Capítulo 8

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Capítulo N°8 
1 
 
 
 
 
 
CCaappiittuulloo NNºº 88:: [S.Z.F.Y. 8] 
 
CCAANNTTIIDDAADD DDEE MMOOVVIIMMIIEENNTTOO,, IIMMPPUULLSSOO YY CCHHOOQQUUEESS 
 
Existen casos en que no podemos dar respuesta directamente a través de la Segunda Ley de Newton; 
por ej. ¿Qué determina hacia dónde se dirigen los restos de un choque, o de una explosión? 
Utilizaremos entonces algunos conceptos nuevos para poder explicarlo. Nos referimos a la Cantidad 
de movimiento ó Momento Lineal y al Impulso. También enunciaremos una nueva ley; la de 
Conservación de la Cantidad de movimiento. 
 
8.1 Segunda ley de Newton en términos de cantidad de movimiento 
Consideremos una partícula de masa constante m 
Puesto que: 
 
Podemos escribir la segunda ley de Newton para esta partícula así: 
[1] 
 
Podemos introducir m en la derivada porque es constante. Así, la segunda ley de Newton dice que la 
fuerza neta que actúa sobre una partícula es igual a la rapidez de cambio de la combinación el m . v 
producto de la masa y la velocidad de la partícula. 
Llamamos: 
 [2] (definición de cantidad de movimiento de la partícula) 
 
Cuanto mayor es la masa m y la rapidez v de una partícula, mayor es la magnitud de su cantidad de 
movimiento mv. La cantidad de movimiento es una cantidad vectorial con la misma dirección que la 
velocidad de la partícula. 
Por ejemplo un automóvil que viaja al norte a 20 m/s y un automóvil idéntico que viaja al este a 20 
m/s al oeste tienen la misma magnitud de cantidad de movimiento (mv), pero diferentes vectores 
porque sus direcciones y sentidos son distintas. 
Para la resolución de problemas utilizaremos la cantidad de movimiento de una partícula en términos 
de sus componentes. Si la partícula tiene componentes de velocidad vx, vy y vz, entonces sus 
componentes de momento lineal px, py y pz están dadas por: 
 
px = m . vx py = m . vy pz = m . vz 
 
Estas tres ecuaciones de componentes son equivalentes a la ecuación [2]. 
 
Las unidades de la magnitud de la cantidad de movimiento son las de masa por rapidez; las unidades 
del SI son kg . m/s 
Si sustituimos la ecuación [2], la definición de la cantidad de movimiento, en la ecuación [1], tenemos: 
 
[3] (segunda ley de Newton en términos de la cantidad de movimiento) 
 
La fuerza neta (la suma vectorial de todas las fuerzas) que actúa sobre una partícula es igual a la 
rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de la partícula. Ésta, y no es la forma en 
que Newton planteó originalmente su segunda ley (aunque él llamó momentum a la cantidad de 
movimiento), y sólo es válida en marcos de referencia inerciales. 
Según la ecuación [3], un cambio rápido de cantidad de movimiento requiere una fuerza neta grande, 
mientras que un cambio gradual cantidad de movimiento requiere una fuerza neta menor. 
UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD TTEECCNNOOLLÓÓGGIICCAA NNAACCIIOONNAALL 
 
FFaaccuullttaadd RReeggiioonnaall RRoossaarriioo 
UUDDBB FFííssiiccaa 
 
 CCáátteeddrraa FFÍÍSSIICCAA II 
a = dv 
 dt 
 
F = m . a = m . dv 
 dt 
 
p = m . v 
F = dp 
 dt 
 
F = m . a 
 
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Teorema del impulso y la cantidad de movimiento 
La cantidad de movimiento de una partícula y su energía cinética Ec = ½ . m . v2 dependen 
de la masa y la velocidad de la partícula. ¿Qué diferencia fundamental hay entre estas cantidades? 
Una respuesta puramente matemática es que la cantidad de movimiento es un vector cuya magnitud 
es proporcional a la rapidez, mientras que la energía cinética es un escalar proporcional al cuadrado 
de la rapidez. Sin embargo, para ver la diferencia física entre la cantidad de movimiento y energía 
cinética, necesitamos definir una cantidad íntimamente relacionada con la cantidad de movimiento: el 
impulso. 
Consideremos primero una partícula sobre la que actúa una fuerza neta constante durante un tiempo 
t, de t1 a t2. El impulso de la fuerza neta J, se define como el producto de la fuerza neta y el intervalo 
de tiempo: 
[4] para fuerza neta constante 
 
El impulso es una cantidad vectorial; su dirección y sentido es el mismo que el de la fuerza neta y su 
magnitud es el producto de la magnitud de la fuerza neta y el tiempo en que ésta actúa. 
Las unidades de impulso en el SI son N . s 
 
Para ver para qué nos sirve el impulso, volvamos a la segunda ley de Newton planteada en términos 
de cantidad de movimiento, la ecuación [4]. Si la fuerza neta es constante, también es 
constante. En tal caso, es igual al cambio total de la cantidad de movimiento durante el 
lapso, dividido entre el intervalo: t2 - t1 
 
 
 
Si multiplicamos esta ecuación por (t2 - t1), tenemos 
 
 
 
Al comparar esto con la ecuación [4] obtenemos un resultado conocido como teorema del impulso y 
la cantidad de movimiento: 
 
 
El cambio de la cantidad de movimiento de una partícula durante un intervalo de tiempo es igual al 
impulso de la fuerza neta que actúa sobre la partícula durante ese intervalo. 
 
El teorema del impulso y la cantidad de movimiento también se cumple si las fuerzas no son 
constantes. Para comprobarlo, integramos los dos miembros de la segunda ley de Newton 
con respecto al tiempo entre los límites t1 y t2: 
 
 
 
 
La integral de la izquierda es, por definición, el impulso de la fuerza neta durante este intervalo: 
 
definición general de impulso 
 
Con esta definición, el teorema del impulso y la cantidad de movimiento 
Ecuación válida aun si la fuerza neta varía con el tiempo 
Podemos definir una fuerza neta media Fmed tal que, aun si no es constante, el impulso J esté dado por 
 
 
 
 
 
p = m . v 
J = F (t2 - t1) = F t 
F dp/dt 
 dp/dt 
 
p2 - p1 
 
F = p2 - p1 
 t2 - t1 
 
F (t2 - t1) = p2 - p1 
 
 J = p2 - p1 
 
F = dp/dt 
 
 J = p2 - p1 
 
 J = Fmed . (t2 - t1) 
Si F es constante, F = Fmed y la ecuación anterior se reduce a la ecuación [4] 
 
Capítulo N°8 
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La Figura 1 muestra una gráfica de la componente x de la fuerza neta Fx en función del tiempo 
durante un choque. Esto podría representar la fuerza sobre una pelota que está en contacto con el pie 
de un futbolista entre los tiempos t1, y t2. La componente x del impulso durante ese intervalo está 
representada por el área roja bajo la curva entre t1 y t2, que es igual al área rectangular delimitada por 
t1, t2, y Fmed x, así que Fmed x . (t2 - t1) es igual al impulso de la fuerza variable real durante el mismo 
intervalo. Observe que una fuerza grande que actúa durante un breve tiempo puede tener el mismo 
impulso que una fuerza menor que actúa por un tiempo más prolongado si las áreas bajo las curvas 
fuerza-tiempo son iguales. En esos términos, un airbag de un automóvil provee el mismo impulso al 
conductor que el volante o el tablero pero aplicando una fuerza menos intensa y menos dañina 
durante un tiempo más prolongado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.2 Conservación de la cantidad de movimiento 
El concepto de cantidad de movimiento tiene especial importancia en situaciones en las que dos o 
más cuerpos interactúan. Consideremos el sistema de la Figura 2 de dos partículas que interactúan 
entre sí, donde se desprecia el rozamiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada partícula ejerce una fuerza sobre la otra; según la tercera ley de Newton, las dos fuerzas siempre 
son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Por lo tanto, los impulsos que actúan sobre las dos 
partículas son igualesy opuestos, y los cambios de cantidad de movimiento de las dos partículas serán 
iguales y opuestos. 
En cualquier sistema, las fuerzas que las partículas del sistema ejercen entre sí se denominan fuerzas 
internas; las ejercidas sobre cualquier parte del sistema por algún objeto externo son fuerzas 
externas. En el sistema de la Figura 2, las fuerzas internas son FB sobre A, ejercida por la partícula B 
sobre la A, y FA sobre B ejercida por la partícula A sobre la B. La suma de las fuerzas externas (N y P) se 
anula, así que tenemos un sistema aislado. 
De la ecuación [3] las razones del cambio de la cantidad de movimiento de ambas partículas son: 
 
Figura 1 
t1 t2 t 
t 
Fx 
Fmed x Área = Jx = Fmed x . t 
Área = Jx = ∫ Fx . dt 
t2 
t1 
Figura 2 
A 
FB sobre A 
 NA 
 vAx vBx 
 B 
 PA 
 NB 
 PB 
FA sobre B 
 
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Como estas dos fuerzas por la tercera ley de Newton son iguales y opuestas. Su suma es igual a cero, 
lo lo tanto si las sumamos resulta: 
dpA + dpB = 0 
 dt dt 
La razón de cambio de la cantidad de movimiento total es cero. Por lo tanto es constante, aunque la 
cantidad de movimiento individual de las partículas que constituyen el sistema pueden cambiar. 
Si la suma vectorial de las fuerzas externas sobre un sistema es cero, la cantidad de movimiento 
total del sistema es constante. 
Ésta es la forma más sencilla del principio de conservación la cantidad de movimiento, el cual es una 
consecuencia directa de la tercera ley de Newton. La utilidad de este principio radica en que no 
depende de la naturaleza detallada de las fuerzas internas que actúan entre miembros del sistema, así 
que podemos aplicarlo incluso si (como suele suceder) sabemos muy poco acerca de las fuerzas 
internas. Usamos la segunda ley de Newton para deducir este principio, así que debemos tener 
cuidado de usarlo sólo en marcos de referencia inerciales. 
Podemos generalizar este principio para un sistema con cualquier número de partículas A, B, C, … que 
sólo interactúan entre sí. El momento lineal total del sistema es: 
 
 
 
La razón total de cambio de la cantidad de movimiento del sistema entero es cero siempre que la 
resultante de las fuerzas externas que actúan sobre él es cero. Las fuerzas internas pueden cambiar la 
cantidad de movimiento de las partículas individuales del sistema, pero no la cantidad de movimiento 
total del sistema. 
 
8.3 Conservación de la cantidad de movimiento y choques 
 
Se define como choque a la situación en la que dos cuerpos ejercen uno sobre otro, fuerzas muy 
grandes en tiempos muy cortos. 
Utilizaremos la ley de conservación de la cantidad de movimiento para describir lo que ocurre cuando 
chocan dos cuerpos. 
Relacionaremos condiciones finales e iniciales del sistema. 
La cantidad de movimiento del sistema aislado se conserva; por lo tanto durante la interacción del 
choque puede aplicarse (tomando como sistema a los cuerpos que intervienen en el choque), y lo que 
generalmente no se conserva es la energía cinética del sistema. 
 
CCoolliissiioonneess rreeccttiilliinneeaass:: 
Tipos de Choques: 
 Choque inelástico: es una colisión en la que se conserva la cantidad de movimiento del 
sistema; pero no se conserva la Energía cinética. Por ejemplo el choque de una pelota contra 
la pared. En este caso parte de la Energía cinética se transfiere en deformación, sonido, etc. 
 
 Choque perfectamente ó totalmente inelástico: ocurre cuando dos objetos que chocan 
quedan unidos. Por ejemplo si un meteorito choca con la Tierra queda incrustado y hundido. 
Se conserva la cantidad de movimiento. 
 
 Choque elástico: Se conserva la Energía cinética del sistema y se conserva la cantidad de 
movimiento. 
 
 
FB sobre A = dpA 
 dt 
 
FA sobre B = dpB 
 dt 
 
P = pA + pB + pC +… = mA . vA + mB . vB + mC . vC + … Cantidad de movimiento de un sistema de partículas 
 
 
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Choque inelástico 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se conserva la cantidad de mocimiento antes y después del choque: 
p1x = p2x 
mA . vA1x + mB .vB1x = mA . vA2x + mB . vB2x 
No se conserva la Energía cinética: 
EC1 > EC2 
 
 
Choque totalmente inelástico 
Se conserva la cantidad de mocimiento antes y después del choque: 
p1x = p2x 
mA . vA1x + mB .vB1x = mA . vA2x + mB . vB2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mA . vA1x + mB .vB1x = (mA + mB) . v2x 
 
Choque elástico 
Se conserva la cantidad de movimiento antes y después del choque: 
p1x = p2x 
mA . vA1x + mB . vB1x = mA. . vA2x + mB . vB2x 
mA . ( vA1x - vA2x ) = mB ( vB2x - vB1x) (*) 
Se conserva la Energía cinética antes y después del choque: 
 EC1 = EC2 
½ mA . vA1
2 + ½ mB. vB1
2 = ½ mA. vA2
2 + ½ mB. vB2
2 
Como el choque es en una dirección: 
½ mA. vA1x
2 + ½ mB. vB1x
2 = ½ mA . vA2x
2 + ½ mB . vB2x
2 
mA . ( vA1x
2 - vA2x
2 ) = mB ( vB2x
2 - vB1x
2) haciendo diferencia de cuadraros: 
mA . ( vA1x - vA2x ) . ( vA1x + vA2x ) = mB ( vB2x - vB1x) . ( vB2x + vB1x) (**) 
Dividiendo (**) por (*) queda: 
 vA1x + vA2x = vB2x + vB1x 
o bien: vA1x - vB1x = vB2x - vA2x (***) 
Por lo tanto las velocidades relativas antes y después de un choque elástico en la misma dirección son 
iguales pero de sentido contrario. 
 
 
1: ANTES DEL CHOQUE 2: DESPUES DEL CHOQUE 
o 
A B 
vA1x vB1x 
o 
A B 
vA2x vB2x 
ANTES DEL CHOQUE DESPUES DEL CHOQUE 
o 
A B 
 vA1x vB1x 
o 
A B 
 v2x 
 
Capítulo N°8 
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Coeficiente de Restitución 
 
De (***) vA1x - vB1x = - (vA2x - vB2x) 
 
 
 
 
e: Coeficiente de Restitución 
Si e = 1 → choque elástico 
Si e = 0 → choque totalmente inelástico 
Si e está entre 0 y 1 → choque inelástico 
 
 
Choques inelásticos en dos dimensiones: 
Es una colisión en la que se conserva la cantidad de movimiento del sistema (eje x e y); pero no se 
conserva la Energía cinética. 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conservación de la Cantidad de Movimiento: 
EJE x : → mA. . vA1x + mB . vB1 = mA. . vA2x + mB . vB2x 
mA. . vA1x = mA. . vA2x + mB . vB2x 
mA. . vA1 = mA. . vA2 . cos  + mB . vB2 . cos  
 
EJE y: → mA. . vA2Y + mB . vB2Y = 0 
mA. . vA2 . sen  - mB . vB2 . sen  = 0 
 
 
Péndulo Balístico 
El péndulo balístico (Figura 3) es un aparato 
que se usa para medir la rapidez de un 
proyectil que se mueve rápidamente, como 
una bala. Un proyectil de masa m se dispara 
hacia un gran bloque de madera de masa M 
suspendido de unos alambres ligeros. El 
proyectil se incrusta en el bloque y todo el 
sistema se balancea hasta una altura h. ¿Cómo 
se determina la rapidez del proyectil a partir 
de una medición de h? 
El proyectil y el bloque forman un sistema 
aislado. Establecemos: 
1: inmediatamente antes de la colisión. 
2: como inmediatamente después de la colisión. 
y 
x 
A B 
vA1 x 
y 
x 
B 
vB2 
A 
 vA2 



1: ANTES DEL CHOQUE 
 
 

2: DESPUES DEL CHOQUE 
 
vB1x = 0 
h 
vA1
x 
mB 
mA + mB 
mA 
Figura 3 
v2x 
v3x = 0 
= e 1 = 
- (vA2x - vB2x) 
 (vA1x - vB1x) 
 
Capítulo N°8 
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3: Cuando se detiene y alcanza la altura máxima h 
Ya que el proyectil se incrusta en el bloque, la colisión entre ellos se considera como totalmenteinelástica. Por lo tanto se conserva la cantidad de mocimiento antes y despues del choque: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para el proceso durante el que la combinación proyectil-bloque se balancea hacia arriba a una altura h 
(y termina en la posición 3 ), se considera un sistema diferente, el del proyectil, el bloque y la Tierra. 
Esta parte del problema se clasifica como un sistema aislado para energía sin fuerzas no conservativas 
en acción. 
La energía cinética total del sistema inmediatamente después de la colisión: 
Ec2 = ½ . (mA + mB) . v2
2
 
Como v2 = v2x se sustituye la expresión de (*) en la anterior 
Ec2 = ½ . (mA + mB) . mA . vA1x
2
 
 
 
 
 
 
 
Esta energía cinética del sistema inmediatamente después de la colisión es menor que la energía 
cinética inicial del proyectil, como se esperaba en una colisión inelástica. 
La energía potencial gravitacional del sistema se define como cero para la posición 2. Por lo tanto: 
Ep2= 0 
En 3: la energía cinética es nula (v3 = 0) y la energía potencial es igual: Ep3= (mA + mB) . g . h 
 
Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica del sistema entre 2 y 3: 
Ec2 + Ep2 = Ec3 + Ep3 
Ec2 = Ep3 
 
 
 
Despejando vA1x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p1x = p2x 
mA . vA1x + mB .vB1x = mA . vA2x + mB . 
vB2x 
mA . vA1x = (mA + mB) . v2x 
 mA . vA1x (*) 
 (mA + mB) 
 
v2x = 
 
Ec2 = ½ . (mA + mB). mA . vA1x 
(mA + mB) 
2 
 mA
2 . vA1x
2
 
 2 . (mA + mB) 
= (mA + mB) . g . h 
 
 mA
2 . vA1x
2
 
 2 . (mA + mB) 
Ec2 = 
 
vA1x
2 = 
 
 (mA + mB)2 . 2. g . h. 
 mA
2 
vA1x
 = 
 
 (mA + mB) . √ 2. g . h. 
 mA 
 
Capítulo N°8 
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Centro de masa 
Un sistema mecánico complejo se comporta como si toda su masa estuviera concentrada en un punto 
que se denomina centro de masa (C.M.) 
 
Supongamos que tenemos varias partículas con masas m1, m2, etcétera. El vector posición del centro 
de masa rcm se puede expresar en términos de los vectores de posición r1, r2 . . . de las partículas 
como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la terminología estadística, el centro de masa es una posición media ponderada por la masa de las 
partículas. 
 
Las coordenadas de m1 son (x1, y1), las de m2, (x2, y2), y así sucesivamente. Definimos el centro de 
masa del sistema como el punto con coordenadas (xcm, ycm) dadas por: 
 
 
 
 
 
En el caso de cuerpos sólidos homogéneos: 
 Si un cuerpo tiene un centro geométrico, por ejemplo un 
cubo de azúcar, como una bola de billar, o una lata de 
cerveza, el centro de masa está en el centro geométrico. 
 Si un cuerpo tiene un eje de simetría, como una rueda o una 
polea, el centro de masa está sobre ese eje. 
 El centro de masa puede estar fuera del cuerpo. 
 
Movimiento del centro de masa 
Cuando las partículas se mueven. Las componentes x e y de velocidad del centro de masa, vcm-x y vcm-y 
son las derivadas de xcm e ycm respecto al tiempo. 
v1x = dx1/dt 
Al derivar las ecuaciones respecto al tiempo, obtenemos: 
 
 
 
 
Estas ecuaciones son equivalentes a la ecuación de un solo vector que se obtiene al derivar la 
ecuación (*) respecto al tiempo: 
 
 
 
Si anotamos la masa total con M. Así, podemos reescribir la ecuación anterior como: 
 
 m1 . r1 + m2 . r2 + ...  mi . ri (*) 
 m1 + m2 + ..  mi 
rcm = = 
m1 
m2 
m3 
r1 r2 
r3 
r4 
m4 
x 
y 
z 
 m1 . y1 + m2 . y2 + ... 
 m1 + m2 + ... 
Ycm = 
 m1 . x1 + m2 . x2 + ... 
 m1 + m2 + ... 
Xcm = 
Centro de masa 
 cubo esfera cilindro 
 m1 . vx1 + m2 . vx2 + ... 
 m1 + m2 + ... 
vcm-x 
= 
 m1 . vY1 + m2 . vY2 + ... 
 m1 + m2 + ... 
vcm-Y 
= 
 m1 . v1 + m2 . v2 + ...  mi . vi 
 m1 + m2 + ..  mi 
vcm = = 
 m1 . v1 + m2 . v2 + ... = P Vcm . M = 
 
Capítulo N°8 
9 
 
 
La cantidad de movimiento total es igual a la masa total multiplicada por la velocidad del centro de 
masa. 
En un sistema de partículas sobre el que la fuerza neta externa que actúa es cero, de manera que la 
cantidad de movimiento total P es constante, la velocidad del centro de masa también es constante: 
 
 
 (**) 
 
Fuerzas externas y movimiento del centro de masa 
Si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema de partículas no es cero, la cantidad de 
movimiento total no se conserva y la velocidad del centro de masa cambia. Veamos la relación entre 
el movimiento del centro de masa y las fuerzas que actúan sobre el sistema. 
Las ecuación (**) da la velocidad del centro de masa en términos de las velocidades de las partículas 
individuales. 
Si derivamos las ecuaciones respecto al tiempo para demostrar que las aceleraciones están 
relacionadas de la misma forma acm = dvcm/dt 
 
La aceleración del centro de masa; entonces: 
 
 
 
es la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre la primera partícula, y así sucesivamente, 
por lo que el lado derecho de esta ecuación es igual a la suma vectorial F de todas las fuerzas que 
actúan sobre todas las partículas. 
Podemos clasificar cada fuerza como interna o externa. 
La suma de todas las fuerzas que actúan sobre todas las partículas es entonces: 
 
 
Por la tercera ley de Newton, todas las fuerzas internas se cancelan en pares, y Fint = 0 
 
 
 
Cuando fuerzas externas actúan sobre un cuerpo o un conjunto de partículas, el centro de masa se 
mueve como si toda la masa estuviera concentrada en ese punto y sobre ella actuara una fuerza 
neta igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. 
 
Hay otra forma útil de describir el movimiento de un sistema de partículas. Usando 
acm = dvcm/dt 
 
 
 
 
La masa total del sistema M es constante, así que podemos incluirla en la derivada. 
 
 
 
 
Por último, observamos que, si la fuerza externa neta es cero esta ecuación dice que la aceleración del 
centro de masa es cero. Así que la velocidad del centro de masa es constante. La cantidad de 
movimiento total también es constante. Esto reafirma nuestro planteamiento del principio de 
conservación de la cantidad de movimiento. 
 m1 . a1 + m2 . a2 + ... M . acm = 
m1 . a1 
F = Fext + Fint = M . acm 
 
 M . dvcm d (M . vcm) dP 
 dt dt dt 
M . acm = = = 
Fext = dP (cuerpo extendido o sistema de partículas) 
 dt 
 
P 
M 
Vcm = 
Fext = M . acm (cuerpo o conjunto de partículas)