Capitulo_5 -Pandeo

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Ingeniería Estructural
Inestabilidad elástica
1
Pandeo de piezas rectas
• Imaginemos una hoja de sierra
– σy = 520 MPa
– Sección transversal 12mm x 0.5mm
– La hoja de sierra resistiría una carga de compresión de 3120 N
• Sin embargo, esta pieza puede perder su estabilidad a una carga mucho 
menor
La hoja de sierra perdería su estabilidad estructural para 
una carga que podríamos calcular:
Supongamos:
I = bh3/12 (sección rectangular) = 1,25 x 10-13 m4
E = 200 GPa y L = 300mm
La carga que produciría el pandeo sería: P = 2,74N
Equilibrio estable Equilibrio inestable Equilibrio indiferenteEquilibrio estable Equilibrio inestable Equilibrio indiferente
ESTABILIDAD E INESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO
x
.
l
P
P
.
P
P
.
P
k k
.
P
kx kx
a) b) c) d)
x
.
l
P
P
.
P
P
.
P
k k
.
P
kx kx
a) b) c) d)
Si: 2(kx)L>Px (lo que implica P<2kL) el equilibrio es estable.
Si: 2(kx)L<Px (lo que implica P>2kL) el equilibrio es inestable.
L
Concepto de inestabilidad estructuralConcepto de inestabilidad estructural
PA B
A PB
wB
A PcríticaB
Para cargas bajas
∫ ⋅
+=
B
A
AB dz
AE
Nww
AE
LPwB ⋅
⋅−=
Para una cierta Pcrítica se 
producen grandes 
desplazamientos 
transversales
Pandeo
Aparecen fenómenos no 
lineales
6
z
y
Concepto de inestabilidad estructuralConcepto de inestabilidad estructural
El pandeo aparece en barras esbeltas para cargas menores que 
las que producen la plastificación del material
PA B
AP comp
e ⋅σ<criticaPP <
Puede ser la condición de 
diseño crítica
7
Teoría de primer ordenTeoría de primer orden Problema de Euler
PA B
z
y
PA B
z
y
Hipótesis:
- Viga esbelta de sección 
constante
- Ejes principales de inercia
- Sólo existen esfuerzos de 
compresión
- Comportamiento lineal 
elástico
- Pequeños 
desplazamientos de 
flexión
- Deformaciones pequeñas
- No existen tensiones 
residuales
8
Teoría de primer ordenTeoría de primer orden
Aplicando la ecuación de la 
elástica
IE
M
dz
vd
⋅
−=2
2
Con las condiciones de 
contorno:
0v 
0v 
==
==
Lz
z 0
02
2
2
=⋅+ v
dz
vd
λ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
IE
P2λ
( ) zsenBzcosAzv λλ ⋅+⋅=
PA B
z
y
( )zv
z
A
z
y
( )zv
z
P
( )zvPM ⋅=
9
Teoría de primer ordenTeoría de primer orden
PA B
z
y
( )zv
z
( ) zsenBzcosAzv λλ ⋅+⋅=
( ) 0
0
=⋅⋅
=
LλsenB
A
π⋅=⋅ nLλ
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
⋅
⋅= z
L
nsenBzv π
IE
L
nP ⋅⋅
⋅
= 2
22 π
IE
L
Pcritica ⋅⋅= 2
2π
Carga crítica de Euler
(1744) 10
Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
BA
PB
P
P
P Viga en voladizo
Viga biempotrada con 
deslizadera horizontal
Viga biempotrada con 
deslizadera vertical
Viga empotrada-apoyada con 
deslizadera vertical
11
Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
PA B
z
y
PB
PB
Viga en voladizo
P
BA
La carga de pandeo 
coincide con la de una 
viga biapoyada de 
longitud doble
( )
IE
L
Pcritica ⋅⋅
⋅
= 2
2
2
π
4
Euler
critica
PP =
12
PA B
z
P
Viga bi-empotrada con desplazamiento longitudinal en un extremo
La carga de pandeo 
coincide con la de una 
viga biapoyada de 
longitud mitad
( ) IE
L
Pcritica ⋅⋅= 2
2
2
π
Eulercritica PP ⋅= 4
Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
P
13
P
P
P
Viga bi-empotrada con desplazamiento transversal en un extremo
La carga de pandeo 
coincide con la de una 
viga biempotrada de 
longitud doble
( )
IE
L
Pcritica ⋅⋅
⋅
⋅
= 2
2
2
4 π
Eulercritica PP =
Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
P
14
PA B
z
y
PB
PB
PB
Viga empotrada-apoyada con desplazamiento transversal en un 
extremo
La carga de pandeo 
coincide con la de una 
viga biempotrada de 
longitud doble
( )
IE
L
Pcritica ⋅⋅
⋅
= 2
2
2
π
4
Euler
critica
PP =
Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
15
PBA
PBA
Viga empotrada-apoyada con desplazamiento longitudinal en un 
extremo
No es posible aplicar 
simetrías
02
2
2
=⋅+ v
dz
vd
λ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
IE
P2λ
+
condiciones de contorno
( )
IE
L,
Pcritica ⋅⋅
⋅
= 2
2
70
π
Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
16
En general:
PBA
? ?
( )
IE
L
Pcritica ⋅⋅
⋅
= 2
2
β
π
Viene fijado en la 
normativa
Longitud de pandeo:
( )
IE
L
IE
L
P
p
critica ⋅⋅=⋅⋅
⋅
= 2
2
2
2 π
β
π
PA B
z
y
L
Lp
Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo
17
Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
x
z
y
π
( ) ξ
β
π IE
L
Pcritica ⋅⋅
⋅
= 2
2
x
y
π
A
I
i ξ
ξ =
Radio de giro de la 
sección respecto al eje ξ
2
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ⋅
⋅
=
ξ
β
π
σ
i
L
E
critica
ξ
λξ: Esbeltez mecánica
Plano de pandeo
18
Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅
=
ξ
ξ
β
λ
i
L La viga pandea en el plano 
perpendicular al eje de 
mayor esbeltez mecánica
x
z
y
π
x
y
π
ξ
19
2
2
ξ
λ
π
σ
E
critica =
Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
Ejemplo:
Para una viga biapoyada sobre rótulas esféricas, determine la 
configuración más estable frente a pandeo
4 4
x
4 4
y
I 2140 10 mm
I 117 10 mm
= ⋅
= ⋅
x
y
IPN-200
4 4
x
4 4
y
I 117 10 mm
I 2140 10 mm
= ⋅
= ⋅
x
y
IPN-200
Configuración I Configuración II
20
Rótula 
esférica
Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
Ejemplo
x y
z
y
z
x
z
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=λ
x
x i
L
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ
y
y i
L
21
Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
Ejemplo
L47,53
1087,1
L
i
L
L5,12
108,0
L
i
L
2
y
xz
p
y
2
x
yz
p
x
⋅=
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ
⋅=
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ
−
−
L5,12
108,0
L
i
L
L47,53
1087,1
L
i
L
2
y
xz
p
y
2
x
yz
p
x
⋅=
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ
⋅=
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ
−
−
Configuración I Configuración II
Pandea respecto al eje x Pandea respecto al eje y
Ambas configuraciones tienen la misma carga crítica
22
x y
z
y
z
x
z
Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=λ
x
x i
L
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ⋅=λ
y
y i
L5,0
Ejemplo: Repetir los cálculos si las rótulas son cilíndricas
23
Ejemplo
L7,26
1087,1
L5,0
i
L
L5,12
108,0
L
i
L
2
y
xz
p
y
2
x
yz
p
x
⋅=
⋅
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ
⋅=
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ
−
−
L25,6
108,0
L5,0
i
L
L47,53
1087,1
L
i
L
2
y
xz
p
y
2
x
yz
p
x
⋅=
⋅
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ
⋅=
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ
−
−
Configuración I Configuración II
Pandea sobre el plano xz Pandea sobre el plano yz
La configuración II es más inestable
Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica
24
Material de apoyoMaterial de apoyo
REFERENCIAS COMPLEMENTARIAS
1. Celigüeta, J.T. “Curso de Análsis Estructural”
EUNSA. 1998
Cap 14. Introducción a la estabilidad estructural
2. Garrido, J.A. Y Foces, A. “Resistencia de Materiales”.
Secretariado de Publicaciones. Universidad de Valladolid. 1994
Cap.15 La torsión en los problemas de pandeo
Cap.16 Pandeo global de pórticos planos
3. Marti Montrull, P. “Análisis de estructuras. Métodos clásicos y matricial
Horacio Escarabajal Editores. 2003
Parte 6. Pandeo global de estructuras
25