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APRENDIZAJES ESPERADOS UNIDAD 1 El uso de los polígonos es muy variado, lo tenemos en las artes, en la arquitectura, en el ámbito comercial, etc. Y ya que hablamos de comercio, muchos logotipos de fábricas o marcas comerciales se hacen sobre la base de los polígonos, como por ejemplo Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation. Ahora, un bello ejemplo del uso de polígonos se da en la unión de la madre naturaleza y el hombre. Vea usted cómo se delimitan los campos de cultivo a través de los cuadriláteros. ¿Es el estudio de los polígonos una mera abstracción teórica? ¿Recuerda usted alguna otra forma práctica del uso de los polígonos? CUANDO LOS LADOS AUMENTAN UNIDAD 2 Comunicación matemática • Identificar y nombrar los diferentes tipos de polígonos y cuadriláteros. • Reconocer y representar las propiedades en los polígonos. Resolución de problemas • Analizar los datos disponibles y relacionarlos con los teoremas respectivos. • Formular estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas tanto de polígonos como de cuadriláteros. Geometría 4to - I Bim.indd 36 31/10/2014 11:13:25 a.m. Central: 619-8100 Polígonos En este capítulo aprenderemos: • A identificar y nombrar los distintos tipos de polígonos así como sus elementos y conocer sus propiedades • A reconocer y aplicar los teoremas respectivos en la resolución de problemas matemáticos. El estudio de los polígonos en Geo-metría nos permite ampliar las definiciones y generalizar algunas propiedades del triángulo y mostrar otras que nos ayudan para el normal desarrollo de los temas subsiguientes. Pero es aún más importante y fascinante el uso práctico que le damos a esta parte del curso. Actualmente podemos encontrar cons- trucciones en forma de polígonos, como el edificio del secretariado de la defensa y el estado mayor de las fuerzas armadas de los EE.UU. Pero para no ir tan lejos, veamos la famosa piedra de los doce ángulos que se encuentra ubicada en la calle Hatun Rumiyoc (de la Roca Mayor, en castellano), situado en Cusco, Perú, que es una calle bordeada por el muro del que fuera el palacio en el cual habitó Inca Roca. La belleza de esta roca y la precisión de sus empalmes nos muestran lo ingenioso que fueron nuestros antepasados. Razonamiento Matemático 37www.trilce.edu.pe 1 Geometría 4to - I Bim.indd 37 31/10/2014 11:13:25 a.m. 3938 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaPolígonos Saberes previos • Las líneas pueden ser rectas, quebradas (o poligonal), curvas o mixtas. • Se denomina diagonal de una figura cuando se unen dos vértices no consecutivos. • En un mismo vértice, el ángulo interior y el ángulo exterior son suplementarios. a°q° • Dado un triángulo, el ángulo exterior se consigue prolongando uno de sus lados. A B C a° A B C b° • Las rectas secantes pueden cortarse de diferentes maneras: cuando concurren en un punto, cortarse dos a dos, etc. Antes de entrar a la teoría, recordemos que: Geometría 4to - I Bim.indd 38 31/10/2014 11:13:25 a.m. 3938 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad II 1 Conceptos básicos Elementos de un polígono Vértices : A; B; C; ... Lados : AB; BC; CD; ... Ángulos interiores : i1°; i2°; ... Ángulos externos : e1°; e2°; e3°; ... Diagonal : BD; FC; ... Diagonal media : PQ; ... Perímetro : AB + BC + CD + ... Un polígono convexo no puede ser cortado más que en dos puntos por una recta que no sea un lado. En un polígono no convexo, su contorno puede ser cortado en más de dos puntos por una recta que no sea un lado. Polígono convexo Polígono no convexo Otros se mencionan según su número de lados. Ejm: polígono de 18 lados, polígono de 25 lados, etc. Según el número de lados, un polígono se llama: • Triángulo 3 lados • Cuadrilátero 4 lados • Pentágono 5 lados • Hexágono 6 lados • Heptágono 7 lados • Octógono u octágono 8 lados • Nonágono o eneágono 9 lados • Decágono 10 lados • Endecágono 11 lados • Dodecágono 12 lados • Pentadecágono 15 lados • Icoságono 20 lados B A P F E Q D C e3° e2° e1° i2° i1° a° g° r° w° q° b° a° Geometría 4to - I Bim.indd 39 31/10/2014 11:13:26 a.m. 4140 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaPolígonos Los polígonos se clasifican como: • Equiángulo Tiene todos sus ángulos congruentes. i°: ángulo interior e°: ángulo exterior • Regular Tiene sus lados congruentes y sus ángulos también congruentes. O → centro c° → ángulo central e° → ángulo exterior i° → ángulo interior • Equilátero Tiene todos sus lados congruentes. i° i° i° e°i° m exterior = 360°n m interior = 180°(n 2) n m exterior = 360°nm central = ∑ centrales = 360º m interior = 180°(n 2) ne° i° O c° i° i° Geometría 4to - I Bim.indd 40 31/10/2014 11:13:27 a.m. 4140 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad II 1 • La suma de los ángulos externos de todo polígono convexo es: • En un polígono convexo, al trazar todas las diagonales desde un solo vértice se forman: Propiedades a usar (n 2) triángulos ∑ s externos = 360° • El número de diagonales medias de todo polígono es igual a: NDM = n(n 1) 2 "n" es el número de lados, el número de vértices o el número de ángulos interiores. • En todo polígono, el número máximo de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es: (n 3) diagonales • La suma de los ángulos internos de todo polígono convexo, es igual a: ∑ s interiores = 180°(n 2) • En todo polígono, el número de diagonales es igual a: ND = n(n 3) 2 Geometría 4to - I Bim.indd 41 31/10/2014 11:13:27 a.m. 4342 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaPolígonos Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Síntesis teórica Figuras de tres o más lados, determinadas al trazar tres o más rectas secantes que se cortan dos a dos. POLÍGONOS Tener presente la suma de sus ángulos, el número de diagonales y las diagonales desde un vértice. Propiedades en los polígonos regulares. Clasificación Teoremas Pueden ser convexas o no convexas. También clasifican por la regularidad de sus ángulos y/o lados. 1. Calcular la suma de las medidas de los ángulos interiores de un icoságono convexo. 2. Dado un polígono de 23 lados, calcular su número de diagonales. 3. Graficar y calcular la medida del ángulo exterior de los siguientes polígonos: • Pentágono regular • Hexágono regular 4. Graficar al pentágono regular ABCDE y calcule la medida del ángulo ADE. 5. Grafique al hexágono regular ABCDEF y calcule la medida del ángulo AEF. 6. Si en un polígono, el número de diagonales es igual al número de lados, ¿de qué polígono se trata? 7. Si el número de diagonales de un polígono es 35, calcular la suma de sus ángulos interiores. 8. En un polígono convexo, la suma de sus ángulos interiores es igual a seis ángulos rectos. Calcular su número de diagonales. Geometría 4to - I Bim.indd 42 31/10/2014 11:13:28 a.m. 4342 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad II 1 Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • En un polígonoregular, la medida del ángulo central es igual a la medida del ángulo exterior. • El polígono de 15 lados, se denomina icoságono. • Si todos los lados de un polígono son congruentes, entonces necesariamente el polígono es regular. 2. Completar: Un polígono equiángulo es aquel donde todos sus .............................................. son congruentes entre sí. 3. Realice un breve comentario sobre la lectura proporcionada al inicio del capítulo. Resolución de problemas 4. Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo es ocho veces el valor de un ángulo recto, calcular su número de diagonales. 5. En un polígono, el número de diagonales es el triple de su número de lados. Calcular el número de lados de dicho polígono. 6. La suma de los ángulos internos de un polígono convexo es 1.080°. Calcular el número de vértices de dicho polígono. 7. Calcular el número de vértices de un polígono convexo, donde la suma de sus ángulos interiores y exteriores es de 1 800°. 8. Si en un polígono convexo, el número de diagonales es el cuádruple del número de vértices, calcular la suma de las medidas de los ángulos interiores. 9. Grafique a los polígonos regulares ABC y BCDE, de modo que DE sea exterior al polígono ABC. Calcular la m DCA. 10. Grafique a los polígonos regulares ABCDE y ABPQ, de modo que el cuadrado sea interior al primero. Calcular la m PBC. 11. La medida del ángulo interior de un polígono regular es 135°. ¿Cuántas diagonales tiene este polígono? 12. Si en un polígono regular el valor del ángulo interior es el doble del ángulo central, ¿cuál será el número de diagonales de dicho polígono? 13. Si al número de diagonales de un polígono se le agrega el número de lados, se obtiene 6. Luego el número de lados es: 14. En un polígono regular, al disminuirle un lado, su número de diagonales disminuye en 4. Calcular la medida de su ángulo exterior. 15. En un polígono convexo, la suma de sus ángulos interiores aumentado en cinco veces la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero, nos da 3 600°. Calcular el número de lados de dicho polígono. 16. En un polígono de 25 lados, ¿cuántas diagonales como máximo se pueden trazar desde un vér- tice? 17. En un polígono regular desde cuatro vértices consecutivos se pueden trazar 33 diagonales como máximo. ¿Cuál es la medida de su ángulo central? 18. La figura nos muestra a dos polígonos regula- res ABCDE... y a BCPQR..., cuyos números de lados son "n" y "m" respectivamente. Calcule la m PCD. A B C D EP Q R Conceptos básicos Aprende más... Geometría 4to - I Bim.indd 43 31/10/2014 11:13:28 a.m. Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos ¡Tú puedes! 44 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Polígonos Aplicación cotidiana 19. La figura nos muestra avisos de seguridad de tránsito en carreteras. El primero es un polígono regular y el segundo es un polígono equilátero de 20 cm de lado. Responder: • ¿Cuál es el valor del ángulo interior del primer polígono? • ¿Cuánto es en centímetros el perímetro del segundo polígono? 1. En un polígono regular, desde seis vértices consecutivos se trazan como máximo 92 diagonales. Calcular el valor de su ángulo central. 2. Grafique al hexágono regular ABCDEF e interiormente al pentágono regular APQRF. Calcule la m QFE. 3. Si un polígono de "n" lados tuviera "n 3" lados, tendría "n+3" diagonales menos. ¿De qué polígono se trata? 4. La diferencia entre el número de diagonales de dos polígonos regulares es de 19 y los valores de sus ángulos externos están en la relación de 5 a 6. Calcular el producto de los números de lados de ambos polígonos. 5. Grafique a los polígonos regulares UNIDA... y a TRILCE... de modo que el primero sea un pentadecágono, que TR y RI sean interior al primero y LI; LC; CE;... sean exterior a dicho pentadecágono. Si la m TIA=114°, calcular el número de lados del polígono TRILCE... 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • En un polígono no convexo, la medida del ángulo central es igual a la medida del ángulo exterior. • Al polígono de 20 lados, se le denomina pentadecágono. • Si todos los lados de un polígono son con- gruentes, entonces necesariamente los ángu- los del polígono son congruentes entre sí. 2. La figura nos muestra avisos de seguridad de tránsito en carreteras. El primero es un polígono regular de 12 cm de lado y el segundo es un polígono equilátero de 18 cm de lado. Responder: 20. La figura nos muestra a un cubo y como se construiría dicho sólido con un polígono conformado por seis cuadrados iguales. Si la arista del cubo mide 10 cm, responder: • ¿Cómo se llama el polígono no convexo formado por los seis cuadrados? • ¿Cuál es el perímetro del polígono no convexo mostrado? Geometría 4to - I Bim.indd 44 31/10/2014 11:13:29 a.m. 45Central: 619-8100 Geometría Unidad II 1 • ¿Cuál es el valor del ángulo exterior del primer polígono? • ¿Cuánto es en centímetros el perímetro del segundo polígono? • ¿Cuál es la longitud de la diagonal del primer polígono, de modo que dicha diagonal subtienda tres lados del mismo? 3. Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo es 10 veces el valor de un ángulo recto, calcular su número de diagonales. 4. Si en un polígono el número de diagonales es 65, calcule su número de vértices. 5. Calcular el valor del ángulo central de un polígono regular, en el cual la medida de su ángulo interior es cinco veces la medida de su ángulo exterior. 6. En un octógono, ¿cuántos triángulos se pueden contar al trazar todas las diagonales desde un vértice? 7. Graficar una región convexa y dos regiones no convexas. 8. Si en un heptágono, la suma de seis ángulos interiores es 820°, ¿cuánto medirá el séptimo ángulo? 9. Sea ABCDEF un polígono regular y EDPQ otro polígono regular exterior al primero. Calcular la medida del ángulo FEQ. 10. Sea ABCDEF un polígono regular y EDPQ otro polígono regular exterior al primero. Calcular la medida del ángulo EQF. 11. Si a un polígono le aumentamos un lado, el número de diagonales aumentaría en 3. ¿Cuán- tos vértices tiene el segundo polígono? 12. Calcule el número de lados de un polígono en el cual la suma de sus ángulos interiores es el doble de la suma de sus ángulos exteriores. 13. Si a un polígono se le agrega el doble de su número de lados, se obtiene 36. Calcular su número de diagonales. 14. ¿Cuántas diagonales medias tiene el pentágono? 15. Si en un polígono el número de diagonales es cinco veces el número de vértices, calcular su número de diagonales medias. 16. Graficar al cuadrado ABCD y al pentágono regular CDEFG, cuyas regiones son exteriores. Calcule la medida del ángulo AED. 17. Grafique al pentágono regular ABCDE, en la región interior ubique los puntos "P" y "Q", de forma tal que ABPQ sea un cuadrado. Calcular la medida del ángulo que forman BD y PQ. 18. ABCDEF... es un polígono regular de 16 lados. Calcule la m BDC. 19. ABCDEF... es un icoságono regular. Calcule la m BAC. 20. La figura muestra a un octógono equiángulo ABCDEF..., donde: AB=6 cm, BC=6 2 cm y CD=8 cm. Calcule el perímetro del cuadrilátero ABCD. A B C D E Geometría4to - I Bim.indd 45 31/10/2014 11:13:29 a.m. 4746 TRILCE Colegios 2 Cuadriláteros En este capítulo aprenderemos: • A identificar y nombrar los distintos tipos de cuadriláteros, así como sus elementos. • A reconocer sus propiedades generales y específicas. • A emplear los teoremas respectivos en la resolución de problemas matemáticos. En matemática, encontramos diversos juegos que nos permiten divertirnos y ejercitar nuestro ingenio. Para nosotros, los docentes, estos juegos son una forma de atraer a nuestros alumnos hacia el mundo de las matemáticas. Uno de estos conocidos juegos es el "cuadrado mágico", que tiene muchos años de antigüedad. Probablemente sea el genial matemático Leonhard Euler (1707-1783), quien a partir de estos cuadrados y de sus trabajos sobre el cálculo de probabilidad (cuadrados latinos) le haya dado origen al muy de moda y famoso SUDOKU. Bien, veamos cuál es la historia de estos cuadrados: En la antigua China se conocían unos cuadrados llamados mágicos desde el III milenio a.C., como atestigua Lo Shu. Según la leyenda, un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce. 4 3 8 9 5 1 2 7 6 2 Geometría 4to - I Bim.indd 46 31/10/2014 11:13:30 a.m. 4746 TRILCE Colegios Unidad II Geometría Saberes previos • Dos ángulos son suplementarios, cuando la suma de sus medidas es de 180°. a° b° + =180° • La distancia entre dos rectas paralelas es la perpendicular entre ellas (altura). • Los ángulos entre líneas paralelas "a°" y "q°" son iguales ( L1 // L2 ). L1 L2 a° q° L1 L2 a° q° L1 L2 a° q° • Cuando un polígono es convexo y no convexo. Antes de entrar a la teoría, recordemos que: Geometría 4to - I Bim.indd 47 31/10/2014 11:13:30 a.m. 4948 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaCuadriláteros Conceptos básicos Definición: Es la figura geométrica que se determina al trazar cuatro rectas que se interceptan dos a dos. Pueden ser convexos o no convexos. Clasificación de los cuadriláteros Convexo No convexo (cóncavo) • Trapezoide: Cuadrilátero donde no existe paralelismo entre sus lados opuestos. • Trapecio: Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos llamados bases. aº bº qº gº aº + bº + qº + gº =360º xºaº qº gº xº=aº + qº + gº A B C D = asimétrico A B C D simétrico o bisósceles AB // CD ; BC // AD aº bº qº gº base menor base mayorA B C D h=Altura del trapecio h aº aº * * * Trapecio escaleno Trapecio isósceles Trapecio rectángulo Geometría 4to - I Bim.indd 48 31/10/2014 11:13:30 a.m. 4948 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad II 2 • Paralelogramo: Cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos y además iguales. Propiedades • Romboide • Trapecio (BC //AD) Demostración: a° a°q° MN es mediana o base media MN // bases y MN=AD+BC 2 B D C A M N BO=OD AO=OC A= C B= D B D C A H M E a a 2 a b - a b - a N b • Trazemos por "C" una paralela a AB (CH // AB) • Luego: ME=a EN= 2 b a • Sumando: MN = ME+EN MN = a+ 2 b a MN = 2 a+b MN=AD+BC 2 B D C A O * * * * Romboide Rombo Rectángulo Cuadrado Geometría 4to - I Bim.indd 49 31/10/2014 11:13:31 a.m. 5150 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaCuadriláteros Síntesis teórica Trapezoides Pueden ser simétrico y asimétrico. Convexos y no convexos CUADRILÁTEROS Trapecios Pueden ser escaleno, isósceles y rectángulo. Paralelogramos Pueden ser romboide, rombo, rectángulo y cuadrado. • Trapecio (BC // AD) PQ // bases PQ=AD BC 2 B D C A P Q b a Demostración: • Prolongamos PQ hasta "F" ∆BDC: QF= 2 a • ∆ACD: PF= 2 b • Sumando: PQ+QF=PF PQ+2 a =2 b PQ = 2 b a PQ=AD BC 2 B D C A P Q a/2 F b a Geometría 4to - I Bim.indd 50 31/10/2014 11:13:32 a.m. 5150 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad II 2 Conceptos básicosAprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. En un cuadrilátero convexo, tres de sus ángulos internos miden 100°; 80° y 72°. Calcular la medida del cuarto ángulo. 2. Dos lados de un romboide miden 6 y 9 cm. Calcular el valor de su perímetro. 3. Grafique a un romboide ABCD, donde sus diagonales se corten en "O". Si AO y DO miden 8 y 6 cm respectivamente, calcular la suma de sus diagonales. 4. Grafique a un rombo de modo que sus diagonales midan 6 y 8 cm. Calcule su perímetro. 5. Las bases de un trapecio miden 24 y 14 cm. Calcule la longitud de su mediana y del segmento que une los puntos medios de sus diagonales. Realice un gráfico. 6. Grafique al trapecio ABCD cuya base mayor sea AD. Calcule el valor de "x°", sabiendo que el ángulo CAD mide 32° y que el ángulo ACB mide "2x°". 7. La mediana de un trapecio excede en 3 cm a la base menor. Si la base mayor mide 11 cm, calcule la longitud de su mediana. 8. ABCD es un romboide y AF es una bisectriz interior ("F" en BC). Si el lado CD mide 7 cm, calcule el valor de "FB". Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • En todo cuadrilátero convexo, la suma de sus ángulos interiores es de 360º. • En un paralelogramo, los ángulos opuestos son suplementarios. • En un trapecio, la base media se calcula como la semidiferencia de sus bases. 2. Completar: Un rombo es aquel cuadrilátero donde todos sus ................................................. son congruentes entre sí. 3. Realice un breve comentario sobre la lectura proporcionada al inicio del capítulo. Resolución de problemas 4. ABCD es un romboide y AF es una bisectriz interior ("F" en BC). Si el lado CD mide 7 cm y el lado FC mide 5 cm, calcule el valor de "CB". 5. Grafique al romboide ABCD cuyo ángulo "A" mida 70° e interiormente grafique al triángulo rectángulo DRC de hipotenusa DC, de modo que: CD=2RD. Calcule la m RCB. 6. En un trapecio, la base media excede en 3 cm a la base menor. Si la base mayor mide 14 cm, calcular la longitud de la mediana. 7. En un trapecio, el segmento que une los puntos medios de las diagonales y la mediana se encuentran en la relación de 5 a 9. Calcular la relación de sus bases. 8. Grafique un rombo de 52 cm de perímetro, donde una de sus diagonales mida 10 cm. Calcular la longitud de la otra diagonal. 9. ABCD es un romboide y AR es una bisectriz interior ("R" en BC). Si el lado CD mide 8 cm y el lado RC mide 4 cm, calcule la longitud de la mediana del trapecio ARCD. 10. Sea ABCD un rectángulo tal que la m ABD=70°. En la prolongación de DC marque el punto "P" y en la prolongación de AD marque el punto "R", de modo que DPQR sea un cuadrado. Calcule la medida del ángulo BDQ.Geometría 4to - I Bim.indd 51 31/10/2014 11:13:32 a.m. 5352 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaCuadriláteros 11. Grafique al trapecio ABCD cuyo lado lateral AB mide 10 cm. Si los ángulos en "A" y en "D" miden 53° y 45° respectivamente, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales. 12. PQRS es un paralelogramo, donde: SR=7 cm, SM=5 cm y QM es bisectriz del ángulo PQR. Calcular la longitud RQ. P R S Q M 13. En un trapezoide ABCD, la diagonal AC mide 12 cm. Calcular la suma de PQ y RS, sabiendo que "P", "Q", "R" y "S" son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y AD respectivamente. 14. Dado un cuadrilátero, la suma de las longitudes de sus diagonales es de 46 cm. Calcular el perímetro del cuadrilátero que se forma al unir consecutivamente los puntos medios de sus lados. 15. La figura nos muestra al trapecio rectángulo ABCD, donde: m CMD=90°, AM=MB, MC=5 cm y BC+AD=13 cm. Calcular el valor de "MD". C DA M B 16. Grafique al trapecio ABCD cuyas bases BC y AD midan 4 y 14 cm respectivamente. Trace las distancias BH y CF a las bisectrices exteriores de los ángulos "A" y "D". Calcule la longitud FH, si además los lados laterales del trapecio miden 6 y 8 cm. 17. Grafique al cuadrado ABCD y marque los puntos medios "M" y "N" de BC y CD respectivamente. Calcule la m AQN, siendo "Q" la intersección de AM y BN. 18. En un cuadrado ABCD, calcular la distancia del punto medio de la diagonal AC al segmento DQ ("Q" ∈ AB) sabiendo que: MN=8 cm y AM y CN son perpendiculares a DQ. Aplicación cotidiana 19. Julio quiere construirle a su hija Antonella una cometa en forma de rombo, para lo cual compró dos porciones de caña de 48 y 14'm de longitud. Estas cañas serán colocadas en forma diagonal y perpendiculares entre sí y sobre ellas se colocará el papel cometa en forma de rombo. Calcular: • La longitud del lado de la cometa que diseñará Julio. • El perímetro que tendrá dicha cometa. http://www.mamen.net/tutoriales/blend/2009/la-cometa.html ht tp :// w w w .m am en .n et / 20. El patio de la casa de la alumna Andrea tiene la forma de un trapecio isósceles. La longitud del lado igual es de 12 m, los ángulos agudos de la base mayor miden 60° cada uno y la longitud de la base menor es de 7 m. Como el padre de Andrea va a realizar unos arreglos al patio, necesita saber: • Los otros dos ángulos situados en la base menor del patio. • La longitud de la base mayor de dicho patio. • El perímetro del patio para poder cercarlo. ht tp :// es ta vi llo .w or dp re ss .c om Geometría 4to - I Bim.indd 52 31/10/2014 11:13:33 a.m. 5352 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad II 2 Practica en casa 18:10:45 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos ¡Tú puedes! 1. Grafique al cuadrado ABCD, en la prolongación de AB marque "P" y en la prolongación de AP marque "Q", de modo que los segmentos AB, BP y PQ sean congruentes entre sí. Calcule la suma de las medidas angulares de ABD, BPD y AQD. 2. Sea ABCD un cuadrado y "M" y "N" puntos situados en BC y CD respectivamente, de modo que BM=NC. Calcular la suma de las medidas de los ángulos AQN y ADC, siendo "Q" la intersección de AM y BN. 3. Grafique al trapecio ABCD, cuyas bases AD y BC se diferencian en 32 cm. Sean "M" y "N" puntos medios de las diagonales. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de MB y NB. 4. Grafique al romboide ABCD y marque "M" en CD tal que la m AMD mida "2f°". La mediatriz de BM corta a AM en "Q" y a DA en "F". Si los segmentos QM y CD son congruentes, calcular la m AQF. 5. En la figura, ABCD es un rectángulo ("O" intersección de las diagonales). Si: OCFE es un cuadrado y MB=a, calcular "EL". O L E F C DA MB 1. ABCD es un romboide y AF es una bisectriz interior ("F" en BC). Si el lado CD mide 9 cm y el lado FC mide 6 cm, calcule el valor de "AD". 2. Grafique al romboide ABCD cuyo ángulo "A" mida 74° e interiormente grafique al triángulo rectángulo DRC de hipotenusa DC de modo que: CD=2RD. Calcule la m RCB. 3. En un trapecio, la base media excede en 2 cm a la base menor. Si la base mayor mide 12 cm, calcular la longitud de la mediana. 4. En un trapecio, la base mayor excede en 10 cm al segmento que une los puntos medios de las diagonales. Si la base menor mide 4 cm, calcular la longitud de la base mayor. 5. En un trapecio rectángulo, las bases miden 4 y 12 cm. Si el lado recto mide 6 cm, calcular la longitud del lado oblicuo. 6. En un trapecio rectángulo, las bases miden 4 y 16 cm. Si el lado recto mide 5 cm, calcular el perímetro de este trapecio. 7. Las diagonales de un rombo miden 2 y 4 cm. Calcular su perímetro. 8. El perímetro de un rombo es de 40 cm y la diagonal mayor mide 16 cm. Calcule la diagonal menor. 9. Luz quiere construirle a su hija Andrea una cometa en forma de rombo, para lo cual compró dos porciones de caña de 32 y 60m de longitud. Estas cañas serán colocadas en forma diagonal y perpendiculares entre sí. Sobre ellas se colocará el papel cometa en forma de rombo. Calcular: • La longitud del lado de la cometa que construirá Luz. • El perímetro que tendrá dicha cometa. 10. PQRS es un paralelogramo, donde: SR=9 cm, SM=7 cm y QM es bisectriz del ángulo PQR. Calcular la longitud QR. P R S Q M Geometría 4to - I Bim.indd 53 31/10/2014 11:13:34 a.m. www.trilce.edu.pe 54 TRILCE Colegios Cuadriláteros 11. Grafique al trapecio rectángulo ABCD (m A = m B=90°), de modo que la suma de sus bases mida 20 cm y marque "M" punto medio de AB. Si: MC=6 cm y m MCD=90°, calcular la longitud CD. 12. La figura nos muestra al trapecio rectángulo ABCD, donde: m CMD=90°, AM=MB, MC=7 cm y BC + AD=25 cm. Calcular el valor de "MD". C DA M B 13. Grafique al trapecio ABCD cuyas bases BC y AD midan 5 y 14 cm respectivamente. Trace BH perpendicular a la bisectriz interior del ángulo "A". Calcule la distancia de "H" hacia el punto medio del lado CD, además considere que: AB=8 cm. 14. Grafique al cuadrilátero ABCD de modo que: m B=90°, BD=DC y que AC biseca a BD en "P". Calcular el valor de "PC", sabiendo que: PA=4 cm. 15. Grafique al romboide ABCD e interiormente grafique al triángulo equilátero DCF. Si el ángulo BCF mide 22°, calcular la m BAD. 16. Grafique al cuadrado ABCD, marque los puntos medios "M" y "N" de BC y CD respectivamente y sea "Q" la intersección de AM y BN. Si la longitud DQ mide 2 5 cm, calcular el perímetro del cuadrado ABCD. 17. ABCD es un romboide. Hallar "BF", sabiendo que: BC=10 y CD=6. A C D q° q° B F E 18. Se tiene un trapezoide simétrico ABCD, donde: AB=AD, en la región exterior al trapezoide se toma el punto "S", tal que BS y AC se interceptan en "R". Si: BS=12 y m CBS=m DCS, calcular la medida del segmento que une los puntos medios de RC y DS. 19. ABCD es un trapecio, tal que: m A+m D=90°. (BC // AD y BC<AD). Si "M" y "N" son puntos medios de BC y AD respectivamente y m B=128°, determinar la m MNA. 20. En un trapecio ABCD de bases BC y AD; AB=AD=8m. Desde "M" punto medio de CD se traza MF perpendicular a AB, ("F" en AB) tal que: AF=7m y MF=4m. Calcular "BC". Geometría 4to- I Bim.indd 54 31/10/2014 11:13:34 a.m.
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