Desagregando la Variación Total

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Desagregando la Variación Total
Referida comúnmente como:
S.C. dentro de cada Nivel del Factor
S.C. del Error
S.C. no Explicada
Variación dentro de Grupos
12-1
Variación Debido al Factor (SSB)
Variación Debido al Muestreo Aleatorio (SSW)
Variación Total (SST)
Referida comúnmente como:
S.C. entre Niveles del Factor
S.C. Explicada
Variación Entre Grupos
=
+
(continuación)
Variación Total (SST)
12-2
 Donde:
	SST = Suma total de cuadrados
	 k = Número de poblaciones (niveles)
	 ni = Tamaño muestral de la población i.
	 xij = jma medida de la muestra correspondiente a la
 población i.
	 x = Gran media (media de todos los datos)
SST = SSB + SSW
Variación Total (SST)
12-3
(continuación)
Variación entre Niveles del Factor (SSB)
12-4
SST = SSB + SSW
 Donde:
	SSB = Suma de cuadrados entre tratamientos
	 k = Número de poblaciones (niveles)
	 ni = Tamaño muestral de la población i.
	 xi = Media muestral de la población i.
	 x = Gran media (media de todos los datos)
Variación entre Niveles del Factor (SSB)
12-5
Variación Debido a Diferencias entre las Poblaciones
Media Cua-drática entre Tratamientos
(continuación)
SSB
Grados de libertad 
=
Variación entre Niveles del Factor (SSB)
12-6
(continuación)
Variación dentro de los Niveles del Factor (SSW)
12-7
Donde:
 SSW = Suma de cuadrados del error
	 k = Número de poblaciones
	ni = Tamaño de la muestra de la población i
	xi = Media muestral de la población i
	xij = jma medida de la muestra correspondiente
 a la población i.
SST = SSB + SSW
Variación dentro de los Niveles del Factor (SSW)
12-8
Calculando la variación dentro de cada grupo y luego sumando todas estas
Media Cuadráticadel Error
(continuación)
SSW
Grados de libertad
=
Variación dentro de los Niveles del Factor (SSW)
12-9
(continuación)
ANOVA de Un Factor: Ejemplo (Desarrollo)
12-10
	Club 1	 Club 2 Club 3
	254	 234	 200
	263	 218	 222
	241	 235	 197
	237	 227	 206
	251	 216	 204
x1 = 249.2
x2 = 226.0
x3 = 205.8
x = 227.0
n1 = 5
n2 = 5
n3 = 5
nT = 15
k = 3
SSB = 5 [ (249.2 – 227)2 + (226 – 227)2 + (205.8 – 227)2 ] = 4,716.4
SSW = (254 – 249.2)2 + (263 – 249.2)2 +…+ (204 – 205.8)2 = 1,119.6
MSB = 4716.4 / (3-1) = 2,358.2
MSW = 1119.6 / (15-3) = 93.3
12-11
Estadísticode prueba F, Hartley
One-Way ANOVA: Tabla
Fuente de 
Variación
Grados de
libertad, gl
Suma de 
Cuadrados
(SS)
Media Cua-
drática (MS)
Entre Niveles
SSB
MSB =
Dentro de Niveles
nT - k
SSW
MSW =
Total
nT - 1
SST =
SSB+SSW
k - 1
MSB
MSW
Estadístico
F
 k = Número de poblaciones
nT = Suma de los tamaños de muestra de todas las poblaciones
SSB
k - 1
SSW
nT - k
F =
12-12
Estadísticode prueba F, Hartley
Ejemplo: Tabla
Fuente de 
Variación
Grados de
libertad, gl
Suma de 
Cuadrados
(SS)
Media Cua-
drática (MS)
Entre Niveles
SSB
MSB =
Dentro de Niveles
nT - k
SSW
MSW =
Total
nT - 1
SST =
SSB+SSW
k – 1
MSB
MSW
Estadístico
F
 k = Número de poblaciones
nT = Suma de los tamaños de muestra de todas las poblaciones
4716.4
2
1193.6
12
F =
3 – 1 = 2
15 – 3 = 12
15 – 1 = 14
MSB = 2358.2
MSW = 93.3
F =
2358.2
93.3
F = 25.75
ANOVA de Un Factor: Estadístico de prueba F
Estadístico de prueba:
 
		 MSB: Media cuadrática entre tratamientos
		MSW: Media cuadrática dentro de tratamientos
Grados de libertad
glnumerador = k – 1 (k = Número de poblaciones)
gldenominador = nT – k (nT = Suma de todos los tamaños de muestra)
12-13
H0: μ1= μ2 = … = μk
HA: Al menos dos medias poblacionales son diferentes
ANOVA de Un Factor: Interpretación del estadístico F
El estadístico F es la razón de la media cuadrática entre tratamientos y la media cuadrátrica dentro de tratamientos
La razón siempre debe ser positiva
 glnumerador = k -1, comúnmente será pequeño
 gldenominador = nT – k, comúnmente será grande
	 La razón debería estar cerca a 1 si 
			H0: μ1= μ2 = … = μk es verdadera
 La razón debería ser más grande que 1 si 
			H0: μ1= μ2 = … = μk es falsa
12-14
ANOVA de Un Factor: Ejemplo (Solución
H0: μ1 = μ2 = μ3; HA: Al menos dos son diferentes
12-15
Estadístico de prueba: 
Decisión:
Conclusión:
Rechazar H0 para  = 0.05
Hay suficiente evidencia para concluir que al menos dos medias son diferentes
0 
 = 0.05
glnumerador= 2
gldenominador= 12
Rechazar H0
No rechazar H0
F0.05 = 3.885 (Valor crítico)
 = 0.05
oleObject1.bin
image1.wmf
å
å
=
=
-
=
k
i
n
j
ij
i
)
x
x
(
SST
1
1
2
oleObject2.bin
image2.wmf
oleObject3.bin
image3.wmf
2
2
12
2
11
)
x
x
(
...
)
x
x
(
)
x
x
(
SST
k
kn
-
+
+
-
+
-
=
image4.png
oleObject4.bin
oleObject5.bin
image5.wmf
2
1
)
x
x
(
n
SSB
i
k
i
i
-
=
å
=
oleObject6.bin
image6.wmf
i
m
oleObject7.bin
image7.wmf
j
m
oleObject8.bin
image8.wmf
2
1
)
x
x
(
n
SSB
i
k
i
i
-
=
å
=
oleObject9.bin
image9.wmf
1
-
=
k
SSB
MSB
oleObject10.bin
image10.wmf
2
2
2
2
2
1
1
)
x
x
(
n
...
)
x
x
(
n
)
x
x
(
n
SSB
k
k
-
+
+
-
+
-
=
image11.png
oleObject11.bin
image12.wmf
2
1
1
)
(
i
ij
n
j
k
i
x
x
SSW
i
-
=
å
å
=
=
oleObject12.bin
oleObject13.bin
image13.wmf
k
n
SSW
MSW
T
-
=
oleObject14.bin
image14.wmf
2
1
1
)
x
x
(
SSW
i
ij
n
j
k
i
j
-
=
å
å
=
=
oleObject15.bin
image15.wmf
2
2
1
12
2
1
11
)
(
...
)
(
)
(
k
kn
x
x
x
x
x
x
SSW
k
-
+
+
-
+
-
=
image16.png
image17.wmf
image18.wmf
oleObject16.bin
image19.wmf
25.275
93.3
2358.2
F
=
=
oleObject17.bin
image20.wmf
oleObject18.bin
image21.wmf
MSW
MSB
F
=
oleObject19.bin
image22.wmf
25.275
93.3
2358.2
F
=
=
=
MSW
MSB