácticamente a la misma presión 
(la presión sanguínea en las arterias es mayor que la atmosférica).
La presión de la sangre cuando sale del corazón debe ser lo suficientemente 
elevada para que la sangre llegue al cerebro. En el hombre es de 100 mmHg.
Si hH=1.35 m y ρsangre=1.05 g/cm3
mmHg104
Pa10X013.1
mmHg760Pax10x39.1 5
4 ==
BBHHF ghpghpp ρ+=ρ+=
(presión manométrica)
Cap. 4/11
4.1.3 Principio de Arquímedes
Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en 
un fluido experimenta un empuje hacia arriba 
igual al peso del fluido (gas o líquido) desalojado.
En efecto, según el principio fundamental de la hidrostática:
gVghAA)pp(FFE
ApF
ApF
ffABAB
BB
AA ρ=ρ=−=−=⇒
⎭
⎬
⎫
=
=
FA
FB
h
A
ρf
ρc
El empuje se produce porque la presión del fluido en la parte inferior del 
cuerpo es mayor que en la parte superior.
Empuje: Fuerza que ejerce un fluido sobre un objeto sumergido en él. 
pB= pA+ ρf g h
Cap. 4/12
A. Cuerpo totalmente sumergido
Fuerza neta
Ascendente: si E > mg ⇒ ρf > ρc : se acelera hacia arriba
Nula: si E = mg ⇒ ρf = ρc : permanece en equilibrio
Descendente: si E < mg ⇒ ρf < ρc : se acelera hacia abajo
mg
Eρf
ρc
maVg)(VgVgmgEF cfcfy =ρ−ρ=ρ−ρ=−=∑
B. Flotación: Si ρc<ρf el cuerpo flotará parcialmente sumergido
Ejemplos: barcos, iceberg, densímetro, …
E
mg
ρf
ρc
Equilibrio: E = mg ⇔ ρfgVs = ρcgV 1)( V
V
 
f
cs ≤
ρ
ρ
=⇒
donde Vs es el volumen de la parte sumergida
Iceberg: ρc=0.99 g/cm3 (hielo) ; ρf=1.03 g/cm3 (agua de mar)
⇒ Vs/V=0.87 ⇒ 87 % sumergido
Aplicación del principio de Arquímedes: Permite determinar la 
densidad de un cuerpo de forma irregular sumergiéndolo en un líquido 
de densidad conocida y midiendo su “peso aparente”= mg-E
Cap. 4/13
http://fisinfo.ugr.esAscensor de barcos de Niederfinow (canal Oder-Havel, Alemania)
Contenedor: 85×12×2.5 m3
Peso (con o sin barco): 4300 toneladas
192 contrapesos lo compensan salvo 90 t
Barcos de hasta 1000 t
Desnivel 60 m a 12 cm/s, 4 motores×75 CV
Cap. 4/14
4.1.4 Ejemplos biológicos
Vejiga natatoria de los peces
Los tejidos biológicos, excepto los adiposos son más densos que el agua.
La densidad de un pez suele ser algo mayor que la del agua (se hundiría).
Sin embargo poseen una cavidad, la vejiga natatoria, bajo su espina dorsal,
que pueden rellenar de un gas ligero (mezcla de O2 y N2 obtenida de la
sangre). Variando la cantidad de gas dentro de la cavidad, pueden ajustar 
su propia densidad para variar la fuerza de empuje y así ascender o 
descender a voluntad.
Para ascender la llenan de gas:
V ↑ ⇒ ρ ↓
Para descender la vacían:
V ↓ ⇒ ρ ↑
Cap. 4/15
4.2 Hidrodinámica de los fluidos ideales
La hidrodinámica estudia el movimiento (flujo) de los fluidos. 
Clasificaciones según tipo de flujo:
• Estacionario: si su velocidad en cada punto no varía con el tiempo,
v = v(x,y,z). En tal caso, se pueden definir las líneas de corriente
como las trayectorias que siguen las partículas del fluido.
En este apartado nos concentraremos en los fluidos ideales, es decir, 
incompresibles (densidad independiente de posición y tiempo) y 
no viscosos.
• Laminar: si el fluido se desliza en capas que fluyen paralelamente sin 
mezclarse. 
Lo contrario es turbulento, caracterizado por regiones con remolinos.
• Uniforme: si su velocidad en cada instante es la misma en todos
los puntos, v = v(t).
• No viscoso: si se desprecia la viscosidad (fricción interna del fluido). 
Cap. 4/16
4.2.1 Ecuación de continuidad
S1
S2
v1
v2
v1∆t
v2∆t
1
2
Consecuencia de la conservación de la materia:
La masa que atraviesa las secciones 1 y 2 en el 
mismo intervalo de tiempo ∆t deber ser idéntica,
tvSxSVm 111111111 ∆ρ=∆ρ=ρ=
tvSxSVm 222222222 ∆ρ=∆ρ=ρ=
Si el fluido es incompresible (densidad constante) ρ1 = ρ2 y entonces
constanteSv vSvS 2211 =⇒=
Ecuación de continuidad
(no hace falta que el fluido sea ideal)
Es decir: la velocidad del fluido es mayor en las partes más estrechas.
Definimos caudal Q como el volumen de fluido que atraviesa una sección 
del conducto por unidad de tiempo. Por S1 en ∆t, pasa V1=S1v1∆t
SvQ =
22211121 vSvS mm ρ=ρ⇒=
Unidades SI: m3/s 
Frecuentemente: litros/s
Ecuación de continuidad
para un fluido incompresible
S: sección transversal del conducto 
v: velocidad del fluido
Ejemplo: Con una manguera de 2 cm de diámetro llenamos un cubo de 20 l en 
un minuto. ¿Cuál es la velocidad con que sale el agua de la manguera?
Cap. 4/17
4.2.2 Ecuación de Bernoulli
Consecuencia de la conservación de la energía:
= ∆Em = ∆Ec + ∆UW = trabajo realizado sobre un fluido ideal (sin fricción)
v2
S1
S2
v1
∆x1
∆x2
1
2
y1
y2
F2
F1 2
112
12
222
1
c vmvmE −=∆
2211 xFxFW ∆−∆=
222111 xSpxSp ∆−∆=
1122 gymgymU −=∆
y de la ecuación de continuidad de un fluido ideal (densidad constante): 
De donde: =
ρ
−
ρ
m
p
m
p 21 +− )vv(m
2
1
2
22
1 )yy(mg 12 −
Y por tanto, )yy(g)vv(pp 12
2
1
2
22
1
21 −ρ+−ρ=−
ρ
=∆=∆⇒∆ρ=∆ρ⇒=
m
xSxSxSxSmm 2211221121
Cap. 4/18
Nótese que:
2
2
22
1
21
2
12
1
1 gyvpgyvp ρ+ρ+=ρ+ρ+ Ecuación de BernoulliReordenando:
constantegyvp 22
1 =ρ+ρ+ Ecuación de BernoulliY también:
Ejemplo: Calcular cómo modifica el término de velocidad (presión 
cinética) los valores obtenidos para la presión de la sangre en los pies.
Datos: vaorta= 0.2 m/s ; vpies= 0.1 m/s
)yy(g)vv(pp pa
2
p
2
a2
1
ap −ρ+−ρ=− Pa75.15)vv( 2p
2
a2
1 =−ρ
Pa10x39.1)yy(g 4pa =−ρ
Los efectos de presión cinética pueden tener consecuencias importantes:
La velocidad del viento en un tornado puede hacer saltar los cristales e 
incluso levantar el tejado de una casa.
• Si el fluido es estático (v = 0) se recupera el 
teorema fundamental de la hidrostática
(presión hidrostática aumenta con profundidad):
• Si los puntos 1 y 2 se encuentran a la misma 
altura (presión cinética disminuye con v):
hgpp 21 ∆ρ=−
)vv(pp 21
2
22
1
21 −ρ=−
Cap. 4/19
Ley de Torricelli
4.2.3 Aplicaciones y ejemplos biológicos
Velocidad a la que sale el agua en el
punto de derrame de un tanque.
b
2
b2
1
atmaa gyvpgyp ρ+ρ+=ρ+
Aplicando la ec. de Bernoulli entre a y b:
gh2
)pp(2
v atmab +ρ
−
=⇒
donde h = ya − yb es la profundidad del 
orificio respecto al nivel del líquido.
Si el tanque está abierto a la atmósfera pa = patm y entonces:
gh2vb =
igual a la que adquiere un cuerpo en 
caída libre desde una altura h
Sava = Sbvb . Si Sa>> Sb ⇒ va<< vb
Cap. 4/20
Efecto Venturi Aplicando la ec. de Bernoulli entre 1 y 2:
2
22
1
2
2
12
1
1 vpvp ρ+=ρ+
Como S1 v1 = S2 v2 (ec. continuidad)
tenemos que S1 > S2 ⇒ v1 < v2 de donde
)vv(pp 21
2
22
1
21 −ρ=−
El paso del fluido por un estrechamiento produce una reducción de presión.
La diferencia de presión produce la fuerza necesaria para acelerar el fluido.
Este es el fundamento de los pulverizadores
y de la arterioesclerosis.
21 pp0 >⇒>
1 2
S2
S1
sangre
pared arterial plaquetas y fibrina
Si la velocidad de la sangre es suficientemente alta en el estrechamiento la 
arteria puede colapsarse ⇒ v=0, p aumenta de nuevo y vuelve a abrirse. 
Se producen variaciones del flujo:
Cap. 4/21
Efecto Magnus
La trayectoria de un cuerpo en rotación se curva al desplazarse. 
Al rotar se forman remolinos (fluido real pues se necesita fricción): 
corrientes de fluido en direcciones opuestas a ambos lados de la
trayectoria. La velocidad a cada lado es distinta (el movimiento del 
remolino es a favor en un lado y en contra en el otro). En 
consecuencia, se produce una diferencia de presión y por tanto una 
fuerza neta perpendicular al movimiento.
Para que se formen remolinos
es necesario que la bola tenga
costuras (fútbol, béisbol) o
rugosidades (golf).
v2
v1
2121 ppvv <⇒>
Las capas de aire cerca de la 
superficie de la pelota son 
"arrastradas" en la dirección 
del giro.
Cap. 4/22
Fuerza de sustentación. Vuelo de los pájaros
½A
½A
La diferencia de velocidades del aire produce 
una diferencia de presión que se traduce en 
una fuerza de sustentación.
)vv(AA)pp(F 2inf
2
sup2
1
supinfs −ρ=−=
donde A es la superficie total de las alas.
Los tiburones carecen de vejiga natatoria y
utilizan este mecanismo para no hundirse
nadando continuamente.
vinf
vsup
vsup > vinf
Apliquemos la ec. de Bernoulli para hallar la
fuerza de sustentación (despreciando ρg∆h):
La orientación y forma asimétrica de las alas 
hacen que la velocidad del aire que pasa por 
encima y por debajo del ala sea distinta.
Las aves y aviones (mucho más densos que 
el aire) vuelan gracias al movimiento.
Cap. 4/23
Si v es la velocidad del pájaro (o del avión), se define el coeficiente de 
sustentación Cs que depende de la forma del ala, ángulo de inclinación, …
a partir de:
2
s
2
inf
2
sup vCvv ≡−
Con lo que la fuerza de sustentación queda:
2
s2
1
s vACF ρ=
Para mantener el vuelo estable es necesario que F iguale o supere al peso:
s
2
s2
1
AC
mg2v mgvAC
ρ
≥⇒≥ρ velocidad mínima de despegue
Analicemos la dependencia de la velocidad de despegue con el tamaño
de los pájaros utilizando las leyes de escala:
vk
C)Ak(
g)mk(2'v
Ak'A
mk'm
Lk'L
s
2
3
2
3 ×=
×ρ
×
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
×=
×=
×= A mayor tamaño mayor velocidad
de despegue. Las aves grandes
necesitan un hábitat que les permita
alcanzar la v necesaria planeando
(acantilados, montañas o árboles)
Para velocidades no demasiado grandes (ej. despegue) hay que aumentar 
el ángulo de inclinación (⇒ Cs) para aumentar la fuerza de sustentación.
Cap. 4/24
Otro ejemplo: navegación de bolina (orzando) casi contra el viento
90°
45°45°
Velas
triangulares
Los veleros no sólo navegan empujados
por el viento, también pueden ir en 
contra (aunque formando cierto ángulo)
Análogo a la sustentación en el vuelo: 
viento más rápido por detrás de la vela 
que por delante, debido a su forma 
embolsada, parecida al ala de un avión. 
90°
Velascuadradas
90°
La diferencia de presiones impulsa al barco hacia adelante. 
La orza es necesaria para evitar que el barco sea arrastrado en la dirección del viento.
Cap. 4/25
4.3 Hidrodinámica de los fluidos reales
4.3.1 Viscosidad
Y
X
vA
Los fluidos reales, a diferencia de los ideales, ofrecen resistencia al
deslizamiento de unas capas de fluido sobre otras. Esta fricción interna, 
debida a las fuerzas intermoleculares, se llama viscosidad.
y
A causa de la viscosidad es necesario hacer una fuerza para que una capa 
líquida se deslice sobre otra.
Sea un fluido entre dos superficies planas. Manteniendo fija la superficie 
inferior hay que hacer una fuerza para mover la superior a v=cte.
Perfil de velocidades: La capa de fluido en contacto con una superficie se 
adhiere a ella y se mueve a la misma velocidad. Debido a la viscosidad hay 
una pérdida de velocidad entre las capas sucesivas. Si la velocidad es
pequeña, las capas se mueven paralelamente.
Cap. 4/26
Expresión válida sólo para fluidos 
newtonianos para los que η es cte. 
En los líquidos, la viscosidad disminuye 
al aumentar la temperatura.
Fluido T (°C) η (cP)
Aire 0 0.017
20 0.018
100 0.022 
Agua 0 1.792
20 1.005
37 0.695
Mercurio 20 1.550
Plasma sanguíneo 20 1.810
37 1.257
Sangre 20 3.015
37 2.084
Aceite 16 113 
38 34
Glicerina 20 1490
El mercurio tiene η parecida a la 
del agua pero ρ mucho mayor.
Para el aceite η es mucho mayor a 
temperaturas bajas (importante para 
los motores)
Coeficientes de viscosidad
y
vAF
∆
∆
η= Unidades de η en cgs: 1 dyn s/cm
2 = 1 P (poise)
en SI: 1 N s/m2 = 10 P
La fuerza que hay que aplicar a una capa de fluido es proporcional al 
área A y a la variación de la velocidad entre las distintas capas, e 
inversamente proporcional a la distancia entre las láminas. La constante 
de proporcionalidad es el coeficiente de viscosidad η,
Para los gases η aumenta si T↑
dy
dv
AF η=
Cap. 4/27
1 2
Si la viscosidad de un fluido no es despreciable la energía mecánica 
no se conserva y, por tanto, no se satisface la ecuación de Bernoulli. 
v1 = v2 (pues no hay estrechamiento: conservación de la materia)
y1 = y2 (pues ambos puntos se encuentran a la misma altura)
Pero: p1 ≠ p2 (pues ambos puntos tienen distinta profundidad)
El trabajo de las fuerzas intermoleculares que producen la fricción entre 
las capas de fluido son las responsables de la pérdida de energía.
Cap. 4/28
Flujo laminar y flujo turbulento. Número de Reynolds
El flujo laminar corresponde a la situación considerada al definir el
coeficiente de viscosidad: láminas que mantienen su forma.
Es estacionario y se produce para pequeñas velocidades y si el fluido 
no encuentra obstáculos que sean muy angulosos. Piénsese en un 
río que fluye lentamente por un valle: los objetos flotantes, lejos de la 
orilla, se mueven como en una pista (lámina de fluido).
El flujo turbulento aparece cuando las láminas se mezclan, se forman
remolinos en ciertos sitios y desaparecen en otros.
Es no estacionario y se produce cuando aumenta la velocidad
(flujo de agua que cae de un grifo: primero laminar y luego turbulento ).
La transición de flujo laminar a turbulento no sólo depende de la 
velocidad v, sino también de la viscosidad η, de la densidad del fluido ρ y
de la geometría del conducto. 
η
ρ
=
vD
NRNúmero de Reynolds:
Si NR < 2000: flujo laminar.
Si NR > 3000: flujo turbulento.(adimensional)
Para un fluido que circule por un tubo de sección circular y diámetro D:
(siendo v la velocidad media del fluido)
Cap. 4/29
4.3.2 Ley de Poiseuille
Consideremos un fluido que circula por un tubo horizontal de sección
constante. Si hay viscosidad la ecuación de Bernoulli no se cumplirá pues
se pierde presión entre dos secciones del tubo debido a la fricción. 
rL2 
dr
dvA 
dr
dvFvisc πη=η=
2
2121pres r )pp()r(Sp)r(SpF π−=−=
 r
L2
pp
dr
dv
0FF 21presvisc η
−
−=⇒=+
v disminuye cuando r 
aumenta
1 2
L
r
R
r
v(r)
suponemos flujo laminar
en capas concéntricas
La ley de Poiseuille se debe a un médico francés especialista en el flujo de 
la sangre en vasos sanguíneos. Nos permite relacionar el caudal de un 
fluido viscoso que circula por un tubo con la diferencia de presión que lo 
origina.
El fluido avanza impulsado por la presión p1 contra 
la acción de la presión p2.
Debido a la viscosidad la velocidad no es la misma en todas las capas.
Caudal constante ⇒
Cap. 4/30
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
η
−
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η
−
−=⇒∫∫
η
−
−=
2
R
2
r
L2
pp
2
r
L2
pp
vdr r
L2
pp
dv
22
21
r
R
2
21
r
R
v
0
21
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
η
−
=⇒
2
22
21
R
r1
L4
R)pp(
v velocidad en función de r
L4
R)p(p v
2
21
máx η
−
=
v = 0
v = 0
vmaxv = v ( r )
La v en cada capa disminuye de forma continua desde vmax en el centro 
hasta v=0 para la capa más externa (r=R) que se adhiere a las paredes.
Para la capa más externa, r=R ⇒ v=0
En el centro, r=0 ⇒ la velocidad es máxima
Alternativamente, 
max221 vR
L4
pp 
η
=−
pérdida de presión que se produce 
en un fluido que circula por un 
conducto. Importante si R es 
pequeño.
Cap. 4/31
Nos interesa introducir el caudal. Tengamos en cuenta que v = v(r):
dr 
R
r1 r2 vdr r2 )r(vdS )r(vdQ
2
2
máx ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−π=π==
Integrando r entre 0 y R obtenemos el caudal total:
2máx
2
máx
R
0
2
42
máx R2
v
 
4
R 2 v
R4
r
2
r 2 vQ π=π=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−π=
Hemos obtenido: media) (velocidad 
2
v
v donde , vSQ máx==
y la ley de Poiseuille:
L8
R)pp(Q
4
21
η
π−
=
drr2dS π=
relaciona el caudal con la caída 
de presión debida a la viscosidad
Ejemplos: agujas hipodérmicas (jeringuillas), capilares, …
1 2
Fluido Ideal
Fluido Real (η) 
p1 = p2
p1 ≠ p2
Ec. de Bernoulli
Ley de Poiseuille
!! R de depende ¡¡ 4
Cap. 4/32
icahidrodinám aresistenci la es 
r
L8
R donde , 
R
pp
Q 4H
H
21
π
η
=
−
=
Podemos reescribir la ecuación de Poiseuille como:
Ésta es una expresión muy parecida a la ley de Ohm (I=∆V/R) 
• Intensidad de corriente I → caudal Q,
• Diferencia de potencial ∆V → caída de presión p1 – p2,
• Resistencia R → resistencia hidrodinámica RH (resistencia al flujo).
dimensiones: [RH] =[p]/[Q] unidades de RH en SI: N s m-5
(en Fisiología se usa: torr s cm-3 )
Resistencia hidrodinámica
La resistencia al flujo RH es mayor cuanto mayor sea la viscosidad η y 
cuanto más largo y estrecho sea el conducto.
Cap. 4/33
4.3.3 Circulación sanguínea
El sistema circulatorio de los animales
En los organismos complejos (animales y plantas mayores de 1 mm) 
los nutrientes, o los productos de desecho, no llegan a, o salen de, las 
células por difusión directa sino mediante un sistema circulatorio que 
transporta los nutrientes y otros materiales a todo el organismo. 
En las plantas superiores el transporte se hace mediante la savia, cuyo 
movimiento tiene que ver con fenómenos superficiales y propiedades de 
las disoluciones, según veremos.
Aquí nos centraremos en el sistema circulatorio de los mamíferos.
En los animales el sistema circulatorio puede ser abierto (muchos 
invertebrados: el corazón bombea la hemolinfa a través de una arteria a 
una cavidad llamada hemocele donde baña directamente a los tejidos) 
o cerrado (los cefalópodos y los vertebrados: el corazón bombea la 
sangre a través de un circuito cerrado formado por arterias, capilares y 
venas que la devuelven al corazón). 
Cap. 4/34
El sistema circulatorio de los mamíferos (el humano) 
Dos subsistemas: pulmonar y periférico y un corazón (casi dos en uno).
La arteria aorta sale del corazón con sangre 
rica en oxígeno, que se lleva por el sistema 
periférico a los tejidos, y es devuelta al 
corazón (pobre en oxígeno) por la vena cava.
La sangre sale del corazón pobre en oxígeno 
por la arteria pulmonar, recoge el oxígeno en 
los pulmones y entra en el corazón por la 
vena pulmonar. 
La sangre sale del corazón por las arterias y vuelve a él por las venas.
La sangre se mueve por diferencias de presión, 
impulsada por los latidos del corazón
controlados eléctricamente:contracciones 
(sístoles) y dilataciones (diástoles) sucesivas, 
que expulsan y atraen la sangre del corazón, 
respectivamente.
Los capilares están en contacto con todos los 
tejidos y sus paredes muy finas permiten la 
transferencia de materiales con las células.
Cap. 4/35
Velocidades y secciones en el sistema circulatorio
Velocidades medias:
Aorta: 33 cm/s
Caudal Q = 83 cm3/s ; V = 5 litros (lo que bombea el corazón en reposo en 1 min)
Secciones:
Aorta: 2.5 cm2 (raorta=9 mm)
S
QvvSQ =⇔= (téngase en cuenta que hay estrechamientos y ramificaciones)
Capilares: 2500 cm2
(ramificaciones: 5 mil millones
de 5×10-7 cm2 cada uno) 
Capilares: 0.033 cm/s
Arterias: 20 cm2
(ramificaciones: 200 de 0.1 cm2 cada una)
Arterias: 4.1 cm/s
(sistema periférico)
Ve
lo
ci
da
d
Se
cc
ió
n 
 
 
 
Cap. 4/36
(sistema periférico)
Pr
es
ió
n 
m
an
om
ét
ric
a 
Aorta: 3 mm Hg
Arterias: 17 mm Hg
Arteriolas: 50 mm Hg
Capilares: 20 mm Hg
Vénulas y venas: 10 mm Hg
Pérdidas de presión debidas sólo a la viscosidad
En el sistema periférico, la mayor sobrepresión se 
acumula en la zona arterial, siendo muy pequeña 
en la zona venosa (en el pulmonar, es mitad y 
mitad, aproximadamente):
En la zona venosa la mayor parte de la sangre: de 
ahí se saca en las donaciones (sale lentamente). 
Q
R
L8pp 421 π
η
=−
Presión manométrica (mm Hg) Salida (arteria) Entrada (vena)
Sistema periférico 100 (aorta) 0 (cava)
Sistema pulmonar 13 (pulmonar) 0 (pulmonar)
Las venas poseen válvulas que se abren o cierran en 
contracciones y dilataciones para devolver la sangre 
al corazón venciendo presión hidrostática (varices; 
mareos y embolsamientos desaparecen tumbados)
Cap. 4/37
Asociación de conductos (por ejemplo capilares sanguíneos):
El sistema circulatorio del cuerpo es una red compleja de vasos 
sanguíneos conectados. Se pueden aplicar los mismos métodos que en 
circuitos eléctricos para calcular la resistencia global (resistencia 
equivalente) de dos o más conductos conectados en serie o en paralelo.
Paralelo
R1
R3
R2 321H R
1
R
1
R
1
R
1
++=
R1 R3
R2
Serie
321H RRRR ++=
Cap. 4/38
321 QQQQ ++=
3
21
2
21
1
21
H
21
R
pp
R
pp
R
pp
R
pp −
+
−
+
−
=
−
321H R
1
R
1
R
1
R
1
++=
)pp()pp()pp(pp 2BBAA121 −+−+−=−
321H RQRQRQRQ ++=
321H RR RR ++=
Paralelo (la pérdida de presión es la misma en todos, el caudal NO)
Serie (por todos circula el mismo Q)
R1 R3
R2A B1 2
R1
R3
R2
1 2Q
→ →
Q
Demostración
Cap. 4/39
Resistencia al flujo sanguíneo
Pa 1033.1
atm 1
Pa 101.013
Hg mm 760
atm 1 Hg mm 100Hg mm 100pp 4
5
21 ×=
×
==−
)cm storr 1.2( m s N 106.1
s/m 1083
Pa 1033.1
Q
pp
R 3-5-836
4
21
H =×=
×
×
=
−
= −
Caudal: s/cm 83Q 3=
Caída de presión (sistema periférico):
Resistencia total del sistema circulatorio:
• Si RH crece de forma anormal (obstrucción) debe aumentar la presión
para mantener el caudal (hipertensión).
• RH disminuye manteniéndose la presión constante al hacer ejercicio físico
(vasodilatación) para aumentar el caudal (se necesita para la regulación
térmica y para una mayor oxigenación).
En ambos casos, el corazón realizará mayor trabajo que en condiciones 
normales…
Cap. 4/40
Potencia cardiaca
vena
cava
aorta
La potencia mínima P desarrollada por el 
corazón para mover un caudal Q venciendo la 
caída de presión p debida a la viscosidad es: 
W 1.10 QRQ pv S pv FP 2Hvis =====
Suponiendo un rendimiento muscular del 25% esto implica un consumo 
mínimo de 4.4 W. 
Vemos que efectivamente la potencia que desarrolla el corazón es mayor
cuando aumenta la presión, el caudal o la resistencia al flujo.
Además el corazón debe desarrollar una potencia (cinemática) para 
impulsar la sangre por la aorta con v2 = 33 cm/s partiendo de v1 = 0:
viscinvistot
3-2
1
2
22
1
cin PPPPW 104.75 Q )vv(P ≈+=⇒×=−ρ=
Vemos que un 99.5% de la potencia cardiaca se invierte en contrarrestar 
la fricción en el sistema circulatorio debida a la viscosidad de la sangre.
Nota: hemos considerado sólo el sistema periférico (lado izquierdo del corazón).
La potencia del lado derecho (sistema pulmonar) es mucho menor (compruébese).
Cap. 4/41
Cambios de presión debidos a gravedad y viscosidad
Si ignoramos los efectos de la viscosidad obtenemos las presiones 
hidrostáticas, debidas exclusivamente a la acción de la gravedad
(diferencias de altura)
Veamos ahora el efecto conjunto de gravedad y viscosidad
(mostraremos sólo el sistema periférico). 
B: cerebro
H: corazón
F: pies
Presión hidrostática manométrica 
promediada a lo largo del ciclo cardíaco
200 torr 70 torr 100 torr 98.5 torr 100 torr 99.5 torr
Cuando la persona está de pie, las presiones en la cabeza, cerca del 
corazón y en los pies son muy distintas.
Cap. 4/42
Sistema periférico
65
10210
65 100
-55
-35
-8 -8
-55
-35
gravedad viscosidad (mm Hg)∆p debidas a
Sector
venoso
Sector
arterial
individuo
erguido
-35+94
100
45-10
2
104 159
-20 -35
-550
-8
-8
-55
+20
-94
0
corazón
cabeza
pies
individuo tumbado Presiones manométricas
Cap. 4/43
Nótese que en el sistema venoso hay 
puntos con presión manométrica negativa
(cerebro), lo que significa que una incisión 
en una de estas venas produciría la 
entrada de aire cortando la circulación 
(riesgo de embolia). 
Presiones venosas 
manométricas
Casi todo el torrente circulatorio está a mayor presión que la atmósfera
(presión manométrica positiva): sale sangre al pinchar un vaso.
Si se mide la presión en las arterias principales (pérdidas por viscosidad 
aún pequeñas), el valor se debe principalmente a la altura.
Pero: las presiones (debido a la viscosidad) 
se reducen mucho al llegar a las venas.
Así, en la zona venosa del corazón p=0. 
En la vena del pie, lo que aumenta por 
gravedad casi se pierde por viscosidad.
Cap. 4/44
4.3.4 Ley de Stokes y sedimentación
vr6Fa ηπ=
Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido viscoso experimenta 
una fuerza de rozamiento o de arrastre Fa, que se opone al movimiento. 
Para cuerpos pequeños moviéndose a velocidades pequeñas, esta fuerza 
es proporcional a v (resultado experimental). 
La constante de proporcionalidad (adimensional) para un cuerpo esférico 
de radio r fue hallada por Stokes:
La expresión de la fuerza se puede deducir mediante análisis dimensional.
Para un cuerpo de tamaño r en un fluido de densidad ρ y viscosidad η:
vrF
1c
0b
1a
1c2
1cb3a1 
cb1 
LT]v[
ML][
L]r[
TML][
MLT]F[
vrF
a
1
3
11
2
a
cba
a
η∝⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
=
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
−−=−
+−−=
+=
⇒
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
=ρ
=
=η
=
ηρ∝
−
−
−−
−
Ley de Stokes
(independiente de ρ)
1c1cb3acb2 TLMTLM −−+−−+− =
Importante en el estudio del movimiento 
de partículas pequeñas en disolución
Cap. 4/45
Esta expresión nos permite hallar la velocidad de sedimentación (límite)
de un cuerpo esférico en un fluido (cuando el peso iguala a empuje y Fa):
 elocidadvv vr6F :Arrastre
fluido del densidad gr VgE :Empuje
cuerpo del densidad grVgmg :Peso
a
f
3
3
4
ff
c
3
3
4
cc
=ηπ=
=ρπρ=ρ=
=ρπρ=ρ=
)(
9
gr2v fc
2
s ρ−ρη
=
(vs seguirá constante, 
pues las fuerzas se anulan)
P
E
Fa maFEPF a =−−=Σ
Expresión útil para analizar procesos de sedimentación. Ejemplo: en una 
muestra de sangre en reposo, los glóbulos rojos, más pesados que el 
plasma, caen lentamente hacia el fondo.
La velocidad límite (cte) se alcanza cuando la fuerza de arrastre es 
contrarrestada por el peso y el empuje ⇒ a=0.
Cuando se alcanza el equilibrio, Fa= P − E ⇒ gr)(vr6F 
3
3
4
fcLa πρ−ρ=ηπ=
Cap. 4/46
Puede calcularse que esta velocidad límite se alcanza en muy poco tiempo. 
En la práctica, ésta es la velocidad a la que se produce la sedimentación.
La sedimentación es tanto más rápida cuanto mayor sea (ρc−ρf). 
Si la diferencia de densidades es muy pequeña, la sedimentación pasiva 
es lenta. Por ello se utilizan las centrífugas. 
Si hay moléculas de diferentestamaños tendrán diferentes valores de vs .
⇒ Permite identificar los diferentes componentes sólidos en suspensión.
Ejemplo: glóbulo rojo de r = 2×10-6 m y ρc = 1.3×103 kg/m3 en plasma 
sanguíneo de ρ = 1.06×103 kg/m3 y η = 1.8×10-3 kg m-1 s-1: 
Lento: 1 cm en 2 h 23 minm/s 1016.1v 6s
−×=
Si en cambio la suspensión se introduce en una centrífuga con aceleración 
centrípeta ω2r=103g (ω: velocidad angular de rotación; r: distancia al 
centro),
s6.8t10tv10v 3s
3
s ==′⇒=′
−
Cap. 4/47
1
2
v2 > v1
Arrastre
Sustentación
• Si NR > 1 (altas velocidades, objetos grandes) la viscosidad es irrelevante
y la fuerza de arrastre es proporcional a v2:
2
a2
1
a vACF ρ=
La velocidad límite que se alcanza en este caso
(despreciemos el empuje: ρc >> ρ):
Mejor coeficiente de arrastre CA pequeño para 
aerodinámica de coches, aviones …
2
s2
1
s vACF ρ=(analogía con sustentación: )
a
L AC
mg2v
ρ
=
Ejemplo: vL en el aire:
Objeto (Ca ≈ 1) masa A frontal vL NR
Gota lluvia 4×10-6 kg 3×10-6 m2 4.6 – 6.5 m/s 4×102
Gota granizo 4×10-3 kg 3×10-4 m2 14 – 20 m/s 104
Persona caída vertical 75 kg 0.6 m2 44 – 63 m/s 4×106
La ley de Stokes es válida para v pequeña. Más concretamente cuando el 
número de Reynolds asociado al cuerpo de diámetro D (análogo al definido 
para un fluido en un tubo) sea menor que la unidad:
1 
vr2vD
NR <η
ρ
=
η
ρ
= (se cumple la ley de Stokes:
cuerpos y velocidades pequeñas)