notas_avanzadas compilacion matematicas olimpiadas-125

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7.1. Exámenes estatales 7. Exámenes
Problema 7.57 Se escriben siete números naturales en una circunferencia. Para cada par de núme-
ros vecinos se sabe que uno de ellos divide al otro. Prueba que hay dos números no vecinos con la
misma propiedad (es decir, que uno divide al otro).
Problema 7.58 Sean ABCD un cuadrado, M el punto medio de AD y E un punto cualquiera
sobre el lado AB. P es la intersección de EC y MB. Demuestra que la recta DP divide al segmento
EB en dos segmentos de igual longitud.
Problema 7.59 Se tienen 60 cajas numeradas del 1 al 60 y 60 pelotas numeradas del 1 al 60.
a) ¿De cuántas formas se puede colocar exactamente una pelota en cada caja de manera que en
cada caja cuyo número sea múltiplo de 3 quede una pelota cuyo número también es múltiplo de 3?
b) ¿De cuántas formas se puede colocar exactamente una pelota en cada caja de manera que en
cada caja cuyo número sea múltiplo de 3 quede una pelota cuyo número también es múltiplo de 3 y
que en cada caja con número par quede una pelota con número par?
Problema 7.60 Un apicultor tiene 55 pequeñas abejas en una caja cúbica de 1m de lado. Prueba
que en cualquier momento hay al menos tres abejas que pueden ser encerradas en una esfera de
radio 1/3 m.
7.1.10. Cuarta etapa (2003)
Problema 7.61 En un triángulo ABC el ángulo interno del vértice B mide 120◦. La prolongación
de la bisectriz de este ángulo interseca al circunćırculo del triángulo ABC en el punto D. Si I es el
incentro del triángulo ABC, prueba que AC = DI.
Problema 7.62 Encuentra todos los enteros positivos n para los cuales es posible formar un
rectángulo de 9× 10 usando piezas de 1× n.
Problema 7.63 Un dragón tiene 3996 cabezas. Un caballero tiene una espada capaz de cortar 300
cabezas, pero cuando la usa, surgen inmediatamente otras 84 cabezas; y tiene otra espada capaz
de cortar 100 cabezas, pero cuando la usa, surgen inmediatamente otras 370 cabezas. ¿Puede el
caballero, a través de una sucesión de golpes de sus espadas, reducir el número de cabezas del
dragón a 1998? ¿Cómo?
Problema 7.64 En un condominio serán construidas seis casas de un mismo lado de una calle.
Las casas pueden ser de ladrillo o de madera, pero como medida de seguridad contra incendios, dos
casas de madera no pueden ser vecinas. ¿De cuántas formas se puede planear la construcción de las
casas de este condominio?
Problema 7.65 En un triángulo acutángulo ABC, el ángulo interno del vértice A mide 30◦. Los
puntos B1 y C1 son los pies de las alturas trazadas por B y C respectivamente, y los puntos B2
y C2 son los puntos medios de los lados AC y AB respectivamente. Demuestra que los segmentos
B1C2 y B2C1 son perpendiculares.
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