PT - OPERACIONES COMBINADAS

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¡BIENVENIDOS!
Hoy revisaremos el 
siguiente tema: 
OPERACIONES 
COMBINADAS
 CONJUNTOS NUMÉRICOS
 OPERACIONES BÁSICAS
CONTENIDO:
OPERACIONES COMBINADAS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Aunque nuestra noción de los números es muy antigua, los diversos conjuntos numéricos se
fueron desarrollando a partir de necesidades cada vez más complejas para la humanidad.
Durante el ciclo, emplearemos los siguientes conjuntos numéricos:
 Números naturales
 Números enteros
 Números racionales
 Números irracionales
 Números reales
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números naturales: Son los números que usamos para contar.
1 manzana
ℕ = 0; 1; 2; 3; 4; 5; …
2 mascotas 7 conejitos
¡Importante! En la Pucp, consideraremos al 0 como número natural.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números enteros:
ℤ = … ;−3;−2;−1; 0; 1; 2; 3;…
Números racionales:
ℚ = 
a
b
a ∈ ℤ ∧ b ∈ ℤ, b ≠ 0
Ej:
3
7
;
−2
3
;
10
5
; 0; 1; −3;…
Además de los naturales, también incluye a los números negativos.
Son los números que se pueden obtener a partir de una división
a
b
.
Ojo: El conjunto de los racionales incluye a los números enteros.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números irracionales:
𝕀 = 𝑥 ≠
a
b
, donde a ∈ ℤ ∧ b ∈ ℤ, b ≠ 0
Ej: 2; π; −
3
5; log3 10 ; e;
5
−2;…
Números reales: ℝ:
Es la unión de los números racionales
con los números irracionales.
ℝ = ℚ ∪ 𝕀
Son todos los números que 𝐧𝐨 se pueden obtener a partir
de una división como las raíces, los logaritmos, pi, etc.
ℚ
ℤ
ℕ
𝕀
.0
. −3
. −
5
2
. −2
.− 3
. −1
.1
.2
.3
.0,5
. 2
. π
.
3
8
.
3
−5
.log3 4
.−0,666…
ℝGráficamente:
CONJUNTOS NUMÉRICOS
. −100
.
1
7
CONJUNTOS NUMÉRICOS
 Representa el ordenamiento de los números reales. 
0−3
−
5
2
−2 − 3 −1 1 2 30,5 2 π−∞ +∞
 Recuerda que incluye tanto a los números racionales como a los irracionales.
HACIA LA
DERECHA
Números 
mayores
HACIA LA
IZQUIERDA
Números 
menores
Ejemplo:
a b
Entonces: a b<
Recta de los números reales:
CONJUNTOS NUMÉRICOS
0−3
−
5
2
−2 − 3 −1 1 2 30,5 2 π−∞ +∞
IMPORTANTE:
 Los números negativos están a la izquierda del 0.
 Los números positivos están a la derecha del 0.
 El 0 no es negativo ni positivo.
 Números pares: 0; 2; 4; 6; 8; …
NEGATIVOS POSITIVOS
OPERACIONES BÁSICAS
Veremos las siguientes operaciones básicas:
 Adición
 Sustracción
 Multiplicación
 División
 Potenciación
 Radicación
Estas nos servirán como base para todos los cálculos matemáticos.
Empecemos conociendo a sus elementos.
OPERACIONES BÁSICAS
Suma o adición:
A + B +C +D = S
Sumandos
Suma
Resta o sustracción:
M – S = D Diferencia
Sustraendo
Minuendo
Se cumple:
M = S + D
OPERACIONES BÁSICAS
Multiplicación:
A × B = P Producto
División:
CocienteResiduo
Se cumple:
D = d ∙ q + r
Multiplicador
Multiplicando
Factores
D
q
d
r
Dividendo Divisor
r < d
OPERACIONES BÁSICAS
 A: Base
 n: exponente
 P: Potencia
Potenciación:
An = P
Radicación:
n
A = R
 A: Radicando
 n: Índice de la raíz
 R: Raíz
Orden de las operaciones
1. En primer lugar, se resuelven las operaciones dentro
de los signos de agrupación (paréntesis, corchetes,
llaves, etc.).
Si la expresión contiene signos de agrupación dentro
de otros, se deben efectuar de adentro hacia afuera.
{ [ ( ) ] }1º
2º
3º
OPERACIONES BÁSICAS
10 ÷ 32 − 2 × 2
10 ÷ 32 − 4
10 ÷ 5
2
2. Si la operación no presenta símbolos de agrupación,
se debe operar en el siguiente orden:
• Primero, las potencias y raíces
• Luego, las multiplicaciones y divisiones
• Finalmente, las adiciones y sustracciones
6 × 4 + 10 ÷ 5 − 23
6 × 2 + 10 ÷ 5 − 8
12 + 2 − 8
6
OPERACIONES BÁSICAS
Orden de las operaciones
OPERACIONES BÁSICAS
3. Si hay dos operaciones de la misma jerarquía juntas, 
se deben operar de izquierda a derecha.
4 ÷ 2 × 72 ÷ 6 ÷ 3
Orden de las operaciones
2 × 72 ÷ 6 ÷ 3
144 ÷ 6 ÷ 3
24 ÷ 3
8
¡Veamos algunos ejemplos!
Solución:
1. Calcula A + B
C
A = 112 ÷ 7 × 2 −
3
−729
B = 2 − 32 − −3 2 − 2 − 39 ÷ 3
C =
3
343 −
7
−128
A = 112 ÷ 7 × 2 −
3
−729
A = (16 × 2) −
3
−729
A = 32 − (−9)
A = 41
B = 2 − 32 − −3 2 − 2 − 39 ÷ 3
B = 2 − 32 − −3 2 − 2 − 13
B = 2 − 32 − 3 2 − −11
B = 2 − 9 − 20
B = 2 − −11
B = 13
Solución:
1. Calcula A + B
C
A = 112 ÷ 7 × 2 −
3
−729
B = 2 − 32 − −3 2 − 2 − 39 ÷ 3
C =
3
343 −
7
−128
C =
3
343 −
7
−128
C = 7 − (−2)
C = 9
A + B
C
=
41 + 13
9
= 6
A = 41 B = 13
Reemplazamos:
Solución:
2. Calcula A + 5 B + C ÷ D si se sabe lo siguiente:
A = 54 − 33 − 25 + 20
B = 1800 ÷ 45 − 33 × 9
C = 1887 ÷ 3 ÷ 17
D = 144 −
4
625
A = 54 − 33 − 25 + 20
A = 625 − −5 + 20
A = 625 − 27 − 32 + 20
A = 630 + 20
A = 650
B = 1800 ÷ 45 − 33 × 9
B = 40 − 33 × 9
B = 7 × 9
B = 63
C = 1887 ÷ 3 ÷ 17
C = 629 ÷ 17
C = 37
D = 144 −
4
625
D = 12 − 5
D = 7
A + 5 B + C ÷ D
= 700 ÷ 7 = 100
Solución:
2. Calcula A + 5 B + C ÷ D si se sabe lo siguiente:
A = 54 − 33 − 25 + 20
B = 1800 ÷ 45 − 33 × 9
C = 1887 ÷ 3 ÷ 17
D = 144 −
4
625
= 650 + 5 63 + 37 ÷ 7
Reemplazamos:
= 650 + 5 100 ÷ 7
= 650 + 50 ÷ 7
A = 650 B = 63
= 650 + 5 × 10 ÷ 7
𝐃 = 𝐝 ∙ 𝐪 + 𝐫
D
q
d
r
Se cumple:
División
D
q
d
0
División exacta
Al realizar una división, el residuo es 12 y el cociente es dos unidades menor que el divisor. Si se le 
agrega 24 unidades al dividendo y se efectúa nuevamente la división, esta sería exacta y el cociente 
aumentará en dos unidades. Calcula la suma de cifras del dividendo original.
3.
Solución:
d − 2
D d
12
D = d ∙ d − 2 + 12
D = d2 − 2d + 12
d
D + 24 d
0
D + 24 = d ∙ d
d2−2d + 12 + 24 = d2
d = 18
2d = 36
Suma de cifras = 3
+24
D + 24 = 18 × 18
D = 324 − 24 = 300
…(𝑖)
Reemplazamos en i :
Solución:
4.
distancia = velocidad × tiempo
Los móviles A y B se encuentran separados inicialmente 10 800 𝑚. Si parten simultáneamente, uno 
al encuentro del otro, con velocidades de 45 𝑚/𝑠 55 𝑚/𝑠y respectivamente. ¿A qué distancia se
encuentran uno con respecto al otro después de 30 segundos.
Distancia A = 45 30 Distancia B = 55 30
= 1350 𝑚 = 1650 𝑚
𝑑 = 10 800 − (1350 + 1650)
= 10 800 − 3000
= 7800 𝑚
10 800 𝑚
VA = 45
𝑚
𝑠
VB = 55
𝑚
𝑠
10 800 𝑚
𝑑1350 𝑚 1650 𝑚
Solución:
5. Si va al comedor una vez al día, ¿cuántos días tendrán que pasar para que haya recorrido 
2 087 800 cm.
Cantidad de días
= 365 días
Preguntas 5 y 6
El guardián de un faro debe dirigirse a la planta baja, donde está el comedor, y regresar a su puesto de 
trabajo. Para ello, hay una escalera con 143 escalones de 20 𝑐𝑚 de altura cada uno.
Distancia total que recorre al día:
2 × 143 × 20 𝑐𝑚
=
2 087 800 𝑐𝑚
5720 𝑐𝑚
143 escalones de 
20 cm de altura = 5720 𝑐𝑚
Ida y vuelta
Solución:
6. Si va al comedor cinco veces al día, ¿Cuánto recorrerá el guardián en una semana de 7 días?
Recorrido en una semana = 28 600 𝑐𝑚 × 7
= 200 200 𝑐𝑚
2 × 143 × 20 𝑐𝑚 × 5
Distancia total que recorre al día:
= 28 600 𝑐𝑚
Ida y vuelta
143 escalones de 
20 cm de altura 
Preguntas 5 y 6
El guardián de un faro debe dirigirse a la planta baja, donde está el comedor, y regresar a su puesto de 
trabajo. Para ello, hay una escalera con 143 escalones de 20 𝑐𝑚 de altura cada uno.
Solución:
7. En un centro de acopio de la ciudad de Satipo, hay 9900 kilogramos de naranjas que deben ser
transportados a la ciudad de Lima. Para ello, se dispone de camiones que tienen una capacidad
máxima de 900 kilogramos cada uno y cuyo rendimiento es de 55 kilómetros por galón de
combustible. La distancia de Satipo a Lima es de 330 km y el costo del galón de combustible es S/ 9.
¿Cuánto será el costo total del combustible si los camiones se encuentran en Satipo y después de
transportar deben regresar a esa ciudad?
Distancia total = 2 × distancia Satipo a Lima × cantidad de viajes 
= 2 × 330 𝑘𝑚 ×
9900 𝑘𝑔
900 𝑘𝑔
Capacidad : 900 kg
rendimiento: 55 km por galón 
330 𝑘𝑚
Satipo Lima
9100 kg
Ida y vuelta
= 2 × 330 𝑘𝑚 × 11
Solución:
7.
Distancia total = 2 × 330 × 11
Costo total delcombustible = galones × precio de un galón
= 2 × 330 × 11𝑘𝑚 ×
1 𝑔𝑎𝑙ó𝑛
55 𝑘𝑚
×
9 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠
1 𝑔𝑎𝑙ó𝑛
= S/ 1188
rendimiento:
55 km por galón
1 galón = 9 soles 
galones =
distancia total
rendimiento de cada camión
= 2 × 330 × 11 𝑘𝑚 ×
1 𝑔𝑎𝑙ó𝑛
55 𝑘𝑚
En un centro de acopio de la ciudad de Satipo, hay 9900 kilogramos de naranjas que deben ser
transportados a la ciudad de Lima. Para ello, se dispone de camiones que tienen una capacidad
máxima de 900 kilogramos cada uno y cuyo rendimiento es de 55 kilómetros por galón de
combustible. La distancia de Satipo a Lima es de 330 km y el costo del galón de combustible es S/ 9.
¿Cuánto será el costo total del combustible si los camiones se encuentran en Satipo y después de
transportar deben regresar a esa ciudad?
Solución:
8. Joel compró chocolates en cajas de 30 cada una. Él ha comprado 24 cajas a S/ 120 cada caja y, por
ser cliente frecuente, le regalaron 10 chocolates por cada tres cajas que compró. Luego, vendió
todos los chocolates recibidos a S/ 6 por unidad. ¿Cuánto ganó Joel?
Costo = 24 × S/120
Recibió = Compró + Regalaron
= 24 × 30
= 720 + 80
= 800 chocolates
Ingreso = 800 × S/6 = S/ 4800
Ganancia = 4800 − 2880
= S/ 1920
= S/ 2880
Ganancia = Ingreso − Costo
 cajas de 30 chocolates
 Compró 24 cajas
+ 80
Regalaron =
24
3
× 10 = 80 chocolates
Solución:
9. A una microempresa se le encargó la elaboración de un pedido de 160 mesas. Para este trabajo la
microempresa contrató a 8 empleados por 25 días que laboraron en jornadas de 8 horas, con un
sueldo de S/ 13,5 la hora. Si el costo de los materiales fue S/ 127,5 por cada mesa y cada una se
vendió a S/ 325, calcule la ganancia obtenida.
Sueldos = 8 × 25 × 8 × S/13,5
= S/ 21 600
Materiales = 160 × S/127,5
= S/ 20 400
Costo total = 21 600 + 20 400
= S/ 42 000
Ingreso total = 160 × S/ 325
= S/ 52 000
Ganancia = 52 000 − 42 000
= S/ 10 000
Ganancia = Ingreso − Costo
Costo total = Sueldos + Materiales
 160 mesas
 8 empleados
 jornada: 8 h  25 días de trabajo 
 sueldo: S/ 13,5 la hora  costo materiales: S/ 127,5
Solución:
10. Francisco debe entrevistar a los candidatos para dos puestos de trabajo: supervisor y asistente. Se
sabe que hay 6 candidatos para el puesto de supervisor y 9 candidatos para el puesto de asistente.
Además, una entrevista con un candidato a supervisor dura 21 minutos y una con un candidato a
asistente, 16 minutos. Además, se toma 2 minutos de descanso entre cada entrevista. Si Francisco
inicia las entrevistas a las 8:00 a.m., ¿a qué hora terminará de entrevistar a todos los candidatos?
Supervisor 1 descanso Supervisor 2 Supervisor 6
21 min 
2 min 
21 min 21 min 
…… …
Asistente 1 descanso Asistente 2 Asistente 9
16 min 
2 min 
16 min 16 min 
…… …
 Hay 6 descansos.
descanso
2 min 
→ Hay 6 + 8 = 14 descansos en total. Hay 8 descansos.
Solución:
10. Francisco debe entrevistar a los candidatos para dos puestos de trabajo: supervisor y asistente. Se
sabe que hay 6 candidatos para el puesto de supervisor y 9 candidatos para el puesto de asistente.
Además, una entrevista con un candidato a supervisor dura 21 minutos y una con un candidato a
asistente, 16 minutos. Además, se toma 2 minutos de descanso entre cada entrevista. Si Francisco
inicia las entrevistas a las 8:00 a.m., ¿a qué hora terminará de entrevistar a todos los candidatos?
= 6 × 21 min
= 126 min + 144 min + 28 min
= 298 min = 240 min + 58 min
= 4 h 58 min
Hora de término = 8: 00 a.m.+ 4h 58 min
= 12: 58 p.m.
Tiempo total = tiempo supervisores + tiempo asistentes + tiempo descansos
+ 9 × 16 min + 2 × 14 min