Dos Proporciones (dos Poblaciones)

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Dos Proporciones (dos Poblaciones)
10-1
Objetivo: Formar un intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones poblacionales, π1 – π2 
La estimación puntual para la diferencia es:
p1 – p2
Supuestos: 
n1π1  5 , n1(1-π1)  5
n2π2  5 , n2(1-π2)  5 
Intervalo de Confianza para la Diferencia de dos Proporciones Poblacionales
10-2
El intervalo de confianza para π1 – π2 es:
Prueba de Hipótesis para la Diferencia de dos Proporciones Poblacionales
10-3
Proporciones poblacionales
Prueba Unilateral Izquierda:
H0: π1  π2
HA: π1 < π2
Es decir,
H0: π1 – π2  0
HA: π1 – π2 < 0
Prueba Unilateral Derecha:
H0: π1 ≤ π2
HA: π1 > π2
Es decir,
H0: π1 – π2 ≤ 0
HA: π1 – π2 > 0
Prueba Bilateral:
H0: π1 = π2
HA: π1 ≠ π2
Es decir,
H0: π1 – π2 = 0
HA: π1 – π2 ≠ 0
Prueba de Hipótesis para la Diferencia de dos Proporciones Poblacionales
10-4
Proporciones poblacionales
Prueba Unilateral Izquierda:
H0: π1 – π2  0
HA: π1 – π2 < 0
Prueba Unilateral Derecha:
H0: π1 – π2 ≤ 0
HA: π1 – π2 > 0
Prueba Bilateral:
H0: π1 – π2 = 0
HA: π1 – π2 ≠ 0
a
a/2
a/2
a
-za
-za/2
za
za/2
Rechazar H0 si z < -za
Rechazar H0 si z > za
Rechazar H0 si z < -za/2
 ó z > za/2 
(continuación)
Prueba de Hipótesis para la Diferencia de dos Proporciones Poblacionales: Ejemplo
 ¿Habrá diferencia significativa entre la proporción de hombres y mujeres que votan a favor de una propuesta?
En una muestra aleatoria, 36 de 72 hombres y 31 de 50 mujeres indican su voto a favor de la propuesta
Evaluar al nivel de significancia de 0.05
10-5
Prueba de Hipótesis para la Diferencia de dos Proporciones Poblacionales
10-6
Estimador combinado para la proporción total:
Donde x1 y x2 son los números de observaciones de la
muestra 1 y muestra 2 con la característica de interés
Desde el inicio asumimos que la hipótesis nula es verdadera, π1 = π2. La combinación de las dos proporciones muestrales es llamado:
(continuación)
Prueba de Hipótesis para la Diferencia de dos Proporciones Poblacionales
10-7
El estadístico de prueba para π1 – π2 es:
(continuación)
Prueba de Hipótesis para la Diferencia de dos Proporciones Poblacionales: Ejemplo
Formulación de hipótesis:
10-8
H0: π1 – π2 = 0 (las dos proporciones son iguales)
HA: π1 – π2 ≠ 0 (hay diferencia significativa entre las proporciones)
Las proporciones muestrales son:
Hombres: 		p1 = 36/72 = 0.50
Mujeres: 		p2 = 31/50 = 0.62
 El estimado combinado para la proporción total es:
(continuación)
Prueba de Hipótesis para la Diferencia de dos Proporciones Poblacionales: Ejemplo
10-9
Estadístico de prueba para π1 – π2:
0.025
-1.96
1.96
0.025
Decisión: No rechazar H0
Conclusión: La evidencia no es suficiente para concluir que hay diferencia significativa entre las proporciones de hombres y mujeres que votan a favor de una propuesta
Rechazar H0
Valores críticos = ±1.96 para =0.05
(continuación)
Rechazar H0
Determinación de la región de rechazo:
Pruebas para dos muestras en EXCEL
Para muestras independientes:
Muestras independientes (varianzas conocidas):
Datos | Análisis de datos | Prueba Z para medias de dos muestras
Muestras independientes (varianzas desconocidas):
Datos | Análisis de datos | Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales
Datos | Análisis de datos | Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas desiguales
Para muestras pareadas (distribución t):
Datos | Análisis de datos | Prueba t para medias de dos muestras emparejadas
10-10
oleObject1.bin
image2.wmf
(
)
2
2
2
1
1
1
2
1
n
)
p
(1
p
n
)
p
(1
p
z
p
p
-
+
-
±
-
image3.wmf
oleObject2.bin
image4.wmf
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
n
n
x
x
n
n
p
n
p
n
p
+
+
=
+
+
=
oleObject3.bin
image5.wmf
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
-
-
-
=
2
1
2
1
2
1
n
1
n
1
)
p
(1
p
π
π
p
p
z
oleObject4.bin
image6.wmf
.549
0
122
67
50
72
31
36
n
n
x
x
p
2
1
2
1
=
=
+
+
=
+
+
=
oleObject5.bin
image7.wmf
(
)
(
)
(
)
(
)
1.31
50
1
72
1
.549)
0
(1
.549
0
0
.62
0
.50
0
n
1
n
1
)
p
(1
p
π
π
p
p
z
2
1
2
1
2
1
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
-
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
-
-
-
=
image1.jpg