SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR ÁNGULOS NOTABLES, ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

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REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 1 
Semana 3 
Sistemas de medida angular  Ángulo trigonométrico 
 
Historia de la trigonometría 
 
Los historiadores concuerdan en que fueron los griegos anteriores a Sócrates los iniciadores de la 
trigonometría. A Tales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia, se le atribuye el descubrimiento de 
cinco teoremas geométricos y su participación en la determinación de las alturas de las pirámides de 
Egipto utilizando la relación entre los ángulos y lados de un triángulo. Hiparco, notable geómetra y 
astrónomo griego, sistematizó estos conceptos en una tabla de cuerdas trigonométricas que hoy son la 
base de la trigonometría moderna. Por su trabajo se le considera el padre o fundador de la trigonometría. 
 
 Hiparco de Nicea 
La utilización de instrumentos para medir ángulos y calcular distancias es muy antigua. Desde siglos atrás 
los astrónomos, los navegantes, los geógrafos y los matemáticos usaron instrumentos como: los 
cuadrantes, los sextantes, los astrolabios, los teodolitos, que progresivamente se fueron perfeccionando 
hasta llegar a los teodolitos actuales utilizados por los topógrafos. 
La invención de los astrolabios es atribuida a los griegos, pero su desarrollo y perfección se debe a los 
astrónomos árabes. Estos son instrumentos que permiten calcular la altitud o altura de los astros (el 
ángulo desde el horizonte) y el azimut (distancia angular desde un meridiano). 
 
Los teodolitos son instrumentos utilizados en topografía y geodesia para medir ángulos horizontales y 
verticales. 
 
 
Tomado de: http://www.educar.org/enlared/miswq/webquest_2.htm 
http://www.fpolar.org.ve/matematica3/fasciculo9.pdf 
http://www.educar.org/enlared/miswq/webquest_2.htm
http://www.fpolar.org.ve/matematica3/fasciculo9.pdf
2 C E P R E P U C 2021.0 
SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y ARCOS 
 
 Para medir ángulos y arcos se emplean, generalmente, dos sistemas de medida: sexagesimal y radial. 
 
 Sistema Sexagesimal (S) 
 Considera como unidad de medida la 
360
1
 parte de la circunferencia, la cual recibe el nombre de "grado 
sexagesimal". Cada grado se divide en 60 partes llamadas "minutos" y cada minuto se divide en 60 partes 
llamadas "segundos". 
 Notación: 
 Grado : ° 
 Minuto : ' 
 Segundo : " 
 
Sistema Radial (R) 
 Considera como unidad de medida un arco de una longitud igual a la de su radio, el cual recibe el 
nombre de "radián". 
 
 
 
 
 Como la circunferencia tiene una longitud igual a 2r, entonces la circunferencia completa expresada en 
radianes es igual a 2. 
Notación: 
Radian: rad 
 
 Cambio de sistemas de medidas de ángulos y arcos 
 Representando por S y R la medida de un mismo arco en los dos sistemas, se puede establecer la 
siguiente relación con respecto a la circunferencia: 
 
 
 o de forma equivalente: 
 
 
 
 expresión que permite efectuar la transformación de la medida de un arco de un sistema dado a otro. 


2
R
360
S
 


R
180
S
 
r 
1 rad 
r O 
r 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 3 
 
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO 
Un ángulo trigonométrico se genera por la rotación de un rayo alrededor de un rayo inicial fijo. 
Así en la figura, el rayo OB gira desde su posición inicial, coincidente con AO, hasta su posición final 
determinando el ángulo . Al rayo AO se le llama lado inicial y al rayo OB lado terminal o final. 
 
 
 
 
 
 
Un rayo con giro contrario a las agujas del reloj genera un ángulo positivo y un rayo con giro en el 
sentido de las agujas del reloj genera un ángulo negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
Ángulos en posición normal 
Un ángulo está en posición o estándar si su vértice se halla en el origen de un sistema de coordenadas 
rectangulares y su lado inicial se encuentra sobre el eje X positivo. 
Así por ejemplo,  es un ángulo en posición normal pues su lado inicial se encuentra sobre el eje X 
positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Además,  es un ángulo en posición normal que está en el segundo cuadrante dado que allí se ubica su 
lado terminal. 
 
 
 
 
 
B 
A 
lado terminal 
vértice O 
 
lado inicial 
 Ángulo positivo 
 
 
 
Ángulo negativo 
 
lado inicial vértice O 
lado terminal 
Y 
X 
 
4 C E P R E P U C 2021.0 
 Ejemplos 
1. Convierte a radianes o grados sexagesimales según corresponda. 
a. 200° b. 300 
c. 
6
7
rad d. 
7
8
rad 
2. Convierte a sexagesimales (incluye minutos y segundos) 
a. 






3
200
 
b. 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 5 
 
Razones Trigonométricas 
 
ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA 
 
La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de 
distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. 
Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie 
de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas 
de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o 
desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar 
inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente 
geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida 
según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo 
de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los 
segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de 
manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras. 
 
 
Tomado de: 
http://trigonometria.galeon.com/ 
 
 
EL PROBLEMA BÁSICO DE LA TRIGONOMETRÍA 
Estando cerca de un ancho río se necesita conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el árbol 
marcado en el dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la tercera dimensión). ¿Cómo hacerlo sin 
cruzar el río? 
 
 
 
 
 
 
 
 
La forma habitual es como sigue: clavar dos postes en el suelo en los puntos A y B y medir con una cinta 
la distancia c entre ellos (la "base"). 
 
 
 
Tomado de: 
http://www.homovidens.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Gargiulo/FINAL/Para%20que%20sirve.htm 
 
http://trigonometria.galeon.com/
http://www.homovidens.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Gargiulo/FINAL/Para%20que%20sirve.htm
6 C E P R E P U C 2021.0 
 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Las razones trigonométricas son ciertas relaciones 
entre los lados de un triángulo rectángulo. 
 
 
 Así, considerando el ángulo agudo A en el 
triángulo rectángulo ABC mostrado, es posible 
definir seis razones trigonométricas relativas a 
este ángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAZÓN NOTACIÓN DEFINICIÓN 
SENO sen A cateto opuesto
hipotenusa
a
c
 
COSENO cos A catetoadyacente
hipotenusa
b
c
 
TANGENTE tan A 
cateto opuesto
cateto adyacente
a
b

 
COTANGENTE cot A 
cateto adyacente
cateto opuesto
b
a

 
SECANTE sec A 
hipotenusa
cateto adyacente
c
b

 
COSECANTE csc A 
hipotenusa
cateto opuesto
c
a

 
 
 
 
 
 
A 
c 
B 
a 
C 
b 
Identidades recíprocas 
 
sen
1
 = csc 
cos
1
 = sec 
tan
1
 = cot 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 7 
 
IMPORTANTE 
Los valores de las razones trigonométricas no dependen de la medida de los lados del triángulo sino de la 
magnitud del ángulo. 
 
Ejemplos 
1. En la figura, AB = AC = 3 m y BC = 2 2 m. 
Calcula tan . 
 
 
 
 
 
 
2. Para el ángulo agudo , se cumple que 
tan  = 
2
3
. Calcula el valor de Y. 
Y = 13 sen . cot + 
13
1
 sec.tan 
 
 
 
 
 
 
3. En la figura, ABCD es un cuadrado de 4 3m de lado. Calcula el valor aproximado de M. 
M = 8 tan  + 3 cot . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
C B 
 
 
B C 
A D 
60 
 37 
 
8 C E P R E P U C 2021.0 
 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES 
 
Ángulos  = 45o  = 30o  = 60o 
 
 
 R. T. 
 
sen  
2
2
 
1
2
 
2
3
 
cos  2
2
 
2
3
 
1
2
 
tan  
1 
3
3
 3 
cot  
1 3 
3
3
 
sec  2 
3
32
 2 
csc  2 2 
3
32
 
 
Ejemplos: 
 
4. Halla el valor de E. 
E = (tan 
3

 ) 6
csc

 + (sen
4

) 3
sec

 
5. Se conoce que cos  = 
4
sec1
6
tan
3
csc
2 




 si  es 
un ángulo agudo, halla el valor de tan. 
 
 
 
 
 
k 2 
k 
45° 
k 
2k 
30° 
3k 
k k 
2k 
60° 
3k 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 9 
 
 
 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, al definirse las razones trigonométricas relativas al ángulo 
agudo A, se tiene: 
 
 
 
 
 
sen A = 
c
a
 = cos B = cos (90° – A) 
cos A = 
c
b
 = sen B = sen (90° – a) 
tan A = 
b
a
 = cot B = cot (90° – A) 
cot A = 
a
b
 = tan B = tan (90° – A) 
sec A = 
b
c
 = csc B = csc (90° – A) 
csc A = 
a
c
 = sec B = sec (90° – A) 
 
En general, en un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos agudos mide  se cumple que: 
 
 
 
Ejemplos 
 
6. Simplifica la expresión P. 
P = 


72cos.75cot.51csc
39sec.18sen.15tan
 
7. Halla el valor del ángulo agudo x si se cumple 
lo siguiente: cos(8x  42°) = 
)12x7csc(
1

 
 
 
B 
C 
a 
A 
c 
b 
 
R.T. () = Co R.T. (90°  ) 
 
10 C E P R E P U C 2021.0 
8. Para los ángulos agudos  y , se cumple lo siguiente: 
 





)102cot()204tan(
cos40sen
 
 calcula E.