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MATEMA'UUiA ¡lJfJ[ TEXHU1,YMOB rEOMETPIDI ¡faftATEJIbCTBO .HAVl\A. MOClmA Geometría Dirigido por G. N. Yákovliev EDITORIAL MIR MPsgO Traduc.ido del ru!o por A. MijnUln Impt'050 en la URSS © Ha.'tIlTOnbGTDO eHa.YK;lt. 1982 <ID Tradueellill 111 e~pafioJ. Editorial Mir. tH85 IN DICE Prelacio .......... ... . . Cap'1uJo l . VeeWl'flII f'n el (lhlno y 1'11 1'1 I'Splldo § l . Variables v,'(';turfllea y ncalarell .. ! 2. Vecto~! ......... . 1:1. Sumll. elu vceLOru. . . . .. § .l. Vcctorell opuesto!. SUMuooióll de lo ~ w!ctort!5 f 5. Multi plicación de l "¡)tItor por un ní"ncw .. f 6. Voewres eolinc.lu .. . . § 1. Anaulo l' I1t l\" dos \'e<: ltln.J5 ........... . f 8 . O&SII rrolltl del vector en el plll rlo l>n do~ \'t...: IOfClI JIU I ,. I l O. i ti . eolinca lclI . . . . . . . . .. . . ... vQCtol'95 eopIMIUII~' .••....••..... • I)cs:mvllo del vec to r 1m Ir(>S ve-etortS 11' . euplanare.s Opera<: IOIl('1I con los \-eClOf'Il.! definidos por ~s coordcna~ dns . . • •. .. f 12. Sistemn cnrtl:'lIinno (h~ coonlcmHlos . . . . .. . f 13. T ransformlld6n de UD sistema. nrtuiuno ",ct llngubr de (,Qo rd \lllorl.1I & otl'(> • • . . . . . . . . . . . . Sl llle,nn polor rlo coordenadn . . . . . § 14, f 15. I t6. , 11. ! IS. 19. , 20. I 21. t 22, Longitud del ,·~~tor .. ....... . Proyección del vector !!Obro 1'1 ~jc. Propit dadell del vec- tor . . . . . . .. ... ...... .", Pl'()ducto eXll ln dI' do" Vl'ctorcs .. , .. , , P ropledadell de l producto ~K ... b r dI' 1011 V~'(: t.ol'!'lI Producto ClIClllar de \'ec l torc" d~doll por $1111 eoord\'nadall Clikulo del nngulo entro do~ vt'C lvru , , ..... . r t<ld" eto ~, f)r i/ll do do~ VC<'tOl'!'lI y 51111 rr0 l"iedlld c~ I' r",I " ( lo vl"<.' lorltl l ele dos "ccIO" '" "djnjdo.~ 1'''' su~ cor,,..ltmad,, s .. , .. ...... , ...... . i 23- . ProdUfto mi~u, ,I.~ t ros Vettf>rc~ y SI' ~ rrIJl'i"duelü 9 , 24· . Vroouct u mitlO de t res VllCtuJ'Q~ d<:finlt.lu~ por sus CUnt· dellllru.s , , • ' , . . . . , , 5 8 11 11 " " IS " 21 23 V. 21 2!1 " " " '" .. § 2.5. Solucl6u d~ 106 prublcmus pUf d m~todo \'ec lornll liS ProJ.¡llllnf'S para el (.apitulo 1 76 Caplt\\lo [ \. R(>l·ta, en el plano § 26. Eculleiono~ con dos vurillbcs y su gráfico ..... . § :.1.1 . Ecueionc9 canúnicall y param61ricas de la tt"cw .• . § 28. Ecuación de una rl'Ct!l qua pasa por dos " unt.os da<l()~ § 2.~1. Ecundón do olla rocw que pasa. por (>1 punto dado pCl'- pcndiculannonta al vector dado .... . ... . § 3\1. ¡;:cuaeión geno ... l do una recta . . .... .. . . § al. Bcuuci6n de unn reets ~Qn un coolic ienle angular ••• § 32. Clllr.ulo de l áUl!u lo I/lIhe la!! J'C<": las, d,) [inida~ por ocua- cloucs g{'norak~. Condielon~!! do pornlelismo y de pero prmdlcularidad de dos roetliS . . . . § :~~ . Cü[~\l lo rld úngulo c n tre I(IB f'(lcWl ~ definidas por lll~ ,:cuadon'l ~ ,:on eooUc!onlcs angulares . .. . . § 3/ · . Cálculo del 8n~lo entre lns recta!! dufinidu~ pnr [n ~ ceuacione! canónicas . .. . ... . ...... . § :~5 · . ECllación nOnIllll izHdu de un,1 I'<',:lu § :i(i- . Dl stau.; ia ue uu punto ti. UDa reCh Prot.t .. m~9 p!lt<l 1'1 Cl.pílulo 11 . . . CIopita!" IIJ. Cu . va! de segundo orde n § 37. CircunrONuda . § 38. Blipsu .. . .. . t :\\l. ¡nvo>!ltigad6u ¡fe la oHp!;() por motll" U<1 SIl ecuadóu CIIIlóniCII •.. . ..••..••• § liO. Uipt\ rblJla. . . . . § 41. I nv{'~ti gaci6n do In hiporbola por IRlJdlo do su ecuación ran<Jnicn . ... . § ,.2. Pnr6b<llu . .. . ...... . § 43 . Ecuac ión de la el ipse, do la hipérbola y do la parlibnla 011 otros lIis\(>m¡¡~ do c{)()rdenada8 (no ca noni<:ns) •. . 4/. P.cunriÓn gtlllcrnl do IlCgund,. urden con ,10M vari"blcs I' mblomas pur.! d capítulo 111 ... § 4!i. Axlomos prin<'l[l.~ll.'~ de,- la "~lorMm,,trí:t .. § Ion. P()~kión r"cíp l'n"~'\ de la!! !"('Cw\~ un 1'1 f>sl'Hc iQ . § '" . Cri(.()rio de par¡, l e l ¡~mo de u,,~ J1.'e l-.~ )' un plnn" § liS. Pl:o.nos p,u'¡\[e!o!! . . . .. ... . § 4n. ¡\n~\l lu entro las reclas en e l c ~paci <J .. § 511. Pcrpoll,[it'ularidad de lu recta y,lüll,lano 8 ' , " 80 '" " 97 l ul t,. 107 In~J tlt tl4 111; 124 "4 127 131 137 1411 "'9 153 16n t o> 17i:1 t73 t74 177 171\ ", t8t , § SI. Teol'<lma de las tres perpomliculal'tl5 184 52. AnguLo5 diedros . . . . . . . . . 189 § 53. Planos ~BrpendirlJlarl.lS... t91 § 5<1. Proyección orto¡;onal de las ¡¡guTas . 192 § 55. Area de la ll roye<;ción da uo poligooo 100 § SU. Allgulo:l triedros y polledl'()~ . 198 § 57. Pri&UQ . . . .• .••.. 202 ¡ 58. Plramldc y plr5.mlde uUllGode 206 § SQ-, Potledros . 2It § no", Polílldros rcguLare~ . 212 Problema$ para el capitulo IV 215 Capitulo V. Etu. ... "'lon'·s de I :~ T~bt~ y de tos p lanos en d ~¡»Il'io 220 , 6 .. F.eunelollns dn In rel':l& , 62. EW3el6n dol plano que paSll por tJl!5 punto~ dados no silll'ldos <': 11 una mlam3 TOCla . .•••• . . • •. § fl3. Eeuación ,Iel plano que pass Jor un punto dado y es ~rpendlC\llar a uo vector da o .......... , ". ~cuaeión general del plano ............ , G::'. Cálculo del /ingulo entl'9 los planos. Condidono8 do pllrllJl)(i~mo X porpendieulorldnd """'" , r~. CondiclonOll o eoincldoDcia e lntcr9C<:clón do los planos § 1';7, ECllnción normal dcll'lnllo , IlIl. nisune!1I de un punto .ti uD pla.na , . , , , , , , . § ~9. ('~~il:ulo de un ángula entrc ret.:IU , •. , .• , •• § 70. Cond iciones de paralelismo y perpendiculaddad de dos rectas , 71. necIas cnnndns. Condi,,¡ón do perwnencin de dOll ['(lc\as ~ un mismo lllano .. ..., ..... , 72. Clllculo del 8.1lr.::ln eul·ro uno meta y un plOllO. Condl- e i nne~ de parn dl!l11lo y pcrpcndlcubrld3d do 110a rcctn y un plano " ..... . .. ., .. P roblcmfts PPt'll. Cll ctlphl, lo V •••• , , •• .•• , • Capítulo VI. SUpt'rfides revolución curvllincas .. 11'>n"Dtules y cuerpo!! de § 73. La estora y 01 cuerpo Clsférlco . . . . J 74. Posición recíproca del plnno y la ostera § 75"' . Superrlcles do revolución § 76"'. SupClrficic5 c¡1ind rk:J~ . § 77". Supcrf¡olc9 CÓn h:DH § 78·, Cono y cono truncado § 79·. El cili ndro. .., . Problemas pftfa l'1 capítulo VI 7 220 '24 '26 228 '" 233 '37 '''' 24' '" '" '49 ,,, 262 '" 2(;7 273 219 '81 '83 ,8< 'CapUulo VII, Volúlllenes de los euel'[IOs )' árcns dl' lUK SUlk' r ieiC'S § SO . Volumon del parall'lepíp!'do § 81 , Volumen del prismll recto § 82. VolUlllen del c ilind ro lloclu § 83. Cálculo del volumen de un eunpo so>g úll las' árolIs d~ SUB secdo"()~ paralel,,:; . § 84, 'Vo lumen do un cuo:rpu de revoluci6n § 85, Volumen del C'"W cbcular .1!cto ¡ 8(l ~ Volulllell de la esl .. ~,,: y de 8118 J'~r~s , § 87 . Volumen de un c.hndro ~rbltr¡\rL(O , , . , , , , , § 88, Volumen de la pirámidu S de la pirámide ~r\ln,:ad a § 80- , Volumen de uu eono IlTbilrario ... , , ... . , § OO. AJWI de la ~uperliele del ci lindro, del cono y d.,\ cono truncado , ... " .. , .. § ni. Arca de una ruporfidu du j1,\,,¡ ludÓn f !l2. Area de la e~ r,'r~ )' do SIlS r,1rle~ , . ProblemllS para ~ 1 cnpilul (o VI , . " l\ c~puesta~ , . . , , , . , , Alf(un.1s r6rmul~s 'l. ecuaciones l)"wc esbozo h.stóJJCO , . • , 287 287 '00 '92 '94 '97 '" 301 .,. .. 311 31~ ,,15 318 321) l!3í) '" 346 PREFACIO Bsto libro os 11 11 manual dlll eur!!oQ de . Gomnelría. para los centros de en~ñl\nzll. secundariA ospccild . Los fl ntoros 1ro 1(lron d~ dar a conocor a los e.~l u dilllntc s lAS nociones mate- m,Hicas mas importantes y los mólod08 que t ienen gran aplicación, así como dI! mantener UII A dob idn l'u\;lls ión on e l C()nl enido , terminologín y ~¡mbolil'm(l con el cnrso de mAtem ática do In escuda ~cunda ri8. El materinl leorico so expono con juntamente COII el anális is de IfllI! problcm :'ls, y Al finnl de Cflda c~ p(tlllo so ofrew u prnhlemtl.s paro (j I estudio ind iyidU lI1 do los ORtlldinntos. La segund~ odición del manua l es t lÍ represont.nd ll por un solo lihro y ~e olodificó sllS1llncialmante, lomando en cuonla Ins observaciones do profesn re.~ y motodistllll formuladas a l discutir 01 mamm l. MI como la experiencia aCUlOulada du- ranle 01 trabajo con e l mismo . Se modif ic.ó y complement6 01 sis loma de ejercicios para coda Cltp ltulo. Se6Rl em~ las dift>rendns má.c:. 1! 1I s t ancia l e~ de la so¡:unda od ición del manual. En In nuova erlició ,. los vectores en el plnno y en el tl5pa- cio so illterprel!ln no CO IDO lC:lsladoll pnrnlolo.c:., sino como segmentos dirigidos con las rcSpcctivM! opernciones de adi- ción de los "eclore~ y de multipli cación dol \'actor por un número. Lns problemas gcomHricos y ¡¡sicos q ue se rosuel VO I1 por el m~todo voctorlal (Clip. 1) es tán siste matizados y rllU- nido!! all U II mismo párraro. BI númoro .Ie tn los ptOblema~ fuo considerablemente aumontado. El malerial dto l capitulo I r tRocl a! ell el pl ano. y del ca pitulo 111 ICm vas do segundo orden . OI' lá considerAble- men te modifiCArlo y OXpllcst.o t'.Oll 10 1I)' U1 precis ión. 'l';lmbitÍn Ml cfcc\.lmron nlgllllll .'l ro.ll1ccio/le.'l. 1'01" eje mplo. dul cn pi- t il lo 11 ~e excluyó el IIIÍI·rnfo . Ecllacióll dtl 11 11 :\ ro('L II 011 coordena(l~ polaresl, y del ca.pítulo IJI , lo!:! párrafos dedi- • c¡.dos n la construcci6n de puntos de la elipse, hi pérbola y parábola con flyuoa del com pás y la regiR. La pri mera parte del capitulo IV eRectas y plan os en 01 especio. Poliedro$t est6 escrita de nuo\'o y contiene los principales conocimientos de la estoroometria. Aqui están expue~tR~ tales cuestiones CO IOO la axiomática de la estorno· mOlrin, situación reciproca de las rectal! y plenos en el espacio, el teorema de las tres perpondiculal'6ll. etc. La segun· da parte del capl"tulo IV est5 dedicada a los poliedros y es una modificación del materi81 corrospondiente del cap\"· lulo JI parto JI de la primera edición. El capítulo V . Ecuaciones de las reClas y de los pl onos en el espncLo, está reduc ido considerablemente, ya que el mll terial relativo a la eslereometrl.a estli expuesto. prillci· palmont!!, en 01 capítulo anterior , sin ~ervirse de los métodos do lo goomotria ana ll Lica. En el capitulo VJ( . VolUmones de 10"- cuerpos y áreas de las superficiOSf están sim plifi cadas F- ust ancialmente las definiciones y terminología. La deduccion Ile much8S fórmulas está s implificada, y algunas fórmulas secundnrias está n suprimidas. I~ n la segund a edición del libro est6 incluülo \in .Brev~ esbozo histórico~. El material que excede el marco del ¡lrngrnmn e~tá mor· cudo Con un Ilsteri8CO. En la preparación de lo segunda edición se prestó especial alención n) mejoramiento del estilo. Los aulores cOllsiderlln que lograron .~impllf i Cllr muchas demostraciones. baciéndo· In,<¡ así más accesibles para los estudiantes. Los ptoblemns o.!l t6.n I'l istemll tizndos para torios los ca pí. tul os. gran parte do ollas está sust it uida por nuovos. LfH. rormulaciones de muchos problemas vielos está n precisad8~. Han sido el iminadas todas las inexacli tudos y erratas per- cib id as en las respue.!!tas. Los autores cousideran como un deber agradable expte- sar su grnti tud al critico oficial, profesor de la escuela téc- nica de la ciudad de Kutnelsk, V. 1. Ragan, al metodisto superior del Gabineto CientWco y J\lotodológico del Minis- terio de Enseii oll7.A. Superior de la URSS. 1. 1. AgápoVD y A. 1M profesores de Ins oSCIlOln! técnicas de Moscú A. A. At1:-tmovir,h , T. V. Bnriwvn. Z. T. Dobrina, E . V. Zar- krl\'ll r¡1l0 ox.am in l\ro ll atentamente el origin ol del tnllllllal e hicieron una serie de vnlioslls obser \'A.Ciones crítiCfls. ÚJs Quwres Capitulo 1 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO § t. VarIables vectoriales y escalares En la mee/i nicu. on l o. H"ica y on muehns cio neins téclli ~ cas se estudia n mngnitudes de dis t in to gtlnoro. U'H\!! maglli~ ~\ldes (Ioogitud. área. volumon. mn98, densidad, temporn~ l urn. otc.) se defi nell completamente ¡KIr IIn 9010 valor nllmé~ rico. una vet e:wogida la unidad tlo medido. Tnlos rongni- tudel:l I!e denominan varlnbles escalarer; (n unuSriens). Otras magnitudo9 (f tleru. volocid ad. aUllerll.ción . ote.) .:so do finen no fló lo por el valor numérico. sino tnml!ión por OL __ -.-__ F, Fil!. " ., ;/ o " ... ~ l'Ig. , la orientación ell e l e! paGio. '1'310s magnitudes so dt! lIom intUl vari llbles vecwriale', La var iable vectori al se expresa goométri c.'1Ulcnlc por modio de un segmonto de determinndu longitud y direcciól1. Al mi smo t iempo, la longitud del segmento, seg(ut In llllillad de Cl.!lcn ln ('s('.ogida. os igua l 111 vn lnr lI"múric~) de lu varia1)lo vcCloril:l l , y l o. üirDcción ¡III I sogmento ('.o illcido con In rUff1!!- ciÓIl de esta varioble. Supongamos, por eje mplo, que al punto O ostan aplicadas dos fuorzas FI y 1-\ (Hg. 1). LAS " m¡lg:ui tlldc~ de e.':lta!! ruerzas son iguates, pero tienen dis- Untns direcciones y, por lo tanto. está n representadas en - -la figura por dos !>egmento5 dirigidos dist intos DAI y DAz oe igual longitud. Si la magn itud de la fu erza F'¡ es supertor a la magnitud . -de la fuerz ll F~, In longltllo del segmento DA I , que expresa • A, c~A F, A, Fig. 3 la ruerza F I , debe ser respectivarnento mayor que I~ longi- tud del ~gmel-.to 6A~. que presenta la fuerza F t (fig. 2) . Oc la mecánica se sabe, que las fuerzas aplicadas a un mismo p unto se suman según la regla- del paralelogramo . P or ejemplo , la aC(".ión de las ruon.as FI y F i , aplicadas nI pun- to D. es equi valente a l a acción de la fuerza F , que se axpresn -en la fig~lra median le In diagonal dirigida DA del parale lo- gramo DA ¡A A z (Hg. 3), construido sobro los segmentos -. -dirigidos DA, y GAt. En este caso se escribe F = F¡ + Fz. En general, para 05Ludiar las variables vectori ales es cómodo utilizar los segmentos dirigidos , para los cuales, segú n las reglas respectivas, están introducidas la noción do iguald ad y defin id as las oporactones de ad ición y mu lti- pJit'-ltción por uo número. Tales segmento~ diri gid o.'l se denominan voctores. § 2, Vectores Cualquier segme nto de unn recln Lieue dos pu ntos OJi"t.ro- mos. S i uno de ellos se t om a com o origen del segmento y el otro , como pnnto fi lln l. el segmento en cues tión se denota dirlRido . Los !:'()gmenlo5 rlirigirlo" habitualmente !le tlcnotnn - ,.. .......... -.. c.on do" lotras con flech lls, por e jemplo , AB, BA. DA , OB. ete., dond e 111 ¡)rimara Jctra denota' 01 origen del st:grntllllo y In secunda, 01 cxtnJID? .. dol segmento .. . 12 DO!l segmen tos dlrigido~ se consideran igu.ales si tienen longil.udes igualall. son pnnl e los y ost lín oriontndos Ol! UI\ mil'lmo ~nti (l(). Por oje mplo. el! la figuru 11 dtmdll A BCO es UlI paralelogramo, 10$ sogmentos Jirl l,l" id os X¡¡ y ÓC SOI1 ¡¡lIalos, YI:I tlue I ALJ I = I DC 1, -(AB) 11 (DC) y los segmentos AH -Y DC están orientados en el mis-- D'~ _ ___ -,C I mo sentido. Los segmentos di rigidos AD y L ______ +-', Añ DO son iguales. ya qua no A B son paralelos. Los segmen tos di- rigidos AB y CD tampoco SOn igunles, ya que tienen el sentido opues to , aunque 5011 plt- ralelos y do la mismo. longitud. Los segulenlos dirigidos con la noción d e igualdad intro- ducida se denominan IMCtQres. ED los párrafos que siguen seráD introducid" para ellos las ope raciones de adi ción ,sustracci6n y mu!Up') icacióll por un número. Conforme a l a definición todos los segmen tos di rigidos igual es entre sí representan un mismo vector. Por ejemplo , si un vector representado Oll la figura 4 como un segmento dirigido AB. se donota a , entonces a - AS ... OC. La longUud tkl vedor a "'" AH denotada la I o I AH ~ es la longitud del 56Bmento AB. La dlrecct6n cUllJ«tor a - -=> AB, es la dirección definida por el rayo AB. Un vector, cuya longitud es igual a cero, so danomino vector nulo y se designa O. Es evid ente, que el origen del - -vector nulo coincide con su extremo: O .... AA __ BB. Así pues, cada !Mctor a + O :re ckfim completamente por la longitud y la direcctÓn. El vector nu.w no tlem dlrecctóll. § l, Suma de vectores Seall dados dos vectores a ... OA y b _ Oh (Hg. 5) . Tracemos del punto A tal segmento AC, q u@ AC = b. -Entonc@s el vector e - OC se denom ina suma de 1111. uectorC$ a y b Y se designa a + b . 13 - - -Así pues,: DA + A.C "-OC. Esta Igunl dad se denomina , regla del tr irilllJulQ do j!!!i,I«Qn:-g.9. (to~ .YQct Qrcs. E:'.I ov idonte. que esta rog la O~ v6l idn en el cnso, CU8J1UQ "¡os puutos 0, A lz:JC ~4 o • A Fill' . 5 y B se encuentrnn 011 una mi sma rocta (figs. 6, 7). En parti- cular. a + O .,. a. La adición de los vectores tiene las siguientes propie- dades: • h '8 • Plg. l> " 8 Ó Plg. 1 (1. P.r.op1edad do_conlblJt'lItl ilidad: para - cualesquiera vectores a y b a+0-6+a. 2. Propiedad de asoolativldad; '''' para cualesquiera vectores a, b y e • (a + b) + c = a + (6 + e). - - ti ) (1) (2) O 1.. S upongamos que a = DA, b = 08. Consideremo!l al caso cuando los puntos O. A y B no están situados en la misma recla. Construyamos on los segmontos DA y 08 01 110 parnlelogramo OACB (fig. 8). Entonces 1 DA 1 = I BC l. (O A) 11 (BC) y 10B 1 = I A C 1, (08) 11 (AC), co mo Irlllu.~ , .' ¡;;;JO ~o o • . A Fig. 8 opue.~\os del paralelogramo. P or lo \ao\o , a "'" OA = fié, - -b ::::o 0/1 = AC y. por consiglliento a+ b_ ÓA + AC =OC. b+a=oB +BC _ ÓC, 10 que demuestra la igualdad (1). Para el caso, cuando los puntos 0 , A. B esta n si t uados en una mism a recta, demuest.ren hu igua ldndes independ ien- turnonte (1) . .... -2. Tracemos del punto A, el desde cierto punto O el vector OA _ a. vector Xñ - b y, por úl t imo, t ra tenlOS el , • A • • .' • • O ( . .. b ) .. c e O 111'" (b . c l. ° Fig. 9 Flg. 10 vector BC = e desde el punto B (figs . 9, fOl. Unamos con el segmento OC los punto9 O y C. Entonces, por un lado, (véase la lIg. 9), (a + b)+c QO (OA + i1i) +Bé=~oc, óSrBE y, por otro lado, (véase la Hg. iD) , - - ----a+ (b +c):.- OA + (AB , BC)=O.4 + AC= OC, tu 4 11 C dllmllc~tro 1" igualdad (2 ) . • De \ 0. figuro. ti:so \'e, quo La suma do los. V(lclores a = OA y b = 08 es iguaL a lil_4!!lgQnai dir-igid'a OC del paralelo' gra mo OACB, construido sobre loa segmentos OA y 08, es decir Esta igualdad se denomina' re.C.la dd'parak~Qgran{b do I'ldicilm de dos vectoros. Pues to quo la a dición de los vectores os asociativa, In suma de t res y muyor cantid ad do vectore:! 50 ese.ribo s in o e Fig. t t o, I , At'<--ccf ____ -"BO,( O _ ____ _ _ A B fil!. 12 parlÍntesis. Por ejemplo, en vez de (a + b) + e o a + (b -t- e) se escribe a + b + c. Si se [oquicre hall ar la SUJIla p.e, tra!! o mayor cantidad de vect.ores~ se utili-z;a ln ll amada regla del polígono. Esta consiste en lo s iguiente. Supongamos que se dan los vectores a, b, e, d y 56 requiere hall ar su suma. Eseojamos cierto punto O (Hg, i 1) Y construyamos tal ~ 5Cgll1ento OA q ua OA =- a, luego. con~tru yamos tal seg' -mento A.B que AB = b, et c. Sigamos construyendo hasta que ndí sean agotado.!! todos los vectores sumandos. El segmento 16 -+ __ o _ _ o _ _ _ _ • - . - - . dirigido OD (\utl(r. iorro In q\lobrMI:¡ ()¡'\.clli,l~ s(\r;, igual u lrl ~ llllUl do los v(ictoros d litl("j!:t. - - .. - - l'roblemu 1. Se da e l porldclopípodo AnCDrI¡B¡C1D1· -+ - - -Há llese la ~lIma de los vectores AB. n lCI • CCl> IJ ,A¡, ~ 8,11 (fig. 12). D D, " , A"r' __ ~'c-____ -=y- A B I";¡¡. 1$ A e Fis. U ~ De 11\8 propiedades do ~ del paralelepípedo las or is tas ~ - - -= CID , . 8,H = D ID. se dcd\ICO, quo RIC, fJ l A, r'or 1<) tan\.o --------AB+ Ble] +ec, + B,A¡ + B,8-= AB+ nc +cc, + - -+C,D1+ D,D _ a Uti liznnrlo 1/\ reg la del polígono , obtonrlremos (rig . pr- -- ->- - - --+ All + lJC+CC, +CID, +D,D=AD . ... Problem a 2. Hallese la suma Kb + ilfC + D1.:" + CK. b Utili1,ando la p ropiedad de conmut ativic!nd de lo. lIdkión d e voctores obtenemos - - - - - - -+ -+ KD + MC+ DM -t- CK= KD+DM +MC + CK . A llorl!. segú.n 1./1 regla de! pa Ugono hallamos -+ - -- -KD ...!... DlI1 + MC+ CK = KK = O . ... 17 Prob lema 3. So da la pirámide tr!Qngulllr ABCD (Hg. 14). Hti lluso lu sum a iB + Cb + ,·1"c + llc + DA. ó ULi!i:tando las propicd/ldcs Je cOllmu tntividuri y de nsodatividad de In aúiclón do voctore.-;, oblendremoll ;-t: - - - -Al1 + CD +AC+BC+DA _ --------= AB + BC +CD + DA + AC = AC . ... § 4. Vectores opuestos. Sustracci6n de los vectores Cui.l~sq .t!!e r!l díi""!os do"" \feét ore'!l, cuya S1Imlt es igual al vector nulo, (MI- aenomiilliñ iJpu.estQ$; El vector opuesto al vector", se designa - el . Po"r lo tan to, segü':t la definición a + (---a) _ O. F- ' - '-De la rlefinici6n se doduce que. s i a -= AY, -a "'" BA, es docir, los voclores opuest os tie nen longit lldM ig-uales j" 7 A'--------Jo e e o A Fig. l ~ f'g. u; y direccionas op uestas. Por ejemplo, si ABCD es un pnra- . lologramo, los vectore'!! xñ y CO so n OpU Mlos (fig. t 5). Los vectores AV y CH laOlb itio son opuestos. ~ P arll cualosqu iera do 105 dos voctores (J y b , 01 vector e = a + (-b) se donomina di,fert:ru:Úl dt: JOI Vt:t; klr u a y b Y se designa a-b. Asi pues, según la def inición a -b ;;; a -+ (_ bl:'\ -'-- .--_. - - -Si a = DA Y b "" 011 (fig. 1G1. enlonces n - b - DA ~ - - - -. ---. - OlJ 0=0 DA + 80 = BO + OA _ B A . Por lo tanto, .-... -'~ - - ' ¡ OA-OJ1 ":,,.I.!.:V (1) <8 -EII la rigura se ve q ue HA es una ¡Ii::lgonn! diri gifla dol parale logramo OA Gil. cons l r uido sobre los segmelltos OA y OH. La otra diagonal Dé e¡¡pros3 la S IlJ,1l0 de los voctores DA y 08. No es di(ícil notar que la fórm ula (1) puede utili:¡;arse sin recurrir 01 dibujo: con este propósito es suficiente obser var }o' ig. i7 otenta.mente el ordon do dispos ic ión de l ila lotr;,\5 en 111. ins- cripción de Jos datos y vectores buscados. Asi , por ejemplo, - - -PQ-PN=NQ . (2) 1 1_11 -Problema. So da tal cuadril á tero ABCD, que AD = =' AC - AB. Demuó!'trose que A BCD es un paralelogramo. Según la fó rmula (2) M Liano - - -AC - AB = BC. - -Por consiguionle, Be",. AD y, por 1 AV I y (Be) 11 (A D). De aquí 50 o.q un paralelogramo (fig . 17) . ... -lo tanto, I Be I .... deduce que AI1CD § 5. Muttiplicación del vec.tor por un número Se denomina producto <kl vector no nulo a por un. número x.p O el vector. CUY" longitud 05 igual a 1 x 1·1 a 1, y la dir~cci61l coincide con la dirección a, s i x > O, y opuesta ti. 6sttl. , s i x < O. So donomina vector nulo el producto del veclor nulo por cualquier número x y el produ.cto de cualquier lJeCwr por el /l/lmero cero. ,. '9 El produc lo del vector a por el número x so d O!l ignn z· a (0:1 ftlcLor numérico se escribe a l it ir. l)lIiordn). DI) uCllcrdo con lu tlorinicióu 1 ;t;·a 1 = 1 x 1· 1 a I parn c UóJ lquicr VtlC- t or (l Y para cua lq uier Ilúmcro x. A • • e • o , .'ig. 18 En In figuro 18está re prosen tRdo e l producto del véctor a -por e l n(imoro x =- 2 (véctor CD) y por el núme ro x - _2 (vector lp). La multiplicacl6n del vector por UII número liena In!! s iguientes propiedades: 1 . Propiedad de D.80ciati vidad : x.(y·a) = (x·y)·a. 2. Propiedud de dis lributivid nd fespucto al {actor vec· toria l: ;r; · t' + y·a = (x + y). a. 3. Propiedad de distribu t ivitlad rupceto a l fa ctor nu- mérico: z· a + z · b = z·(a + b) . el Si a = O 6 :xV -= O, In igunluad % (ya ) = (xy) a 6S eviden te, ya que a la h,quietda y a la de recha 5a sitúa n los veelores nulos. -Séft a -;6 O. X1l ~ O y a = OA. Entonces 105 vectores x (V·DA) y (xy) OA se s itú an en la recta OA , tienen una loo- -gitud de 1 x l· I y 1· 1 OA J y es tán dirigidos en 01 mismo -sentido: en direcci 6n a l ve ctor a _ OA . s i :r.y > O, y en direccl6n Oplll!Stu, 81 XII < O. Así pues, la propiedad t está demost.rada. 20 No vamos 1\ domos trar las propiedades 2 y ~. Sllñalemo3 sólo que las propiedades 1 y 2 son las proJliedHdes de los veclores en la recta . Ellas ya fuero n demostrarlas en el corso de geomotría oe la escuela secunda ria de ocho grados. La L><;'C A D Fig. t !l propiodad 3 es unll propied ad de lo~ veeloros cn el pI uno, tamb ién fuo demostrada . • Problema. En el paralelogramo ABCO el punto M es un plluto de intersocción de los d ingonaJes. Háll ese e l factor k en cada uno de los siguientes casos: .-.. ......... - -\- ...... - .... '1 ) MC = k·CA; 2) no = k·BM; 3) AC = k·CM; ..... - - -4) BB .., k·RO; 5) AA = k·CC. L::. Conforme a l a definición de llIu ltiplicoción dol vector por un nÚO'Iero tenemos (Ug. t 9). t ) MCt~ CA, 1 CA 1 = 2·1 MG ¡, de donde l~ - -:¿j 2) BM tt RD. I BO 1 = 2-1 11M 1, de donde k = 2: 3) Cf.f H AG, I CM I = +. lAG l. de donde k "'" -2; 4) BE - 0, jj'iJ *" 0, de donde k "'" O: - > -5) AA = 0, ce = 0 , de donde k es cualquier número ..... § 6 . Vectores colineales I)o~ vectnre~ 110 nulos, cuyos direcciones coinciden o son opuestos, se denominon colineaks. Así, por cjemplo. [Jn la figura 20 los vectoro!'! Be y Añ son col inNl.lcs , y los ve('.torcs iñ y ic, no lo SO ll. S i los vecl ores a y b son eoHnoa lcs, se dice lambién que 21 el vector u es colinenl al vllctor b. y el vector b es colintla l al voclor a. El vector nulo se GOnsidera colinenl a cualquier vBctor. Teoremll (cl'iterio do colineillidad). Para que el vector a sea col/neal al vector b no nulo, es fleCesario y ~uflclente que f ig. 20 vector por !In número y la colíneales. exisia un núm erv k, qrte satisfaga la condici6n a = kb. (1 ) o S uficiencia. Si para un doterminado k la igual- dl:ld (1) f'e cumple , los VIlC - tores b ya son colineales do ncuerdo con la defini- c ión de multipli c.nción del definición de los vectores Necesidad. Supongamos que el vector u es colineal al voctor b no nulo. Son posibles los s iguienles tres casos: u tt b, a tt b, a = O. ,., . Si a tt b , a = ITi' , es dllcir, la igualdad (1) os válidu CO Il k = ti1. Si a H b. es tiecir, In igua ldad (1) os válida para ,, = - \:\. Si a -= 0 , a = O· h, es decir, la igua ldad (1) es válida para k = O . • Problema. Demostrar que los vectores AB + CB + 28A , ~ y "3 AC son colinea les. 6 Utilizando las propiedadBs de las opllraciolles apli- cadas a los voctores, obtend remos - ---- --AH + CB + 2BA = (AB + HA) + (Gil + DA) = ~ ~ -~ O + CA = GA = -AC. ( , -') Así pues, AB + GI) + 2/JA = -3 ;rAe. Do ncnerdo \Jon el criLcr'¡u llo col inealidacl do los \'cctore~, los vectores dados on lai:! condiciones del problelllll son colincnles ..... 22 § 7. Angulo entre dos vedores Exam iJlemos la 11O<.lj{,n de ángulo entro dos direcdo le!! en 01 espncio. E n el Cl"SO de geome~ría pan el 6-to, 7-mo y 8-vo grados fue comid~rRdR la noción do d irecció n en e l pleno . Al igual que ell el plnno, en el espacio se denomina direc- ción 01 con jun to de todo~ los rayos. c9.(la uno de los cuales , F;g. 21 está codirigido CIJ O e l dado. Así pues. cualquier rayo dol conjunto dado de los rayos codirigidos determ ina completa- mente e"LA dirección (10 mismo que cualqu ier segmento dirigido determina por completo el vector que él representa). Por lo tIlnto, la dirección en el espacio se da comúnmente por medio de \10 solo rayo. Se donomina ángulo ~ntre dos dlreccion~s la magnitud dol Angul o menor entre clla lesquiera rayos de estos d irecciol\08, quo tienen un ori¡cn común. /'- El á ngulo entre 10$ rayos l. y " se denota (J,; J,). Según la definicióll , 01 án~lllo entre dos direcciones está com prendido en e l in tervalo roo; 1.80"1. Se denomilla ángulo entre MS uectore$ no nulos, el ángulo entre las difeccionel! do estos vectores. El nngl. lo- entro /'. los vectores a y b (f ig. 2t) se denota (a; b). Si el ángulo entro los vectores a y b es igual a 90°, estos vectores se denominan p~rpendiculan$ (u ortogonaus) y se escribe: a..L b. /'- /'. Señ fllcmo~ que si a tI b, (a; b) "'" O" y s i a ti' h, (a: b) _ 1!W. EXaminemos cier to recta l, en la ella! eslá eligido"una unid ad de medid a de longitud. Supol.gamos que A 'y B 23 son ciertos puntos ell 1(1 recia l, tales que 1 All 1 = 1. E lI!.on- - -ces, los vectores AH y ¡lA so denominan veN!oros de In rec- ta l (fig. 22). Lo:'! versores de la recta dan en ésta dos d irecc.¡ones. Una do ell as se denomin ll pOtitIL'a, y la ol,ra, negatfva. A,. , 8 ~'ig . 22 o ' . FiR. 23 So doJlomill $ eje lit rocta en la cual ei'l oligido el pun Lo O ( Mi~oll do In cuent¡l) y son dndas la direcc i611 positi\'8 y la unidllcJ de medida de la longilud . So denomina versor del eje o • , Pig. 2/0 (fig. 23) el vect.or e (1 el"'" 1) que determina la dirección dol eje. So dcnomilll\ tíngulc entre el vector y el eje , 111 mAgnHud del IÍngulo entro la dirección del eje y h d irección del \'ec lor (fig. 24). § 8. Desarrollo del vector e n e l plano e n dos veclores no colinealcs Supongamos que los vectores a y b son 11 0 coli ncnles. gnlonccs, si lns lIúmeros x y y snLis(Dcen In condi ción z·a + !J. b = 0, ~-O (1 ) z = Oyy=o. o li:flJc~ivam(lntll, si, por ejomplo, :c =t= O, do (1) so deduce que f'= -L·b. % Esto contradice n que los vectores a y b son /lO colineal os. De este modo, x = O. Do nwnera análoga so muestro. que !J = O . • Se dice que el vector a es una combinudón lineal do los vectores aH ":. a 3, ... , a", si puedo sor oxpreSfldo el! l a forma donde XI> x~, . .. , x" son c iertos nÚmerns. As!, e l vector a - 3a, - Sal + -} a 3 es una comb inuci6n lineal do 105 vectores a J , al ya.,. Tcorema, Cualqu.ier vector ,,~ en el plano puede $er defi- nido, además, de ll" modo único, en forma de comblflacldn Uneal de cU!l-lesqutera dO$ vectores 110 coUrteales a y b; m. .... x·a + y·b. (2) o Si el vector m es coli· nea l a uno de los vectores a y b (por ejemplo , nI vector a), y<-__ ---=-"M entonces para ciorto nÍImero 111 m teno mos m. "'" x· a __ x·(I. + o'''''::'''---~"Ff-".,...".- +O·b. Do esle nlOdo, 01 vec- tor rn está re presentado en la forma (2). Fig. 25 Si el veel.or m. no es colineal al vector a ni al vec tor b (fig. 25). ontonces, al t razar a través del plinto 1I! 1118 ree· tas, paralelas a (08) y lOA), tonamos m"" DE + i5F. Pero, según el crilerio ¡le coli nealid¡¡cI de lo~ vectores existen tales número!; x y y, quo DE = xa, OF = yb, de donde se desproudo la igllaldl"ld (2) . Demostremos la unicidad de tal repre~entllciÓr1. Sea que m = x,a + y.b Y m = Xla + 1J2b. Entonc.cs (x . - Xi) a + (y , - y,) b = O. Pero pue:ilo que los vectores l~ y b son no colineales, la igualdad os pos ible 25 sólo cuando X, = XI Y y, = Y~. La lHl icidnd {lst~í demes~rn· da . • S i un veclor está repro5Clltndo como una combinación I inoal do ciertos vectores so dice. que el "'eetor está desarrollndo segú.n estos veciores. Se denom ina base en el plano cualesquiera dos vectores no colillesles de este plano , tomados en un orden determi.- nado. Soa que e . y tlt es cierla base y a. un vector arbitrario, en toncos segú n el teorem a demostrado existen dos números X y Y Lalo>! que a = xe. + ye l • Los números x o U ~ denom inan coorde,wdas del vector a en la base dlJda. En oste coso se escribe a = (x: y). ~c , B Fill". 26 J' rublema 1. Los puntos K y L 50/1 tos puntos medios de los lad08 BC y CD del paralelogramo ABcn . DosurróJlesa ....... ->----01 vector Be en los vectores a = AK y b = AL. ó ])0 t:: AKB (Iig. 26) tenemos que ~ ~ ne AB+T= a . (1) I)e LlA DLobtcnemosAD + DL = b. Puesto qlla AD = ~ - --- 04 8 BC, DL = T' enlenoos -- Xñ BC+T= b. De la igualdad (1) se deduce q ue ~ ~ . A/J a BC O 2-' '2--,-. 26 (2) (3) Slls~ituyeJldo AtlJ de (3) en (2), obtendremos --..- a lJC IJC + 7 - - .-=b, ó 3 -.. a T BC = b- 7 y, por lo tant.o, - 4 t 2 t, BC =:;; 6 - -3 a = -3 a+"J 6 . .... Prublem a 2. Se da e l L:;ABC. D E [BC!. I no t = I oc l. IBjln es uJla mediana tle l triángulo ABe. Hállense las coor· I' ig:_ 27 ueuadas del vector B"'M, SL los segmen tos dIrIgidos HA y nD definen los vedore!! básicos. L:::. Transform emos el L;,.ABC en el pora lelogramo ABeN (rig. 2í). Entoneos nÑ "'" 21iM => HA + iR:. Designa ndo BA = el' ilfj = Ct . obtendl'ilffiOS 20X¡ ... t· e¡ + 2·e~. do - \ donde BM ="2 'C1 + 1..e •. Asi pues. en l a base dada BM ... (+; 1.) ..... § 9. VedoTes c:oplanares Del curso do goomelria para secund aria bási ca 1m sabe tIlle la recta es paralela a l plano. si 110 t iene punl!1S com UllUS eon este plano o está si tuada en 65te. El vector AB lo denominaremos paralelo al plarw, s i la tccla AH efl paralela a este plano. E l vector finto se consi dora paralclo a c llalqu¡ er plano. Los ,"oclores al ' a~, ... (In SO denominan cQplrmares s i cudu U tl O do ellos os paruielo a un luism o plano. 27 CUlllesqu illr n do! v('C'lores son s iempre coplnllares. Es ovidente , que si t res vectores !Ion eopltlflares, cnlonCe! I)Ueden ser represcntado! por medio de S4lgmontos di rigidos, situados tln un millmo pltmo. EXOOlinemo5 la ndición do tros vectorell no CoplallMes según la ll amada uegla del paralelopípodo • . Sea que los voctores (1 , b y e son no coplnnarCs (fig. 28). T rocemos de UJI punto arbi t rario O 105 vect ores OA = a , Oñ - ti y OC =' e y construymnos el para lelepipedo para b , , • e Fig. 28 Fig. 29 e l cllnl [OAI , 1001 l' IOCJ s ir ven de aris tas. Se:1 que IOMI es una diagonal do este paralelopipcdo. P uoslo que i5B - =,W yOC = WI 0A+6ñ t-6é =OA +AD+ DM =OM , ~ oS dad r , a+b+c -OM . As! pUM, la suma de trell uectore¡; nI) coplarwrI!s e¡; igual al vector reprelumtatW por medio de una d iagonal dirigida del paraleuplpedo. c:onstruido sobre estos vectorn. Problema. Dar eJemplos de las ori!ltas de la pirámido tr iangular ABCD que represent an: a) dos vectores col inen- les; b) t res vectores eoplann res; e ) tres vectnres no coplana- 'M. e. Exnmi n emo~ J I\ lmllgon de unn pirlÍ.mide (fi g. 20). Uli- lizando las deHllic.iones de l o~ \'ecloro~ colinenlos y c.opl ¡lIIn- ros obtendremos: 3) ningún par de Il ristas disthltn8 de la pir¡im ide puerlo roprC80ntar los voetoro .• cel inoales<. ya q uo ontro oll as 110 hllY aris ta.s reciprOG~ Il )O l lto pn rnLela!:l: b) Ins ,I,i slas AC, CIJ, BA (o las nrislllS AD, D C yAC) representan tres vectores coplannres (IJOr ojemplo, los vec- - - -\ores AC. AB y Be); e) las aristas DA, DC y DB reprc5Cn tn n tres \-ecloros ne coplanaros (por ejemplo, los vectores DA, CV, á7i) .... § 10_ DcsiIIlTollo del vedor en tres Vl!ctoles no coplanarl!s Teorema. Cualq!litr tJet:tor m pueck ser representacW, ade-- más, tU !ln modo úni<:o , 1m formo. de una. cOlfluitwd6n lincal de cualegqu¡era tres vectores no coplanares a , b y e: m."" :ta+ yb+ zc. (1) O Ante todo señ.alemos. que ningú n par de vectoros do los vectores a, b, o es colinoa); de lo cOlltrario, los vectores D~,,-_ ____ --,,,C, 0, b, e seríal) copla l'la tes. Por lo tanto. s i el vector ".. os copla lla f con cuo.h¡u iora do los dos vectores (por ejemplo, con a y b), enlonCéS m 0= %a + y b (§ 8) y. por consiguie nte, m =- %a + yb + O·c, es docir, CII este cnso el teofl;lID3 está demost.rado. 2. Son que 01 vector lit no e.' cophlllar con ningún par de vceLores ,lo lo~ H'Clores a. b. ¡;: (Hg. 30). Hod llzco.mos todos los vec tores al origoll com .ul O y Lrarcmol! 1\ través del pun- t o M (01 ox troll'O dol sogmento dirigido quo oxpresn el vec- -tor O/l! = m) una recto paralela al vector c . Dicha rec t.a corta rá el pla no OAB en cierto punto N. Claro está, que OM = OÑ + ÑJ.,1. -Según In propiedad de los vectores coli lleales NM = zc. Según el teorema del desarrollo del voctor en dos vectoros no coli nco les exiJ!.~,m tnles n¡imoros x , y, quo ON _ xa + yb. Así pues , ~ - -OM=ON +N,4f= xa+yb +:c. Lo uni cidad del desarrollo del vector m en los vectores a, b y c se demuestra de uoo manera análoga lI. como fuo hecho ell 01 teoroma del desarroll o del voctor en dos vectores no colineales (§ 8) . • Se denomina base del e,~pacto cualesquiera t res vectores no coplanares, tomados en un orden determinado. S upongamos quo e l> es Y e~ 5011 cierta baso y a , un vector arbitrario. Entonces, segú n 01 teorema que aca. ba.mos de dem ostra r , existen tres números x , y, z tales que a = xe, + ye . + ze~. Los mi meros x , y y z se denominan coordenada:; del vec- tor a en la base dada . En esle caso se escribe a = (x; y; z). Problema l . Se da el cu bo ABCDA ¡B,C,D¡. Desarrollar -el vectOr AK, donde K es el centro de la cara BCC.B .. en - - -los vectores a = AB, b = AC, e = AA ¡ (Hg. 3 t ). 6 Del t ri ángulo AKL tenemos Xi< = Al + LK, pero A:-t" _ .w+AC _ a + b y LK = AA, = ~ I L - 2 - 2 ' 2;¿ • Por consiguiente, ...... a+ b 1:: t I 1 AK=-2-+ T = ~a+7 b+ 7 c . .& - - -Problem a 2. Sea que los vectores DA, D8, DC repre- sontados por las respectivas ar istas di rigidas de In pirám ide 30 triAngu lor ABCD. form nn uno b nse . Hóllellso las coorde- Huda~ J c l ,,"ac to,· Xi) 011 m!tn baso. ~ 6 H ngn mos uso do ItI. figura 29. Dtls ignnndo DA =- e,. -.. - - - -D8 = e" DC = e" obtendremos AB = DH - DA = - -e, + e, ó AL? =- - 1 ' 6, + 1.e. + O.ea. do donde Xfl- _ (- 1; 1; O) . .. § f t . Operaciones con los vectores d efinidos pOI' sus coorde na das S i los vectores es tán definidos por sus coorde lludas on la base e" et • e3 • l as oper9.ciOIl~ (;011 ell os so cumplen según las s iguie nws reglas: 1. En coso de a d icionar dos (o m ayor número) vectores sus respectivas coordenadas se suman: (%,; v,; J,) + (x,. Y,; =1) = (x, + X •• VI + V,; ZI + J.). O Efec ti vaulIlnte, para dos vectores (%, : VI ; J ,) y (z,. v~ ; s , ) tencmo! (%,; yú SI) + (z •• 11., =,) = (z,e, + v ,e. + J ,e,,) + + (:,e, + lI,e. + z~e3) -= (x, + %,) e, + + (V, + V.) et. + (ZI + Za) 83 - = (XI + z,; ;VI + Yt.; J , + %,). Para )0 s uma de tres o)noyor numero de VQcto~ la demos- tración se realiza de manera Aoáloga .• 2 . En caso de sustroer l~ vectores 8U8 coorden8th .. s res- pectivas se sus traen : (Xl; Vl: :1) - (X,; y~ ; =,) ""' (Xl - X,: VI - V. : z, - :J,). H'gase lo. demos traci6n de una manera independiente. 3. En caso de multiplicar el vect.or por u n núme ro todill'l sus coordenndas se multiplican por esle número. O D e becho, po.ra e l vector (%1; VJ; z,) yel núm()ro A lenemo! A. (%1; y,; %I) "'" A (x,e, + v,e", + z,e, ) - = (4,) el + (AVI) 8. + ().s,) e3 = ()..:¡:I: AYl; "-=,) . g Problcmn. Hállon~ las coordenad os de los vectores a + b ; a - b; 5a; 3b - ~ por las coordollad as do l o~ voc- tores a -= (-4; 6; O), b -= (1 : _1., 7). 3 1 ¡), Utilizau(lo Ills reglas 1, 2 y 3 obtenemos! f~ + b """ (- 3; S; 7); a - b = (-5; 7; - 7); 5(1 _ = (-20; 30; O); ab -1'- "'" (5; -6; 21) . .. § 11. Sistema cartesiano de coordenadas Sea que on e l espacio se dan do.~ puntos arbitrari os di~ tintos O y 1\" Y supongllnlos que uno do ell 0i3, por ojemplo, e l pllllto O, está elegido como punto de origeo. Entonces el / o Fil\'. 3:t ~ vector Oll! se denomina radio vector del punto M res pedo al punto O (lig. 32). S03 que en el espncio se fIn (1 ] punto O y ciertn bnw el> ez, e~. E l conjunto ,It) esta base y e l punlo O so denomina , , " -~If:--,---- , o <, " <, o <, , I"ig. 33 Fig. 34 sistema cartesiano de las cO()rdenadfls O, el_ e~, 6 W El punto O se denomina origen de coordenadas. Si a través úel punlo O 9(l trazan las roclafl en direcciones definid as por 11'15 "\Ioc tores b:isicos el> e~ Y e~, entonces las rectns oblonidas se denominnn ejes ele coorclennflns (filt. 33); 32 la reeta Ox, eje de abscisas, la recta Oy, eje de ordenadas y la recta Oz, eje de z--coordenadas. Las coordenadas del radio vect or de l punto /lf se deno- millan coordonlldas de es to punto on 01 sistema de coorde- nadas darlo (x es 10 abscisa, y, la ordenada , Z', la z-coorde- nada). Análogamente se determinA el sistemA cn rUlsiano de coor- denadas O, e" e. en el plano (este e~ un punto arbi trario fijado O y ciert a ba~o el' e~ en el plano) (Hg. :H). LlIscoordcnadasdel pun- Lo l1f se escriban por lo co- mún al lado de le letu que lo ~denotan: Ji.{ (x; y) en el pl ano y M (x; y; z) en el espacio. Es evidente, que un sistema Cllrtesiano ¡je coor- donadas en e l e:;pacio per- miw estabJocor una co- rrespondencia bi unívoca , O , 6 ___ _ 8 (-1: - 2) )t A(2;J) -------]' Fig. 3.'", , , , , , cntre los pUrlto~ del espacio ~y '11115 Lernas de números ordenadas, y en 01 plano, una " ('.orrespondenci/\ biunfvoca entre los puntos del phlno y 1m; pares de nílmcros ordenados. , F ig. 36 Por ejemplo, nl punto A (fig 35) 10 corresponde el par ordena rl o do 105 números (2; 3); al punto Al (fig. 36), 111. terna ordenada de los n(lmeros (2; -2; 1-). Al pa~ ordonado de los números (-1; -2) le correspondo 01 {¡n ico punto B del plano (Hg. :~5) y 11 In tornl1 ordenada do los nÍlmeros (1; 1; 1), el ú nico punto Bl dol espacio (fig. 36). 3_0 1S3U 33 Sea que en 01 sistema do coordenadas O. el> el' e, está - -definido un ciort.o vedor AB (fig. 37). Entonces. A 11 "'" - 08 - DA . Supongamos ique las coordllfladns de los puu- tos A y B son I"Ospectivomente iguales 11 (.:z:ú v,; z,) y (Zt; AI. "",z, l , • I'lg. 37 VI; s,). Entonc6S, scu-ún la propiedad de sustracción tle JOIt vectores, dofinidos por sus coordenadAS, obtenemos -AB - (.:z:. - z,; VI - VI; ::. - ZI) · De cs ~o. formD, pllr8 bnllar las cooruenorlns de cierto voc-- lur , es suficienle sustraer de las coordenarins tle S il e.-:lrAmo los coordenadtlS hOJllónimrus do su origen . l'rob lema l . Hállen5CI lss coortlennrlll.8 del vector in, si A (5; _ 7; 0,5) y H (2; -ti 2,5). -D. SeaqueAB """ (.:z:; y: :). entonces, J: - 2 - ;) 0= - il; 11 - - 1 - (-7) - 6; :: = 2,5 - 0,5 -= 2. -A~í pues, A/J _ (-3; S; 2) . .... Si los VllctOro.s el' «', y e~ que form on lu bnse, son vectores unitarios perpendicllJaros de dos en dos, el s istema de coorde- ntldas O, "1' es , ("~ se denomina Ifjdema carte.iallo. rectangular de :coordeliadm en el ClfpIJCW. De forma nnliloga , si los vectores unitarios básico!' e, y el sen recíprocamente perpendiculares, el siste ma ¡l(> coor- donadas o, el ' e~ se donom¡nll sislema carU:SÚlIIo. rcclungul(lr de coo.rdellada.~ en el plano. 34 Los voctore.~ \mita r ios bá5icos J e l s is tem a cflrles ill no roctonglll ar de coord ollndns fe rlenntml ('.omIUII IlOFl10 con I :I;! leLfll !! ¿, i y k . E l dllSUt'l'oll o tlol voctor a = OM (Hg. 38 ) dol \l~ pucio en los vec toros i , j Y k se escribe en la rorma a ... ~i + yj + :,1,'. En fl >< le enso se ,li e" q UI' 1'1 ,,~c t.f)r a csl.á dosnrrol lndo en • • M(x;~ ) • , I O "'~ J, ,/' ' ~_ 1,--x _______________ "" o ~·li . 38 ~-i l:" . :·m "octores un i tario~ (vorflOres) en una b8!>6 C/l.rtes ia rHl rectan - ¡:fulllr dol es pacio. El des ll rroll o elel vector a (fig . 39) e n lo~ vecLor('s i y i en una hAse c llrl,osinnll rect angnl llr Ilel pl nllo 8I~ N;cri hl:' en la forma a - xi + yj . En los párrafos iD y 8 [l1e demostrado q ue LIII deslITroll o del vector es siempre pos ihle y único . ~ Problema 2, H.'il lese el desarrollo de los "octoro.'< 0 11'1 , -Y ill¡lV en la bllf;e cartes iana rec,tllllg ll lar ilm¡t ra da en la figlU'a 40 (el pli n to ./¡,'1 e~ l a proyección de l punto ,H sobre ('1 p .... no xOy) . t:. P uesto que el pun to " ', e!! la proyecciú n del 111l1llo i11 .~ n"ro el pl ano xOIl, MI (3 : 4: O) . Por lo tanto ()M I = 3i +- !¡ j +- 0· 1" :l' 35 ~ Hollemos por ohoro 1M c.oorocll:ldn!!l dol "O .... lor ,1f¡N ~ l1B In bu:,'\! dndll : !HIN - (-4 - 3; -3,5 - 'i; 2 - O). , , , , , , , , L ____ __ ___ _ , o , I , -, Fig. 1\0 - -cS llccir, M¡N = (-7; -7, ;.; 2). Por cOlll<iglli en tc. /l'f ¡N = - 7i - 7.5 j + 'l k . ... § n . lransformac ión de un siste ma cartoslano rectangular de coordenadas en otro 1.,11 correspondencia biunh'ocfI entro los punLos del ll:spn- cio y los pares ordenlldos de numero:;; reales se t!stllblecc motlianto In elecci6n del s istema cllrte.~io.no rectnllgulor ole coordenadas. Esto quiere decir. qlle a coda punto dol pl(lno le corres pond e un único pa r de nllJllerOS y u co(la por ordo- l1alio ele números reales le corresponfle un íwico JHln to. 1..11. elección de tal o cua l sistemn tle coo rdenadas no está Iimitndll por nndo y se determina en cado Cll50 concrolo sólo por moti\'09 de comod idad . Frecuentemente 1111 m ismo conjunto I'é extlmina en distilll.os sislemalS de coordenadas. Es c'Y idento, qml IIn mismo punto tiouo distintas coordella- das el! los di'Y()rso~ sistemas. Vo conjunto Úll plintos (e Ll particular. In circ,unfenlOcill , la parábola . la rocta) se define por di.o:lintn!' cCl1ncionos 811 diferentes s islom u de toordo+ nndn~. 3. Aclllreruos , cómo I>tl t rul1l!forman las CQortlouauos uo los p\Jll los del plano en ea~o del transformación do un sistema ~Ie coordODadas en otro. Ses que en 01 plano se dan dos sistomas rocta ngu lares de coordenad as: O, i , j Y O', j ', j' (Hg. 4t) . Convengamos en denominar viejo el primer sistema, q ue tiene como origen el plln10 O y como \'ectores básicos los vectores i y j, y nuevo, el segundo sistelnll , que tione come erigtll el punto O' y como voctOtOS básicos 105 vec- tores i' y j'. Cunsideremos co mo co- nocitl a la posici6n del nue- , " vo sistema respecto al vie- j jo: ~a que 01 pllllto O' on -co{,l''2-------- - •• el aistemn viejo tiene las coordenadas (a; b), y el voctor i ' forma un áJlgulo (X con el vector i. El /in~1l1 o so cuenlll en ~ntid o untihorilr io. Exam inemos un punto arbitrario ]y!. Designemos como (.z:; y) sus cvvrdenadas on 01 sistema vie jO y como (z'; y'), en el si5tema nuovo. Nues tra tarc<I cons isto en estahluct'r uno dependencia entre las coord enadas v iojos y nUtlVM tlol pun· Lo M . Unamos de do~ en dos los puntos O y O', O' y .\1, O Y Al. Segú n la. regla del tr i fi ngulo oblellemus ~ ~ ~ OA/ _OO' + O'M. ( 1) ~ Dc~arrol1cmos en vect ores básicos i y j , Jos vec.tonlS 01'tf - ~ y 00', y en vectores ¡: y j' , el vllctor O' M : ~ ~ -~. OM=:z;i+yi , OO'cc oi -t-bj , O'M=z' i'+y' j' . Ahoro se puede oscrlbir Jn ig uaLdad (1) IIsl: z i + yj = (ai + bj ) + (:z;' i ' + y'i') , (2) 37 Los Ycc t On!1'! básicos 11 110\'0>; ¿' Y j' 110 du.'1l1rrol han un vec- lores h!isiC(l! viejos ¿ y j del modo .!!¡guion\{) : i' __ c.-.s a.i -)- ~II aj. ¡' _ CO!! ( ~ + Ct)i + ISC[l(~ + et)j __ sena.j T co~a.j . Sus tituye lldo In ... 6Xpl'cs ioncs halladas por" i ' y j' ~n In fór- muln (2). ohlclllh'()llIos lo Igualdad "oc toria l :r i + yj = al + bj + Z· (005 al + 5('0 a j ) + + y' (-sen a i + cos ,,-j ) , t¡tle os uc¡uiva lcnte a las Iflualdlldes nllm éricns: ( x _ a + .:t' cos a._y' St' UC1.., y .. b + ,z' sen a + y' cosa.. (a) Lus fórmulas (3) ofrecon las oxplosione.!! buscodas pora ¡us coordenadas viojas x e y del pun lo a travÓ! de sus nuo- YOS coordonadas. A fin de hall a r las oxprosio/les para tal:! nuevas coordenadas a través de las v iejas. os s llfi c iente rosol ver el sistema de et:uaciones (3) respocto ti las illcógl1i- tos.a:'yy', Así PUeg, cuando 50 trMlada el Ol'i gllfl dc coordelllldl'ls ni punto (a: b) y se gi ran los ejes en el ángulo cr., las coorde- nad as ..le los puntos se transforman sc¡:ún la fórmula \3). S i enrubia sola mente el origen de coordenadas. y as direcciones de los ojes quedan invnri nbles. supolJiolldo cr. :::> O 0 1\ las fórmulas (3) . obtenemos ( %= 4+Z' (0 y=b "t'" y'.' Estns fórmlll as se denominan brevemente fórmulas a, traslado. Si el origen do coordenada::! queda intncto ':1 los ejel! gi re n 011 01 ángulo a supon iondo en las rórmulas (3) a = b = O. obtenllmos ( z ... z ' coscr.-y'scn cr., y _ z' sena + y' cosa. (5) Llls fÓrmula s (~) se denominan f6rl// ul/J$ de giro. l)roblema t . Sea que las coordonadas del nuevo origen 1I0n (2; 3) en 01 sistema viejo, y 111 90 coordenadas Jel pun- 38 lo A son (4; -1) ell 01 sistc ma viejo . Hli llct\SCl In..<¡ coorde- nad ns del punLo A ell el sistema v iejo, si 1M dirccciollcs do los ejes q uedan in variables. ;. De acuerdo con In fórmulas (/1) l e llOln !.Os Por cOllsigu ie ll ~e. ( 4 = 2+x', - t .",3 + y'. R>':$!tltado. A (2: -4) . .. Problem a 2. Sea q uo las coordenadas del p unto P son (- 2 ; 1) en el sistema v iejo y (5; 3) en el n uevo s istema, en el cual la! direcciollos de los ej~ son las mismas. !. Según la fó rmula (4) abtonemos ( - 2=a + !'i , 1 = b-i 3, de d(J lldc a = -7, b -= -2. Resultaoo. (-7; -2) . ... Problema 3. Las coorde nadas del pUll l o A 3 011 (4; 2) 0 11 el lluevo sistema. Há llense las coordenados do esl.e punto DO el s is lema vie jo, s i el or igen do coordenados quedó in\'orioblo. y los ejes ele coordenadns del sistema v ie jo es tán girAdas en el rl.ngulo ex =- 45° . .) Segúo Ins fórmulas (5) hall amos ¡ :t=4COil45° - 2sen45°=4· ~i -2· V - V '2. 11"2 V~ V" I/ = 4scn45° +2cos45°_4.-,-+ 2.~ =3 f.. R esl,Uado . A (lf2; 3 V2) . ... Prob lema 4. Los coor den adas del pil oto A son (2 V i.f; - V a) en el viejo sistomn. Hállense las coordonados de esto punto e n el nuevo sis Lema, si el origon do coorrlenados del v iejO sistema se trasladó ni p unto (- 1; - 2), y los eje .. están girados en un liogul o ex = 30°. 39 6 6 tJ. Segú n las f6rmu las (3) tenemos { 2V'3- - 1 +z'cos300-y'seJl 30", - Y3 - -2+x' sen 30°+ y' c0830°, , ,- 1 2V:1_-1+x'. l/_y"Y ' ! -V!i=o-2+Z··i- + Y'·f . { V3x'-y'~4V¡¡+2, z'+V3y' _4-2Vii. Resolviendo esto sistema de ecuaciones respecto a ~' y y'. hallamos: x ' c:::J 4, y' = _2. Rerultad(). A (4; - 2) . .. Problema 5. Se da la ecuación de la recWl. y = 2x - 6. Hálleso la eClUlcion do la misma recta en 01 nuevo !!islemn de coordenadas, obtenid o del viejo sistomll mediallte 01 giro de los e jos on un fingu lo de a -= 45°. A E n esto caSlJ las fórm ulns de giro tienen la forma es decir ( X _ x' cos 45° - JI' sen 45°, JI "'" z' seD 45° + y' oos45°, l' ",;, V2, V'(' ') x="2% - - , - y --,- % - y , V', Vi, 11; (' ') Y=--y-x +---:r- y =-r x +Y . Sustituyendo en la ecuación de la roetA y = 2% - (j Ia!i va riables viejas % y Y por las nuevas, oblelld rcmos la ecuu· ción Vi ( '+ ') 2 vi (' 'J " - ,- x y = .-;r- .:t - y - v, que trns l as sim plificaciones toma In fo rm a y' _~ - 2l'2 . .. 40 § '4. Sistema polar de coordenadas Fumiliaricélllonos co n un método más de dewrl1linllció n de la posición del punto en el plano pnr modio de l o~ núme- ros. es decir, con el s istema polar de coordenadas. Examjnemo~ en el plano 01 ejo 1 con un vector l1Idtllrio e y con un punto do referencia O (Hg. 42). Sea que JI! es un punto arbitrario del plano, que nó cóin- -cide con el punto O. Entonces O/lf es el nuBo \'ecLor del " L o • o • rig. <\2 ng.43 punto JI rospecto al punto O. Sea que r es una longitud del - -vector OM, e~ decir, 10M 1= r y ti' es 01 ángulo (lIItre 01 eje t y el radio vector OM. Calculemos el ángul o ip = /'- --= (e; OM) desde el I;l je l en sontido posi tivo, es decir, en sentido anti horario . Lo!'; númerQ8 r y o:p se denominan coordenadas polares del punto M: r es un radio polar, ep, un ángulo polar. El eje 1 se denomina eje polar y el pu nto O, polo. El radio polar del pu nto O se cousidera igual a cero. 01 ángulo polllr del pun to O no Sil define. Si el punto 11:1 tiene las: coordenadas polares r y 'p, enLon- ces so escribe M (r; ep). Por ojemplo, 01 pun to K (fig. 43) tieno las coordenadas r ... 2. 'JI = 45°, os deci r , K (2; 45°). Es evidonte, que la posici6n del punto en el pl;¡no se dofine por completo por modio de sus coordenadas polares. 41 Si r> O y Ir IlS un lIUlncro arbitrllrio, ex il' te un solo punto Af ~l que ~ -10Ml = r y (e ;OM) = ¡p . S i r ",. O el punto coincide con el polo. Es do seliaJor, que el á ngulo polar 41el pun to quo no coin~ cide con el polo se den nI! no unívocamente. Por ejemplo, I es ángulo polar para el punto K (ver lig. 1i3) no sólo el ángu- lo f9 = 450 • sino tambilin ,el állgulo IJ' _ /.05° y, ell gonerl\l, cualqu ier ángulo q¡ = 45° + 360" k, donde k E Z. El ángulo polo r de un punto se define con una precisi6n hasta un sumando, múltiple a 360". Si r > 0, los pares de números (r; cp) y (r; 'P + 3600 k), donde k E Z. definen un mismo punto del plano. Para que l a corrt!~- POndCIlCi¡1 tmtre los plintos del plano (A excepción del pOlo) y sus coordenadas polares soa biunfvoca, al ángu lo polar se pone un Iím ile () ~ rp < 360". E~tnblele:l.il'los una relación entre las coordenad3~ carl.e~ slanas polares y rectangulares de nn mismo punto "1 del plano. Sen que en el plano está definido 1111 sistema carlesiano rectangular de coordenadas O, i, j (lig. 44). Tomemos como or igen do coordenadas, o .;ea, tomo polo el punto O y como ejo polar l, el eje de 3bMisas . Entonces 01 rayo rOy) del ejo tle ordenadilS está orienh.do bajo un ángulo de 90 res- pecto 11.1 eje l. Es evidente que lns coorrleolldos carLesiaoils del punto !ti se ex presan a través de sus coordonadas polares delo manera s i¡ll iente: ~-rtoscr, y-=rsel1!{l. (1 ) Las fórm ul aS ( t) permitall llaUar las coordonadas carle- s itlnos rtlctllngulares del punto por SIlS coordenadas polare!!' . Do la fórmula ('1) obtonemos r + y2 ... rt cosl CJI + 71 5e03 fJI =71 (COS1q> + St!n1 1J') =r', 42 y lJur con;;iguillllto, (2) Si r:p O (/11 no coincide con el punt o O), tl t! (t ) y (2) se deduoo que (3) Los lórmullls (2), (3) permi len pasar de los coortlonadu:t cor leg.hlnas rectangulBnls del punto 1\ sus coordenadas pohl res. l'rolJlcrna 1. Hállense las coordenadasdol punto M (-L Ya) ,:. Por la fórmu la el) h Allamos r = l/ ( 1)1 + (Y 3? 2· Segú lI laB fórm ulas (3) tene mos - 1 1 ,: fj C05ql = -;r- = -2 ' 501111> --,- , do rlunJo 'l' '"" 120". Al! í pues, M (2, 1200) . .. ['rublem a 2. Hállense las coordOllad tlS roclllllgu l :l r L'~ cur· w sillnlls dol ¡Junto M (4; 135"). t. Segím la :!' fórm,ll as (1) tenemos , .~",o ,! V~) 2·V- .l:='. ·co!' 1 ..... - '\ - -r =< - 2, y=', . .!!en 135° ..= 4. V=- 2V2. De esta formn . M (-2 V~; 2 'V2) . .. § ts . Longitud del vector OcJ cur:so do ge~mtltrb para J asoc~l.!Jfn.'· i" . b¡j s i cllllC !lot!e que la distancill entro loa.pu nlos A. y..B . ...s¡tmufos .clI .luluJ"ecta , (ej\l) O ~o()[a'enndal se calculn según In lórmulll d onde :tri. Y .l:1I sou Ins coordenOfl as de los puntos A y B. .SUT!OJJ&,.tmfo;-C:3í.ifO _i.lo!l:-..:Bmitos.:""A-:(i .; ":y-;r. y- lZ::(z:s; l.)· ) (fig. 45) so :aifrf.cp yñ plpM,""1m el cunl se uligo un sistema , c~ '" 8, ---0--------- ,dj_. ; r~) , , " , " . , A , __ ~-------- J c ,A! .. ,;r ,) " , , o I A , a, K fig. 45 roetungulur Je coordenados 0, i , j . So r~luiero hallar la lo ugitud del segmonto IAHl. Se¡ü n el tooromo. do Pitigora8 del tri ángulo AlJe. I.nllnmos I A IJ l· -= I A e. II + J e.l] 11 , pero puasto quü IA t:. .. I- j A.B. I = l:e! - ~. ' y r e l e I "" I A .8 2 I "'" I Yi - Y¡ J, y, por consiguienl.e, - - - ..... L~_BJ ..... "V (x! .,z.)I + .(Y:.. y' .p. (1) Si 01 sogmonto AO os parn.l\110 ul eje do IIll!I abscisas. ont onces YI = Y2 (fig. 46) y la longitud dol sogollmto AB , A ( .. ,;r,) ,....- --I----- ?,B( ... ;Y~) J A ,( " ,;0/ 0 1 ~' j g. <Ir, , , , , , , : 8,1 _,:0) es iguto l a la longi tud dol sogmonto AIB.: IAHI = j A.lJ. I-I ,za-x. !, 44 Si el ~Cl!:'mlIlL) AlJ es pnllllelo (jI eje de ordenadas 011 (rig. 'ii) , úII(,onCl'S 1 AH 1 = 1 II~ -!I¡ l· La~ última~ dos fórmu las 5011 (,II .~O~ par~icularcs do In fór- mula (1). Así pues , la longitud dl'l segmento en el plano e.~ Igual a la raí: cuadrado. de la slUna de los cuadrooQS de !.tu di/erendas de las coordellt'ulas hom611lmfl$ de sus extremo.~. , A,(o:r, ) o ----- ~ -lA( .. ,;yll ------- ,8("2;Y2) FiR. 47 , , , x , ¡ . .1 o , , , , • , -- - ----- --Ah,;r,l Filó. 1,8 'Si,fri7f fié lospn Il~(os, - poi ·.eToill plo.: I1.:_-cofllcioe cOll·""o1 o--¡:igcn c[,c_coordonndllS;(fig. 48). la fórmulll (1) so simpli ficll y toma la for ma _ .. - ----, . l.~q.l ...., l(xi +y:·.: Sea que los puntos A y f1 SOl oncuentran e n (JI espacio: A (XI; yJ; z,) Y B (x,: 111: z,). Construyamos un paralele pípedo rectangular AC8 1 DAlel BDI ' en 01 cua l los puntos A y B servirán de oxtremos de Sil diagonal (fig. 49). Enton ces. según 01 Leoromn de Pit{¡gon.sde D ADO , y t::.AB ,B ~ (!osprMde , quo IAIJI = z= -V 1 AD I~ + 1 DBI 12 + 1 BIB 12 • Exprl'sl\n do 1 AD l. 1 D/J\ 1 y 1 B,B 1 en coordenadas. obtendremos I AB ) = V (xz Xj)l+ (y¡ y ,)1 + (1: ::1)1. (2) Estó claro , (lIJe :s i z, '= Zll = O la f6nnulH (2) se reduce a Jo rórmulR (1); en este caso el seg lJlento AIJ pcrtcncr.e al plnno :rDy. Recorde mos que la longitud del vt'ctor a -= Xñ ().~ igUAl a In longilud ¡¡!JI sogmento A l!. Por Lo tanto, utilizando lall fórrnulas (1) y (2), se puede -oxprosar la longitud del \'cc~or a = A 13 en l'¡ plano y on 01 espacio por medio do las (lOOl'dOIlHllul'! de los extremos de la ma nO"a siGuionte: I AH 1- IABI = V(x 2 XI)'-1-(112 YI)', (3) 1 Xii 1 =, AB r = V(:t"2 .T, )" (Y2 y,P+(Z2 Z, )II . (1,) Sen que el vector a = (x; y: z) esta definido en un sisto- ma c.artes inua rectangu Lnr de coorrleHadn!l. Enlon(',es, las , A, C, / 0,/ / - 1/ s :, -e - A t~- '1, C 1/ V 1\ 1/ o s, I • !)o I '1.-~, , 17 .' 1/ 1/ co.ofll"onados (1"01 vect,Qllt-~ A"1i, so expresan por medio de las coorllennc\MI de los pun tos A (;T ,; y,: lI,) y H (x~: y~: 1l2) ,I f) 1n manera s iguien te (§ 12): De la fórmu la (t.í) ohtendrel1lo¡; la expresión de In longitud ,Iel ved ol' a ....., rx; y; Il) por medio rlo SIlS coonlonnclnll: Mi Es evidente, que pa ra el pl ano la fórmula (5) tomll r{¡ la fo rmn ! n l= VW'+y'. l)rob lem a f . H állese In longitud del veclor AB si A (4; tI . n (7; 5). 1:1 Segú n la fórmu la (3) hall nmo.'\ lill l -IAB I_V(7 4)1 , (S 1 )~ = 5 . ... Prob lema 2, Hállese la longitud del vector iii s i A (3; 5; i ), B (5; 6; 3). ó Util izando In fórmul ll. (4) hallamos ¡ ABI _ IAB I _ V(S 3)' + (ti · 5)1 + (3 1)' =3 . • Problem a 3. Háll tlso la longi tud del ve<: lora, - (2: 3; - 6). ó Según la fórmula (5) obtenemos IClI -V21+¡j1 ( 6)1 _ 7 . ... • • ';";"t • .....,. +- (-,) § t6. Proyección del vector sobre e l eje. Propiedades del vector Sea que en el plano o en el espacio se dan el eje 1 con el vector uni tario e y el vecLor Ilrbitrario l' . So olenomi n8 prO!Jecci.6n ortogoflo.l (o sim plemente proyoc- clón) tlel vector a sobre el ejo 1, el número igual al producto do la longitud del vector a por el coseno dol ¡ín gula (llllNl los vectores e y a. La proyecciófL del vector a sobro el eje l so designA r.on el eimbolo pr¡ u o pr.a. Asi pues, segú n la defin ición " prjll = l a 1 cos (e; a). T racemos el vector (1 desde el pun to O ¡Jol ej ll l. Si el ángulo enl.re los vect ores e y a e-s RQ'udo (fig. 50, a), lo proyección del "ector (1, sobre el ojo l es igual n la longi tud del segmento DA •• rlonde A r es la prOyeC<' illll ele l pu n l~ A lIobre In rectn l. Efectivamente, /' /'-pr, lJ _ 14 1 cu~(e ; u) = I OA I cf,~ AOA , = lOA, l· 47 Si {J I ángulo e n tre los vectores e ya es oblli$O (li g. 50. b), 111 p royección riel vec tor (t !Joure el eje l tl!! igual R 1.1 longitl1d dol segmenlo OA , tomada con signo menos. EH efecto, .. " /"'--.. r~ll), = 1e, I cos(e; a) = IDA I cosBOA= .'" = -lOA 1 c(lsA ,OA = -lOA, l· /'-- Si el vector a es p:orpenrliculRr al ejo t, (e; a) =- 00" y pr l t! = la I cos fJO Q = O. A • B B . ¡ A, A , o " . ¡ o • S Fig. 50 Examinemos dos propiedades importan UlS de la proyec- c ión elel vocl.or sohro 01 cje. -Propiedad t. PMn cualesqui era vectoNlS o y b es válida la ignaldad pr¡ (o + b) = pr , a + pr¡ b , rlonde l es UIl e je ilrbitrario. Es ta propiedad permil.e sustituir In proyección de In Sllmll d o los vector9S por la RUlUo. de sus proyecciones y vice~ versa. Propiedad 2. Pora cualquier voctor a y cualquier n ú~ mero k es vlililLa 10 iguuldad pr¡ ka = k pr¡ Ct . donde l I' ~ IU\ eje nrbitrllrio. Es ta propiedad permite sacar 11 intrQrluc,ir eL fac lor numprir.() rIe l sign o de proyección. 48 Estfls propi odades son vó lill ns debido n las reglns de operaciones con los vectoros expresados por s us coord enadas . O En efecto, sea q ue l es un eje arb it rario q ue tiene un punto do referencia O y un vector unitario e. Introduzcamos un sistema rectangular do coordenadas de la manera s iguiente (lig. 51). Admitamos como origen de e.oordanadas e l pun- • ¡ " " " " , ' , ' , ' , ' :90" - - --Q,."-~,"_~.:------i.-L,¿:A¡-¡, I~.C'C.'""-T • ,o/ , Fig. :; t lo O, y el vector e , como el primer vector básico ( i: -= e). En calidad de otros vectores básicos j y k , tomemos Cllal es- quIera dos vectoros unitarios perpendiculares entro si, situados en un plano perpendicular al eje l. -Sea que el vector a = DA tiene las coordenadas %, y, t. EntOnces, sogún la definición de proyección /'-. " pr¡ a = I a I cos (i; al · Pero la I C{)s (ii al = x, es decir, l a proyocción de cual- quier vector sobre el eje los igual a la abscisa do este vector en una base alegida por nosotros.Puesto q lle la abscisa de la suma de vectores es igual a la suma do los abscisas do los vectores suman dos (§ 11), la proyección do la suma de los vectores sobre el eje l es igual a la suma da las proyecciones de estos vecto res sobre el eje lo 4-1330 49 I!:uclamen\.e asl , In proyección I\el prod ucto del veelnt por un número os iguAl ni producto rlo este Ilúmero por lo proyección t.l t11 voctor, yo que al mulliplicur el vector por un número su abscisa se mllltiplica por es tQ número. • § 17. Producto esular da dos vecto res En tísica, cllando hay un lno\'imionto rectilineo do 110 punto rnalerinl do la p03ición IJ o In pos ición e (fig. 52), el trabajo A do la tuen.o constante P so cnlcula según In fórmula _ /O.. A -= j "' I ·IBC ¡cos(F; l/C) . Estn fórmula asigno al vector de (uerza P y al vee~or de -desplazamiento Be • 8 ~C A.IF~I~I ·COS (F ;st ) Fjl:'. 52 una variuble esco lor , el t rabajo. La magni tud A I!(! donomina producto oscalar do los vectores F y iR:. El producto escal a r puede sor dofinido para dos vectore!! c llnlesquiera . So utilizo ampliomenll;l en fis ica y rnnlemÓt.ico.. Se denominn producto e.~caltlr lIo dos vectores no nulos lln número igual al producto de 1311 longitudes do estos vectores por el coseno del ángulo cutre ellos. Si por lo menO! de dos vectores uno es nulo. el prod ucto escalar de estos vectores se toma igual a cero. El producto escolar de los vectorell a y b se Je~ignn a·b. Así plle ~, según In definición /, a . b = la 1_1 b jcos(a; b) . (l ) S i a = b, entonce8 el producto escalar loma la rorma a ·a y se denomina cuadrado escalar del vector a: so des igna con el Bímbolo ato Es evidente q uo a l _ a·a = la 11. Como !le ~ a be (ver § t6), la proyección del ,'actor b sobre 1111 eje, cuyo dirección coi ncido con la dirMciÓll del vector t, se eX!lreSII por la fórmula. h pr. b = I b I cos (a; b). 50 (2) UUiit.llndo las fórm ulas (1) y (2) se pucdc oaerihlr l, · h - la I pr .. b . (2) De este modo , e l producto oscnlar de dos vectores es igual a l producto de la IODgitud de uho de ellos y de la proyección dol sogumlo por la dirección del primero. Análoga mente se obtiene la fórmu la a· b ",. l b I pr. a . I /'- P roblema 1. So sabe que 1 a 1 = 2, lb 1 = 3 ' (a : b) - _ 150°. H allar a·h. e:. Segú n la fórmula (1) hall am os • /...... t o 2 Y3 o · b = I a 1·1 b I C09.(a; b) _ 2.:¡-.cos 150 _ --,- . ... Prob lema 2. Hftllar todos los productos escalares posibles de los vectores básicos. y j de un s istemn carl'esiano de coor- denadas en el pl111l0. II Sogún la defi nición del producto escalar i..j - lil · 11 I c0590" =- 1 ·1 ·0 = O, ,'" =- i ·j. """ li 1·\ i J ces 0° - 1 ·1 ·1 - 1. Anñlogomer\te i · i "'" O. j I ... :l. ... I~rob lema 3. ¿QulÍ signo tiene 01 product o osenlar de los voctores a y b, si UO" < ra.:t,) ~ 18O"? /'- c.. Puasto qlle en. In f6rloula "·b "'" l a 1· 1 h I cos (a; b ) los nú moros la I y lb I son no nogntivos, el signo de a · b depando del s igno del coseno. En el in tervalo 19if; 1SOOJ X /'- X cos (a; b) < O, por lo t all to, a · b < O . ... Problema 4. ¿E n qUIÍ Intervolo se OIl Cnont.ra la magnitud deL angulo ontro Jos voctoro9 a y b, s i a ·b > 01 /'- 6 Puestoquea . b >O.lal'=PO.lb I+Oycos(a ; b» . /'- > O. De nqU1 que (a ; b) E ID"; 9001. • § ta. Propied ad es d el producto escalar d e los vectores 1. La mulLiplieación escalM do los 'vOl:ltores posce pro- piodad conmutativa: a ·b-= b·a. (1.) ." 5t /'-.. /"- o PueSl.oque (n; b) = (b¡ al y la I ·l b I = I lJ l'la l. /'-.. /'-.. entonces (J·b ~ la 1·1 b I cos (ai b) = l b ] ,1 a l C03 (b¡a)= =b·a. Si a - O o b .... O, entonces según la definición del pro- ducto escalar (J·b = O Y b·a = 0, es decir, (J·b = (¡·a .• 2. La multiplicación oscalar de los vectores posee pro- piedad asociativa raspecto a la multiplicación del vector por un número; (ka). (¡ = k (a.b). /"- /'-.. O Designemos (a; b) = q¡ y (!,o; b) = <p\_ /'.. /'-.. (2) Si k > 0, (a; b) = (ka; bJ, es decir, <JI = '91. Y enlonces (ka) ·b = l ka j·1 b J cos<p¡ = k la j·l b I cos<p = k (a .h). S i k < O, ka H a y <PI = 180° - <p y entonces, (ka)·b = = I ka 1'1 b I cos '9\ = I k J'I a 1'1 b I cos (1800 - ¡p) = = _k·\ a 1·1 b I (-cos (JI) .,.. k la 1,[ b I cas <p = k (a .h). Si k = O O a = O O b = 0, entonces (ka)· b = O Y k (a.b) = O, y por lo t an to , (ka )· b = k (a.b) .• 3. La multiplicación escalar de vectores posee propiedad distributiva respecto a la ad ición de vectores a.(6 + e) = a·b + a·c. (3) o Si a = O, Iu propiedad (3) es ev idonte. Sea quea:;: O, entonces, a . (b + e) "'" ja j.pr" (b + e) = = j a I (pr", b+ pr .. e)= la j.pre< b+ la j· pr" e =a ·6 + a ·c. En el curso de la demostración fueron utilizadas las 'co- nocidas propiodades de la proyección del vector sobre el eje (§tG) . • OLservoffios que de (1) y (3) so deduce la fór mula (a + bl·c = a -c + b·c. (4) La semejanza do l as propiedades del p rod\lcto escalar de los vec~ores con l as propiedades del producto de los números roales permite realizar fácilmente los cá lculos y transform a- ciones con los productos escalares. Prob lema. Demostrar la identidad (n + b)1 "'" aS + 2a·b + bl . D Utilizando las propiodados (1)-(4) del prod ucto esca- lar obtenemos 52 ~+W-~ + ~·~+~-~+~·.+~+~b -a·a+b·a+a.b+b· b =~+a. b + a .b+~=~+ + 2n·b + b' . ... Teorema. Pam. gll/l dos vedares no nulos seoll perpendicu- lares e5 necesario y suficiente que S!, producto escalar sea Igual a cero: (a ,,¡.. O, b + 0 , a·h - O) ~ a ...L b. (5) o Necesidad . Sea que a...L b. Enloncos, /'-. ql ... (a; b) <:o 000 y a·b -= la 1·1 b l·cos 90" = O. Sullclencia Sea que a · b ... O. a '* 0, b =F O. P uesto que a=FO, 6 *0, enlonces 1al =FO, l b 1.,.0, y ya qUB lal ·j b l·eos'P"'O, cos!p=O y, por consiguiontc, o;p = "'" 00". es decir, a..L b . • § i9. Producto escalar de vectores dados por sus coordenadas Sea que en el plano se tiene cierto sJ!'I temll. cartesiano rectangular de coordona d a~ y se dan Jos voclores a "'" (x,: YI) Y b = (%~: Y2)' Puesto quo a = l:, i + y¡} . b = .%,i + I/J, entonces, lltillzando Ins rospectivas propiedAdos de la mul- tiplicación escalar do "cdore! obtenemos a .b = (XI ' + y,/Hx,i + yJ) - = (x1%,) i' + (%IY') L.j + (y¡%,) j .i + (¡/¡Yt) j1. Es evidente que i l _ j' eo 1 y j.j = j . i == 0, por lo tallto. (\ ) Sea qua ~horll en el espacio se tiene cierto !! istcmfl Cllrt&- SiMIO reetllngldnr de coordonadas y S(I dnn Jos voelores a = (:r:I; y,; . 1)' b -- (z ,; VI: JI)' An álogamente Il lo expuesto obtonemos a·[) - X,%, + y,y, + %,:,. (') Asi pues, el producto escalar de do.t vectorelf es igual a la sum.a de los produt:ws Ik las coordenadas hom.6"lmos de estol vteloru. 53 Prob lonlllJ. CalcÍlleooa· b,sia = 2i + 3j, b - -5i + i . b a · b = (2, + 3i H-Si + j).,. 2.(-5) + 3·1 - = -7 . ... Problema 2. Calcúlese a·b, si a .", (2; --3i 4), b c: _ (5; 7; - 1). 6 a·b -== 2·5 + (-3).7 + 4 ·(-1) = -15. A Problema 3. Hállese la longitud del vector a """ (:t; y: s). ,ó Ulilillll.Jldo la fórmu la (2) obtendremos a·a == %:t + yy + zz =:t ' + !I~ + :'. Por consiguionte, § 10. C61culo del áogulo e ntre dos vectores SeglÍn la defin ición del Ilroduct o escalar tonl!DlO~ quo /, a · b _ I(,I·' b Icos(u; b). Por lo tanto, si a .p O y b =t= O /" (J·b cos(a ¡ b) = ral. l bl (1 ) es dBCir , ~l coserIIJ d~l ángulo entre 108 uectores fU) /lulos a y b ~s i~(J(l1 al producto escalar de estos vectores, divIdido por el producto de su., longitudes. Supongamos que on el espacio hny un sistema cartesiano rectangular de coordenadas y se dan los vectores a = = (.%1; V,: ::J Y b 0:= (z:i Y1: :J . Entonces, como 83 sab ido (ver § 19) a· b - Z,%, + U1Y~ + : ,21, I a 1 = V z: + ~ + ':' I b I = V"",,,.,+",v:J:'+"',:i:. y, por lo tan lo, uti lizando l a igualdad (1) obtendremos In fórmul a Est n fórmu la fK"rmite calcular el coseno del ángulo entro Jos vectores a y b, según Ins coordenadas de esto~ vectores. Si los voctores a - (z¡; y ,) y b - (%,; Y,) 56 dan en un sistema cartesiano recta ngular de coordenadas en el pl ano , enLonces el coseno del ó'ngulo entre ellos so calcula según la fórmu l a " + cos (a; b}..... .,.! "V, (3) lIzf+vl' Y4+ y~' Prob leUl II t. Se don dos vectores: a = (3; 4) y b = (4; 3). Hollar el ánglllo entre ellos. D S\J!ltit llyenrl o 1M coof(Ionad as do los vectore.'\ 011 lo fórmula (~) , oblonomolj cos (tb) .... il·~ +4·3 _ :.!4 • y 3"+' " Y 4~ +3" E" ' . /'-de dOllrle (scg:un la tubla) (a ; b) :::::; 16", ... Problema 2. ¡Hilles(! el coseno del lingulo onlre l o~ 'lec' toros a - 2i + 2; - ,~ , b "'" i - 2; + 2k. t::. Ulili~antlo la fórmula (2) obtendremos '"' I (~;b) ... :'H+2.·( 21+( t) ·2 '" ,l zt+2'+{ t) •. 1'11+( 2'"+2' = - TI ' .. § lt . Producto vectOria l de dos vectore s y sus propiedades E n fi s ica el momento de fuerza F respecto al punLo O -so ropresentll por el vector O¡l'! , perpendicular ni phl.no en '" o "\..:>'---A Pig:. 53 F el cll AI está !JILlllldo el punto O y el voctor F (f ig. 53). LIl -loogitlld del vector OM Sé define como el producto do la. longitud del vector F por el brllzo h (h es la distancia del pun to O a la recta e n la cual eslá representado el vector de -Juon.a F), es decir , lOA! I = 1 F I·h o - ' '-1 OA! 1 "'" 1 F 1·1 r l. sen (Pi r) , tl ondo r "", 6A es el radio vector del punto de aplicación de la fuena F. -El vector OM so dllll omina producto vectorial del vector r por el vedor F. Ant.cs elo ciar ID óefinición del producto , , • b ¡rig, 54 vectori al do el os voctores arbitrarioo a. y 6 , introd u:r.camos el concep to de ternas de voctOl't's derecha e izq uierda, Tres vedores no coplaJl ares " , 6 Y e tomados on el orden in dicado. forman h. terna derech4, si después de ser reduci- drm al origen comun 01 vector e está situado por el otro Indo del plano, que contiene los voctores a y b, de donde el giro más breve de a a 6 paroce ser realizndo en sen t ido nntih.ora- r io, En caso contrario, la terna do vectores se denomina lzq¡,terda. Los vedores a, 6, e , representados on la figura 54 . formnn la terna dorocha, miontrn!! quo los vcc~orcs d , e, / , la izquierda. -Los vectores r , P, OM' on la figllra 53 form an In wrnn derecha, Producto IJ«lorÚll dol vector (t por el \'cctor b no coli neal a ti l so denomillfl tal tercoro "cctor e q ua satisfflce In .!! tres cond icionus siguienles: /'- t ) la longitud rlol vector' e I = 1 ti 1'1 b I·sen (a; b ); 56 2) e l vllctor e es perpc ndi(\u lnr a los \'edores haCl (1fCS a y- b;c-L o yc-L b; 3) los tres vcctores ti , b , e forman 011 01 (1rden indi cado unn terna t'l OroC}¡II . E l prod ucto vector inl de los vectores (\olinealos se con· s irlerll. igunl nI vector nll lo. El prod ucto v~torl{\ 1 (Iel vocl.or a por e l vector b se oes iglHl con 01 simholo la ; bl. LAS condicinnos i ) y 2) dufi- nen e l vector e = la; bl con p~- cisión do has tll. do! d iroccionas rcc iprf)(:nlllcnte opuosta!!. La con- dición 3) de term inn unn de es tas dos d irecciones. Ln condicion t ) pIIO- c . {a.;bl de ser onunclada purnmonte en for mo geométrica: la longitud del veclor e contione tflnl1l8 lIn idadclI d o longitud , cllnnlns unidades cna- oradas homónimas comprond e el Ama do un pa ralol ogramo conll trui- do sobro los vectores ftr,c lOrel! (Hg. 55). De la condición i ) se desprondo qlJ6 la; 61 + O, si a y b son no ¿~;~;~b~=-:;> colincal6!>. P (1r otro lado, el pro- a rl uclo vectorllll de Ifll! vect ores colinCflles segun la tlef inici6n os e - :al'lal sen!a; ) igual al veclor nul o. A'II pUOlI, In igualdad I'ig. 55 [a ; bl = O el! la condición necoso rl 8 y sufic iente de coHllealidad do los \'ec torel! ti y b. Ex aminemos aliU na!! propiedades dol pro- ducto vectorial. L Al ca mbiar e l orden do los factores el producto voc· t.orial conser va S il longitud, pero cnrubia su dirección por la opuesta: la; h1 = - lb; al. o Bn docto, de ncuordo con 1;1 dofi nición dol producto vectoria l se t iene " Ila ; bll e; I a 1· 1 b I·sen (n ; h) , " I [b ;a l [ _ 1 b 1· la l ·~n (b ; o) , 57 "" "-puesto que (aj b) = (b: a) , entonces I [a : b) I ... [ lb; al [. Los vectores la; bl y lb; al son perpend iculares al plano dofinido por los vectores factores a y b. Pero , como los "cc-- tores a, b y fa ; bl (lo mismo que los vectores 6, a y lb; al ) c · {a,b I forman ternas derechas. los vectores la; b] y lb; al' debe- rán sor «lnlrnria mento (liri· - c - [b;aJ fi g. S6 gidos (Hg. 56) . • 2. Propiodad do asociali - viliad ¡Jel producto voclorin l rosp<lclo al fo ct or escll.hJr: [ma; bJ - la; mbl = In lo; lIl . 3. L¡I propicdlul tle d bt.Ii- buUv hla tl del procluctu Yecto- rial se oxpreso. por medio do la iguald ad la + b; el - la; el + lb; eL Acoptemos Ins propiedades 2 y 3 del prod ucto vectorial sin fl: currir ti la de mO.!l trllción. Problema 1. H Allelio la longitud (Iel ,'octor 13a - b ¡ a - 2bl ,sia J... b , [41 - 3, Ibl =- 2. D. Dobido a In :!! propiedades 2 y 3 dol producto voctorial tonemos [la, - b; a - 2bl - 3 fa ; a l -lb; al - 6 [a; bl + + 2lbj bl. Poro la; a] "" O Y lb; bl "" O. ya que cualqu,ier vector es colinoa! a el mismo, y 01 producto vectorial do los VllctoroS colinoales es igual al voctor nulo . En adelante , de acuerdo con la propiedad 1 tenemos lb; al = -la; b/, y, por 10 l:lII lo, [Sa - b; tl - 2bl = -5 [a : bl . Por consiguien te, ¡ 13a - [¡; a - 2b11 - [-5 la; bll = = 5 1 a ,, 1 b '·sen 90" = 5·3 ·2 = 30 . .. :;s Problema 2. 1",,1101150 Y represén tense 1011 vedores la ¡ 61 y Ib¡ al, si a - 3i , b "" 2¡ + 2k (i , j , k son vectores uni- tnrios perpen(licular05 ontre 9í que forman 111 te rna derecha). , , t 'Ie. 57 6 Puosto quc ti; l\ - O c (j; kl = - j , ont.onces la; bl = [3i ; 2i + 2kl = 6 1i ; il + 61 j; k l "'" -Sj . El vector la ; bl "'" -Sj so representa e n ID figura 57 por 01 segmenlo dirigido ch , el vec~or [b ; al - --6j , por el segmonlo dirigido 6F . ... § 11. Producto vectorial de dos vectores definidos por sus coordenadu Hallemos la oxpresión pura el producto voctorial do dos vectores por medio de la8 coordenadas cart.esianll,s recta ngll- Inres de estos ,'eetores. Seo q ue los \'ectoros a "'" (XI; Vi i %1 ) Y b =- (x,; 11, ; l.) estó n d ados por sus coordenados on un slstoma carte~ i 9. no rectangul ar de coordenadas 0, i , j , k Y la terna do los vec- toril! i , j , k e!! derecha (esto se supondrá siempre on adelanto para mayor precisión). Desal'l'ollemos a y b según los vectores básicos: a - %t i + /Id + =tk. b ~ :r.i + IIJ + :2k . Utilizando las propiodades del producto vectorial , obte- !lemos la; bl = Ixl i + vlj + ::Ik ; x3 i + yJ + 1I1kl - - XIZ, [i; il + x1U , ( i ; j I + X I1I1 li ; kl + YIX2 [j ; il + + V¡Jh Ij; j I + u¡=, Ij ; kl + " , X l lA'; iJ + ",U, Jk ; il -1- + "1': 11:; k l. (1) ,9 Según In defi nición del producto vectorial hallamos Ji; ¿I = 0, Ij ; tI """ -k, Ik; ti - j , [i; j ] = k , Ij; ji = O, Ik; jI ... _i, (i; kl = - j, (j ; k l _ 1, Ik; kl = O. Ten iendo en cucnta estas igualdades se puede escribi r la fOrmul o (f) Ilsi: o la ; bl => XJl/l k - x l "Zz j - Ylx:k + y ,¡~i + + z.x,j - ~'Y1 ¡ [a ; bl -= (y,1I1 - Z' YI) i + (z.%, - zsr. ) j + + (xIY, - Y lz~) k . La fórmu la (2) da la oxpresión p;:u:a
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