Capitulo_6_II_ -Matricial_articuladas_PLANTEAMIENTO_GENERA

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PLANTEAMIENTO GENERAL DEL ANÁLISIS
MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
ARTICULADAS
Prof. Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos
y Teoría de Estructuras 
X
Y
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
′
′
′
′
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
′
′
′
′
2
2
1
1
2
2
1
1
0000
00
0000
00
y
x
y
x
y
x
y
x
u
u
u
u
kk
kk
S
S
S
S
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA ARTICULADA
K’11 K’12
K’21 K’22
Esfuerzos
Nudo 1
Esfuerzos
Nudo 2
Desplazamientos
Nudo 1
Desplazamientos
Nudo 2
Llamando:
{ } { } { } { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
′
=′
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
′
=′
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
′
=′
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
′
=′
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
u
u
u
u
u
u
S
S
S
S
S
S
La ecuación anterior puede escribirse como:
Vector de esfuerzos en los nudos
(ejes locales)
Vector de desplazamientos en los nudos
(ejes locales)
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA EN EJES LOCALES
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
2
1
2221
1211
2
1
'
'
''
''
'
'
u
u
KK
KK
S
S
{ } { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
′
=′
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
′
=′
2
1
2
1
u
u
u
S
S
S
{ } [ ]{ }uKS ′′=′
{ } [ ]{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ } [ ]{ }2221212
2121111
uKuKS
uKuKS
′′+′′=′
′′+′′=′
{ }1S′ { }2S′
x
y { }1u′
{ }2u′
1
2
Esta última expresión desarrollada proporciona, en ejes
locales de la barra:
X
Y x
y
TRANSFORMACIÓN DESDE EJES GLOBALES A LOCALES:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
′
′
′
′
2
2
1
1
2
2
1
1
00
00
00
00
Y
X
Y
X
y
x
y
x
S
S
S
S
cs
sc
cs
sc
S
S
S
S
Vector de fuerzas nodales
en coordenadas locales
Vector de fuerzas nodales
en coordenadas globales
{ } [ ] { } globalesejes
T
localesejes STS =′
X
Y x
y
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
′
′
′
′
2
2
1
1
2
2
1
1
00
00
00
00
Y
X
Y
X
y
x
y
x
u
u
u
u
cs
sc
cs
sc
u
u
u
u
Vector de desplazamientos nodales
en coordenadas locales
Vector de desplazamientos
nodales en coordenadas 
globales
{ } [ ] { } globalesejes
T
localesejes uTu =′
{ } { } { } { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
′
=′
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
′
=′
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
′
=′
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
′
′
=′
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
u
u
u
u
u
u
S
S
S
S
S
S
Esfuerzos y desplazamientos en ejes locales en los dos nudos de la barra:
{ } { } { } { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
u
u
u
u
u
u
S
S
S
S
S
S
Esfuerzos y desplazamientos en ejes globales en los dos nudos de la barra:
{ } [ ] { } globalesejesi
T
localesejesi STS =′ [ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
cs
sc
T T{ } [ ] { } globalesejesi
T
localesejesi uTu =′
{ } [ ]{ } localesejesiglobalesejesi uTu ′={ } [ ]{ } localesejesiglobalesejesi STS ′= [ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
cs
sc
T
En definitiva, para pasar esfuerzos y deslazamientos, en un nudo concreto
de una barra la estructura, desde ejes locales a globales o viceversa tenemos:
{ } [ ]{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ } [ ]{ }2221212
2121111
uKuKS
uKuKS
′′+′′=′
′′+′′=′
{ } [ ][ ] { } [ ][ ] { }
{ } [ ][ ] { } [ ][ ] { }2221212
2121111
uTKuTKS
uTKuTKS
TT
TT
′+′=′
′+′=′
Relación entre esfuerzos en ejes locales con desplazamientos en ejes locales:
Relación entre esfuerzos en ejes locales con desplazamientos en ejes globales:
(Esta última expresión nos será de gran utilidad cuando deseemos obtener
los esfuerzos en las barras (los cuales hay que expresar en ejes locales)
a partir de los desplazamientos de los nudos obtenidos en ejes globales) 
{ } [ ][ ] { } [ ][ ] { }
{ } [ ][ ] { } [ ][ ] { }2221212
2121111
uTKuTKS
uTKuTKS
TT
TT
′+′=′
′+′=′
Premultiplicando por [T]:
{ } [ ][ ][ ] { } [ ][ ][ ] { }
{ } [ ][ ][ ] { } [ ][ ][ ] { }2221212
2121111
uTKTuTKTS
uTKTuTKTS
TT
TT
′+′=
′+′=
(Relación entre esfuerzos en ejes globales y desplazamientos en ejes globales)
{ } [ ][ ][ ] { } [ ][ ][ ] { }
{ } [ ][ ][ ] { } [ ][ ][ ] { }2221212
2121111
uTKTuTKTS
uTKTuTKTS
TT
TT
′+′=
′+′=
{ } [ ]{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ } [ ]{ }2221212
2121111
uKuKS
uKuKS
+=
+=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
2
1
2221
1211
2
1
u
u
KK
KK
S
S
ó:
L
EAk =siendo:
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
=
22
22
22
22
scsscs
csccsc
scsscs
csccsc
kK globalesejes
e
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
2
11 scs
csc
kK [ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
2
2
12 scs
csc
kK
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
2
2
21 scs
csc
kK [ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
2
22 scs
csc
kK
Como:
1
2
3
4
y24
x13
x23=y34
x24x34
y12
y13
x12 = y23
{f3}
{f2}
PROCESO DE ENSAMBLAJE
X
Y
{f1} {f4}
Barra nudo 1 nudo 2
1-2 1 2
1-3 1 3
2-3 2 3
2-4 2 4
3-4 3 4
{ } =mnS1 Vector de esfuerzos en el nudo inicial
de la barra m-n referido a los ejes
globales de la estructura
{ } =mnS2 Vector de esfuerzos en el nudo final
de la barra m-n referido a los ejes
globales de la estructura
{ }=if Vector de cargas exteriores en el nudo i
referido a los ejes globales de la estructura
{S1}12
-{S1}12
-{S1}13
{f1}
{S1}13
EQUILIBRIO NUDO 1:
{f1} = {S1}12 + {S1}13 =
= [K11]12 {u1} + [K12]12 {u2} + [K11]13 {u1} + [K12]13 {u3}
{f1} – {S1}12 – {S1}13 = 0Ecuación de equilibrio:
Barra 1-3
Barra 1-2
{f2} – {S2}12 – {S1}23 – {S1}24 = 0EQUILIBRIO NUDO 2:
{f2} = {S2}12 + {S1}23 + {S1}24 =
=[K21]12 {u1} + [K22]12 {u2} + [K11]23 {u2} + [K12]23 {u3}+ [K11]24 {u2} + [K12]24 {u4}
EQUILIBRIO NUDO 3: {f3} – {S2}13 – {S2}23 – {S1}34 = 0
{f3} = {S2}13 + {S2}23 + {S1}34 = 
=[K21]13 {u1} + [K22]13 {u3} + [K21]23 {u2} + [K22]23 {u3} + [K11]34 {u3} + [K12]34 {u4}
EQUILIBRIO NUDO 4: {f4} – {S2}24 – {S2}34 = 0
{f4} = {S2}24 + {S2}34 = 
=[K21]24 {u2} + [K22]14 {u4} + [K21]34 {u3} + [K22]34 {u4}
f1 (K11)12+ (K12)12 (K12)13 0 u1 
 (K11)13 
 
f2 (K21)12 (K22)12 + (K12)23 (K12)24 u2 
+ (K11)23 
= + (K11)24 
 
f3 (K21)13 (K21)23 (K22)13 (K12)34 u3 
+ (K22)34 
+ (K11)34 
 
f4 0 (K21)24 (K21)34 (K22)24 u4 
+(K22)34 
=
mnijK ][ = matriz de rigidez ij (i,j = 1 ó 2, según proceda) de 
la barra mn
Es decir:
- Un término de la diagonal principal de la fila i y columna 
j=i, es la suma de las submatrices [K11] ó [K22] de todas
las barras que concurran en el nudo i
[K11] si la barra tiene su extremo 1 en el nudo i ó
[K22] si la barra tiene su extremo 2 en el nudo i
-Los términos fuera de la diagonal principal, por ejemplo de la 
fila i correspondientes a las columnas j, k, l, m, … (j, k, l, m…> i), 
son las submatrices [K12] de las barras que unen el nudo i con 
los nudos j, k, l, m, … Si un nudo no estuviere unido directamente 
con el nudo i su contribución sería una matriz nula.
{ } [ ]{ }uKf =
[K] = Matriz de rigidez en ejes globales de la estructura, 
que es una matriz simétrica y singular ya que, si la estructura 
sufriera un movimiento de sólido rígido, las cargas {f} no se 
deberían ver afectadas por el mismo
Vector de cargas
en los nudos 
Vector de desplazamientos
en los nudos 
X
Y
q
¿Cómo proceder cuando, además, actúen cargas (*) 
directamente aplicadas a las barras?
P3
P5
P21
2
3
4
5
(*) Nota: Debemos entender “cargas en barras” como no sólo cargas mecánicas, sino
también como cargas de origen térmico y como las debidas a errores de ejecución 
X
Y q
X
Y q
X
Y
=
+
q
R1
R2
R2
R1
En una barra que conecta los nudos i y j de la estructura
(i < j) sobre la que actúan cargas en puntos intermedios,
determinaríamos los vectores reacción {r ’1} y {r ’2}, en los
extremos de la barra, en ejes locales, considerando apoyos 
fijos perfectos en los dos extremos de la barra (o barras).
Las reacciones en los extremos se podrían expresar en ejes
globales como:
{r i} = [T] {r ’i}
El vector de cargas actuantes en el nudo i se obtendría
sumando los vectores - {r i} de todas las barras que tuvieren 
el nudo inicial o final en el nudo i.
Si en el nudo i ya actuase un vector de cargas {pi}, el vectorde cargas finalmente resultante en ese nudo sería:
{fi} = {pi} – Σ {ri}
(Σ extendido a todas las barras conectadas al nudo i)
Veamos cómo hacerlo en este ejemplo: 
{fi} = {pi} – Σ {ri}
X
1
2
3
4
5
P3
P5
P2
Y
α
V1
H1
H4
V4
{ }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
=
5
4
4
3
2
1
1
0
0
0
P
V
H
P
P
V
H
p
El vector de cargas directamente aplicadas a los nudos, {p} :
X
R2
R1
1
2
3
4
5Y
α
{ }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
α−
α−
α−
α−
=∑
sen
cos
sen
cos
1
1
2
2
0
0
0
0
0
0
R
R
R
R
r
El vector de reacciones en barras cargadas, Σ{r} :
{ }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−α
α
α+
α+
−
=
51
1
24
24
3
2
1
1
0
0
PR
R
RV
RH
P
P
V
H
f
sen
cos
sen
cos
{ }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
=
5
4
4
3
2
1
1
0
0
0
P
V
H
P
P
V
H
p { }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
α−
α−
α−
α−
=∑
sen
cos
sen
cos
1
1
2
2
0
0
0
0
0
0
R
R
R
R
r- =
El vector de cargas resultante sobre la estructura, {f} :
{pi} – Σ {ri} = {fi}
X
R2
R1
1
2
3
4
5
P3
P5
P2
Y
α
V1
H1
H4
V4
{ }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−α
α
α+
α+
−
=
51
1
24
24
3
2
1
1
0
0
PR
R
RV
RH
P
P
V
H
f
sen
cos
sen
cos
En definitiva:
CONDICIONES DE CONTORNO
{ } [ ]{ }uKf =
En general:
- Conoceremos los vectores de carga {f}i en los nudos
(probablemente ignoraremos los vectores de carga
{f}j en aquellos nudos en los que existan apoyos)
- Conoceremos alguna de las componentes de {u},
en aquellos nudos en los que existan ligaduras
n = número de nudos
nº de g.d.l.= 2n
r = número de coacciones
nº de movimientos desconocidos = 2n-r
Objetivo:
{ } [ ]{ }*** uKf =
Vector de cargas
conocidas
Vector de movimientos
incógnitas
Esto lo haremos eliminando filas y columnas correspondientes 
a gdl’s impedidos por las restricciones 
{ } [ ] { }*** fKu 1−=
Resolución del sistema de ecuaciones:
Cálculo de esfuerzos en cada barra:
{ }
{ }jj
T
iji
T
ijj
ij
T
iji
T
iji
ruTKuTKS
ruTKuTKS
'}{][]'[}{][]'[}'{
'}{][]'[}{][]'[}'{
+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
2221
1211
Ya conoceríamos los desplazamientos en los gdl’s no impedidos, por los que
podríamos montar el vector de desplazamientos de toda la estructura en ejes
globales: 
{ }u