notas_avanzadas compilacion matematicas olimpiadas-133

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7.2. Concursos nacionales de la OMM 7. Exámenes
Problema 7.125 Dentro de un pentágono de área 1993 se encuentran 995 puntos. Considere esos
puntos junto con los vértices del pentágono. Muestre que de todos los triángulos que se pueden
formar con los 1000 puntos anteriores, hay al menos uno de área menor o igual a uno.
Problema 7.126 Para cualquier número entero n ≥ 0 se define:
(i) f(n, 0) = 1 y f(n, n) = 1.
(ii) f(n, k) = f(n − 1, k − 1) + f(n − 1, k) para 0 < k < n. ¿Cuántos cálculos se tienen que hacer
para encontrar el valor de f(3991, 1993), sin contar aquéllos de la forma f(n, 0) y f(n, n)?
Problema 7.127 Por un punto O de una circunferencia se tienen tres cuerdas que sirven como
diámetros de tres circunferencias. Además del punto común O, las circunferencias se intersecan por
parejas en otros tres puntos. Demuestre que tales puntos son colineales.
Problema 7.128 Sean f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 y p un número impar. Pruebe que existe
un entero n tal que p divide a f(n) si y sólo si existe un entero m tal que p divide a m2 − 5.
7.2.8. VIII Olimpiada mexicana de matemáticas (1994)
Problema 7.129 La colección infinita de números 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, . . . se ha formado
de la siguiente manera: se coloca primero el primer impar (1), luego los siguientes dos pares (2,4),
después los siguientes tres impares (5,7,9), luego los cuatro pares siguientes al último impar que se
colocó y aśı sucesivamente. Encuentra el término de la secuencia más cercano a 1994.
Problema 7.130 Los doce números de un reloj se desprendieron y al colocarlos nuevamente se
cometieron algunos errores. Demuestre que en la nueva colocación hay un número que al sumarle
los dos números que quedaron a sus lados se obtiene un resultado mayor o igual a 21.
Problema 7.131 Considere un paralelogramo ABCD (con AB paralela a CD y BC paralela a
DA), sobre la prolongación del lado AB encuentre un punto E, de manera que BE = BC (y con
B entre A y E). Por E, trace una perpendicular a la ĺınea AB, ésta se encontrará en un punto F
con la ĺınea que pasa por C y es perpendicular a la diagonal BD. Muestre que AF divide en dos
ángulos iguales al ángulo DAB.
Problema 7.132 Un matemático caprichoso escribe un libro que tiene páginas de la 2 a la 400 y
que debe ser léıdo de la siguiente manera: Primero deberán leerse todas las páginas cuyo número
no sea primo relativo con 400 (por suerte, éstas se leen en orden normal de menor a mayor). Una
vez léıdas éstas, se toma el último número de las que no se han léıdo (en este caso 399) y entonces
se leen todas las páginas cuyo número no sea primo relativo con él y que no se hayan léıdo antes.
Este proceso (tomar el último número de las que no se han léıdo y leer las páginas cuyo número
no sea primo relativo con él y que no se hayan léıdo antes) continúa hasta terminar de leer el libro.
¿Cuál es el número de la última página que se debe leer?
Problema 7.133 Sea ABCD un cuadrilátero convexo (cada uno de sus ángulos es menor que 180◦)
y considere los pies de las alturas de los cuatro triángulos que se pueden formar con los vértices A,
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