Guia de Progresiones

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Servicios Académicos para el Acompañamiento y la Permanencia - PAIEP 
Primera Edición - 2016 1 
 
GUÍA DE EJERCICIOS 
Área Matemáticas 
 Progresiones 
Resultados de aprendizaje 
 Reconocer los elementos que componen una Progresión, sea Aritmética (P.A.) o 
Geométrica(P.G.) 
 Aplicar las relaciones que constituyen el cálculo de sumas de términos en una Progresión, 
Aritmética o Geométrica 
 Aplicar los procedimientos de cálculo de cada Progresión , a problemas de planteamiento 
Contenidos 
 
 A considerar : 
 Forma de comportamiento de los elementos de una Progresión Aritmética: 
dnadadadadaa )1(,.......4,3,2,, 111111 
 
Destacando 
1a
como primer elemento de la progresión y 
d
como la diferencia entre dos 
términos consecutivos de la Progresión, esto es : 
ddnandadadaada  ))1(().....()()2()( 111111
 
 Suma de los 
n
 primeros términos de una Progresión Aritmética: 
   


n
k
n dnadna
n
S
1
11 )1()1(2
2
 
 Forma de comportamiento de los elementos de una Progresión Geométrica: 
1
1
4
1
3
1
2
111 ,.......,,,,
nrararararaa
 
Destacando 
1a
como primer elemento de la progresión y 
r
la razón , que se constituye , 
entre términos consecutivos de la Progresión , esto es :
1
1
1
1
2
1
1
1 ....


n
n
ra
ra
ra
ra
a
ra
r
 
 Suma de los 
n
primeros términos de una Progresión Geométrica 
1;
1
1
1 


 r
r
r
aS
n
n
 
 
Debo saber 
Los aprendizajes a obtener en esta guía, se ven complementado por la operatoria de números 
reales, reducción de expresiones y aplicación de propiedades a formas numéricas variadas 
 
Ejercicio 1 
Determine la suma de los primeros 14 términos de la P.A. 
2,5, 8, 11, 14,17,.. 
Solución: de la progresión se deduce que 
3;21  da
por lo tanto se pide calcular 
14S
 
 
 
 
 
 
 
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Primera Edición - 2016 2 
 
En efecto: 
  3013)114()2(2
2
14
14 S
 
Ejercicio 2 
Determine tres números en P.A. tales que la suma sea 15 y que la suma de sus cuadrados sea 83 
 
Solución Consideremos los tres números por asignación : 
dxaxadxa  321 ,,
en P.A. 
Como 
515315)()(  xxdxxdx
 
De este modo aplicamos , la suma de los cuadrados 
83)5(5)5( 252  dd
 
De donde 
248283275
831025251025
222
22


dddd
dddd
 
Luego si combinamos : 
a) 
5,2  xyd
 se tiene la sucesión 
7,5,3)25(,5),25( 
 
b) 
52  xyd
se tiene la sucesión 
3,5,7)25(,5),25( 
 los términos de la progresión 
Ejercicio 3 
En una P.G.cuyos tres primeros términos son: 3,6,12 Determine : 
a) El quinto término 
b) La suma de los diez primeros términos 
Solución: de la sucesión se observa que 
2
6
12
3
6
31  rya
 
Luego 
a) 
48)2(3 45 a
 
b) 
3069)
21
21
(3
10
10 


S
 
 
Ejercicio 4 
La suma de tres números en P.G. es 70, si se multiplica los dos extremos por 4 y el término central 
por 5 entonces los nuevos números están en P.A. Determine los números originales 
 
Solución .Consideremos la asignación de los tres números en P.G. 
2
111 ,, raraa
 de este modo 
702111  raraa
luego al proceder por el enunciado , se tiene 
2
111 4,5,4 raraa
 términos en una 
P.A., por lo tanto 
04104041045445 211
2
11
2
111  rrararararaarad
 , 
01 a
 
Resolviendo la ecuación se tiene: 
2
1
2
8
610
8
3610
8
)4)(4(410010






 rrr
 
 
Reemplazando en la ecuación 
02111  raraa
se tiene 
a) Si 
1070770422 11111  aaaaar
, los números son 10,20,40 
 
 
 
 
 
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b) Si 
2
1
r
 
4070
4
1
2
1
1111  aaaa
 los números 40,20,10 
Ejercicio 5 
En una P.A. se conocen los dos primeros términos:
3
2
,
4
3
21  aa
 
Determinar: 
a) 
10a
 
b) 
15S
 
Solución : de los término dados que son consecutivos, se determina 
d
 
En efecto 
12
1
12  aad
 
Por lo tanto , se responde a) 
2
3
)
12
1
(9
4
3
10 a
 
 
b)
20
3
8
2
15
6
7
2
3
2
15
)
12
1
(14)
4
3
(2
2
15
15 

















S
 
 
Ejercicio 6 
Demuestre que si 
n
 es un entero positivo cualquiera, entonces 
)2(
3
1 3 nn 
 es un entero 
Solución: En este caso expresaremos, el método de Inducción, del siguiente modo: 
 Consideremos el conjunto: 






 ZnnINnS )2(
3
1
/ 3
 Por demostrar que 
INS 
 
i) 
S1
 pues 
Z )21(
3
1 3
 
ii) 
Sk
 esto es 
Zkk  )2(
3
1 3
(hipótesis de inducción) 
iii) Por Demostrar 
Sk 1
 esto es 
  Zkk  )1(2)1(
3
1 3
 
Demostración 
 
Iniciamos el proceso a partir de la expresión 
  Zkk  )1(2)1(
3
1 3
 
En efecto: 
      Zkkkkkkkkkk  )2()2(
3
1
2233(
3
1
)1(2)1(
3
1 23233
 
Pues 
Zkk  )2( 3
 y 
Zkk  )2( 2
 
Por lo tanto 
Sk 1
 concluyendo que 
INS 