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APRENDIZAJES ESPERADOS UNIDAD 1 A lo largo del estudio de las matemáticas y en especial de la Geometría, has podido observar la frecuencia con la que se presentan los triángulos. Su importancia es tal que permite el estudio y desarrollo de otras figuras. Es más, en el quehacer diario y en la vida profesional, procuramos hacernos entender a través de su uso. Por ejemplo, el especialista Doug Copp, jefe del grupo de rescate y director de desastres del Grupo Internacional de Rescate Norteamericano (ARTI), el equipo de mayor experiencia en rescates del mundo, manifiesta que: "En cualquier derrumbe hay un 100% de sobrevivencia para las personas usando lo que se denomina "el triángulo de vida". ¿El triángulo es solo un concepto teórico? EL POLIGONO MÁS SENCILLO UNIDAD 1 Comunicación matemática • Identificar los tipos de triángulos y las líneas que se asocian a ella. • Interpretar los postulados de congruencia. • Reconocer y representar los teoremas en los triángulos. Resolución de problemas • Analizar los datos disponibles y relacionarlos con los teoremas respectivos. • Formular estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas relacionados a triángulos. Geometría 4to - I Bim.indd 4 31/10/2014 11:13:10 a.m. Triángulos En este capítulo aprenderemos: • A identificar los triángulos, reconociendo sus elementos y características principales. • A utilizar con exactitud los teoremas que permitan obtener características de los triángulos y que permitan la resolución de problemas matemáticos. El estudio de los triángulos es una de las partes medulares del curso de Geometría, que tiene muchas aplicaciones prácticas y que también sirve para el desarrollo mismo de la matemática en su conjunto. Hemos escogido esta lectura para graficar lo anterior. El gran matemático Diofanto (275 d.C.) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3; 4 y 5 unidades. Evidentemente el triángulo es rectángulo y cumple el teorema de Pitágoras: 32 + 42 = 52 Al ser un triángulo rectángulo, es fácil comprobar que el área es 6 unidades. Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades. Su planteamiento fue el siguiente: • Un cateto mediría "x". • Como el área debía ser 7, el otro cateto será 14/x. • La hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras. 14 x x2+ =h2 2 Pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12. 14 x x+ +h=12 Por lo tanto se debe cumplir la ecua- ción: x2+ = 12 x 14 x 196 x2 2 De donde se llega fácilmente a: 6x2 43x + 84 = 0 Cuya solución, Diofanto expresó como: 43+ 167 -1 12 Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a -1, por tanto, el problema no tenía solución. Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse. En el siglo XVI, Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas.D io fa n to ( 2 7 5 d .C .) Razonamiento Matemático 5www.trilce.edu.peCentral: 619-8100 1 Geometría 4to - I Bim.indd 5 31/10/2014 11:13:11 a.m. 6 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Triángulos Saberes previos Importante: El ángulo exterior de un triángulo se consigue prolongando cualquiera de los dos lados del ángulo interior. • En un cuadrilátero, la suma de sus ángulos internos es de 360°. a° b° q° l° • Dadas las rectas paralelas, los ángulos cuya medida son "b°" y "a°", son iguales. a° b° L1 L2 • En la figura, la suma de los ángulos es de 180° y no son suplementarios. a° b° q° l° • Dos ángulos son complementarios, cuando la suma de sus medidas es de 90°. a° + b° = 90° • Dos ángulos son suplementarios, cuando la suma de sus medidas es de 180°. a° + b° = 180° Antes de entrar al tema, recordemos que: Geometría 4to - I Bim.indd 6 31/10/2014 11:13:11 a.m. 7 Central: 619-8100 Geometría Unidad I 1 Conceptos básicos Según sus ángulos Clasificación de los triángulos • Observación Se denomina región triangular a la reunión de los puntos del triángulo y los puntos interiores. Elementos: Vértices: A, B, C Lados: AB, BC, AC Ángulos Perímetro: 2p = a + b + c Notación: ∆ ABC Internos: a°, b°, q° Externos: x°, y°, z° A B C c y° x° a° q° b° z° a b Región interior Puntos interiores Puntos exteriores relativos al lado AC B A C Según sus lados b° a° q° 0°<a°, b°, q°<90° Acutángulo Rectángulo b° a° a b c a2+b2=c2 Obtusángulo 90°<a°<180° a° Escaleno Lados diferentes Isósceles Dos lados iguales a° a° Tres lados iguales Equilátero 60° 60° 60° Geometría 4to - I Bim.indd 7 31/10/2014 11:13:11 a.m. 8 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Triángulos Propiedades • Suma de ángulos internos a°+b°+q°=180° b° a° q° • Propiedad del ángulo exterior x°=b°+q° y°=a°+q° z°=a°+b° b° a° q°x° y° z° • Suma de ángulos externos x°+y°+z°=360° x° y° z° • Propiedad de la existencia triangular Si: a>b>c b c < a < b + c a c < b < a + c a b < c < a + b AB C a b c • Cuadrilátero no convexo x°=a°+b°+q° xº b° a° q° • Se denomina triángulo oblicuángulo a aquel que es acutángulo u obtusángulo. Triángulo curvilíneo Triángulo mixtilíneo Geometría 4to - I Bim.indd 8 31/10/2014 11:13:11 a.m. 9Central: 619-8100 Geometría Unidad I 1 Caso particular: • Si: a // b a° b° a x° b x°=a°+b° Este caso es el más usado a°+b°+q°+g°=x°+y°+z° a° b° q° g° L1 x° y° z° L2 Ángulos entre rectas paralelas a°=q° alternos internos a° q° L1 L2 a°=b° correspondientes a° b° L1 L2 • Si: L1 // L2 • Si: L1 // L2 • Si: L1 // L2 Geometría 4to - I Bim.indd 9 31/10/2014 11:13:11 a.m. 10 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Triángulos Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Sintesis teórica TRIÁNGULOS Pueden ser de varios tipos, dependiendo de sus lados o de sus ángulos. El ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores. La suma de sus ángulos internos es de 180° y de los externos es de 360°. Tres rectas al cortarse dos a dos, forman un triángulo. La existencia de los triángulos se analiza, de preferencia, escogiendo el mayor de los lados. 1. Grafique al triángulo ABC, de modo que: m A=47°, m B=53° y m C=2x°. Calcular el valor de "x°". 2. Dado un triángulo, se sabe que la medida de uno de sus ángulos interiores es el doble de la medida del otro ángulo interior. Calcular la medida del menor ángulo interior, si se sabe que el triángulo es rectángulo. 3. En un triángulo ABC, la medida del ángulo exterior en "C" es de 140°. Si las medidas de los ángulos interiores en "A" y en "B" están en la relación de 2 a 3 respectivamente, calcular la m B. 4. En un triángulo isósceles, la medida de uno de sus ángulos interiores es de 140°. Calcular la medida del ángulo exterior situado en el vértice del ángulo interior agudo. 5. Dado un triángulo, dos de sus lados miden 8 y 5 cm. Calcular la suma de todos los valores enteros que asume el tercer lado. 6. En un triángulo, dos de sus lados miden 7 y 13 cm. Calcular la suma de todos los valores impares que adopta el tercer lado. 7. Grafique al triángulo rectángulo ABC de hipotenusa AC y ubiqueun punto interior "Q". Si las medidas de los ángulos BAQ y BCQ miden 27° y 32° respectivamente, calcular la m AQC. 8. ABC es un triángulo equilátero y "Q" un punto interior, tal que: m BAQ=34° y m BCQ=22°. Calcular la medida del ángulo AQC. Geometría 4to - I Bim.indd 10 31/10/2014 11:13:12 a.m. 11Central: 619-8100 Geometría Unidad I 1 Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es de 270°. • En un triángulo obtusángulo, dos de sus ángulos interiores siempre serán agudos. • En algún triángulo rectángulo, sus tres lados podrían ser iguales. 2. Relacionar correctamente: A. Triángulo rectángulo. B. Triángulo acutángulo. C. Triángulo obtusángulo. I. Uno de sus ángulos internos es obtuso. II. Hipotenusa. III. Ángulos internos cuya medida es menor a 90°. 3. Completar en cada gráfico: x° a° q° x°= a b c <c< 4. Realice un breve comentario sobre la lectura proporcionada, al inicio del capítulo. Resolución de problemas 5. Grafique el triángulo ABC, de modo que la medida del ángulo exterior en "C" mida "7b°". Si los ángulos interiores en "A" y en "B" miden "2b°" y 50° respectivamente, calcular el complemento de "b°". 6. Grafique al triángulo ABC, marque "Q" en BC y "P" en la prolongación de AC, de modo que: QC = PC, m QPC=20° y m B=60°. Calcular la medida del ángulo "A". 7. ABC es un triángulo escaleno donde se sabe que: m A=x°+20°, m C=x°+40° y m B=80°. Calcular el suplemento de "x°". 8. ABC es un triángulo equilátero y "R" es un punto interior tal que: m RAC=20° y m RCB=32°. Calcular la m ARC. 9. ABC es un triángulo equilátero y AQC es un triángulo rectángulo interior de hipotenusa AC. Si la medida del ángulo BAQ es de 20°, calcule la m QCR, siendo "R" un punto de la prolongación de AC. 10. Dos lados de un triángulo miden 9 y 12 cm. Calcular la suma de los valores impares que adopta el tercer lado. 11. Dos lados de un triángulo escaleno miden 5 y 8 cm. Indicar cuántos valores enteros adopta el tercer lado. 12. En un triángulo obtusángulo, sus lados me- nores miden 6 y 8 cm. Calcular el producto del menor y mayor valor entero que puede adoptar el tercer lado. 13. La gráfica muestra dos rayos paralelos ("a" y "b") y a un triángulo rectángulo. La hipotenusa y el cateto menor forman con los rayos paralelos ángulos agudos que miden 22° y 43°. Calcular la medida de los ángulos agudos de dicho triángulo. a b 14. En la figura, si: m // n y a // b, calcular "x°". m x° 100° a b n 2a° 3a° Geometría 4to - I Bim.indd 11 31/10/2014 11:13:13 a.m. 12 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Triángulos Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. En un triángulo ABC, se toma un punto "Q" sobre AB tal que: AQ=QC y BQ=BC. Si: m ABC=84°, hallar: m ACB. 2. Dado un triángulo ABC, en AC se toma un punto "P" de manera que: m BPC=m A+m B 2 . Si: BC=8 cm, hallar "PC". 3. En la figura: x°+y°+z°>270°. Calcular el máximo valor entero de "q°". 6q° q° 3q° 2q° z° y° x° 4. En un triángulo ABC (AB=AC), en AC se toma un punto "M" de manera que: AM=MB=BC. Calcular la m MBC. 5. En un triángulo acutángulo ABC: m ABC=4x° y m BAC=x°+70°. Calcular: m BCA, cuando "x°" toma su máximo valor entero e indicar el lado de mayor longitud. 15. En la figura, si: L1 // L2, calcular "x°". L1 145° x2 x° x2+30° L2 16. En un triángulo acutángulo, dos de sus lados suman 24 cm. Calcular el máximo valor entero que adopta la longitud de la altura relativa al tercer lado. 17. Grafique al triángulo ABC y ubique un punto interior "D", de modo que las líneas DA y DC sean perpendiculares y la m B=45°. Calcular la medida del ángulo BAD, sabiendo que es el doble de la medida del ángulo BCD. 18. En la figura, calcular el valor de "x°". a°a ° q° q° b° b° x° f° f° Aplicación cotidiana 19. Alberto, Bruno y Carlos están situados en tres puntos diferentes y no alineados. Alberto visita a Bruno y a Carlos en diferentes momentos y se da cuenta que el ángulo que forman estos recorridos es de 72°. Cuando Carlos visita a estos amigos se da cuenta que los recorridos efectuados forman un ángulo que mide 60°. Calcular la medida del ángulo obtuso que forman los recorridos de Bruno al visitar a sus dos amigos mencionados. 20. "A" y "C" son dos puntos situados en uno de los bordes de una piscina rectangular. "B" es un punto situado en el borde paralelo al anterior. Si la distancia de "B" hacia "A" y "C" es de 30 y 22 metros respectivamente, ¿cuál es la máxima distancia que recorrerá un nadador para ir de "A" hacia "C"? Geometría 4to - I Bim.indd 12 31/10/2014 11:13:14 a.m. 13Central: 619-8100 Geometría Unidad I 1 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta: • La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es de cuatro ángulos rectos. • Dado un triángulo obtusángulo, dos de sus ángulos exteriores siempre serán agudos. • En el triángulo rectángulo, sus tres lados podrían ser iguales. 2. Relacionar correctamente: A. Triángulo isósceles B. Triángulo acutángulo C. Triángulo equilátero I. La medida de su ángulo exterior es de 120°. II. Dos lados iguales entre sí. III. Ángulos internos cuya medida es menor a 90°. 3. Dos lados de un triángulo miden 9 y 7 cm. Calcular la suma de los valores pares que adopta el tercer lado. 4. Dado un triángulo obtusángulo, sus lados me- nores miden 5 y 12 cm. Calcular el producto del menor y mayor valor entero que puede adoptar el tercer lado. 5. Alberto, Bruno y Carlos están situados en tres puntos diferentes y no alineados. Alberto visita a Bruno y a Carlos en diferentes momentos y se da cuenta que el ángulo que forman estos recorridos es de 66°. Cuando Carlos visita a estos amigos, se da cuenta que los recorridos efectuados forman un ángulo que mide 58°. Calcular la medida del ángulo obtuso que forman los recorridos de Bruno al visitar a sus dos amigos mencionados. 6. En la figura, L1 // L2. Calcular "x°". 4x° L1 L25x° 7. En la figura, calcular "x°". 2x° 2x° 2x° 2x°x° 8. Dos de los lados de un triángulo escaleno miden 7 y 4 cm. Calcular la suma de los valores enteros que toma el tercer lado. 9. Si: L1 // L2 y AB=BC, calcular "q°". A B C L1 L2 30° 8q° q° 10. ABC es un triángulo isósceles (AB=BC) y AF es una bisectriz interior, tal que: AF=FB. Calcular la m C. 11. En un triángulo ABC, el mayor ángulo es "B". Si: AB=5 dm y BC=10 dm, calcular el número de valores enteros que adopta el lado AC. 12. Calcular la diferencia entre "xº" e "y°", si: m // n y/x=2/7. m n x° y° 13. Se tiene el triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B", de tal modo que: AB=8 cm y BC=15'cm. Calcular el mínimo valor entero que toma la longitud del lado AC. Geometría 4to - I Bim.indd 13 31/10/2014 11:13:14 a.m. Geometría 15Central: 619-810014 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Triángulos 14. En la figura, L1.//.L2. Calcular "x°". L1L2 2f° x° 3f° 4f° 3f° 15. En un triángulo rectángulo ABC (B=90°), en la hipotenusa AC y en el cateto AB, se toman los puntos "E" y "F" respectivamente, de manera que: CB=BE=EF=FA. Hallar la m CAB. 16. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón 9. Calcular el mínimo valor entero que asume el perímetro. 17. En la figura, L1.//.L2, calcular la diferencia entre los valores de "x°" y "f°". L1 L2 6f° 2f° x° f° 18. En la figura, calcular el complemento de "x°". 10x° 6x°9x° w° w° q° q° 19. En la figura, calcular el complemento de "x°". 2x° a° a° b° b°w° w° x° q° q° 20. En la figura, se muestra a dos triángulos rectán- gulos. Calcular el complemento de "f°". 3f° 80° f° Geometría 4to - I Bim.indd 14 31/10/2014 11:13:15 a.m. Geometría 15Central: 619-8100 2 Líneas notables Desde grados anteriores hemos trabajado con líneas que se asocian al triángulo. Todas ellas tienen aplicaciones directas y prácticas. Pero hay una en especial que se presenta con mucha frecuencia a lo largo del curso y la vamos a descubrir a través de este poema: En este capítulo aprenderemos: • A diferenciar las líneas notables asociadas al triángulo. • A ordenar y seleccionar los teoremas asociados a las líneas notables, que permitan la resolución de problemas matemáticos. A BC H Ortocentro Geometría 4to - I Bim.indd 15 31/10/2014 11:13:15 a.m. 1716 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaLíneas notables Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos que: • La distancia de un punto hacia una recta, es la perpendicular trazada desde dicho punto hacia la recta. A L A L • Dos líneas rectas son perpendiculares cuando forman un ángulo recto. b a L m • La bisectriz de un ángulo es el rayo que partiendo del vértice, biseca a dicho ángulo. A B O Fq°q° O C B Ea° a° • En el gráfico, se une "A" con el punto medio "M" de BC y no son necesariamente perpendiculares. A B M C A B M C • En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos son complementarios. a° q° a°+ q°=90° Geometría 4to - I Bim.indd 16 31/10/2014 11:13:15 a.m. 1716 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad I 2 Conceptos básicos El uso de ciertas líneas en el triángulo, son tan frecuentes e importantes, que es necesario detallarlas y mostrar las relaciones angulares que ellas determinan. • Ceviana La ceviana puede ser interior o exterior. Debe tenerse en cuenta que desde un vértice se pueden trazar infinitas cevianas. • Mediana • Bisectriz • Altura • Mediatriz mediana BM A M B C= = baricentro A M G N2a a B C= = incentro A F I E B C q° q° a°a° = = A = = B C mediatriz del lado AC A B mediatriz de AB = = bisectriz exterior A E B q° q° C A B C mediatriz del lado BC A B CF ceviana BF ceviana exterior BE E B A C bisectriz interior BF A F B C a° a° altura BH A H B C altura AH A H B C Geometría 4to - I Bim.indd 17 31/10/2014 11:13:15 a.m. 1918 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaLíneas notables Relaciones angulares • A B C I x° q° a° a° b° b° I incentro 2 x°=90°+ q° • E excentro 2 x°= q° A B E C x°q° a° a° b° b° • 2 x°=90° q° E excentro A B C E x° q° a° a° b° b° BH BD altura bisectriz 2 x°= A° C° • Altura y bisectriz A B CH D x° Congruencia de triángulos (~=) Dos triángulos se llaman congruentes, si tienen sus lados y ángulos congruentes. “A lados congruentes, uno en cada triángulo, se oponen ángulos congruentes y viceversa” Para que dos triángulos sean congruentes, deben cumplir con alguno de los casos de congruencia. En ellos se menciona como requisito que presenten tres pares de elementos congruentes, siendo por lo menos uno de ellos un lado. • 1er caso: (Postulado A - L - A) Un par de lados y los ángulos adyacentes a ellos. q° q°a° a° ~= Geometría 4to - I Bim.indd 18 31/10/2014 11:13:16 a.m. 1918 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad I 2 Síntesis teórica • 2do caso: (Postulado L - A - L) Dos pares de lados y el ángulo comprendido entre ellos. a°a° ~= = l l = • 3er caso: (Postulado L - L - L) Los tres pares de lados. ~= = l l = • 4to caso: (Postulado L - L - A) Dos pares de lados y congruentes los ángulos que se oponen a los mayores lados. ~=a° a° La altura es un concepto de perpendicularidad. La mediatriz asocia la perpendicularidad con un lado y su punto medio. La mediana está asociada al punto medio del lado opuesto. La bisectriz puede ser interior o exterior, pero siempre biseca al ángulo respectivo. La ceviana puede ser interior o exterior y une un vértice con cualquier punto de la recta opuesta. LÍNEAS NOTABLES Geometría 4to - I Bim.indd 19 31/10/2014 11:13:17 a.m. 2120 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaLíneas notables Conceptos básicosAprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la altura BH y se sabe que los ángulos BAC y BCA miden 52° y 40° respectivamente. Calcular la diferencia de las medidas de los ángulos HBC y HBA. 2. Grafique el triángulo ABC y trace la mediana AM. Si los segmentos MB y MC miden "2x 1" y "x+6", calcular el valor de "x". 3. En un triángulo PQR, se trazan las medianas PN y QM. Calcular la suma de los lados RQ y RP, sabiendo que: QN=6 cm y MP=5 cm. 4. Grafique el triángulo ABC y trace la bisectriz interior BI. Calcule la m BIA, sabiendo que los ángulos ABI y ACB miden 36° y 40° respectivamente. 5. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), se traza la altura BH relativa a la hipotenusa. Calcular la m ABH, sabiendo que el ángulo "C" mide 47°. 6. Grafique al triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B" y trace la altura AH . Si la m HAB es de 42°, calcular la medida del ángulo ABC. 7. En un triángulo ABC, la m ABC=74°. Calcular la medida del menor ángulo que forman las bisectrices exteriores de los ángulos "A" y "C". 8. Grafique el triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B" y trace la altura CH. Si los ángulos HBC y BCA miden 80° y 21° respectivamente, calcular la m HCA. Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • La mediatriz de un triángulo, siempre contiene a uno de sus vértices. • La mediana de un triángulo biseca al lado opuesto. • La altura de todo triángulo divide al ángulo interior en partes iguales. 2. Completar: La bisectriz ............................... divide al ángulo interior respectivo, en dos ángulos ............................. 3. Expresar gráficamente lo que se le solicita en cada caso: • Un triángulo y dos bisectrices interiores que se interceptan en "I". • Un triángulo acutángulo ABC, la altura BH y la bisectriz CF, que se interceptan en "Q". • Un triángulo obtusángulo y las alturas relativas a los lados menores. 4. Teniendo en cuentael poema mostrado al comienzo del capítulo y la teoría efectuada, indique a qué línea notable se refiere y qué propiedades le hace recordar. Resolución de problemas 5. Grafique el triángulo acutángulo ABC y trace las alturas AH y CF que se intersectan en "Q". Si el ángulo "B" mide 72°, calcular la m AQC. 6. Sea ABC un triángulo donde las bisectrices interiores de los ángulos "A" y "C" se cortan en "I". Calcular la m AIC, sabiendo que el ángulo ABC mide 70°. 7. En un triángulo ABC, sea "M" punto medio de BC y sea "R" punto de intersección de la bisectriz interior del ángulo "B" con la mediatriz del lado BC. Calcular la m ABC, sabiendo que el ángulo BRM mide 52°. 8. Grafique el triángulo ABC de modo que el ángulo "B" mida 48° y las bisectrices exteriores de "A" y "C", se corten en "Q". Calcule la m AQC. Geometría 4to - I Bim.indd 20 31/10/2014 11:13:17 a.m. 2120 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad I 2 9. Grafique al triángulo ABC de modo que el ángulo "B" mida "a°" y las bisectrices exteriores de "A" y "C", se corten en "Q". Si la m AQC=a°, calcule el valor de "a°". 10. Grafique al triángulo equilátero ABC y trace la ceviana AE de modo que la m EAC=15°. En el triángulo obtusángulo AEC trace la altura CH. Calcular la medida del ángulo formado por las prolongaciones de CH y AB. 11. Los ángulos "A", "B" y "C" de un triángulo ABC, son entre sí como 3; 4 y 5 respectivamente. Calcular el valor del ángulo formado por la altura y la bisectriz interior relativas al lado mayor. 12. Sea ABC un triángulo obtusángulo, donde las alturas AE y CF se interceptan en "H". Si: m B=128°, calcular la m AHC. 13. Del gráfico, calcular la relación entre "x°" e "y°". a° a° q°q° x° y° 14. En un triángulo rectángulo ABC (B=90°), se traza la altura BH y la bisectriz interior AE, que corta a la altura BH en "F". Calcular "BE", si: BF=5 2cm. 15. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices exte- riores de los ángulos "B" y "C" que se interceptan en "E", de tal manera que: 2m BEC=5m A. Calcular: m A. 16. ABC y PQR son dos triángulos congruentes, de modo que: AC QR; m A=m Q; m C=m R; AB=x 1; PQ=7 x; PR=6 y BC=2y. Calcular el valor de "x+y". 17. PQRS es un cuadrilátero donde: PQ=SR, m QPR=m PRS; QR= 20 y SP=x 5. Calcular "x". 18. Grafique el triángulo rectángulo ABC, recto en "B" y trace la altura BH, de tal manera que: AH>HC. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos BAH y HBC. Aplicación cotidiana 19. En uno de los extremos (banda) de una mesa de billar, se encuentran tres bolas en línea recta en "A", en "B" y en "C" respectivamente y en el otro extremo paralelo (banda opuesta) se encuentra el jugador y la bola blanca (punto "J"). Esta disposición es tal que JB es la mínima distancia entre las bandas opuestas, AJ=2,5 m y JC=1,5 2 m. Si además JB mide 1,5 m, calcular: • La medida del ángulo que formarían los recorridos de la bola blanca, que partiendo de "J" iría hacia "A" y "C". • Si en AB se ubica un punto "N" tal que AN=1,75 m, indicar qué línea sería JN para el triángulo AJC. 20. En el gráfico, se muestra una parte del área en conflicto entre Perú y Chile, que tiene un área de 37 610 m2 terrestres. ¿Cuál es la distancia aproximada del Punto Concordia hacia la línea que une el paralelo geográfico con el Hito 1, considerando que la porción de línea costera es línea recta? Paralelo geográfico PERÚ CHILEOcéano Pacífico 10 km del puente Lluta 264 .5 m 37 610 m2 323.54 m Hito 1 Orilla del Mar Punto Concordia Geometría 4to - I Bim.indd 21 31/10/2014 11:13:18 a.m. 2322 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaLíneas notables Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 1. ABC es un triángulo equilátero y CQR otro triángulo equilátero exterior (ambos coplanares). Calcular el valor del mayor ángulo que forman BR y AQ. 2. Sea ABC un triángulo rectángulo (B=90°), ABEF y BCPQ son dos cuadrados exteriores a dicho triángulo. Si las distancias de "F" y "P" a la recta AC miden 3 2 y 6 2m respectivamente, calcule el valor de "AC". 3. En la figura, BI es bisectriz interior. bº fºaº wº B I Luego, podemos afirmar: a) w° = b° a° b) w° = a°+b° c) f° = b° a° 2 d) w° =3f° e) 2w° =f° 4. Grafique al cuadrado ABCD y a una recta exterior L que pasa por "A". Si las distancias de "B" y "D" a L miden 10 y 8 dm, calcular la distancia entre los pies de estas perpendiculares. 5. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B", se trazan la altura BH y la bisectriz interior BM, de tal manera que: m A + 3m HBM=90° + m C. Calcular m HBM, si: BC>AB . 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • La bisectriz de un triángulo, siempre con- tiene al punto medio del lado opuesto. • La mediana de un triángulo no biseca al lado opuesto. • La altura de todo triángulo es siempre una línea que pertenece a su región interior. 2. Expresar gráficamente lo que se le solicita en cada caso: • Un triángulo ABC y dos bisectrices exteriores que se interceptan en "F". • Un triángulo acutángulo ABC, la mediana BM y la bisectriz CF, que se interceptan en "Q". • Un triángulo obtusángulo y dos alturas relativas al lado menor y al lado mayor. 3. Sea ABC un triángulo de incentro "I". Calcular la m AIC, sabiendo que el ángulo ABC mide 118°. 4. En un triángulo ABC, sea "M" punto medio de BC y sea "R" punto de intersección de la bisectriz interior del ángulo "B" con la mediatriz del lado BC. Calcular la m BRM, sabiendo que el ángulo ABC mide 82°. 5. En la figura, AB=BC y AP=PC. Calcular "a°". A B C P 2a° 3a° 6. En el triángulo ABC, las bisectrices de los ángulos "A" y "C" se cortan en "F". Si el ángulo ABC mide 72°, calcular la m AFC. 7. En la figura, AM=MD, CD=8 y AB=11. Calcular "BC". A B C D M 8. Calcular la medida del ángulo exterior "C" de un triángulo ABC, si: m A=40° y 3m B=4m C. 9. Sea ABC un triángulo rectángulo (B=90°) y sea "Q" la intersección de las bisectrices exteriores de "A" y "C". Calcular la m AQC. Geometría 4to - I Bim.indd 22 31/10/2014 11:13:18 a.m. 2322 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad I 2 10. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la altura BH, luego, la bisectriz BF del ángulo HBC. Si: AB=BF, calcular la m BAC. 11. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la bisectriz interior AF. La mediatriz de la hipotenusa AC, corta a BC en "E" y a la prolongación de AF en "Q". Calcular: EF/QE. 12. Dos lados de un triángulo acutángulo suman 16 dm. Calcular la longitud del máximo valor entero de la altura relativa al tercer lado. 13. Se tiene el triángulo ABC. Si: m A=2m C y AB=5, calcular el máximo valor entero de BC. 14. ABCD es un cuadrilátero, tal que: AB=CD, m BAC=m ACD, BC=2 a y AD=a 2. Cal- cular el valor de "a". 15. Dibuje el triángulo rectángulo isósceles ABC (B=90º) y a la recta L exterior al triángulo pero que contenga a "B". Sean AH y CE las distancias a L . Si: AH=13 y CE=7, calcule "HE". 16. Dado el triángulo rectángulo PQR (Q=90º), dibuje exteriormente los cuadrados PQEF y QRST. Si las distanciasde "F" y "S" a PR miden 4,5 y 8,5 dm, calcule "PR". 17. En la región interior y exterior relativa al lado AB de un triángulo equilátero ABC, se ubican los puntos "P" y "E" respectivamente, de tal manera que el triángulo PBE sea equilátero. Calcular m PEA, si: m CPB=90°. 18. En el gráfico, el triángulo ABC es obtusángulo. Calcular el mínimo valor entero de "a°+q°". A B Ca° q° 19. Grafique al triángulo acutángulo ABC en el que se trazan las alturas AH y CJ. Se unen "H" y "J" con "M" punto medio de AC. Si el menor ángulo que forman las bisectrices del ángulo ABC y del ángulo HMJ mide "x°" y el ángulo JCA mide "y°", calcular la medida del ángulo HAC en términos de "x°" e "y°". 20. En el gráfico, el valor de AB es de 2 cm. ¿Entre qué valores está CD? A 2a° 3a° B CD a° Geometría 4to - I Bim.indd 23 31/10/2014 11:13:18 a.m. 2524 TRILCE Colegios 3 Congruencia La congruencia de las figuras (léase en términos prácticos como igualdad), aparece en la naturaleza, en la vida cotidiana, en nuestro quehacer escolar y también en nuestros juegos. Una forma interesante de manifestarse es en el famoso "tangram". Este es un rompecabezas de origen chino que probablemente apareció hace tan solo 200 ó 300 años. Los chinos lo llamaron "tabla de sabiduría" y "tabla de sagacidad", haciendo referencia a las cualidades que el juego requiere. En este capítulo aprenderemos: • A identificar a los triángulos congruentes, haciendo uso de los postulados. • A demostrar que dos triángulos son congruentes y aplicarlo en la resolución de problemas a través de ello y los teoremas respectivos. Ya que estamos en el terreno lúdico, también cabe recordar cómo en nuestra niñez hacíamos uso de la congruencia de triángulos. Que agradable es recordar cuando construíamos la imagen de un chinito, compuesto por triángulos de diversos tipos. Probablemente no nos indicaban ni la naturaleza de los triángulos, ni de la congruencia de los mismos. Sin embargo hacíamos buen uso de ellos. ¿Podrías indicarnos cuántos triángulos congruentes aparecen en esta imagen y también indicarnos los tipos de triángulos? 3 Geometría 4to - I Bim.indd 24 31/10/2014 11:13:19 a.m. Unidad I 2524 TRILCE Colegios Geometría Saberes previos • La distancia de un punto hacia una recta, es la perpendicular trazada desde dicho punto hacia la recta. L A L A • La bisectriz de un ángulo es el rayo que partiendo del vértice, biseca a dicho ángulo. q° q°O F B A a° a° O E C B • La mediatriz de un segmento es la línea perpendicular en el punto medio de dicho segmento. A B A B C Mediatriz de BC • En un triángulo se cumple que a mayor ángulo se le opone mayor lado y a menor ángulo se le opone menor lado y viceversa. a c ba° q° Si "a°" es el mayor ángulo, entonces "c" es el mayor lado y si "q°" es el menor ángulo entonces "a" es el menor lado. Antes de entrar al tema, recordemos que: Geometría 4to - I Bim.indd 25 31/10/2014 11:13:19 a.m. 2726 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaCongruencia Conceptos básicos En el capítulo anterior, se trabajó con las líneas notables en el triángulo y los casos de congruencia de triángulos. Ahora trataremos sobre las propiedades que se deducen de la congruencia de triángulos, como también de algunos triángulos rectángulos notables. • Propiedad de la bisectriz Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo, equidista de sus lados. • Propiedad de la mediatriz Todo punto situado en la mediatriz de un segmento, equidista de sus extremos. a° a° Q P R A M Si "P" ∈ a la bisectriz AM AQ PQ AR PR a° a° P M L A B= = ∆APB P ∈ L PA isósceles PB L → mediatriz de AB En el triángulo isósceles • La altura relativa a la base, es también mediana, bisectriz y mediatriz. Si: AB=BC Altura Mediana Bisectriz Mediatriz BH a° a° q° q° B HA C \ \ Si: AB=BC "E"→ Punto cualquiera de la base AC EP+EQ=AH • La suma de las distancias EP y EQ, nos da la altura AH . B E P Q H A C ⇒ ⇒ Geometría 4to - I Bim.indd 26 31/10/2014 11:13:20 a.m. 2726 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad I 3 • Teorema de los puntos medios En un triángulo, la paralela a un lado, trazada por el punto medio de otro, corta al tercero en su punto medio. El segmento determinado se llama base media o paralela media y mide la mitad de la longitud del lado al cual es paralelo. B M N A C Si: AM MB y MN // AC MN= AC 2 y MN se denomina base media "N" es punto medio de BC⇒ • Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa En todo triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa mide la mitad de ella. Si BM es mediana y AM=BM=MC BM= AC 2⇒ q° a° a°q° B M = = =A C Triángulos rectángulos notables a a a 2 45° 45° n 2n n 3 60° 30° 2a a 2 a 2 45° 45° Geometría 4to - I Bim.indd 27 31/10/2014 11:13:20 a.m. 2928 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaCongruencia Síntesis teórica 4a 5a 3a 37° 53° k 3k k 10 37° 2 b 2b b 5 53° 2 En este caso, la altura menor es la cuarta parte de la hipotenusa. B 15°75° H 4a a A C a( 6 - 2 ) a( 6+ 2 ) CONGRUENCIA Para efectos prácticos puede entenderse a la congruencia (≈) como sinónimo de igualdad. La propiedad de la bisectriz es respecto de la equidistancia de lados. La propiedad de la mediatriz es respecto de la equidistancia de vértices. El teorema de la base media es para todo tipo de triángulo y el de la mediana relativa al lado mayor es aplicable solo en el triángulo rectángulo. Recordar los triángulos rectángulos notables. Geometría 4to - I Bim.indd 28 31/10/2014 11:13:21 a.m. 2928 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad I 3 Conceptos básicos Aprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Se tienen dos triángulos congruentes, donde los lados menores (uno en cada triángulo) miden (3x+2) cm y (14+x) cm. Calcular la longitud de uno de estos lados. 2. Se tienen dos triángulos rectángulos congruentes. Si las hipotenusas miden "3x" y "4x 5", calcular la suma de los cuadrados de los catetos de uno de estos triángulos. 3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 24 cm. Si la mediana relativa a dicha hipotenusa mide "5y+2", calcular el valor de: 2y. 4. En un triángulo, una base media mide (6x 2) cm. Si el lado al cual es paralelo mide 32 cm, calcular el valor de "x". 5. Si los lados de un triángulo miden 14; 16 y 18 cm, calcular el perímetro del triángulo que resulta al unir los puntos medios de sus lados. 6. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 y 16 cm. Calcular la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa. 7. Grafique al ángulo ABC y en su bisectriz marque el punto "Q", de modo que las distancias de "Q" hacia los lados midan (2x 1) cm y (x+4) cm. Calcular la longitud de una de estas distancias. 8. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la bisectriz interior AF . Si: FB=2 3 cm, calcular la distancia de "F" a la hipotenusa AC. Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifiquesu respuesta. • Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos de su segmento. • Si dos triángulos tienen sus tres ángulos congruentes, entonces se afirma que dichos triángulos también serán congruentes. • La altura de todo triángulo mide la mitad de su base. 2. Completar: En un triángulo, la base media es ............................... al lado opuesto y mide la .................................. de dicho lado. 3. Completar: A B CQ P = = PQ= PH PN = H a° a° N P BM= A B C M = = 4. Realice un breve comentario sobre la lectura proporcionada al comienzo del capítulo. Geometría 4to - I Bim.indd 29 31/10/2014 11:13:21 a.m. 3130 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaCongruencia Resolución de problemas 5. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la altura BH y la mediana BM relativas a la hipotenusa AC . Si la m ACB=42°, calcular la m HBM. 6. Grafique al triángulo rectángulo ABC de hipo- tenusa AC igual a 24 cm y cuyo ángulo "C" mida 36°. Trace la ceviana BF de modo que el ángulo ABF mida 18°. Calcular el valor de "BF". 7. Grafique al triángulo ABC de modo que los ángulos "B" y "C" midan 84° y 42° respectiva- mente. Trace la mediatriz de AC que corta al lado BC en "R". Calcular la longitud de AB, sabiendo que: CR=2 5 cm. 8. Sea ABC un triángulo rectángulo de hipotenusa AC. La mediatriz de AC corta a BC en "Q" de modo que: QC=12 cm. Calcular la distancia de "B" al punto medio de AQ. 9. Grafique al triángulo ABC, cuyo lado AC mida 12 cm. Sean "M" y "N" puntos medios de los lados AB y BC respectivamente. Grafique al rectángulo MNPQ (PQ sobre la base AC) de modo que NP=8 cm. Calcule el valor de "MP" y la m MPN. 10. Grafique al cuadrilátero ABCD de modo que los ángulos ABC y ADC sean rectos, el ángulo ACD mida 53°, AB y BC midan 7 y 24 cm respectivamente. Luego, exteriormente, grafique al triángulo rectángulo AFD de modo que sea recto en "F" y el ángulo FAD mida 45°. Calcule el valor de "FD". 11. En el gráfico, AE y BF son paralelos, OE y OF son bisectrices de los ángulos AEF y BFE. Si la distancia de "O" hacia EF es de 5 3 cm, calcular la distancia entre las paralelas A E B F O 12. Grafique al triángulo ABC de modo que los lados AB y AC midan 7 y 13 cm respectivamente y trace BH perpendicular a la bisectriz interior del ángulo "A". Calcule la distancia de "H" al punto medio del lado BC . 13. Grafique al triángulo ABC y a su mediana BM. Si la distancia de "A" hacia BM es de 6 cm y BC mide 10 cm, calcular la m CBM. 14. Grafique al triángulo rectángulo ABC de hipo- tenusa AC y trace la ceviana AF, de modo que: m FAC=2m BAF. En AC marque "Q" de forma que: m AFQ=m ACB. Calcular el valor de "QF", si el valor de FB es de 10 cm. 15. Sea EFG un triángulo rectángulo tal que: m E=58°, m G=32° y EG=10 cm. Trace la ceviana FH , de modo que el ángulo EFH mida 6°. Calcule el valor de "FH". 16. ABC es un triángulo acutángulo donde AC mide 24 cm y el ángulo "A" mide 45°. Exteriormente y relativo a BC marque el punto "Q" de modo que: BC=CQ y m A=m BCQ. Calcular la distancia de "Q" hacia CA. 17. Grafique al triángulo ABC y ubique un punto interior "P" de modo que: m PAC=30°, m PCA=15° y m APB=90°. Calcule la m PCB, si además las longitudes AC, BP y PC miden 4; 2 y 2 2 cm respectivamente. Aplicación cotidiana 18. Julio desea realizar un experimento de distancias. Para ello se sitúa en el punto "P" que está a 10 3 m al frente de su casa. Coloca una cuerda desde "P" hacia la parte más alta de su casa y la tensa firmemente. Julio se da cuenta que la cuerda forma un ángulo de 30° con el piso. Calcular: • La altura de la casa. • La distancia respecto del piso, a la que se encuentra el punto medio de la cuerda. Geometría 4to - I Bim.indd 30 31/10/2014 11:13:22 a.m. 3130 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad I 3 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos¡Tú puedes! 19. Alberto y Carlos se encuentran ubicados de modo que la distancia entre ellos es de 10 m y entre ellos se encuentra un árbol tal que el pie del árbol dista 7 m de Carlos. El ángulo de elevación de Alberto para mirar la copa del árbol es el doble del ángulo de elevación que usaría Carlos para mirar la copa de dicho árbol. Calcular: • La distancia del pie del árbol hacia Alberto. • La altura del árbol. 20. La figura nos muestra el cuerpo de un telescopio diseñado por el inventor John Lowry Dobson. Él montó el telescopio sobre una base de madera y utilizó una serie de varillas de 150 cm de longitud, para fijar la posición de los dos espejos (el principal y el secundario). La base de madera la colocó sobre un carro para mover el telescopio de un lado a otro y acercarlo a la gente para que disfrutasen del espectáculo nocturno. El sistema que utilizó para la fabricación de este telescopio fue tan sencillo, que hoy son muchos los aficionados que optan por seguirlo y fabricarse su propio telescopio, variando las medidas a sus necesidades. Si el ángulo que forman dos varillas es de 53°, ¿cuál sería la longitud de la base que se opone a dicho ángulo? http://w w w .astrofacil.com 1. Grafique al triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B". Trace una perpendicular a BC, por "B" y que corta a CA en "Q". Si la m BAC es el doble de la m ACB y AB=9 cm, calcular el valor de "QC". 2. Los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC miden 12; 16 y 20 cm respectivamente. Calcular la longitud del segmento que une los pies de las perpendiculares trazadas desde "B" hacia las bisectrices interiores de los ángulos en "A" y en "C". 3. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 96 cm y uno de sus ángulos agudos mide 37°. Trace la altura relativa a la hipotenusa y calcule la distancia del pie de dicha altura al punto medio del cateto mayor. 4. Dos lados de un triángulo miden 5 y 6 cm. Si el ángulo que forman es de 7°, calcular la medida del mayor ángulo interior. 5. Los ángulos "A" y "C" de un triángulo ABC miden 45° y 30° respectivamente. Calcular la m AMB, sabiendo que AM es la mediana relativa a BC. 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados. • Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos agudos congruentes, entonces se afirma que dichos triángulos también serán congruentes. • La bisectriz relativa a la hipotenusa mide la mitad de dicha hipotenusa. 2. Alberto y Julio se encuentran ubicados de modo que la distancia entre ellos es de 13 m y entre ellos se encuentra un árbol tal que el pie del árbol dista 9 m de Julio. El ángulo de elevación de Alberto para mirar la copa del árbol es el doble del ángulo de elevación que usaría Julio para mirar la copa de dicho árbol. Calcular: • La distancia del pie del árbol hacia Alberto. • La altura del árbol. Geometría 4to - I Bim.indd 31 31/10/2014 11:13:23 a.m. 3332 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaCongruencia 3. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la altura BH y la mediana BM relativas a la hipotenusa AC. Si la m ACB=33°, calcular la m HBM. 4. Grafique al triángulo ABC, de modo que los ángulos "B" y "C" midan 76° y 38° respecti- vamente. Trace la mediatriz de AC que corta al lado BCen "R". Calcular la longitud de AB, sabiendo que CR=2 7 cm. 5. Grafique al triángulo ABC de modo que los lados AB y AC midan 9 y 16 cm respectivamente y trace BH perpendicular a la bisectriz interior del ángulo "A". Calcule la distancia de "H" al punto medio del lado BC. 6. Sea ABC un triángulo, tal que: AB=18 cm, BC=20 cm y AC=24 cm. Trace la altura BH y calcule el perímetro del triángulo que se forma al unir "H" con los puntos medios de AB y BC. 7. Grafique al cuadrilátero ABCD, de modo que: m B=m D=90°,m ACB=30° ym CAD=37°. Calcular el valor de "DA", sabiendo que AB y CA suman 30 cm. 8. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la mediatriz de la hipotenusa AC que intercepta a BC en "Q". Si QC mide 10 cm, calcular la suma de cuadrados de AB y BQ. 9. Grafique a los triángulos rectángulos ABC y CEF, de modo que "B", "C" y "E" sean puntos colineales y además: AC=CF, m ACF=90°, AB=5'cm y FE=12'cm. Calcular el valor de "BE". 10. En el gráfico mostrado, calcular "PS", si: PQ=9 cm y RH=14 cm. P Q R H S 11. Grafique al triángulo rectángulo ABC de hipo- tenusa AC y cuyo ángulo "C" mida 30°. Exte- riormente construya el triángulo rectángulo AFC (F=90°) de modo que la m ACF sea de 37º. Calcular la diferencia entre FC y AC, sabiendo que: AB=12,5 cm. 12. Grafique al triángulo ABC y trace la mediana BM. Si la distancia de "A" hacia BM es de 6.cm, calcule la distancia de "C" hacia dicha mediana. 13. Sea ABC un triángulo donde: m A=30° y m C=15°. Trace la mediana BM y calcule la m MBC. 14. Grafique al triángulo ABC y trace la mediana BM. Si la distancia de "A" hacia BM es de 8 cm y el lado BC mide 10 cm, calcule la m MBC. 15. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 24 cm y uno de sus ángulos mide 15°. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. 16. En el gráfico, si PH mide 12 cm, calcular el valor de "AB". P CB A H aº aº 17. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) y trace la mediana AM de modo que: AB=5.cm y MA= 61 cm. Calcular la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa. 18. Dado un triángulo rectángulo ABC (recto en "A"), se trazan la altura AH y la bisectriz interior BN ("N" ∈ AC) las cuales se cortan en "O". Calcular la distancia desde "O" hasta AC, si: AB=18 cm y BH=6 cm. 19. En el gráfico mostrado: FC=2AP; AF=FP=PE y el ángulo "C" es de 30°. Calcular el valor de "f°". CFA E P B 30° f° 20. Grafique al triángulo acutángulo ABC y trace BH altura y AM mediana, que se interceptan en "O". Si: BH =6 cm, AH=4 cm y AO=MO, calcular el valor de "BC". Geometría 4to - I Bim.indd 32 31/10/2014 11:13:23 a.m. Razonamiento Matemático 33Central: 619-8100 3332 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría 4 Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • La menor mediana de un triángulo rectángulo mide la mitad de la hipotenusa. • Si dos triángulos tienen sus ángulos iguales, entonces serán congruentes. • La base media de un triángulo mide el doble de su lado opuesto. 2. En un triángulo, las mediatrices de dos de sus lados se interceptan en un mismo punto situado en el tercer lado. Calcular la medida del ángulo interior opuesto a dicho lado. 3. Las medidas de dos ángulos exteriores de un triángulo rectángulo son "4b°" y "5b°" respectivamente. Calcular el valor del menor de los ángulos interiores agudos. 4. En un triángulo ABC, la medida del ángulo exte- rior en "B" es de 140° y su bisectriz exterior es paralela al lado AC. Calcular la m BAC. 5. En un triángulo ABC, los ángulos en "A" y en "C" miden 58° y 42° respectivamente. Calcular la medida del ángulo que forman la altura y la bisectriz relativas al lado AC. 6. Los lados menores de un triángulo obtusángulo miden 8 y 15 cm. Calcular la suma del mínimo y máximo valor entero que puede adoptar el tercer lado. 7. Los lados menores AB y BC de un triángulo ABC miden 3 y 5 cm respectivamente. Exteriormente se construye el triángulo equilátero ACQ. Cal- cular el máximo valor entero que adopta el perímetro del triángulo ACQ. 8. Grafique al triángulo rectángulo ABC (B=90°) cuyo cateto AB mida 8 cm y el ángulo "C" mida 30°. Exteriormente construya el triángulo isósceles AQC cuyo lado diferente es QC. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y QC. 9. En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos mide 15° y la hipotenusa mide 48 cm. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. 10. Completar: x° a° q° x°= PQ= A B C P Q= = <c<ba c 11. El triple de un ángulo excede a otro en 40°. Si estos ángulos son conjugados internos compren- didos entre rectas paralelas, calcular la diferen- cia entre dichos ángulos. 12. En la figura, las rectas L1 y L2 son paralelas entre sí, al igual que L3 y L4 que también son paralelas. Calcular el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos SRT y SPR. L1P S R T a° a° L3 L4 L2 13. Si: L1 // L2 , calcular: m n n° m° b° b° a° a° L1 L2 Repaso Unidad I Geometría 4to - I Bim.indd 33 31/10/2014 11:13:23 a.m. 3534 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaRepaso Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 14. Si: L1 // L2 , calcular el valor de "x°" cuando "q°" toma su máximo valor entero. q° 2x°+2q° 3x° q° 3q° 56º L1 L2 15. Grafique al triángulo ABC, de modo que: m A=2m C y trace la altura BH. Calcule el valor de "AB", sabiendo que: HA=5 cm y HC=12 cm. 16. Grafique el triángulo ABC, de modo que: m A=2m C y trace la bisectriz interior BD. Calcule el valor de "AB", sabiendo que: AD=6'cm y BC=10 cm. 17. En un triángulo ABC, el ángulo "A" mide 48º. Trace las bisectrices interiores BP y CQ y calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos BQC y BPC. 18. Sobre el cateto BC de un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se construye exteriormente el triángulo equilátero BCD. Calcular la medida del ángulo PQR, si "P", "Q" y "R" son los puntos medios de AD, BD y BC respectivamente. 19. En el interior de un triángulo ABC, se ubica "M", de modo que: MA=AB=MC, m MAC=2x°, m MCB=3x° y m ABC=13x°. Calcule el valor de "xº". 20. Grafique al triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B". Calcule el valor de "AB", sabiendo que es un número entero y que además AC y BC miden 10 y 2 cm respectivamente. 1. Los lados menores de un triángulo obtusángulo miden 6 y 8 cm. Calcule la suma de todos los posibles valores enteros del tercer lado. 2. En un triángulo, las mediatrices de dos de sus lados se interceptan en un mismo punto situado en el tercer lado. Indicar de qué tipo de triángulo se trata. 3. En un triángulo ABC, la medida del ángulo exterior en "B" es de 130° y su bisectriz exterior es paralela al lado AC. Calcular la m BAC. 4. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • La mayor mediana de un triángulo rectángulo mide la mitad de la hipotenusa. • Si dos triángulos tienen todos sus lados iguales, entonces serán congruentes. • La base media de un triángulo no es paralela al lado opuesto. 5. Grafique al triángulo acutángulo ABC, trace la altura BH y la bisectriz AI. Si el ángulo "A" mide 72°, calcule el mayor ángulo que formanestas líneas al interceptarse. 6. Grafique el triángulo ABC de modo que: m A=2m C y trace la bisectriz interior BD. Calcule el valor de "AB", sabiendo que: AD=7.cm y BC=16 cm. 7. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • La mediatriz del lado de un triángulo siempre es paralela al lado opuesto. • Los ángulos interiores agudos del triángulo rectángulo son suplementarios. • La bisectriz interior de un triángulo es perpendicular al lado opuesto. 8. Si la hipotenusa del triángulo rectángulo mide 60 cm y uno de sus ángulos agudos mide 37°, calcule su perímetro. 9. En un triángulo isósceles ABC, AB=BC=5 cm, se traza la ceviana BP tal que AP=2 cm. Si BP toma un valor entero, calcular el perímetro del triángulo APB. 10. Dos lados de un triángulo miden 6 y 8 cm. Calcular el máximo valor entero del tercer lado, si su ángulo interior opuesto es agudo. Geometría 4to - I Bim.indd 34 31/10/2014 11:13:24 a.m. 3534 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría 4 Unidad I 11. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "A", las mediatrices de AB y AC interceptan a BC en "P" y "Q". Hallar m PAQ, si la medida del ángulo exterior en "A" es 80°. 12. Calcular "AB", si: BM=MC; AD=50m y CD=35m. B M C DA 13. En el gráfico mostrado, calcular el valor de AB. A 8 B 15 a°a° 14. En el gráfico, calcular el valor de "EH", si BC=4m A C B D 45° E H 15. Del gráfico mostrado, calcular el valor de "BF". A B C E F 24m 90°- a° 2a° q° q° 16. Calcular "PS", si: PQ=7m y RH=11m Q P H R S 17. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices exteriores de los ángulos "B" y "C" que se interceptan en "E", de tal manera que: 2m BEC=7m A. Calcular la m A. 18. En el triángulo ABC, las bisectrices interiores de los ángulos "A" y "C" se cortan en "F". Si el ángulo ABC mide 82°, calcular la m AFC. 19. Grafique al triángulo ABC y ubique el punto interior "D" tal que: m DBC=m DAC=a°, m C=5a°, m DAB=7a° y BD=AC. Calcule el valor de "a°". 20. Grafique al cuadrado ABCD y marque los puntos "M" en AD y "E" en CM, de modo que AM=MD y AB=BE. Calcular la m AEM. Geometría 4to - I Bim.indd 35 31/10/2014 11:13:24 a.m.
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