factorizacion-de-polinomios

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2009 
 
CETis 63 
 
Ing. Gerardo Sarmiento 
Díaz de León 
 
[FACTORIZACION DE POLINOMIOS] 
Documento que enseña como factorizar polinomios 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
Para factorizar polinomios hay varios métodos: 
 
1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, 
Así, la propiedad distributiva dice: 
 
 
 
Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que 
 
 
 
Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se 
saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión 
, será 
 
 
donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18 
Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la 
propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda. 
 
Otro ejemplo: Factorizar 
 
 ¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del 
paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto 
 y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da 
 pero no como me tendría que haber dado. 
Sin embargo si efectúo 
 
Otros ejemplos: 
 
 
 
 
2. Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia. 
Se basa en la siguiente fórmula 
 
 
 
Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice escribo 
 
 
yaxayxa ..).( 
yaxa .. 
).(.. yxayaxa 
xxx 181236 32 
)326(6181236 232  xxxxxx
22 624 ababba 
)312(2624 22 baabababba 
)32(2624 22 baabababba 
22 64)32(2 abbabaab  22 624 ababba 
22 6243.21.22.2)312(2 ababbabababaabbaab 
 242 323963 xxxxxx 






 1
3
2
22
3
4
2 223 xxxxxx
   22 bababa 
22 ba 
  bababa  22
Otros ejemplos de factorización por este método: 
 
 
 
 
 
3. Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio 
Se basa en las siguientes fórmulas 
 
 y 
 
Así si nos dicen que factoricemos: , basta aplicar la fórmula anterior y escribir que 
 
 
 
Otros ejemplos de factorización por este método: 
 
 
 
 
 
4. Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo 
, siendo a, b y c números 
 
Se iguala el trinomio a cero , se resuelve la ecuación , y si tiene dos 
soluciones distintas, y se aplica la siguiente fórmula: 
 
Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio 
Igualamos a cero 
Resolvemos la ecuación , y separando las dos soluciones , 
, y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2 
 
 
 
  121214 2  xxx
  4416 224  xxx













3
2
23
2
29
4
4
22 bababa
  222
2 bababa    222
2 bababa 
22 2 baba 
 222 2 bababa 
 22 321294  xxx
22 )5(2510  xxx
2
2 2
2
1
42
4
1






 xxx
cbxax 2
02  xbxax a
acbb
x
2
42 

1x 2x   21
2 xxxxacbxax 
352 2  xx
0352 2  xx
4
75
4
24255 


x
2
1
4
2
1 x
3
4
12
2 

x
 3
2
1
2352 2 





 xxxx
5. Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que 
un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el 
polinomio nos da cero. 
 
Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado tiene cuatro raíces enteras, , , 
 y se factoriza así: 
 
 
 
Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini 
 
Ejemplo: Factorizar 
Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que 
se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12 
 
Probemos con uno 
Se copian los coeficientes del polinomio: 
 
1 -4 -1 16 -12 
 
 
Y se escribe en una segunda línea el número uno 
 
 
 1 -4 -1 16 -12 
1 
 
 
El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea 
 
 1 -4 -1 16 -12 
1 
 1 
 
Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también uno (1), o 
sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4 
 
 1 -4 -1 16 -12 
1 1 
 1 
Se suma –4+1=-3 
 
 1 -4 -1 16 -12 
1 1 
 1 -3 
Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1 
 
edxcxbxax  234
1x 2x
3x
4x
    4321
234 xxxxxxxxaedxcxbxax 
12164 234  xxxx
 
 1 -4 -1 16 -12 
1 1 -3 
 1 -3 
Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente 
 
 1 -4 -1 16 -12 
1 1 -3 -4 12 
 1 -3 -4 12 0 
Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve 
para factorizar. 
Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12. 
Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el 
polinomio entre x-1, y la última suma es el resto de dicha división. 
Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que 
Dividendo=Divisor x Cociente+Resto 
 
= = 
 
De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir 
factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini. 
Aplicando sucesivas veces esta regla queda: 
 
 1 -4 -1 16 -12 
1 1 -3 -4 12 
 1 -3 -4 12 0 
2 2 -2 -12 
 1 -1 -6 0 
-2 -2 6 
 1 -3 0 
 
Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3 
La factorización final es: 
 
= 
 
Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede 
factorizar dentro de los números reales. 
 
EN RESUMEN 
 
Muchas veces se pueden combinar estos cinco métodos. Según como sea el polinomio hay métodos que 
se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos sucesivamente, 
sobre todo, si se puede sacar factor común se hace en primer lugar, y si luego en uno de los factores se 
puede seguir aplicando otros de los métodos, se aplica. 
 
 
 
12164 234  xxxx    012431 23  xxxx   12431 23  xxxx
12164 234  xxxx     3221  xxxx
 
EJEMPLOS: Factorizar los siguientes polinomios 
 
1.- 
Podemos aplicar el primer método, o sea sacar factor común 
 
El segundo factor, o sea el paréntesis, es un trinomio de segundo grado y cuadrado perfecto. Se puede 
factorizar por el tercero, cuarto o quinto método. Apliquemos el tercero y queda: 
= 
 
2.- 
Primero sacamos factor común: 
Al paréntesis le podemos aplicar el segundo método y queda: = 
Y aún más, al segundo paréntesis le podemos volver a aplicar el segundo método: 
= 
El polinomio de segundo grado que queda en el tercer paréntesis no se puede factorizar. Si probamos el cuarto 
método, igualando a cero y resolviendo la ecuación queda 
 
 que no tiene solución real. 
 
3.- 
 
Sólo podemos aplicar el quinto método, o sea Ruffini: 
 
 1 -12 41 -30 
1 1 -11 30 
 1 -11 30 0 
5 5 -30 
 1 -6 0 
 
= 
 
4.- 
 
Primero sacamos factor común 
 
= 
Igualamos a cero el paréntesis y resolvemos la ecuación: que origina dos soluciones, -3 y 
–2, por tanto la factorización completa es: 
= 
 
xxx  23 2
 122 223  xxxxxx
 122 223  xxxxxx  2
1xx
xx 483 5 
 163483 45  xxxx
 163483 45  xxxx   443 22  xxx
  443483 225  xxxxx    4223 2  xxxx
042 x
42 x
4x
304112 23  xxx
304112 23  xxx    651  xxx
18153 2  xx
18153 2  xx  653 2  xx
2
24255 
x
18153 2  xx   233  xx
Factorizar y calcular las raíces de los polinomios 
 
x3 + x2 
2x4 + 4x2x2 − 4 
x4 − 16 
9 + 6x + x2 
 
x4 − 10x2 + 9 
x4 − 2x2 + 3 
2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 
2x3 − 7x2 + 8x − 3 
x3 − x2 − 4 
x3 + 3x2 −4 x − 12 
6x3 + 7x2 − 9x + 2 
 
Factorizar los polinomios 
19x4 − 4x2 = 
2x5 + 20x3 + 100x = 
33x5 − 18x3 + 27x = 
42x3 − 50x = 
52x5 − 32x = 
62x2 + x − 28 = 
 
Descomponer en factores los polinomios 
 
xy − 2x − 3y +6 = 
25x2 − 1= 
36x6 − 49 = 
x2 − 2x +1 = 
x2 − 6x +9 = 
x2 − 20x +100 = 
x2 + 10x +25 = 
x2 + 14x +49 = 
x3 − 4x2 + 4x = 
3x7 − 27x = 
x2 − 11x + 30 
3x2 + 10x +3 
2x2 − x −1