TRIÁNGULOS NOTABLE PITAGÓRICOS, RELACIONES MÉTRICAS, ÁREAS DE TRIÁNGULOS

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REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 1 
 
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 
 
PROYECCIÓN ORTOGONAL 
 
Proyección de un punto sobre una recta 
La proyección de un punto sobre una recta es el punto determinado por el pie de la perpendicular trazada 
del punto a la recta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proyección ortogonal de un segmento sobre una recta 
La proyección de un segmento sobre una recta es el segmento cuyos extremos son las proyecciones de los 
extremos del segmento proyectado. 
 
Al proyectar un segmento sobre una recta se observan los siguientes casos: 
 
Segmento paralelo a la recta Segmento oblicuo a la recta Segmento perpendicular a la 
recta 
 
 
 
 
 
'B'A : proyección del segmento 
 AB sobre la recta L. 
 
 
 
 
 
 
'B'A : proyección del segmento 
 AB sobre la recta L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A' : proyección del segmento 
 AB sobre la recta L 
En este caso, la proyección del 
segmento es un punto. 
 
 
 
 
 
A B 
A' 
 
B' 
 
L 
A 
B 
A' 
 
B' 
 
L 
A 
B 
A' 
 
 
L 
 
A 
L 
A' 
A' : Proyección del punto A sobre la recta L 
 
2 C E P R E P U C 2021.0 
 
 RELACIONES MÉTRICAS 
En un triángulo rectángulo ABC, al trazar la altura BH relativa a la hipotenusa se cumple lo siguiente: 
 
 
 
 
 
 
Se cumplen las siguientes propiedades: 
 
1.  ABH   BHC 
m
h
 = 
h
n 
 
h 2 = mn 
 
2.  ABC  ABH 
 
b
c
c
m 
 
c 2 = bm 
 
3.  ABC   BHC 
 
b
a
a
n 
 
a 2 = bn 
 
4. Área del  ABC 
 
2
ac
2
bh
 
 
ac = bh 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los 
cuadrados de las medidas de los catetos. 
Así en el triángulo ABC: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m: Longitud de la proyección del cateto AB sobre 
la hipotenusa 
n: Longitud de la proyección del cateto BC sobre 
la hipotenusa 
h: Longitud de la altura relativa a la hipotenusa 
 
B 
C A 
a 
m n 
h 
H 
c 
b 
 
B 
a 
C b A 
b 2 = a 2 + c 2 
c 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 3 
 
Ejemplos 
1. En la figura, halla h, m y n. 
 
 
 
 
 
 
 
2. En la figura, ABCD es un cuadrado. Calcula su 
perímetro si se sabe que FA = 4 cm y BP = 3 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. En la figura mostrada, MN es base media del 
triángulo BHC. Calcula MN. 
 
 
 
 
 
4. En la figura, BM = 3 m y AN = 4 m. Halla 
AC si AH = BH = CH. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 cm 20 cm 
m n 
h 
B 
A C 
 F 
P 
B C 
D 
A 
 
B 
N 
C A 
H M 
6 m 4 m 
 
B 
C A 
M 
N H 
 
4 C E P R E P U C 2021.0 
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 
 
 
 
EJEMPLOS 
Triángulo rectángulo 
 
45°  90°  45° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AB = 7 cm 
 
BC = 14 cm 
 
Triángulo rectángulo 
 
30°  90°  60° 
 
 
 
 
 
 
 
 
AC = 
4
33
cm 
 
BC = 
2
3
 cm 
 
Triángulo rectángulo 
 
15  90  75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AB = ______________ 
 
 BC = ______________ 
 
 
 
 
 
a 
45° 
a 2 
45° 
a 
45° 
7 cm 
a 
60° 2a 
30° 
a 3 
60° 
30° 
4
3
cm 
B 
A C 
B 
A C 
B 
A C 
B 
A C 
45° 
 
C A 
B 
75 
( 6 - 2 )a 
( 6 + 2 )a 
4a 
15 
 
C A 
B 
75 
( 32 + 2) cm 
15 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 5 
 
 
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS 
 
 
EJEMPLOS 
Triángulo 
rectángulo 
 
3  4  5 
 
 
 
 
AB =36 cm 
AC = 27 cm 
Triángulo 
rectángulo 
 
5  12  13 
 
 
 
 
 
 
Triángulo 
rectángulo 
 
8 – 15 – 17 
 
Triángulo 
rectángulo 
 
7 – 24 – 25 
 
 
 
 37° 
 53° 
45 cm 
13a 
5a 
12a 
52 3 cm 
 37° 5a 
 53° 
3a 
4a 
B 
A C 
B 
A C 
B 
A C 
B 
A C 
B 
17a 
8a 
15a C A 
7,5 cm 
8,5 cm 
B 
C A 
 
B 
25a 
7a 
24a 
C A 
42 cm 
144 cm 
B 
C A 
AB = 4 cm 
BC = 150 cm 
48 3 cm 
AB = 20 3 cm 
 
6 C E P R E P U C 2021.0 
 
Ejemplos 
 
1. En un triángulo ABC, AB = BC, la altura BH 
mide 8 cm y ABC = 120°. Halla el perímetro 
del triángulo ABC. 
 
2. En la figura, halla el perímetro del triángulo ACD 
si AB mide ( 3 + 1) cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. En la figura, halla el perímetro del cuadrilátero 
PQRS si ABC es un triángulo equilátero y Q es 
el punto medio de AB . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. En la figura, calcula MN si AC = 8 3 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45°
 
A 
C
 
B 
D
 
 
 
 
 
 
 
15° 
 
B 
A C 
S 
R 
Q 
P 
16 m 
 
B 
C 
N 
A 
P 
M 
 
 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 7 
ÁREAS 
El área de una región plana es la medida de la extensión de su superficie. 
 
ÁREAS DE TRIÁNGULOS 
 
 
TRIÁNGULO CUALQUIERA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = 
2
1 bh 
 
TRIÁNGULO EQUILÁTERO 
 
 
 
 
 
 
A = 
4
3L2
 
TRIÁNGULO RECTÁNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = 
2
ab
 
o 
A = 
2
ch
 
 
RELACIONES DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS 
 
Si dos triángulos tienen igual altura, sus áreas son 
proporcionales a sus respectivas bases. 
 
 
 
 
2
1
A
A
= 
y
x
 
 
 
 
 
 
 
L L 
L 
x C 
B 
A y 
A1 A2 
D 
b 
h 
 
h b a 
c 
 
8 C E P R E P U C 2021.0 
PROPIEDAD 
 
Si se trazan las tres medianas de un triángulo, este queda dividido en seis triángulos equivalentes. 
Así, en el triángulo ABC: 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE 
Dos regiones planas son equivalentes si y solo si tienen igual área. 
 
Ejemplos 
1. En la figura mostrada, el área del triángulo MNP es 84 m 2 . Halla el área del triángulo MNQ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S 
S 
S 
S 
S S 
S = 
TOTAL
A
6
1
 
B 
C 
A 
G 
 
4a 
N 
M P 
Q 
2a 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 9 
2. En la figura, el área del triángulo equilátero ABC 
es 16 3 m 2 . Si D es el punto medio de AB , 
halla el área del triángulo EFC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. En la figura, el área del triángulo BME mide 
6 m 2 . Además, 
5
EC
3
DE
2
AD
 y los puntos 
M y N trisecan al lado BC . Calcula el área del 
triángulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. En un triángulo ABC, sobre AB y BC se toman 
los puntos P y Q, respectivamente, de manera 
que AP = 2PB y BQ = QC. Halla la relación entre 
las áreas de los triángulos PBQ y ABC. 
5. Calcula el valor aproximado del área de la 
región sombreada si ABC es un triángulo 
equilátero. 
 
 
 
B 
C A 
D 
D 
A F C 
E 
B 
E 
M 
N 
 
B 
C 
A 
10 cm 
53 
 
10 C E P R E P U C 2021.0 
6. El área de un triángulo ABC es 48 m 2 . Se trazan las medianas AD y BE que se cortan en F. Halla el 
área del triángulo DEF.