Clase-4-Matematica-Módulo-5

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En esta clase nos proponemos aprender a factorizar polinomios, 
extrayendo factor común, hallando el factor común por grupos y apartir 
de las raíces del polinomio y resolver algunos problemas aplicando estos 
procedimientos. 
 
CLASE 4 – MÓDULO V 
¿Cómo citar esta clase? 
Programa Oportunid@des, Dirección de Educación de Jóvenes y Adultos, 
Consejo General de Educación de Entre Ríos, 2018. Matemática, Clase 4, 
Módulo V. 
 
 
 
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Para resolver problemas en la vida cotidiana, una buena estrategia es dividir el 
problema en secciones más sencillas de resolver y juntar los resultados para 
encontrar la solución completa. Esta estrategia aplicada a los polinomios se 
llama factorización y consiste en encontrar polinomios que multiplicados nos dan 
el polinomio original. A estos polinomios se les llama factores. 
En álgebra, la factorización de polinomios se utiliza para simplificar la tarea de 
encontrar la solución de ecuaciones, simplificar expresiones y en general para 
facilitar su manipulación. Hay varios métodos para factorizar polinomios; en esta 
clase estudiaremos algunos de ellos. 
Factorizar un polinomio es expresarlo como el producto de sus factores 
primos. 
Por ejemplo, convertir un polinomio que expresa el volumen de un prisma: 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12 
En una expresión como la siguiente, donde cada factor 
es la expresión correspondiente al largo, alto y ancho: 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 
 
 
 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 
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El ingreso de una empresa por la fabricación de un determinado producto se 
puede calcular a través de la siguiente expresión polinómica: 
𝐼(𝑥) = 5𝑥2 + 0,2𝑥 
Donde 𝑥 representa la cantidad de productos vendidos. 
Se sabe que el ingreso se calcula multiplicando el precio unitario del producto 
por la cantidad de productos vendidos. 
Aplicando el procedimiento de factor común se obtiene que el precio de cada 
producto es 𝑃(𝑥) = 5𝑥 + 0,2 
Esta es la forma más simple de factorización, cuando todos los 
términos del polinomio tienen un factor común, como en el ejemplo 
anterior: 
𝐼(𝑥) = 5𝑥2 + 0,2𝑥 
Los dos términos del polinomio tienen como factor común 𝑥 de tal 
manera que podemos reescribir el polinomio como: 
5𝑥2 + 0,2𝑥 = 
= 5𝑥. 𝑥 + 0.2𝑥 = 
= (5𝑥 + 0,2). 𝑥 
 
Aquí usamos la propiedad recíproca de la distributiva para realizar la 
factorización. Es decir, si en (5𝑥 + 0,2). 𝑥 aplicamos la propiedad 
distributiva, obtenemos 5𝑥2 + 0,2𝑥. 
FACTOR COMÚN 
 
 
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En el siguiente video encontrarás otros ejemplos. 
Control click sobre la imagen: 
 
 
 
ACTIVIDAD 1 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR 
1. Un patio rectangular tiene una superficie que se expresa por el 
polinomio 𝑆(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥. Factoriza este polinomio obtener una 
expresión para su base (b) y otra para su altura (h). 
2. Factoriza los polinomios extrayendo el factor común: 
a) 8𝑥4 − 4𝑥3 + 6𝑥2 
b) 7𝑥 + 𝑥2 − 14𝑥3 
c) 2𝑥2 + 4𝑥3 + 2𝑥 
 
 
 
 
 
https://youtu.be/tEMmQZmf7kw
 
 
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Consideremos un rectángulo cuya superficie que se expresa a través del 
siguiente polinomio: 
𝑆(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 6𝑥 + 15 
Usando el método de factorización por 
grupos, podemos determinar que su base y su 
altura se pueden determinar con las siguientes expresiones 2𝑥 + 5 y 𝑥2 + 3 , 
respectivamente. 
Veamos cómo procedemos: 
No existe un factor que se repita en todos los términos, por esto debemos 
acomodarlos en grupos de igual cantidad de términos. En este caso es 
conveniente armar dos grupos de dos términos. 
𝑆(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 6𝑥 + 15 = 
= (2𝑥3 + 5𝑥2) + (6𝑥 + 15) 
Factorizamos cada grupo estrayendo el factor común: 
= (2𝑥3 + 5𝑥2) + (6𝑥 + 15) = 
= 𝑥2(2𝑥 + 5) + 3(2𝑥 + 5) 
El factor (2𝑥 + 5) se repite en los dos términos, es un nuevo factor común. 
= 𝑥2(2𝑥 + 5) + 3(2𝑥 + 5) = 
= (2𝑥 + 5). (𝑥2 + 3) 
FACTOR COMÚN POR GRUPOS 
 
 
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Entonces 𝑆(𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 6𝑥 + 15 = (2𝑥 + 5). (𝑥2 + 3) 
Mira el siguiente video con más ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://youtu.be/QEC5c1JiNHo
 
 
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ACTIVIDAD 2 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR 
Factoriza los siguientes polinomios agrupando sus términos: 
𝑎) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 + 2 = 
𝑏)𝑅(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 6𝑥 − 3 = 
𝑐) 𝑄(𝑥) = 𝑥6 + 2𝑥5 + 𝑥4 + 2𝑥3 + 2𝑥 + 4 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Consideremos el polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 8𝑥 − 3 
Como es de tercer grado tiene tres raíces. 
Se sabe que 𝑥1 = −1; 𝑥2 = 3 𝑦 𝑥3 = −
1
2
 son sus raíces. 
Entonces el polinomio puede factorizarse del siguiente modo: 
𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 8𝑥 − 3 = = 2(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) (𝑥 +
1
2
) 
2 es el coeficiente principal y es el primer factor en la expresión factorizada y en 
cada paréntesis aparecen las raíces cambiadas de signo. (Observa la 
correspondencia de colores) 
En general escribimos para un polinomio de grado 𝑛: 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3) … . (𝑥 − 𝑥𝑛) 
Donde 𝑎 es el coeficiente principal de 𝑃(𝑥) y 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑛 son sus raíces 
reales. 
Las raíces de un polinomio se pueden obtener de manera sencilla mediante 
Geogebra. El siguiente video te muestra cómo hacerlo: 
 
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO A PARTIR DE SUS RAÍCES 
https://youtu.be/Kie8m1JO6b4
 
 
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Factoricemos juntos el siguiente polinomio. 
𝑅(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 6 
Es un polinomio de tercer grado, por lo tanto, tiene tres raíces. 
Mediante Geogebra obtenemos sus raíces. 
 
Y resulta que solo aparece una raíz (𝑥 = 2), en realidad tiene una sola raíz 
real, las otras dos raíces son números complejos y no se pueden graficar. 
Este polinomio se puede factorizar, para hacerlo dividimos el polinomio por 
(𝑥 − 2) 
𝑅(𝑥): (𝑥 − 2) = 𝐶(𝑥) (Esta división es exacta por ser 𝑥 = 2 raíz del polinomio) 
Entonces podemos escribir: 
𝑅(𝑥) = 𝐶(𝑥). (𝑥 − 2) , que es la forma factorizada de 𝑅(𝑥) 
Resolvemos aplicando la regla de Ruffini: 
𝑅(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 6 
 
 𝐶(𝑥) = 1𝑥2 + 0𝑥 + 3 = 𝑥2 + 3 
 
 
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Si 
𝑥3−2𝑥2+3𝑥−6
(𝑥−2)
= 𝑥2 + 3 
Entonces: 
𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 6 = (𝑥2 + 3)(𝑥 − 2) 
 
y esta es la expresión factorizada del polinomio. 
Recordemos la regla de Ruffini para dividir polinomios en el siguiente video: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://youtu.be/qbELeYZpiFI
 
 
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ACTIVIDAD 3 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR 
Expresa cada polinomio como producto, obteniendo previamente sus raíces con 
Geogebra. 
𝑎) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥 
𝑏) 𝑄(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 + 4 
𝑐) 𝑅(𝑥) = 𝑥3 − 1,5𝑥2 − 1,5𝑥 + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Para construir una maqueta de cartón se necesitan cuatro piezas de 
diferentes áreas, como se ve en la figura: 
 
 
¿Cuál es la expresión factorizada que corresponde a la sumatoria de todas las 
áreas? 
2. Completa la línea punteada con los términos que faltan en cada caso 
para que la factorización sea correcta: 
𝑎) 𝑥2 + ⋯ 𝑥 + 10 = (𝑥 − 5)(𝑥 + ⋯ ) 
𝑏) …2 − ⋯ 𝑥 − ⋯ = (𝑥 + 4)(𝑥 − 6) 
3. Factoriza cada polinomio por el método que creas más conveniente. 
𝑎) 15𝑥3 − 6𝑥4 + 12𝑥 
𝑏) 𝑥5 − 4𝑥3 − 𝑥2 + 32 
𝑐) − 3𝑥4 − 6𝑥3 + 6𝑥 + 3 
𝑑) 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 
𝑒) 𝑥2 − 25 
 
 
 
 
 
𝐴 = 4𝑥 𝐴 = 12 𝐴 = 6𝑥2 𝐴 = 2𝑥3 
 
 
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 Altman, Silvia y otros. Iniciación al álgebra y al estudio de funciones 
2. Tinta Fresca. Buenos Aires 2012. 
 Bocco, Mónica. Funciones elementales para construir modelos 
matemáticos. Ministerio de educación. Buenos aires. 2010. 
 Kaczor, Pablo y otros. Matemática I. Santillana. Polimodal. Buenos 
Aires. 2007 
 Laurito, Liliana y otros. Matemática Activa 9. Puerto de Palos. 
Buenos Aires 2001. 
 Mérega, Herminia. Actividades de Matemática 9. Santillana. Buenos
Aires. 2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA