Estadistica - Parte Uno-páginas-13

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particular. Por ejemplo, la figura 2-4 muestra que 37 de los valores del nivel de
cotinina son menores que 299.5.
Gráficas de puntos
Una gráfica de puntos consiste en una gráfica en donde se marca cada valor de
un dato como un punto a lo largo de una escala de valores. Los puntos que re-
presentan valores iguales se amontonan. Observe la figura 2-5, que representa la
duración de películas de dibujos animados para niños, que se listan en el conjunto
de datos 7 del Apéndice B. Por ejemplo, los dos puntos que aparecen a la izquierda
representan el valor de 64 minutos, que ocurre dos veces en el conjunto de datos 7.
En esta gráfica de puntos vemos que la duración de 120 minutos difiere mucho de
las demás.
Gráficas de tallo y hojas
Una gráfica de tallo y hojas representa datos que separan cada valor en dos partes:
el tallo (el dígito ubicado en el extremo izquierdo) y la hoja (el dígito del extremo
derecho). La ilustración de la siguiente página muestra una gráfica de tallo y hojas de
las mismas duraciones de películas listadas en el conjunto de datos 7 del Apéndice
B. Dichas duraciones (en minutos), si se acomodan en orden creciente, son 64, 64,
69, 70, 71, 71, 71, 72, 73, . . . , 120. Es fácil ver cómo el primer valor de 64 se se-
paró en su tallo de 6 y su hoja de 4. Cada uno de los valores restantes, lo hace de
una manera similar. Note que las hojas se ordenaron en forma creciente y no en el
orden en que aparecen en la lista original.
48 CAPÍTULO 2 Descripción, exploración y comparación de datos
–0.5 99.5 199.5 299.5 399.5 499.5
F
re
cu
en
ci
a 
ac
um
ul
at
iv
a
Niveles de cotinina de fumadores
40
30
20
10
0
37 de los valores �
son menores �
que 299.5
FIGURA 2-4 Ojiva
49.5 149.5 249.5 349.5 449.5
F
re
cu
en
ci
a
Niveles de cotinina de fumadores
15
10
5
0
FIGURA 2-3 Polígono de frecuencias
60 70 80 90 100 110 120
Duración de la película (minutos)
FIGURA 2-5 Gráfica de puntos de la duración de películas para niños
Si colocamos la página de lado, veremos una distribución de tales datos. Una
gran ventaja de la gráfica de tallo y hojas radica en que nos permite ver la distribu-
ción de los datos y, al mismo tiempo, retener toda la información de la lista origi-
nal. En caso de ser necesario, reconstruiríamos la lista original de valores. Otra
ventaja es que la construcción de una gráfica de tallo y hojas implica una forma
fácil y rápida de ordenar datos, y algunos procedimientos estadísticos requieren
de un ordenamiento (como el cálculo de una mediana o de los percentiles).
Los renglones de datos de una gráfica de tallo y hojas son similares en natura-
leza a las barras de un histograma. Uno de los lineamientos para la construcción
de histogramas es que se incluyan entre 5 y 20 clases, lo cual se aplica a la grá-
fica de tallo y hojas por las mismas razones. Por lo general, obtenemos mejores
gráficas de tallo y hojas si redondeamos primero los valores de los datos origina-
les. Además, este tipo de gráficas pueden expandirse para incluir más renglones y
condensarse para disminuir el número de renglones. En nuestro ejemplo, la gráfica
de tallo y hojas puede expandirse subdividiendo los renglones en otros con hojas
que incluyan dígitos del 0 al 4, así como otros con dígitos del 5 al 9, tal como se
muestra en el siguiente diagrama.
2-3 Visual ización de los datos 49
Gráfica de tallo y hojas
Tallo (decenas) Hojas (unidades)
6 449
7 01112334444555555666778899
8 0011122233346899
9 0024
10
11
12 0
dLos valores
son 64, 64, 69.
d El valor
es 120.
dPara hojas de 0 a 4
d Para hojas de 5 a 9
Gráfica expandida de tallo y hojas
Tallo Hojas 
6 44
6 9
7 01112334444
7 555555666778899
8 001112223334
8 6899
9 0024
9
10
10
11
11
12 0
El crecimiento
de la estadística
El reportero Richard Rothstein
escribió en el New York Times
que el estudio del álgebra, la tri-
gonometría y la geometría en la
escuela preparatoria “deja muy
poco espacio para el estudio de
la estadística y la probabilidad.
Sin embargo, los estudiantes ne-
cesitan fundamentos sobre el
análisis de datos”. El reportero
observó que el cálculo tiene un
papel prominente en los estudios
universitarios, aun cuando “sólo
algunos trabajos, principalmen-
te en áreas técnicas, realmente lo
utilizan”. Rothstein citó un es-
tudio realizado por el profesor
Clifford Konold, de la Universi-
dad de Massachusetts, quien
contó el número de desplegados
de datos que aparecen en el New
York Times. En los ejemplares de
1972, el doctor Konold encon-
tró cuatro gráficas o tablas en
cada una de las 10 ediciones se-
manales (sin incluir las secciones
de deportes y negocios), pero en
1982 había ocho, en 1992 fueron
44 y “el próximo año, él (el
doctor Konold) podría encon-
trar más de 100”. El crecimiento
de la estadística como una disci-
plina se fomenta, en parte, por
el uso creciente de dichos desple-
gados de datos en los medios de
comunicación.
Cuando hay necesidad de reducir el número de renglones, es posible condensar
una gráfica de tallo y hojas al combinar los renglones adyacentes, tal como se in-
dica en la siguiente ilustración. Note que insertamos un asterisco para separar los
dígitos en las hojas asociadas con los números en cada tallo. Cada renglón en la
gráfica condensada debe incluir exactamente un asterisco, de modo que la forma
de la gráfica no se distorsione.
50 CAPÍTULO 2 Descripción, exploración y comparación de datos
Gráfica condensada de tallo y hojas
Tallo Hojas
6–7 449*01112334444555555666778899
8–9 0011122233346899*0024
10–11 *
12–13 0*
d 64, 64, 69, 70,
. . . , 79
d El valor es 120.
Gráficas de Pareto
La Federal Communications Commission (FCC) verifica la calidad del servicio tele-
fónico en Estados Unidos. Algunas de las quejas en contra de las compañías
telefónicas incluyen los cambios, es decir, se cambia de compañía al cliente sin su
consentimiento, y el cobro forzoso de cargos no autorizados. Datos recientes de la
FCC mostraron que las quejas en contra de las compañías telefónicas estadouni-
denses eran las siguientes: 4473 por tarifas y servicios, 1007 por marketing, 766
por llamadas internacionales, 614 por cargos de acceso, 534 por servicios de ope-
radora, 12,478 por cambios sin consentimiento y 1214 por forzamiento. Si usted
fuese reportero de un medio impreso, ¿cómo presentaría dicha información? La
simple escritura de oraciones con datos numéricos no llevaría a una verdadera
comprensión. Un mejor método consiste en utilizar una gráfica conveniente; en
este caso, la gráfica de Pareto se adecuaría muy bien.
Una gráfica de Pareto es una gráfica de barras para datos cualitativos, donde
las barras se ordenan de acuerdo con las frecuencias. Al igual que en los histogra-
mas, las escalas verticales de las gráficas de Pareto representan frecuencias o fre-
cuencias relativas. La barra más alta se coloca a la izquierda y las más pequeñas
hacia la derecha. Al ordenar las barras por frecuencias, la gráfica enfoca la aten-
ción en las categorías más importantes. La figura 2-6 es una gráfica de Pareto que
muestra con claridad que el cambio sin consentimiento es, por mucho, el asunto
más grave de las quejas de los clientes respecto de las empresas telefónicas.
Gráficas circulares
Las gráficas circulares también se utilizan para visualizar datos cualitativos. La fi-
gura 2-7 es un ejemplo de una gráfica circular, que presenta datos cualitativos
como si fueran rebanadas de un pastel. La figura 2-7 representa los mismos datos
de la figura 2-6. Para construir una gráfica circular, se separa el círculo en las pro-
porciones que se adecuan mejor. La categoría de quejas por cambio sin consenti-
miento representan un 59% del total, de manera que la porción que representa el
cambio sin consentimiento debe abarcar el 59% del total (con un ángulo central de
0.59 � 360° 5 212°).
La gráfica de Pareto (figura 2-6) y la gráfica circular (figura 2-7) presentan los
mismos datos en formas diferentes, pero una comparación probablemente de-
muestre que la gráfica de Pareto es mejor para resaltar los tamaños relativos delos
distintos componentes, lo cual explica por qué muchas compañías, como Boeing
Aircraft, a menudo utilizan las gráficas de Pareto.
Diagramas de dispersión
Un diagrama de dispersión es una gráfica de datos apareados (x, y), con un eje x
horizontal y un eje y vertical. Los datos se aparean de tal forma que cada valor de
un conjunto de datos corresponde a un valor de un segundo conjunto de datos. Para
elaborar un diagrama de dispersión manualmente, construya un eje horizontal
para los valores de la primera variable y un eje vertical para los valores de la se-
gunda variable, y después grafique los puntos. El patrón de los puntos graficados
suele ser útil para determinar si hay alguna relación entre las dos variables. (Este
aspecto se estudia a profundidad en el tema de la correlación, en la sección 9-2).
Con los datos del peso (en libras) y la circunferencia de la cintura (en cm) de los
varones del conjunto de datos 1 del Apéndice B, utilizamos Minitab para generar
el diagrama de dispersión que aparece a continuación. Con base en dicha gráfica,
parece haber una relación entre el peso y la circunferencia de la cintura, tal como
lo muestra el patrón de puntos.
2-3 Visual ización de los datos 51
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
Cam
bi
o
Ta
rif
as
 y
 s
er
vi
cio
s
Fo
rz
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ie
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o
M
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Se
rv
ici
os
 d
e 
op
er
ad
or
a
F
re
cu
en
ci
a
FIGURA 2-6 Gráfica de Pareto de quejas
en contra de las compañías telefónicas
FIGURA 2-7 Gráfica circular de quejas en contra de las compañías
telefónicas
Cambios sin�
consentimiento�
(12,478)
Tarifas y�
servicios�
(4473)
Forzamiento�
(1214)
Marketing�
(1007)
Llamadas internacionales�
(766)
Cargos de acceso�
(614)
Servicios de operadora�
(534)
Minitab
P
es
o
 (
en
 lb
)
Cintura (en cm)