resistencia_tema13

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XI 1 
MECÁNICA TÉCNICA 
TEMA XI 
 
1.- Resistencia de Materiales 
La asignatura Mecánica Técnica la podemos dividir en dos partes. La 
primera, desde el tema I al tema X del programa, forma parte de lo que 
tradicionalmente se denomina "Estática" y la segunda, desde el tema XI al 
tema XIX, forma parte de lo que también tradicionalmente se denomina 
"Resistencia de Materiales". En carreras como las de Ingeniería Civil o 
Ingeniería en Construcciones ambas materias forman parte de asignaturas 
distintas. Aquí, dada la índole de la carrera, se las estudia juntas y se 
las denomina como "Mecánica Técnica". A veces ambas materias, se las 
denomina indistintamente como "Estabilidad". 
En la primera parte de la asignatura se ha estudiado el equilibrio de 
los cuerpos y en especial el equilibrio de los cuerpos vinculados sometido 
a distintos estados de cargas (o fuerzas) (Fig. 1). 
P1, P2 y q�fuerzas o cargas 
A y B� Vínculos 
 q 
 
 
 
 
Fig. 1: cuerpo vinculado 
XI 2 
Con referencia a estos últimos se ha estudiado en primer lugar como 
trabajan (o reaccionan) esos vínculos y se ha visto como el conjunto de 
las cargas (o fuerzas) y las reacciones _de vínculos forman un sistema de 
fuerzas cualesquiera que deben estar en equilibrio (Fig. 2a y 2 b) y por 
consiguiente debe cumplir con las condiciones de equilibrio sean graficas 
ó analíticas ya vistas (ver Tema VII). 
Fig. 2 
También se ha visto como el conjunto de estas fuerzas en equilibrio 
producen en el interior de esos cuerpos esfuerzos denominadas también 
solicitaciones que reciben, según los casos, los nombres de: esfuerzos 
normales (N), esfuerzos de corte (Q), momentos flectores (Mf) y momento torsor 
(Mt).(Ver temas VIII y IX) 
En el caso de los reticulados hay solo esfuerzos normales (N) ya que los 
otros se consideran nulos (Fig. 3) 
 
 
 
 
a) Reticulado b) Barras individuales 
Fig.3 
 
XI 3 
En el caso de vigas de alma llena como el de la Fig. 4, hay esfuerzos: 
Mf, N, Q 
 
 
 
 
a) Viga de alma llena b) Esfuerzos internos 
Fig. 4 
En esta segunda parte estudiaremos como esos esfuerzos internos 
provocan en el material del que está constituido el cuerpo las denominadas 
"tensiones” “deformaciones” y ”desplazamientos”. 
Aquí conviene aclarar algo antes de seguir. Una de las hipótesis de 
la estática era que los cuerpos eran indeformables sin embargo decimos que 
en Resistencia de materiales estudiaremos las deformaciones y 
desplazamiento de los mismos. En efecto existirán y de hecho se podrán 
medir esas deformaciones y desplazamientos corno veremos en todos los 
temas posteriores y en especial en el tema XVI pero sus magnitudes serán 
pequeñas (muy pequeñas) comparadas con las medidas de los cuerpos. O sea: 
las deformaciones son tan pequeñas que no cambia la configuración 
geométrica del cuerpo y su influencia sobre las solicitaciones es 
despreciable y por consiguiente a los fines del equilibrio y de los 
esfuerzos internos es como si efectivamente los cuerpos que estudiaremos 
fueran indeformables. Si esas deformaciones tuvieran importancia debemos 
tenerlas en cuenta como efectivamente ocurrirá cuando estudiaremos el 
fenómeno de Pandeo (Tema XIX). 
En resumen, el objeto de la Resistencia de Materiales es llegar a 
dimensionar los cuerpos de manera tal que las tensiones y deformaciones 
provocadas por los esfuerzos al que están sometidos se mantengan dentro de 
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ciertos límites dados por las experiencias y las experimentaciones hechas 
sobre los mismos o sobre modelos que los representan. 
ANEXO: 
La finalidad de la Resistencia de Materiales (RDM) es: DISEÑAR o VERIFICAR los 
elementos estructurales (losas, vigas, columnas, etc.) de manera que cumplan 
los requisitos de: 
RESISTENCIA: Los elementos deberán soportar cargas de diseño sin romper. 
RIGIDEZ: Los componentes deberán deformarse dentro de limitaciones 
prestablecidas. 
ESTABILIDAD: Los elementos deberán encontrarse en equilibrio estable. 
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2.- Hipótesis Fundamentales 
El comportamiento real de los cuerpos es muy complicado y sobre todo 
muy difícil de representar. En consecuencia se han elaborado hipótesis 
simplificativas que tratan de aproximarse lo mejor posible al 
comportamiento de los mismos dentro de ciertos límites que veremos más 
adelante. Esas hipótesis son las siguientes: 
� Hipótesis de homogeneidad de los cuerpos 
Esta hipótesis supone que las propiedades de los cuerpos son las 
mismas en todas las direcciones. En realidad todos sabemos que esto no se 
cumple estrictamente. Habrá materiales que se ajustarán más y otros menos 
a esta hipótesis. Por ejemplo el hierro tiene la misma resistencia a 
tracción que a compresión pero esto no sucede para un material como el 
hormigón. 
� Hipótesis de elasticidad de los materiales. 
Esto significa que si un material se ha deformado bajo una causa 
externa al retirar esa causa vuelve a su posición primitiva. Fig. 5 a) b) 
y c) 
 
 
a) Inicial b)al colocar la carga P c)al retirar la carga P 
Fig. 5 
Esta hipótesis también no se cumple estrictamente y varía de material 
a material y además como veremos depende de la magnitud de la causa 
externa. Para seguir con el ejemplo anterior: el hierro cumple bastante 
bien con esta hipótesis dentro de ciertos rangos de tensiones no así el 
hormigón que cualquiera sea la tensión al retirar la causa externa siempre 
permanece “algo" de la deformación producida. La deformación que al 
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retirar la causa se recupera totalmente se denomina deformación elástica, 
mientras la que no se recupera se la define como deformación plástica. 
En Resistencia de Materiales solo trataremos las deformaciones 
elásticas. 
� Hipótesis de Navier 
Esta hipótesis la veremos con más detalles al estudiar FLEXION. Aquí 
nos limitaremos a enunciarla y dice “una superficie plana correspondiente 
a una sección cualquiera de un cuerpo permanece plana después de la 
deformación del mismo”-. Fig. 6 a) y b). 
 
 
 
 
Fig. 6 
� Hipótesis o principio de superposición de los efectos 
En realidad esta hipótesis ó principio se puede deducir como consecuencia 
de las anteriores pero aquí la trataremos como una hipótesis más y 
consiste en lo siguiente. “Si sobre un cuerpo actúa primeramente una causa 
Cl que produce un efecto el que desaparece al retirar la causa y luego 
actúa una segunda causa C2 que produce un efecto e2 (el y e2 deben ser 
efectos del mismo tipo y en el mismo lugar) que también desaparece al 
retirar 1, causa C2, posteriormente al hacer actuar en conjunto las causas 
Cl y C2 el efecto que se produce será la suma algebraica de el y e2” [Fig. 7 
a) b) y c)]. 
 
 
XI 7 
 
 
 
 
 
a) causa C1 y b) causa C2 c) causa C1 + C2 
 efecto el y efecto e2 y efecto el + e2 
Fig. 7 
 
XI 8 
3- Tensiones y Deformaciones 
Una fuerza o esfuerzo que actúa sobre una superficie se traduce en 
una tensión. Definimos entonces como tensión a la relación: 
 Fuerza = Tensión 
Superficie 
siendo sus unidades kg ; t ; Pa = N ; MPa = MN = N ; etc. 
 cm2 m2 m2 m2 mm2 
Si la fuerza es normal a la superficie, tenemos las tensiones normales 
que normalmente designaremos con la letra griega σσσσ (sigma). Si la fuerza se 
encuentra en el plano de la superficie tenemos tensiones tangenciales que 
normalmente designaremos con la letra o τ(tau). Si la fuerza incide 
según una dirección cualquiera sobre la superficie siempre es posible 
descomponerla según las dos direcciones vistas (normal y tangencial). Figs 8 
a) b) c). 
 
 
 
 
Fig. 8 
Durante el transcurso de la materia veremos como esas tensiones 
provocan deformaciones en los cuerpos, hecho ya mencionado en el punto 
anterior y al enunciar la hipótesis de la elasticidad de los materiales. 
Para fijar ideas veamos un ejemplo como el de la Fig. 9. 
Se trata de uncuerpo cilíndrico de longitud lo cuya sección tiene una 
superficie So y sometido a un esfuerzo normal N. Conforme a lo visto 
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anteriormente estará sometido a una tensión igual a 
 
Esta tensión provocará un alargamiento ó 
deformación longitudinal del cuerpo igual a 
∆ y entonces aquel adquirirá finalmente una 
longitud 11 Se define como deformación 
especifica (o unitaria) y se la designa 
normalmente con la letra griega εεεε (epsilón) 
a la relación: 
(2) con unidades: mm / mm 
Fig. 9 
Esta deformación específica como veremos mas adelante dependerá de la 
magnitud de y su variación con respecto a ella la veremos también mas 
adelante. Aquí solo queremos anticipar que si se mantiene debajo de cierto 
nivel εεεε dependerá linealmente de ella, o sea hay una relación lineal entre 
tensiones y deformaciones. Este hecho algunos autores lo toman como una 
hipótesis alternativa a la de la elasticidad y veremos que en la práctica son 
la misma cosa. 
ANEXO: 
Las fuerzas, cargas o esfuerzos externos se clasifican según: 
1. Modo de aplicación: 
a) Concentradas (P) 
b) Distribuidas (q) 
 
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2. Frecuencia 
a) Estáticas 
b) Dinámicas (impacto, choque) 
c) Variables ó cíclicas (que producen fatiga) 
 
3. Duración. 
a) Permanentes o muertas (peso propio) 
b) Accidentales o vivas o de explotación (sobrecargas, viento, sismo, 
nieve, vehículos, etc.) 
 
4. Efectos internos o solicitaciones: 
a) Axiales (tracción, compresión) 
b) Flexión 
c) Corte 
d) Torsión 
 
Un fuerza produce un desplazamiento: F → ∆ ó δ; 
 Mf → φ; 
 Mt → θ; 
 
Una tensión produce una deformación: σ → ε; 
 τ → γ 
 
 
 
XI 11 
TENSION Y DEFORMACION 
 
Representaciones esquemáticas de deformaciones por diversas cargas: 
a) Deformación por tracción 
b) Deformación por compresión 
c) Deformación por corte 
d) Deformación por torsión 
Las líneas punteadas representan el cuerpo antes de la deformación 
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4- Límites 
Como hemos dicho el comportamiento de los materiales es muy complejo y 
por consiguiente resulta imposible establecer leyes que tengan validez 
general y sin restricciones o sea que como se expresó al hablar de las 
hipótesis fundamentales es necesario hacer simplificaciones pero además hay 
que establecer los límites dentro de los cuales tienen validez. Así por 
ejemplo la dependencia lineal entre deformaciones y tensiones va a estar 
limitada por el denominado límite de proporcionalidad como veremos en detalle 
en el tema XIV en donde se estudiarán además otros límites.- 
 
XI 13 
5- Definición y clasificación de los esfuerzos 
En los temas X y XI se estudiaran los esfuerzos internos a los que están 
sometidos los cuerpos o estructuras y que reciben también el nombre de 
solicitaciones y que eran: 
N = esfuerzo normal 
Q = esfuerzo de corte 
Mf ó M = Momento flector 
Mt = Momento torsor 
Si el cuerpo, un elemento o una sección del mismo están sometidos 
aisladamente a la acción de uno de esos esfuerzos tendremos los estados de 
solicitación simple. Si hay dos o mas esfuerzos actuando simultáneamente 
tendremos los estados de solicitación compuestas. A continuación pasamos a 
citar en forma detallada a los estados simples o compuestos más usuales y 
veremos en que tema los estudiaremos. 
a) Estados de solicitación simple 
* Tracción Y compresión - Tema XIV 
N ≠ 0 
Q = 0 
Mf = 0 
Mf = 0 
** Corte puro ó simple – Tema XV 
N = 0 
Q ≠ 0 
XI 14 
Mf = 0 
Mt = 0 
*** Flexión pura ó simple – Tema XVI 
N = 0 
Q = 0 
Mf ≠ 0 
Mt = 0 
**** Torsión pura ó simple – Tema XX 
N = 0 
Q = 0 
Mf = 0 
Mt ≠ 0 
 
b) Estados de solicitación compuestos 
* Flexión plana - Tema XVII 
N = 0 
Q ≠ 0 
Mf ≠ 0 
Mf = 0 
 
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** Flexión compuesta – Tema XIX 
N ≠ 0 
Q = 0 ó Q≠ 0 
Mf ≠ 0 
Mt = 0 
Antes de terminar este punto caben dos aclaraciones. 
La primera es que como tenemos tensiones normales y tensiones 
tangenciales, los esfuerzos simples son combinables (ver principio de 
superposición) si producen el mismo tipo de tensiones. 
La segunda es que en el programa hay dos temas más además de los vistos y 
que son: 
Tema XVIII En donde se estudian las deformaciones y desplazamientos 
Tema XXI Pandeo. Es un tema especial en el que se estudian las piezas 
sometidas a un esfuerzo de compresión y eventual flexión que 
por su geometría se ven afectadas por las deformaciones 
produciéndose un denominado "estado de inestabilidad" ó 
"equilibrio inestable". 
 
 
XI 16 
6- Condición mecánica de equilibrio 
En los temas VII y IX se han estudiado los esfuerzos internos en los 
cuerpos (en especial en reticulados y vigas de alma llena) y teniendo en cuenta 
10 que allí se vio, aquí vamos a hablar de lo que se denomina condición 
mecánica de equilibrio". 
Si consideramos la viga curva de la Fig. 10 sometida a un estado de 
cargas cualesquiera, es posible hallar las reacciones RA (o sus componentes 
y ) Y RB aplicando las condiciones de equilibrio de los cuerpos vinculados 
vistas en el tema IX. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 10 
Si ahora seccionamos a la viga según dos planos l - 1 Y 2 - 2 
infinitamente próximos y aplicamos las definiciones de Mf (momento flector) Q 
(esfuerzo de corte) y N (esfuerzo normal) podemos decir que la reacción Ri es 
equivalente a Mfi, Qi y Ni y que la reacción Rd es equivalente a Mfd, Qd y Nd 
(Fig. 11a) 
XI 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Solicitaciones b) Distintas formas de secciones 
Fig. 11 
Pero además en el transcurso de los temas siguientes veremos que sobre 
las secciones obtenidas y que pueden ser de, distintas formas geométricas (Fig. 
11 b) se desarrollan tensiones normales y tangenciales y que ellas deberán ser 
equivalentes a los esfuerzos o solicitaciones de Mf, Q y N. 
En consecuencia, debe cumplirse la "condición mecánica de equilibrio" que 
podríamos sintetizar en: 
• La Ri y la Rd deben estar en equilibrio, o sea 
Ri = - Rd 
o Ri y Rd deben ser dos fuerzas colinea1es y de sentido contrario. 
• Lo anterior equivale a decir también que las solicitaciones Mfi, Qi y Ni 
deben estar en equilibrio con Mfd, Qd Y Nd o sea: 
Mfi = - Mrd 
Qi = - Qd 
Ni = - Hd 
Finalmente lo anterior equivale también a. que las solicitaciones deben estar en 
equilibrio con las tensiones que se desarrollan en la sección. 
XI 18 
ANEXO: 
HIPOTESIS Y PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA RDM: 
FORMA DEL SÓLIDO (Noción de Pieza Lineal): 
Sólido generado por un área plana S que se desplaza a lo 
largo de una línea GG’, llamado barra. 
Se puede definir una línea media GG’ continua llamada eje 
de la barra, sin puntos singulares, que conecta los 
baricentros de las secciones. 
Una dimensión es muy superior a las otras dos; las 
dimensiones de la sección transversal son 
considerablemente menores que la longitud del eje de la 
barra. 
La sección transversal es siempre perpendicular al eje de 
la barra. 
La sección transversal no presenta variación brusca; 
puede variar de modo lento y continuo. 
El eje de la barra posee un gran radio de curvatura con 
relación a las dimensiones de las secciones rectas. 
MATERIAL: Continuidad: sin discontinuidades o interrupciones entre las 
partículas que lo forman. 
Homogeneidad: las propiedades mecánicas son iguales en 
cualquier punto del sólido. 
Isotropía: las propiedades mecánicas son iguales en todas 
las direcciones. 
Elasticidad: el elemento deformado vuelve a su situación 
original al retirar la causa de la deformación. 
XI 19 
FUERZAS: La fuerzas aplicadas en un punto no pueden ser sustituidas 
por un sistema de fuerzas equivalente porque producen 
efectos físicos diferentes (solicitaciones, tensiones, 
deformaciones, etc.). 
DEFORMACIONES: Proporcionalidad: en un sólido continuo las deformaciones 
se relacionan con las tensiones en todos sus puntos, en 
términos lineales y homogéneos. 
Pequeñas Deformaciones:Los materiales presentan 
deformaciones muy pequeñas en relación a las dimensiones 
de la estructura, que no cambian la geometría del elemento 
e influyen despreciablemente en las solicitaciones. 
ESFUERZOS Y Principio de Saint-Venant: Cuando la sección de una pieza 
TENSIONES está suficientemente alejada de los puntos de aplicación de 
las fuerzas exteriores, el estado de tensión en esa sección 
no depende de la forma de aplicación de las fuerzas, solo de 
la resultante. 
Principio de Navier - Bernoulli: Las secciones planas y 
normales al eje de una barra no deformada, se mantienen 
planas y normales al eje de la barra después de deformada. 
Superposición de efectos: La deformación en un punto 
cualquiera de la barra debida a varias acciones mecánicas, 
es igual a la suma de las deformaciones de cada acción 
mecánica considerada aisladamente. 
La tensión en un punto cualquiera de la barra debida a 
varias acciones mecánicas, es igual a la suma de las 
tensiones de cada acción mecánica considerada 
aisladamente. 
Principio del Equilibrio Mecánico: Igualdad de la acción y 
de la reacción en cada sección de la barra. 
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El modelo de SÓLIDO o PRISMA MECÁNICO que se empleará en Resistencia 
de Materiales: 
MODELO → Sólido ideal (Hipótesis): 
Continuo: Sin cavidades ni alteraciones. 
Deformable: No es un sólido rígido. 
Elástico: Lineal (deformaciones proporcionales a tensiones). 
Homogéneo: Idénticas propiedades mecánicas en todas sus 
partículas 
Isótropo: Propiedades iguales en todas las direcciones. 
REALIDAD – Sólido real: 
 Discontinuo: Poros, cavidades. 
 Deformable: No es un sólido rígido. 
 Elasto-plástico: Elástico lineal y/o elástico no lineal y/o plástico. 
 Heterogéneo: Diversas propiedades en las partículas. Ej. Hormigón: 
áridos, cemento, etc. 
Anisótropo: Propiedades pueden depender de la dirección. Ej. 
Madera.