ESTIMACION DE INTERVALOS Y PRUEBA DE HIPOTESIS PARA VARIANZAS POBLACIONES

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Estimación de Intervalos y Prueba de Hipótesis para Varianzas Poblaciones
Estimación y prueba de hipótesis de dos medias o proporciones poblacionales
Análisis del valor de una varianza poblacional o de la relación entre dos varianzas poblacionales
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Ejemplos
Conocer el volumen promedio que una máquina llena las botellas de soda puede no ser suficiente para el gerente de producción. La variabilidad del contenido puede ser también de alta importancia:
Una alta variabilidad implicará un alto número de botellas con bajo contenido, las cuales producen molestias y reclamos de los clientes; así como un alto número de botellas con exceso de soda, en perjuicio de la empresa.
Se requiere controlar tanto la media como la variabilidad del volumen de llenado de las botellas.
Un gerente puede requerir conocer si hay diferencias en la variabilidad de las ventas entre dos áreas geográficas distintas.
Se puede requerir saber si un proceso genera una producción de mayor variabilidad que otro.
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Se presentarán métodos que pueden ser usados para efectuar inferencias respecto de una o dos varianzas poblacionales.
Se presentarán dos nuevas distribuciones:
Chi-cuadrado
F
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Objetivos
Formular y probar hipótesis para una varianza poblacional
Hallar el(los) valor(es) crítico(s) chi-cuadrado(s) de la tabla Chi-cuadrado
Formular y probar hipótesis para la diferencia entre dos varianzas poblacionales
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Prueba de Hipótesis para Varianzas
Prueba de Hipótesis 
para Varianzas
Prueba para Una
Varianza Poblacional
Prueba para Dos
Varianzas Poblacionales
Estadístico de prueba
Chi-cuadrado
Estadístico de prueba F
Caso de una Varianza Poblacional
Los casos que involucran una varianza poblacional emplean uno de dos procedimientos estadísticos:
Prueba de hipótesis
Estimados de intervalos de confianza
El gerente de un banco puede creer que la varianza poblacional del tiempo de servicio al cliente es no mayor a 36 minutos al cuadrado. Se plantea la hipótesis nula que la varianza es mayor o igual a 36 min2 y, en base a data muestral, se debe estar en capacidad de rechazar o no la hipótesis nula.
Un gerente requiere tomar una muestra de los clientes del restaurante para determinar el número de veces al mes que cenan fuera de casa. Para esto requiere determinar el tamaño de la muestra, lo cual depende de la varianza poblacional. Puede tomar una muestra piloto y construir un intervalo de confianza para la estimación de la varianza poblacional.
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Lo ideal serían pruebas sobre la desviación estándar, sin embargo no se disponen de las mismas, se debe recurrir a pruebas sobre la varianza para a partir de las mismas inferir sobre la desviación estándar.
Interrogantes como ¿σ2 ≤ 36? Pueden analizarse a través de pruebas de hipótesis con los procedimientos llamados Pruebas Chi-cuadrado.
Cuando una muestra aleatoria proviene de una población distribuida normalmente, la distribución de la varianza muestral estandarizada es una distribución chi-cuadrado.
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Prueba de Hipótesis para Una Varianza: Estadístico de Prueba Chi-cuadrado
El estadístico de prueba chi-cuadrado para una varianza poblacional es:
Donde
2 = Variable chi-cuadrada estandarizada
 n = Tamaño de muestra
s2 = Varianza muestral
σ2 = Varianza (supuesto)
El estadístico de prueba estandariza la varianza muestral (similar a los estadísticos z y t de los capítulos anteriores)
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Distribución Chi-cuadrado
La distribución chi-cuadrado es una familia de distribuciones, que depende de los grados de libertad:
g.l. = n – 1
Supuesto: La población es normal
0 4 8 12 16 20 24 28
0 4 8 12 16 20 24 28
0 4 8 12 16 20 24 28
g.l. = 1
g.l. = 5
g.l. = 15
2
2
2
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Hallando el Valor Crítico
El valor crítico, , puede obtenerse de la Tabla Chi-cuadrado
No rechazar H0
Rechazar H0

2
2
2
H0: σ2 ≤ σ02 
HA: σ2 > σ02
Prueba Unilateral Derecha:
0
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Prueba de Hipótesis de Una Varianza, Chi-cuadrado
Formular las hipótesis en términos de s2
Fijar el nivel de significancia
Construir la región de rechazo
Calcular el estadístico de prueba, c2
Tomar una decisión
Interpretar los resultados
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Ejemplo
Una congeladora comercial debe mantener la temperatura seleccionada con poca variación. Las especificaciones indican que la desviación estándar no debe ser mayor a 4 grados (o la varianza a 16 grados2). 
Una muestra de 16 datos
 es evaluada y da una varian-
 za muestral de s2 = 24. Evalúe 
 si la desviación estándar espe-
 cificada ha sido excedida. Use
  = 0.05.
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Usar la tabla Chi-cuadrado para hallar el valor crítico:
No rechazar H0
Rechazar H0
 = 0.05
2
2
2
= 24.9958
= 24.9958 ( = 0.05 y 16–1=15 g.l.)
Estadístico de prueba:
Como = 22.5 < 24.9958 = , no rechazamos H0
No hay evidencia significativa al nivel  = 0.05 para concluir que la varianza excede a 16 grados2.
Ejemplo: Solución
H0: σ2 ≤ 16, HA: σ2 > 16
Decisión:
Conclusión:
Hipótesis:
Región de rechazo:
0
2
2
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Prueba de Hipótesis de Una Varianza, Chi-cuadrado: Unilateral y Bilateral
H0: σ2 = σ02 
HA: σ2 ≠ σ02
H0: σ2  σ02 
HA: σ2 < σ02
2/2
No rechazar H0
Rechazar H0

21-
2
No rechazar H0
Rechazar H0
/2
21-/2
2
/2
Rechazar H0
Prueba Unilateral Izquierda:
Prueba Bilateral:
(2U)
(2L)
0
0
Ejemplo
Prueba de hipótesis bilateral para una varianza poblacional:
Génesis.pdf
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image1.png
oleObject1.bin
image2.wmf
2
2
2
σ
1)s
(n
-
=
c
image3.wmf
oleObject2.bin
image4.wmf
22.5
16
1)24
(16
σ
1)s
(n
2
2
2
=
-
=
-
=
c