AntiDemidovich__Matemática_Superior_(7)

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i toda l o r i g a toda l í l B w t o d a toda t o d a l o í a M r t o d a t o c u j i a toda toda 
9 toda toda T í a t a i m a n t e toda t o ^ M a toda toda 
i toda t o d f l l » toda b d a d a toda i g M R A i l s i ida tola toda todJ 
a toda toda toda toda ü J ^ i d a toda toda lod J n t o d a k'íjA toda todJ 
MATEMATICA 
SUPERIOR 
PROBLEMAS 
RESUELTOS 
4. K. Boiarthuk 
7 Variable compleja 
Residuos y temas 
especiales 
ATEMATI/IKA 
URSS 
Residuos. 
Aplicaciones 
de los residuos 
§ 1. Definición de residuo. 
Teorema fundamental 
1.1. Residuo en un punto finito aislado 
Definición. Se denomina residuo de una función analítica f en un 
punto singular aislado z = a e C al coeficiente c_2 de la primera 
potencia negativa del desarrollo de Laurent de la función f en un 
entorno del punto z = a. 
El residuo se denota mediante 
c-t = res f(z). 
a 
Teniendo en cuenta la fórmula (2), p. 2.1, cap. 2, t. 6, 
para los coeficienlos do. la serie de Laurent, obtenemos 
1 f 
'2niJ f { z ) d z > 
(1) 
donde es una circunferencia de radio p con centro en el 
punto 2 = a, 7P C Oa {Oa es un entorno del punto a). 
Si z ~ a es un punto singular evitable, entonces 
res / = 0. En saso de que z = a sea un polo de primer orden, 
a tenemos res f ¿ 0. En los demás casos res / puede ser o no 
a o 
igual a cero. Por ejemplo, 
senz 
res = U, 
o 2 
res r = 1, 
2 z - 2 
res e*2 = 0. 
o 
Obtengamos la fórmula para calcular el residuo en un 
polo. ., . 
Sea z — a un polo de orden p de una función /. 
El desarrollo de Laurent de la función / en un entorno del 
punto z = a tiene la forma 
C-
f(z) = ~r + •••+-
JK} (.z-aY z 
de donde se obtiene 
f(z)(z - af = 
C-i 
n=0 
= c_p + c-p+i{z - a) +... + - a r 1 + £ c«<z ~ ^ V n=0 
dT 
dzp 
- (f(z)(z- a f ) = 
w 
£ 
n-0 
T V T C/(«X* - «/) = «-i(P - ' 
Por consiguiente, tenemos la fórmula siguiente para 
calcular el residuo de la función / en un polo de orden p: 
= ^ « 5 ( 2 ) 
^híBrdMMj 
i r i i n i 
En particular, para p = l l a fórmula (2) adopta la forma 
res f(z) = lim fiz)(z _ a). 
(4) 
En la práctica resulta útil modificar un poco la última 
formula. Supongamos que en un entorno de un polo simple 
z - a una función / tiene la forma 
f(z) - ^ 
f { ) ~ t(z)' d) 
donde v y f son funciones analíticas en el punto z = a 
y tales que V(a) * 0, m = 0, f ( a ) ¿ 0 ^ ac ' 
fórmula (3), tenemos 
res f(z) = lim & l A = 
« 1¡>(Z) 
= lim ^ Í í = PW 
f i>{z) - j>{a)\ i¡j'(ay 
z—>a 
= lim 
z—>a 
es decir, 
Por ejemplo, 
res f(z) = m 
0 i>'{a) (5) 
^^ * eos z res ctg 2: = res 
fcT fcjr sen z 
eos kir 
co skir = 1. «V M 
En caso de que la función / esté definida mediante la 
fórmula (4) y las funciones <p y ij> tengan en el punto z = a 
ceros de órdenes superiores a 1, para calcular el residuo 
es cómodo cambiar las funciones <p y ip por los primeros 
términos de sus desarrollos de Taylor. Por ejemplo, 
sen 3z ~ 3 sen z res 
o sen z (sen z - z) res o 
3z--Z3 + ...-3Z + -
z f-
6 1 r » • • 
~4z3 + ... 
= res - — 24. 
o z * 
y , | » « • 
6 
ém}' 
1.2. Residuo en el punto del infinito 
Sea z — oo un punto singular aislado de una función /. 
El desarrollo de la función / en un entorno del punto del 
infinito Ooo = {z € €: r < \z\ < 00} tiene la forma 
+00 
nz) = J2 c » z r 
n = - o o 
Integremos esta igualdad a lo largo de una circunferen-
cia Ffl = (7ji/7ij~) orientada en el sentido de las agujas del 
reloj (el punto del infinito queda a la izquierda). Obtenemos 
J f(z) dz - Cn j zn dz = —2iñc-i, (1) 
n = - 0 0 
puesto que 
J zn dz = O, si n 1. 
Definición. Se denomina residuo de una función f en el punto del 
infinito al coeficiente (tomado con signo contrario) de la primera 
potencia negativa del desarrollo de la función / en un entorno del 
punto del infinito. 
Teniendo en cuenta (1)/ obtenemos 
res f(z) — —c—i 
2tt¿ J 
f{z)dz. (2) 
De acuerdo con la definición dada, res f(z) se deter-
00 
mina mediante el coeficiente de la parte regular de la serie de 
Laurent y, por tanto, puede ser diferente de cero también en 
el caso en que el punto del infinito no sea un punto singular 
1 
evitable de la función /; por ejemplo, res - = - 1 . 
00 z 
Supongamos que el punto del infinito es un punto 
¡ingular evitable de la función /. Introduzcamos la notación 
im f{z) ~ /(oo). Entonces —+0O 
res f(z) — lim z(/(oo) - f(z)) . 
00 z—> oo (3) 
efecto, en este caso el desarrollo en serie de la función / 
;n un entorno del punto del infinito tiene la forma 
oo 
f(z) - /(oo) + C-kZ~k, 
k—l 
e donde 
00 
E -fc+i 
asando en la última igualdad al límite cuando 
b tenemos la fórmula (3). 
Así mismo se puede obtener la fórmula 
oo, 
res f(z) =z V ( 0 ) , 
00 (4) 
>nde ip 
Lnto z 
1 
z 
0. 
— f(z) Y es una función analítica en el 
t 
v§ 
1 
! í: 
< / \ 
3. Teorema fundamental de los residuos 
Teorema 1 (de Cauchy). Siuna función f es analítica en D U dD C C, 
salvo en un conjunto finito de puntos singulares aislados {a¿; k ~ 1, ra} 
pertenecientes a D (pero no pertenecientes a dD), entonces se verifica 
la igualdad 
2tt¿ / 
dD 
a 
(1) 
fc=i 
IPlpifê 
< Demostración. Sean 7! = 0 ) circunfe-
rencias de radios pk con centros en los puntos a¡-, donde 
Pk son valores suficientemente pequeños tales que los círcu-
los KPh con fronteras 7* pertenecen de modo compacto a la 
región D. Consideremos la región D\ {Kpk; k = l,n} y uti-
licemos la fórmula de Cauchy para una región múltiplemente 
conexa (v. teorema 4, p- 5.3, cap. 1, t. 6). Tenemos: 
27tí j 
dD 
f(z) dz j f(z) dz = 
= Y > e s f{z), rfe=(7fc/7n. 
k=1 
Este teorema tiene un gran valor práctico, pues reduce 
el cálculo de una magnitud global (la integral curvilínea de 
una función analítica a lo largo de la frontera de la región) al 
cálculo de los valores locales de los residuos de la función en 
sus puntos singulares. 
Calculemos, por ejemplo, la integral 
f dz 
j (*-l)V + l)' 
OD 
D = {ze O ¡z - 1 - ¿I < 2}. 
La función subintegral / es analítica en la adheren-
cia D, salvo en los puntos z\ = 1 (polo de segundo orden) 
y z2 ~ i (polo de primer orden). Utilizando la fórmula (1), 
obtenemos 
/ ( ; - 1 ) V + !) = O?8 f [ Z ) + f f ñ 2 ) ) = 
dD 
7TJ 
Teorema 2. Sea f G A (C \ {a k ; k = l~ü}). Entonces la suma de 
los residuos de la función f en todos sus puntos singulares finitos y del 
residuo en el punto del infinito es igual a cero: 
n 
Demostración. Sea = {z 6 O \z\ = R} una circunfe-
rencia de radio R suficientemente grande, la cual abarca 
todos los puntos singulares finitos a¡¡. Entonces, según las 
fórmulas (1) y (2), p. 1.2, obtenemos 
l f " 
— / f(z) dz = V res f{z) = - res f(z). • 2wi J f—f ofc 00 
rR 
El teorema 2 es útil para calcular integrales curvilíneas. 
Consideremos, por ejemplo, la integral 
- / 
dz 
¿ V o - 2 ) ' 
r = ( 7 , 7 o r ) , 7 = H = 2 } . 
Según el teorema 1, 
I = 2vi ( res , , . ñ —— + res V o z3(z10 - ^ 2) a 
donde Ct (fc = 1,10) son las raíces de la ecuación zi0 - 2 = 0; 
utilizando la fórmula (2), hallamos 
I = — 2tt¿ res - t - t t — - = 0. 
00 z3(z10 — 2) 
m Problemas resueltos. 
Para las funciones especificadas a continuación, hallar 
los residuos en todos los puntos singulares aislados y en el 
punto del infinito (siempre que éste no sea punto límite de 
ellos). 
Solución. Los puntos singulares de la función / son Z\ — 0, 
Z2 = l , — oo. Utilizando la fórmula (2), p. 1.1, hallamos 
d 
Tes f(z) — lim (z2f{z)) = 
z->Q dz 
= lim ( — ^ — 7 - ) = 
z~*o dz \ z -1 ) 
z1 — 2z 
~ lim —r = 0 Z^O (z - l)2 
(se tuvo en cuenta que el punto z\ = 0 es un polo de segundo 
orden de la función /). 
El punto Zi = 1 es un polo de primer orden de la 
función /; por tanto, para calcular el residuo en este punto 
utilizaremos la fórmula (3), p. 1.1. Tenemos: 
res f(z) = lim f(z)(z - 1) = 
2=1 z-> 1 
I 
, z2 + z- 1 
= lim » = 1. 
z-*l Zl 
De acuerdo con la fórmula (2), p. 1.3, 
de donde 
res f(z) + res f{z) + res f(z) — 0, 
2=0 2=1 00 
res f(z) ~ -1. 
< Solución. En los puntos zk = kn {k £ Z) la función/ 
tiene polos simples. Utilicemos la fórmula (5), p. 1.1, tomando 
<p = 1 y i¡)(z) ~ sen z. Tenemos: 
1 1 
res f(z) = = —— = ( - l f . 
2=Zk e o s Zft e o s «7T 
El punto del infinito es punto límite de los puntos singulares 
aislados. • 
Solución. El punto 2 = 2 es un punto singular esencial de 
la función /. El desarrollo de Laurent de / en un entorno 
del punto z = 2 es 
00 
m = E ( - i ) 
n 2 n 
<2»)! V 2 - 2 ; 
El coeficiente de (z - 2) 1 es igual a cero y, por consiguiente, 
res /(¿) =r 0. 
2 
Aplicando la fórmula (2), p.1.3, obtenemos 
res /(*) + res"/(*) = 0, 
00 
de donde hallamos res f(z) = 0. • 
00 
<4 Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, z = 2 es 
un punto singular esencial de la función /. Dado que 
js3 = (2 + (z - 2))3 = 8 + 12(z - 2) + 6(z - 2)2 + (z - 2)3, 
eos 
z - 2 
~ H T 
o=0 (2n)! \ 2 - 2 
i / i y 2. 
1 2! \ z - 2 J 4! z - 2 
Entonces, 
z3 eos — - = (8 + 12(z - 2) 4- 6(z - 2)2 + (z - 2)3) x 
z - 2 
x 0 ~2!(z -2f + 4!(z -2f "•")• 
Como se puede ver, el coeficiente de (z - 2)~ es igual a 
1 143 143 _ , 
- 6 + — = Por consiguiente, res /(z) = ~ — . Según 
la fórmula (2), p. 1.3, 
res f(z) + res /(z) = 0, 
2 oo 
de donde resulta 
res /(z) = 
143 
24 
< Solución. El punto z — 0 es un punto singular esencial de 
la función /. El desarrollo de Laurent de la función f en un 
'namg 
entorno del punto z — 0 es 
( - 1 ) ' f(z) - zn V ; = 
+ i ) - z 2 k + 1 
_ y . (-1)* 1 
^ (2/¡ + 1)! Z^k-n+l' 
La igualdad 2ft - n + 1 = 1 no tiene lugar si w < 0 ó si re G Z 
es impar. En esos casos res f(z) = res /(z) = 0. 
0 oo 
Si n = 2m {m ^ 0), la parte principal de la serie de 
(—l)m 
Laurent de la función / contiene el término —--—-— z 1 = 
(2 m +1)! 
(~1)" /2 
( n 4-1);^ ' P o r c o n s i g u i e n t e / para todos los n G Z0 pares 
(_l)»/2 
tenemos res f(z) = —. En particular, si n ~ 0, entonces 
o (n +1) ! 
res f(z) — 1. Utilizando la fórmula (2), p. 1.3, vemos que para 
(_l)(»/2)+l 
todos los n G Z0 pares res/(z) = - res/(z) = - — . 
oo o (n +1)! 
En particular, si n = 0, entonces res f{z) = - 1 . • 
OO 
A Solución. Descomponiendo la función / en fracciones sim-
ples, obtenemos 
v 2 3 4 3 
, w = ; - F + 7 + i + s r ^ ) -
Los puntos singulares de la función / son zx = 0, z2 = - 1 , 
3̂ — 1/ Z4 — 00. Dado que los puntos Z\, z2 y z3 son polos 
simples de la función /, entonces res f(z) = 2, res f(z) = 4, 
res f(z) = Según la fórmula (2), p. 1.3, 
res f(z) + res f(z) 4- res f(z) + res f(z) = O, 
O -1 1 oo 
de donde 
res f(z) = - (res f(z) + res f(z) + res f(z)) = -7,5. • 
oo 0 - 1 1 
< Solución. Representando la función en la forma 
m = s/ly/z -VZ + 1 z-1 
vemos que ella es cuadriforme y que cada rama tiene un 
punto singular finito uniforme Z\ — 1 (polo simple). Los 
puntos z-i = O y 23 = — 1 son puntos de ramificación. 
Definamos las cuatro ramas uniformes de la función / 
definidas en la región C (del plano C se ha eliminado el 
eje real negativo) especificando sus valores en cierto punto 
determinado, por ejemplo, en el punto z — 2: 
/i(2) = 2 — \ñ>, 
f2(2) = - 2 - A 
m = 2 + A 
/ 4 ( 2 ) = - 2 + V 5 . 
^ililiil 
: ^ \ } ' > ' > > x > . : w ^ : < ^ T " : : > : ! : . : < 
x + xt>x \<> <x> i s > -. + J ^ ! t , ' ! : . . . ! . . • 
^ X > X * X 4 X W < " « ) ( 4 X . X ^ v * . í » • V « V - ^ - y < . 
' j x 4 x * < \ < f X > < X >X > s • . « 4 Í . . S / . 
f X 4 . 4 < > O 4 W ' i < X< -iUiM mh i v<x -
Obtenemos entonces 
/ ^ ^ ( ^ ( c o s ^ - f i s e n ^ ) » 
- V a f e e s + ¿ s e n ! * < I ± 1 > 
fi(z) = z - 1 
2|z| I eos h í sen - — -
V 2 2 
r — — / arg (z + 1 ) . arg (z +1) 
- yj\z + 11 f eos b t sen 
f3(z) = ~f2(z), M*) = -fi(z). 
Así pues, 
res Mz) = hm(z - 1 )f1(z) = Vi-V2 = 0, 1 
res f2(z) = lim(z - 1 )f2(z) = ~V2~V2 = -2VÍ, 1 
res /3(sj = 2V2, 
res /4(z) = 0. • 
1 
Solución. Utilicemos la fórmula (3), p. 1.1, y la regla de 
L'Hopital de eliminación de indeterminaciones del tipo - . 
Tenemos: 
res — -
«„ z4 — a4 
z{z~zv) 2z — z„ lim — — = lim — 
z 4 - a 4 z~*zv 4zJ 
1 2z — z„z 
~ ~ lim — -
4 ẑ >zv z4 — a4 + a 
1 2 ¡4 - z¿ 
4a4 ' 
. . < / í < " > x il . . . . • : 
i p p ¡ 
• , I 
1 * 1 " s !* " 
». : • » . 
Solución, a) De acuerdo con la fórmula (2), p. 1.3, 
res-
00 {Z - 1) 
= — res 
- I)3 i (z - l)3 
~~ 2 *-»i dz2 
22 e = —2e . 
b) Análogamente 
res -z r = - res ' , + res -=-—r 
00 Z + CL \z=ia Z2 + a¿ z=-ia Z¿ + CT 
( eiz eiz > 
= - ( lim — + lim — 
\ z—*íq Z -\~ICL z—*—ia z — ta J 
—a 
lia lia 
1 ei( ,a) - e~ 
sen la 
^ X<* . i 
¡̂¡«SSXfiS ifík 
^OÍVA»X 
> » w • . 
yS.» . v i V i l ' 
> < o » • . <->-<v <. y < »* •< >. 
•a <-> v 9 , . . » 
> X « y < x x x<->-<4s<v 
1 » ¿ < > x « x 
X s 
^ ,*>•<* ' í V . , 
• í * >s *>>< . 7 
« r ^ í ^ j Illilpi^ 
mwm 
ily ̂ ÍA'^ ̂ l- • i w : , : • ; . 
¥ • y.:. $ r ^ w í w * ; * ; ** 
< Solución, a) Utilicemos la fórmula (3), p. 1,2: 
res sen -oo z + 1 z—•oo = lim 2; ( sen 1 - sen z +1 
= lim 2z sen z + 1 
z~+ 00 
= cosl lim z [ 1 — ¿—•00 z + 1 
= cosl lim z->oo z + 1 
Según la fórmula (2), p. 1.3, 
= cosl. 
eos 
1 + z +1 
2~~ 
res sen 
- i z + 1 
— res sen -
00 z + 1 
= - eos 1 
b) Los puntos singulares de la función / son 
Zk 
2kiñ 
(k 6 Z). El punto z = 0 es un polo de segundo orden y los 
puntos Zk para k ^ 0 son polos de primer orden. Utilizando 
la fórmula (2), p. 1.1, obtenemos 
res f{z) 
o 
lim —-
z—>o dz ,—hz 
1 - e~hz(l + hz) 
lim 
z~* 0 _ a-hZ 
= lim 
z—*0 
= lim 
z—»0 
1 - (1 + hz) - hz + y z¿ + o(z ) 
(1 - 1 + fc? + o(z))2 
h2z2 
1 - 1 + fc2z2 - — + o(z2) a 
/i2z2 + o(z2) = 2" 
I l f e r 
.. I> 
w tí: $ Á ¿*Í ¿¿^iH^Ifd'fU 
Para calcular los residuos de la función / en los puntos zk 
1 
{k ¿ 0) utilicemos la fórmula (5), p. 1.1, tomando <p{z) = -, 
i¡>(z) X - e~bz: 
res /(z) = — 
Zk ib' 
2kni 
Ikiri 
h 
_ 1 
2kiri' 
c) Para |z +1| < 1 tenemos 
2kvi 
he f* 
1 i 00 
I = í = + 
(\( 1 1 
res I — 1 + I- . . . + t—— : r 
- i VzV 1 + 2 (i + z)n 
res í (—1 - (1 + z) - (1 + z) - . . . ) x 
1 1 
1 + l + z + ' " + (l + z r 
res 
-i (1 + z)n (1 + z) n-i 
1 + z 
- (n + 1 ) + . . . = - n . 
Análogamente, 
/ 1 1 1 
res ( - 1 + h . . . + —•—— 
0 \ 2 \ 1 + Z ( 1 + Z ) " 
_ ( 1 
" l 1 + l + z + ' " ' + (l + z)« 
= n +1, 
2 = 0 
! t Í x-.i/WM, 
/ I ( 1 1 
res { - 1 + \-... + — — 
oo V A ! + * (1 + ^)" 
= n - n - 1 = —1. • 
Solución, a) La circunferencia 7r abarca 4n + 1 polos de 
la función subintegral, pues se tiene un polo en el punto 
— inm 
z = 0 y cuatro polos zm = vke 2 (m = 0,1,2,3) en 
cada circunferencia 7 ^ = { ¿ € 0 1 2 1 = ^ } (k — l , n ) . 
A partir de la fórmula (1), p. 1.3, hallamos 
/ zdz ,2niz2 _ j = 2?r¿( res o e 2niz2 k=l m=0 res- 2viz2 _ 
~2wi 
2iri ; + jfe—1 m=0 47r¿e(-
1)m25ri'fe 
1 n \ 
+ — =2n + l. 
2tt¿ 7r¿ / 
lilSiillllili 
y f i - H t H * } ^ i v > ; / ' ' ^ y*y V ' ] • v * '' . N : > • ' • 
; ¡ V . t x < v 4 M ' ' • í . . i ' . ' í ' r . , . 
L* I 
b) Utilizando la fórmula (2), p. 1.2, obtenemos 
f \ i —-— dz = 2iri res \ - . 
./ V Z + 2 o o V ^ + 2 
De este modo, 
z + 2 
dz = —2ni res z + 2 
= —2?tí res 
2 
1 + -
z 
1/2 
/ 1 / I 
27T¿ res 1 h o I -oo V z \ z 
= -2iri 
M Solución. Dado que z € 7 r ¿z = r2, z = entonces z 
r (z4 + i ) d z 
J (r2 - az)(&z - r2) ' 
•¿tint&mmk x i - , 1 . . - i Í ' 
La función subintegral tiene dos polos simples z\ — 
9 
z2 = — - Como la curva abarca el polo entonces 
b 
i • z 2m res — —— 
r2/b (r¿ - az)(bz 
27r» , z4 + l 
— lim -5 = b z^r2¡b rz — az 
r2) 
-2-ni . r
s + b' 
64r2(6 - a)' 
Solución. La circunferencia 7 abarca un solo punto singu-
lar de la función subintegral; por consiguiente, los puntos 
¡2kn 
zk = e 5 (k — 0,4) son polos simples. Según la fórmula (1), 
p. 1.3, tenemos 
/ dz 3XÍ 0 rpc 
Por cuanto 
E 
fc=o 
res -
(z - 3)(z5 
— + res — 
1) 3 (z -3)(z 5 _ 
•f res =-00 (z ~ 3)(z5 
i i ^ w i u 
obtenemos 
i»--
dz 
w 
= ~hri l res 7 -
V 3 (z 3)(z5 -
—I- res 7 — - r r p l) oo (z - 3)(z' 
En un entorno del punto z 00 tenemos 
(z - 3)<z 5 „ 
1 + F + 
Por consiguiente, res_ _ = 0 , y 
/ dz 3XÍ dz 5 _ 
= -2-kí lim — -
z—»3 - 1 
2tt£ 
242 
7U 
121 
El uso de la fórmula (2), p. 13, nos permitió evitar cálculos 
voluminosos. • 
„ Solución La circunferencia 7 abarca el punto singular aisla-
do 2 = 2 de la función subintegral /; esta smgulandad es un 
l á i l á U M H á l 
¿mmmwW 
i . . , : i . . < . ' i : < ( K j t \ 
; / M l ^ l V 
. , Ü > « i / I í / i « 
se deduce que res f(z) -
00 
Por consiguiente, I = iri 
- c _ i = — - (v. fórmula (2), p. 1.2.) 
Solución. La función subintegral / tiene un polo de segundo 
orden en el punto Z\ — O y polos simples en los puntos 
z2 = —3, z3 = 3. Sin embargo, la circunferencia y abarca sólo 
el punto z\; por tanto, 
I = 2ití res f(z) = 
W = 27tí lim — 
2-> o dz z 2 - 9 
= 27r¿ lim z-»0 
ez(z2 - 2z - 9) 2tt¿ 
.2 _ 
Solución. El punto z = O es vm punto singular esencial de 
la función subintegral. Dado que 
sen 
^ ( - 1 ) " 
^ (2n + l)!z2n+1 ' n=0 
polo de segundo orden. Por consiguiente, 
I ~ 2iti res f(z) = 
2 
= ^ 1¡m ± ( e - 3 2 » 
dz \ (z - l)(z - 2)2 
d ( z \ 
— 2ni lim — ( = 
z->2 dz \ z - 1 / 
= 27TZ lim Í-— ~ -27T¿. 2-2 (z - l)2 
^ Solución. La función subintegral f tiene polos simples en 
los puntos z& = -1-et~r~ (k = 0,1,2,3). Por la fórmula (1), 
v 2 
p. 1.3, tenemos 
3 
I ~ 2ttí res /(z). 
Como 
entonces 
J 2 res /(«) + res /(z) = O, 
I - —27t¿ res /(z). 
oo 
A partir del desarrollo 
f { z ) 2z ( l + l / ( 2 ^ ) j ~ 2 z O 2 z 4 + ' - ' 
V-1 'ti» i-
obtenemos, 
res/(z) = l I = res /(z) = 1. • 
^ Solución. Dado que el desarrollo en serie de Laurent 
2 1 1 A . 2\ sen - = - 1 - eos - = 
^ 2 V z 
_ _ l y > H ) " 
2 t í M 
no contiene el término de tipo c_ l Z~ l , resulta que 
2 1 1 
ressen - = 0, 1 = ressen2 - = 0. 
2& 
Solución. Como zne2** = _ _ entonces 
k=0 
n — k - 1, fe e Z0, es decir, para n ^ - 1 , tenemos 
reszne2/z = 
(71+1 
(n + 1)!' 
V 
i l i l ® 
y para n < - 1 tenemos res zne1¡z = 0. Por consiguiente, 
I = reszne2/Z = < (n + 1)! 
ifi+i 
, si n ^ -1, 
si n < - 1 . 
Solución. Haciendo el cambio de variable ei(p = z obtenemos 
dz 1 2z dtp — —, = 
iz a + cos(p z2 + 2az + l' 
d z 
i J z2 +2az + l' 
r 
r = ( 7 / 7 o r ) , 7 = { z e O \z\ = l } . 
Las raíces de la ecuación z2 + 2az +1 
- a ± Va2 - 1. Vemos que sólo el punto Z\ — 
está abarcado por la circunferencia 7 , pues 
= 0 son z\t2 
-a + Va2 -
1 — a = -
a + 
De acuerdo con la fórmula (1), p. 1.3, 
< 1. 
t 27xi res — % zi z2 + 2az + 1 
4x 
2* + 2a 
2?r 
vúmmm l̂léiM 
«4 Solución. Recurramos a la solución del ejemplo anterior. 
Representemos la integral I en la forma 
¿IT 
= 11 
a dtp 
(a 4- b eos <p)2 
7 -a j a 
v v 
dip b f eos <pd(p 
+ bcos<p a J (a + b eos <p)2 
/ 2 w 
= - ( ! -a \ J a 
\ n 
2w 2jt 
f dv +b± f -
J a + b eos (p db J a 
o o 
dip 
4- b eos <p 
Recurriendo a la solución del ej. 20, hallamos 
¿ , / J 
y dip 
J a + b eos (p 
¿ir 
" bÍ 1 
dip 
0 7 + cos <P 
2tr 
- 1 
2tt 
a ^ F ' 
db 
r dip 
J a + bco$ip db 
2?r 
1-Kb 
(a2- b2f!2' 
• > -5\! i'••»•<i>'^ ĵ y ̂ í̂̂ ^̂ 
2?r 2tt6' 
a2 - 62 (a2 - 62)3/2 
2tt 
a(a2 - 62)3/2 
( a 2 - 6 2 + 62) = 
2ira 
b2) 3/2* 
^ Solución. Al igual que el ejemplo anterior, escribimos I en 
la forma 
¿ A 
a j a 
o 
2t 
- 1 í 
a j a 
6 [ eos v^V9 
-f 6 eos 2<p a J (a+ b eos 2y>)2 
d<p 
'+ b eos 2(p 
¿n 
i— /__ 
a db J a 
d<p 
+ b eos 2tp 
a W a + 6 eos 2(p db J a + b eos 2<p I 
x o o 
Haciendo 2<p = t, hallamos 
2T 2ir 
_ f d<P 
a + bcos2ip J A + B cos2(p 
o o 
IX 
- y 
dt 
A + B eos t 
donde 
b b 
A-a + -, B = -. 
2 2 
Wfrft-.'tfy/ i&w¿sm 
: Kx-i&feSfe i;: 
Tomando en consideración el ejemplo anterior y el 
hecho de que, cuando t varía de 0 a 4n, el contorno cerrado 
que abarca los polos de la función subintegral se recorre dos 
veces, obtenemos 
4* 
¡I 
dt 
A + B eos t 
2 7T 
2k 
d f d<p 
2?r 
IR 
2 7T 
^ 1 - » 
a2 + a& 
db J a + b eos 2<p 
o 
db 
2tt 
a2 -f 
7rafc 
(a2 + a&)3/2' 
1 / 27r jraí) \ 
a V Va2 + ab ~ (a2 + aí>)3/2 ) 
a(a2 + ab)V2 ^ + ab) ~ ^ 
ir (2 a + b) 
a3/2(a + 6)3/2' * 
<4 Solución. Utilicemos las fórmulas de Euler para transformar 
la función subintegral Tenemos: 
ecos ̂ eos {n<p - sen <p) — 
= ~(einipe€ + e~in{f>eetV). 
Efectuando en la integral el cambio de variable et(p 
resulta 
r = (7,7or) / 7 = { ¿ e C |¿i = l } . 
Según la fórmula (1), p. 1.3, 
I = ir res (t o x 
.-11 ¡t 
= 7T 
+ r" 
i \ 
- u 
ra! n! 
si n < 0, 
si 71 > 0. 
Solución. Transformemos la función subintegral utilizando 
las fórmulas de Euler: 
tg (x + ia) = 
e¿(a:+ta) _ e~i(x+iá) 
i (e'te+ía) -j- e-i{x+iatj 
1 ei2x - e2a 
i ei2x + e2 a ' 
Efectuando el cambio de variable é2x = t, obtenemos 
/ t - e 2 a t(t + e2a) di, 
r = (7,7or), 7 = { Í G G |í| = 1}. 
Si a > 0, entonces la circunferencia 7 abarca sólo el punto 
t = 0 (polo simple). En este caso 
r . t~e2a 1 = — 7 t í res — — 
o t(t + e2a) 
t~e2a 
= —ni lim — = 7r2 
Si a < 0, entonces, además del polo t = 0, la curva 7 también 
abarca el polo t = - e 2 * de la función subintegral. Por tanto, 
¿ - e2a t-e2a 
res — — = lim -
_e*>t(t + e2a) i-SS. t ~ 
2e2a 
_ e 2 a 
7TZ 
-7ri(— 
res res — -
o t(t + e2a) ~e2a t(t + e2a) 
•1+2) = 
= —TTl. 
Estos dos casos se pueden reunir en uno solo utilizando la 
notación sgn : I = n i sgn a. 
Si a = 0, la integral dada se entiende en el sentido 
del valor principal: 
7==vp/tg^=Hm( j t g x d x + J tgzdx\ = 
n/2+e 
lim llncosaí + ln eosx } = \X=Tf¡2 
I31ÉÍBIS;: 
-mmimm 
lim (— ln sen e -f ln (— sen e) — ln ( -1 ) ) 
— sene 
sene 
lim (ln 
£-+4-0 V - l n ( - l ) = 
ln ( - 1 ) — ln (—1) — 0. 
§ 2. Funciones enteras y meromorfas 
2.1. Funciones enteras 
Definición. Una función / analítica en todo el plano C se denomina 
función entera. 
De la definición se deduce que una función entera no 
tiene puntos singulares finitos. El punto z = oo es un punto 
singular aislado de la función entera. Si z = oo es un punto 
singular evitable, entonces, según el teorema de Liouville, la 
función entera es constante. 
Sea z — oo un polo de la función entera /. En este 
caso su desarrollo en serie de Laurent en un entorno del 
punto del infinito tiene la forma 
f(z) = CnZn + . . . + CXZ + Co + C—nZ " = 
71=1 
v v 
= Pn(z) + J2 c^nz~n. 
n=1 
La función / - Pn satisface las condiciones del teorema 
> 
de Liouville 
lim (f(z)-Pn(z)) = 0, z—>00 
de donde resulta f(z) - Pn(z) = 0, o bien f(z) = Pn(z), 
Resumiendo, si una función entera / tiene un polo en 
el punto del infinito, entonces la misma es un polinomio, es 
decir, una función racional entera. 
Una función entera para la cual el punto del infinito es 
un punto singular esencial se denomina función entera tras-
cendente. Ejemplos de tales funciones son zt-* ez, z cosz, 
z»-+ sen z. 
2.2. Funciones meromorfas. 
Teorema de Mittag-Lefñer 
Definición. Una función / analítica en todo C, salvo, tal vez, en sus 
polos, se denomina función meromorfa. 
De la definición se deduce que los únicos puntos 
singulares de la función meromorfa / en el plano C son sus 
polos. 
Las funciones enteras forman una subclase de la clase 
de funciones meromorfas. Dado que todo polo es un punto 
singular aislado, la función meromorfa / puede tener en C 
a lo sumo un conjunto numerable de polos. En efecto, todo 
círculo Kr = { z € G |z| < J2 = const, puede abarcar a 
lo sumo un número finito de polos, pues de lo contrario éstos 
tendrían un punto límite finito que sería un punto singular 
no aislado y no un polo. 
De este modo, todos los polos de una función me-
romorfa se pueden enumerar, por ejemplo, en el orden del 
crecimiento de sus valores absolutos. 
Consideremos dos casos. Supongamos que la fun-
ción / tiene: 
1) un conjunto finito de polos; 
2) un conjunto infinito (pero numerable) de polos. 
En el caso 1) el punto del infinito es un punto singular 
aislado. Denotemos con {bf, j = l , m } el conjunto de polos 
de la función /. Sea ft el orden del polo bj y 
9j(z) 
w 
JJ) c-2 
z-bi (z - 6,)2 
+.. . + (* - bjfi 
la parte principal deldesarrollo de Laurent de la función / 
en un entorno del polo bj. Consideremos la función 
z tp(z) = f(z) -
i=i 
Esta función es entera, pues se puede asumir que ha sido 
definida en los puntos singulares evitables bj. Dado que 
2—>00 
M * 
Yj9Áz) 
3=1 
las funciones f y <f> se comportan de la misma manera 
cuando z tiende a infinito. 
Supongamos que / (y, por tanto, <p) tiene en el punto 
del infinito un punto singular evitable o un polo; entonces 
n 
ip(z) — akZ '' 
k=O 
« ™ Px(z) 
fc=0 
donde P\ y Pi son polinomios. 
De este modo, hemos demostrado la afirmación si-
guiente. 
Teorema 1. Una función meromorfa f para Ja cual el punto del infinito 
es un punto singular evitable o un polo es una función racional 
y, por consiguiente, puede representarse en este círculo me-
diante una serie de potencias 
A a f t 0 ) t 
«¡w = 2 ^ - ¡ r z -
k=0 
(2) 
Fijemos g € R, donde 0 < <f < 1. El círculo 
ifj = { z e O |z|< # j | } 
pertenece de modo compacto al círculo i f , lo cual implica 
que la serie (2) converge absoluta y uniformemente en Kj. 
Por tanto, existe un n j € N tal que 
i. af\o) , 
fc=0 
Zk < - J y/z€Kj. 
V 
Hagamos 
W = £ " V * • 
Jfe=0 
Entonces 
19i{z) - Pj{z)\ < VzeKj. 
La serie - converge uniformemente en 
todo compacto # C € en el sentido de la definición dada 
anteriormente. En efecto, 
VÜTCCBÍVÉN: 
Vn ^ N K C Kn = {z € C: |z| < #„|} . 
Examinemos ahora la serie ^ ( f l j - Pj), j > Sus 
términos son funciones analíticas en K mayoradas por la 
_ 1 
progresión geométrica ¿ J ¿J> i ^ N - P o r consiguiente, su 
suma es una función analítica en el círculo K . 
Definamos la función / mediante la fórmula 
N-1 
>=i 
Demostración. Aplicando el teorema de Mittag-Leffler cons-
truimos la función 
00 
Mz) = ^(gn(z)-Pn{z)), 
n=l 
que tiene los mismos polos y partes principales en ellos que 
la función /. Por consiguiente, / - /0 = h es una función 
entera. • 
Nota. En caso de que la función / tenga un polo en el punto 2 = 0 con parte 
principal g0, siempre sustituiremos / por / - g0. 
A veces el término "función meromorfa" se utiliza 
en un sentido más amplio. A saber, se considera que / es 
una función meromorfa en una región D si sus únicos puntos 
singulares en D son polos. El conjunto de polos de esta 
función también es a lo sumo numerable, y si es infinito, sus 
puntos límites pertenecen a la frontera de la región. 
; i i ' ' - i , . 
2.3. Desarrollo de las funciones meromorfas 
en fracciones simples 
Sea £ /(() una función meromorfa arbitraria y sea 7 una 
curva de Jordán cerrada que abarca el origen de coordenadas 
y no pasa por los polos de la función /. Sea k = 1, n } 
el conjunto de los polos de la función / pertenecientes al 
interior de 7 y sean <7* las partes principales de los desarrollos 
de Laurent de la función / a i los entornos de los polos 
bk 0 VA; = l ,n . Si £ = Q es un polo de la función f, la 
parte principal del desarrollo de Laurent en un entorno de 
C = 0 se denotará mediante <70 (si £ = G no es un polo, se 
asume que go = 0). 
Sea z un punto fijo localizado en el interior de 7. 
Consideremos la función 
¿ 9k(0 
( *-* k—Q 
Esta función es racional en C, el punto del infinito es un cero 
de al menos segundo orden y, por consiguiente, su residuo 
en el punto del infinito es igual a cero. 
Aplicando el teorema de Cauchy para regiones múlti-
plemente conexas y la definición de residuo en el punto del 
infinito, obtenemos 
J _ í k~0 
2ni J C 
¿ > ( 0 
d{ 
2Tri J C 
m w 
X > ( 0 
r r 
w w 
E ak(o 
fc-o n res — = 0 00 C - z 
i A • •> - ; , y ' A V . . . s i A ••>•< . • w í X v 
(I* = ( i r , 1 r ) , 7r = (c e G: ICI = . £ } es una circunferencia 
que abarca a 7), de donde se deduce la igualdad 
l-f iri J 
no 
27TÍ J 
, r 
de 1-KÍJ 
w w 
/ (o -X>(o 
fc=0 
r = ( 7 / 7 o r ) , 
p v 
La función / - ^ es analítica en la región limitada 
fc=0 
por la curva 7 (se considera que la función está definida 
en los puntos singulares evitables). Según el teorema de 
Cauchy 
2iri J 
w ~ 
no - £ 9kio 
De este modo, 
k=0 d( = f(z)~1¿fgk(z). 
fc=0 
t í 2™{ <~z (1) 
Supongamos ahora que existe una sucesión (7m) de 
curvas de Jordán cerradas que abarcan el origen de coorde-
nadas, no pasan por los polos de la función / y tienen las 
propiedades siguientes: 
1) V m G N 7m la curva pertenece al interior de 7m + 1 ; 
2) rm —• 00 cuando m 00, donde r m es la distancia 
desde el origen de coordenadas hasta la curva ym. 
De esto se deduce, en particular, que Vi*> 0 existe un ra0 E N 
tal que el círculo KR = { ( <E G ICi < R} Vm > mQ(R) 
pertenece al interior de ym. 
> i — s V Va 
3) lim = Tm=(ymfyZ), \Z\ <R. (2) 
m->oo J £ — Z 
r» 
Apliquemos la fórmula (1) a Tm. Sea nm el número de polos 
abarcados por la curva j m . Entonces 
"m 1 V f(C) 
m = + ^i i~rzd<:' m > m o ( R y ( 3 ) 
Pasemos al límite en (3) cuando ra —* oo. Considerando la 
fórmula (2), hallamos 
f(z)= lim Y ]gk(z) . 
fc=l 
(4) 
De esta manera, la función / está representada en 
el círculo KR como el límite de la sucesión de sumas 
de las partes principales de los desarrollos de Laurent 
de / en los entornos de los polos pertenecientes al inte-
rior de 7m . 
Establezcamos las condiciones suficientes para que se 
verifique la fórmula (2). A partir de la estimación 
/ (0 d< f m 
2tt i j 2ir(r 7 ^ 1 ] m 
MCI 
resulta que para que se cumpla la expresión (2) es suficiente 
que 
lim [ |/(0I \D(I = M, M < oo. 
I — • O O J 
(5) 
7.» 
Demostremos ahora que podemos obtener un desa-
rrollo de la función / en fracciones simples imponiendo 
condiciones menos rigurosas que (2). 
Supongamos que existe un número entero no negati-
vo p tal que 
i f / (0 
j < - o, W < j i m - » o o 2 7 T Í J C^ÍC-*) 
rm 
Para que se cumpla (6) es suficiente que 
¿ / p 
7m 
/(C) MCI < oo. 
Si kl < l a tenemos 
1 __ 1 
= E + £ 
00 n —v Z 
n—O C"+I „ ± 1 , < n + 1 
A z» 
/*n+l 
n=0 s c?+2 o - ? 
Sustituyamos en (3) el desarrollo obtenido de 
(6) 
(7) 
• • I . . t i f t . ; . . ; { 
obtenemos 
/w = E « < « ) + £ £ 4"'*"+ 
jfe=0 fc=0 n=0 
€ l f f { 0 dc 
vm 
o bien 
"m ^p-ti /» 
m = ( » < « ) + + — / 
Jfc=0 iT 
r /(o 
2** y c + 1 ( c -* ) 
rm 
(8) 
donde P¿(z) = e s u n polinomio de grado no 
»=o 
superior a p. 
Pasando en (8) al límite cuando ra —• oo y tomando 
en consideración (6), obtenemos 
f(z) = lim Í9k(z) + f>k(z)), |z| < fl. (9) 
m — > o o O 
Las igualdades (4) ó (9) constituyen el desarrollo 
buscado de la función meromorfa en fracciones simples. 
Ejemplo. Hallar el desarrollo de la función z w ctg z en fracciones simples. 
f /(0<*C 
2tt¿ J C"+1(C - z)' 
r . 
Tomando en consideración las igualdades 
i f no „ ^ no 
7rt y ín+1 ^ ^ ^ cn+1 ~ ^ ' 
Solución. En el caso considerado tenemos 
bk = kir (k € 1), gu = — 
z ~ kn 
Sean ym las fronteras de ios cuadrados con centros en el origen 
de coordenadas y lados de longitud (2ra + l)7r paralelos a 
los ejes de coordenadas. Estimemos por separado el valor de 
ctg z en: 
1) los lados paralelos al eje imaginario; 
2) los lados paralelos al eje real. 
Tenemos: 
1) z = ±{2m + \)- + iy, 
m m 
I Ctg z\ = 
e2iz +1 _ 
e2iz — 1 
e±í(2m+l)3re-2y + ^ 
e±j(2m+l)Te-2y _ i 
1 - e"Zy < i. 
lH-e"2» ^ ' 
2) * x±i í mH- — 1 7r, 
ctg z 
e2íxeT(2m+l)ir + j 
1 | e2ixeT(2m+í)z _ 1 | 
eT(2m+l)ir + 1 1 + 
< jeíPrn+Dír _ ^ i _ ' 
1 + e_,r Tomando en consideración que — > 1, obtenemos 
ctg z | ^ 
1 1 r e-5r 
1 + e~* 
— 7T ^ £ Tm* (10) 
La condición (7) es válida para ctg z si p = 0. En efecto, 
f Ictg^l , , , l + 4(2m + l)7r / 
7m 
[ctgzl l + e f f 4(2m + l)7r 
( m + j W 
8(1-+c^*) 
r — W 
si m oo. 
De este modo, Pjt(z) son funciones constantes (poli-
nomios de grado cero): 
„ ctgC Pk(z) = Al = res 
kn ^ 
De aquí hallamos 
P0{z) = Q, Pk(z) = 
fc7T 
Aplicando la fórmula (9) obtenemos el desarrollo de 
ctg z en fracciones simples 
1 m 1 1 
ctgz — —{- lim ( Y ^ ( + — \ Y 
z oV^ \z — kw kir// fc=-m 
o bien 00 
1 v ^ ' / 1 1 \ 
(11) 
Jc=~ 00 
{donde el símbolo ^ ^ indica que k recorre todoslos valores 
de 2 salvo fe = 0). 
Teniendo en cuenta la convergencia absoluta y unifor-
me de la serie (11), la última fórmula puede escribirse de otra 
manera: 
1 . ^ 2z 
n—1 
(12) 
Nota. En calidad de j m hubiéramos podido tomar las circunferencias 
7m = € C \z\ = m + ^ | sin alterar la estimación (10), 
Problemas resueltos. 
m y , : 
v ' 
Solución. Es evidente que la serie de las partes principa-
les V : 71 £ converge uniformemente en todo 
' (z - n7r)¿ 
compacto (en el sentido de la definición del p. 22), pues 
r̂álIfÍII 
• • ' ' f . f f . f ^ C & í i í . 
V.-. <.'.*,*:. 
la serie mayorante ^ converge en todo círcu-
lo Kr = {z € C \z\ < R}. De este modo, utilizando la 
fórmula (3), p.2.2, y haciendo en ella Pn(z) — 0, obtenemos 
w 
f(z) = h{z) + 
n~—00 (z - nn)
2 
Solución. La función 
1 ^ 1 
Z »-• h(z) = r ) — 
sen2 z <¿—'' (z - n7r)¿ n=-oo 
es periódica de período ir. Examinémosla en la 
G ~{z€ C 0 < Re z ^ 7r}. Tenemos V n É N que 
franja 
717T| ^ 717T - |z| ^ 7r(n - 1). 
Por consiguiente, 
00 1 
F — -1 i? - < 
n=-oo n?r)
2 |z|2 2rl2 \z - Í17T 
+2 E (n - l)2?r2 n=m+l 
Si Z OO. 
Como [ sen2 z\ — sen2x + sh2y —• 00 cuando z 00, 
0 < Rez ^ 7T, entonces la función /i está acotada en la 
región G y, por ser periódica, también lo está en el plano C. 
Según el teorema de Liouville h{z) = 0. De este modo, 
sen2 z (z - nir): n—-oo 
j ? ; : 
M Solución. Tenemos: 
9n(z) = • 
z 
1 - -
n 
- 1 + í + ( Í ) n \n) 
\z\ < n, 
0,(20 + 1 + -n 
z 
1 
n 
n(n - z) n(z - n) 
Teniendo en cuenta que 
^ ^ Vze{ze C: \z\ <¥¿}, 
n{z-n) v«(n-yn) 
deducimos que la serie 2_] : converge uniformemen-Tt\Z " 7bJ 
te en todo compacto K C C en el sentido de la definición del 
p. 2.2. Así pues, según la fórmula (2), p. 2.2, 
m = + E ^ n=1 
' : íjírí ÍÍ ' i -
• , • v > • \ 5 ; 
+ X > 
¿ ?? g ' í s * x 
' U N ' S 
W ' » 
' « / e x « < : > • « < v ; y I 
Solución. La función « - «ene polos simples en los 
puntos bn = H7T (n € Z), 
( - D " 
z — 717T 
Sea T m la frontera del cuadrado con vértices en los puntos 
( m + * ( ± 1 ± t). Estimemos la función — : 
1) en los lados del cuadrado paralelos al eje imagi-
nario; 
2) en los lados del cuadrado paralelos al eje real. 
Tenemos: 
1) z = ± m + - 1 ir + iy, 
sen z 
ev + e-y chy 
/ 1\ 
2 ) Z = X±Í[ -
^ i ; 
| sen z\ ixArn+l)*„e-iXe(™+l)* 
(m+i) 
s h ( m + - W s h 2 
ti 
Por tanto, la estimación (7), p.2.3, se verifica para 
1 
p = 0, P„(z) = A°n = res , de donde P0(z) = 0, 
* ' \ / " - v r o n - y nw z sen z 
R.(z) - — . D e acuerdo con la fórmula (9), p.2.3, 
717T 
sen z 
1 "V 
7Í—-00 
( -1 ) " 1 1 
Z — 717T 717T 
1 °° 
n=l 
(—l)"2z 
Z 2 - 7l27T2 
Solución. Cambiando z por iz en (12), p. 2.3, y simplificando 
por —i, obtenemos 
, 1 ^ 2z 
n=l 
de donde resulta 
z z z z 
= - - + - cth - = 
ez - l 2 2 2 
2 
n-l 
2z 
z2 + 4n27r2' 
Solución. Utilizando la serie de Fourier de la función 
x (p(x) = eos ax, —ir < x < ir, 
obtenemos 
eos ax dü v eos nx, 
donde 
n=1 
a-
eos ax eos nx dx = 
= (-i) 
es decir, 
n 2 a senair 
ir a2 — n2 , n 6 Z0, 
sen a?r 2a sen afl-eos aa: = 1 
air 7T 
«« -iv« eos nx 
n=l 
Para x = 7r tenemos 
?r ctg «7T = 7T ÉOS CK7T 
sen «7r 
1 A 1 
= — ex A—' a¿ -
n=l 
1 - n1' 
Efectuando una prolongación analítica del eje real 
al plano complejo, llegamos a la solución del problema 
planteado: 
oo _ 
1 2 2 
z zÁ — n2 n=1 
§ 3. Productos infinitos 
El análisis de las funciones en el plano complejo revela no sólo 
sus propiedades nuevas y hasta inesperadas (por ejemplo, la 
relación entre la función exponencial y las funciones trigo-
nométricas), sino también permite agruparlas en clases. La 
utilidad de tal clasificación es confirmada por su importancia 
tanto en el desarrollo de la teoría de las funciones, como en 
su aplicación. 
3.1. Productos numéricos infinitos 
Se supone que el lector está familiarizado con el concepto 
de producto infinito de números reales y con algunos de los 
resultados más simples de esa teoría. 
Sea {zn) una sucesión arbitraria de números complejos. 
Definición 1. El producto infinito 
na+*») (1) 
se denomina convergente si la sucesión (Pn) de productos parciales, 
n 
Pn = n * 1 + **)' 
k=1 
converge a un límite P finito y diferente de cero: Pn -+P,0 < |P| < oo. 
El límite P se denomina valor del producto infinito (1) y se denota 
oo 
mediante + 
n=l 
Si entre los factores (1 -f zn) hay un número finito 
de factores nulos, el producto infinito es convergente o 
divergente según lo sea el producto infinito obtenido a partir 
del producto dado después de eliminar los factores nulos. 
Si el conjunto de factores nulos es infinito, se dice que el 
producto infinito es divergente. 
Conforme a las definiciones presentadas, para inves-
tigar la convergencia de un producto infinito basta analizar 
el producto infinito de los factores distintos de cero. Evi-
dentemente, para la convergencia del producto infinito (1) es 
necesario que lim zn = 0. En efecto, n—*oo 
Pn 
lim (1 -f zn) = lim — — n-»oo »->oo Jrn_i 
P 
P 
i; 
por consiguiente, zn 0. 
Teorema 1 (de convergencia del producto infinito y de la serie numérica 
correspondiente). Elproducto infinito J~[(l + z„) converge o diverge 
simultáneamente con la serie 
^ l n ( 1 + z„), - 7 T < Im l n ( 1 - f z„) ^ 7r. 
demostración. Vamos a suponer que el producto infinito 
[(1 + z„) converge. Entonces 
l i m P n = P , P / oo, 
n—*oo 1 
¡onde 
Pn = £ ( 1 + **)> P = rer 
fc=i 
r 
;Í Pn = rne^\ -7T < <pn ^ 7T, entonces 1 + zk 
-7r < &k 7r, luego <pn —• (p, $k O para 
n 
enotemos Sn — ^ ln (1 + zk). Entonces, 
k=i 
Sn = ln Pn + 2m„7r¿, 
onde mn es un número entero. Obviamente, 
= Pké6kf 
Zk -» 0. 
(2) 
2mnir = ^ + 02 + ... + 9n - y>„; 
or tanto, 
2 7 r ( m n + 1 - m „ ) = 0n+l - (<pn+l ~ <pn). 
uesto que 0„+1 - > 0 y ipn+1 - <pn -+ 0, entonces obtenemos 
27r(m„+1 - mn)| < 27r para valores de n suficientemente 
grandes. Por tanto, mn+1 — mn — m para los n indicados y 
Sn = ln P„ + 2mni. Así pues, 
00 
lim Sn = Y] ln (1 + zn) = ln P + 2mm, 7I—+0O * n=1 
s decir, la serie ln (1 + zn) converge. 
g m - m - h r ; : 
3EÜÜ 
00 
Sea ahora ln (1 + zn) = 5 . De la igualdad (2) se 
n=1 
obtiene que 
C * = ín/ 
de donde 
lim Pn = exp { lim Sn} = es = P, n—>oo n—»oo 
es decir, el producto infinito + zn) converge. 
Si el producto infinito J K 1 + zn) diverge, entonces 
también diverge la serie ln (l + zn), pues suponiendo 
lo contrario obtendríamos una contradicción con lo anterior-
mente demostrado. Análogamente, de la divergencia de la 
serie ^ ln (1 4- zn) se deduce la divergencia del producto 
infinito + zn)- • 
Definición 2. El producto infinito (1) se denomina absolutamente 
convergente si converge el producto infinito 
La serie ^ ^ zn y el producto infinito (1) tienen la 
característica de que ambos a la vez bien convergen absoluta-
mente, bien divergen. En efecto, la estimación 1 + \zj\ < e'^' 
conlleva a las siguientes desigualdades válidas V n € N: 
k l + N + -. . + !*«! ^ 
^exp{|«i| + |2i| + .:.-+|zB|}.' • (4) 
n 
Los productos parciales FIO- + M ) y las sumas parciales 
i 
n 
^ \z}¡\ del producto infinito y la serie numérica, respec-
t a 
tivamente, constituyen sucesiones monótonas crecientes, las 
cuales, según (4), están simultáneamente acotadas superior-
mente o no lo están. 
Teorema 2. Todo producto infinito absolutamente convergente converge. 
'4 Demostración^ Supongamos que el producto infinito (3) 
converge. Sea P„ su producto parcial, P n X + P . Como 
n 
Pn = Y[(1 + M), 
k=1 
Pn - Pji—i = (1 + \ZX\)... (1 + l^-iDl^j, n > 2, 
para los productos parciales del producto infinito (1) tenemos 
Pn ~ Pn-1 = Pn-\Zn, 
\Pn ~ Pn-l\ = \Pn-l\ M 
< (1 + |*!|) . . . (1 + \Zn-i\)\Zn\ = Pn ~ f 
Por cuanto Pn P, la serie J - P„_i) (n ^ 2) 
converge y, según el teorema de comparación de series, la 
serie - P „ _ i ) (n > 2) también converge. Esto significa 
que Pn P0/ P0 # oo. Queda por demostrar que P0 5¿ 0. 
Por el teorema 1, la serie ^ |zn| converge. Dadoque a partir de cierto número n los módulos |1 + zn¡ están 
acotados inferiormente, la serie ^ converge. Por 
1 + zn 
tanto, de acuerdo con el teorema 1, el producto infinito 
n ^ l + Y+~z~ ) c o n v e r 8 e ^ junto con él, converge el 
producto infinito f j qn, donde 
?n n ( -
Zk 
1 + zk 
Esto se puede comprobar tomando 
Pn^qn y Pí 
Así pues, existe lim qn = qQ £ 0, y como qn = entonces n—•oo *n 
Se puede demostrar que el valor de un producto 
infinito absolutamente convergente no depende del orden de 
sus factores, pues en este caso la serie J ^ t a l c o n v e r S e 
1 
(v. teorema 1). Efectivamente, sea e = Entonces existe un 
n£ e N tal que Vn > \z„\ < - (ya que \zn\ 0 en virtud 
de la condición necesaria de convergencia de una serie). Para 
los n indicados obtenemos la estimación 
{ln (1 + zn) | M _ 
2 3 
zn zn 
— i ^—I 2 3 
• • ^ 
1 1 1 1 
1 1 
de la cual se deduce que Vn ^ n£ | ln (1 + zn)\ < 2\zn\. Por 
consiguiente, la serie ^ ln (1 + zn) converge absolutamente 
y la afirmación a demostrar constituye una consecuencia de 
la igualdad 
H(1 + Zn) = exp \Y1ln í 1 + Z n ) f 
»=1 ^ «=1 J 
(v. teorema 1), pues para los términos dé las series absoluta-
mente convergentes se cumple la conmutatividad. 
s < í i 
•ft'ÉSWI 
3.2. Productos infinitos 
uniformemente convergentes 
Sea (/„) una sucesión de funciones /„: C —> C; Vn G N 
D/n = G, donde G C C es una región. Si Vz 6 G el 
producto infinito ]Q(1 + fn{z)) converge, se dice que converge 
puntualmente en la región G, definiendo de este modo cierta 
función z P(z) en G. Si la sucesión {Pn) de productos 
n 
parciales Pn — J~J (1 H- f¡¡) converge uniformemente a una 
función P (P„ nt P ) en todo compacto K C G, e\ producto 
infinito n ( l + /«) s e denomina uniformemente convergente en 
ta región G. Según el teorema 6, p. 1.3, cap. 2, t. 6, el producto 
infinito n ( l + fn) converge uniformemente en la región G 
si, y sólo si, la sucesión (P„) de sus productos parciales es 
uniformemente fundamental en G. 
Teorema (condiciones suficientes de convergencia uniforme del producto 
infinito). Puraque un producto infinito 11(1+/») converja uniformemente 
es suficiente que exista una sucesión numérica {an) que cumpla las 
condiciones siguientes: 
1) V n e N H / n l K o » ; 
2) el producto infinito + <*») converge. 
Demostración. Dado que el producto infinito IJ(1 + an) 
converge, entonces la sucesión (Pn) de productos parciales 
n 
Pn = n (1 + afe) e s fundamental: 
fc=i 
V e > 0 3 n£ £ N: V (n ^ nE, p 6 N) 
n , n+p 
iVn, --P» = 11(1 + O*) ( J J ( l + <,*)- 1 ) <£. 
jllllh í \ 
• í ' j . . ' - A i 
Para n^ ne y todos los p € N estimemos 
"+P n i. n , n+p 
n d + A í - n d + A ) = i i ( i + A ) ( r i ( i + / * ) -
*=1 "/c=1 \fe=n+l 
De las propiedades de la norma uniforme se obtiene 
n+p 
A=n+1 
na+/*) 
n+p 
&=i 
jt=i 
n+p 
n i 1 + « a i d ( i i ( i + H M D - 1 . 
k=n+1 
Hagamos Pn— (!+/*)• Teniendo en cuenta la condición 1 
fc=i 
V {n ^ n€, p € N) obtenemos 
« . n+p . n , n+p . 
es decir, la sucesión (Pn) es uniformemente fundamental ' 
el producto infinito flCl + /„) converge uniformemente en L 
región G. • 
3.3. Representación de una función entera 
mediante un producto infinito 
Sea (an) una sucesión tal que los módulos de sus térmi 
nos forman una sucesión no decreciente. Supongamos qut 
a« = a„ 0, y que un número finito de an pueder 
ser iguales. 
p i:; 
Consideremos el producto infinito 
x exp 
La» 2 \an 
4* • - • I Y a Y " ! 
Vn\Q>n) ) (1) 
donde los números pn 6 Z0 son tales que la serie 
(n ̂ (2) 
converge absoluta y uniformemente en todo círculo 
Kr — {z € O \z\ < ü } (se puede tomar, por ejemplo, 
pn=n~ 1). 
Demostremos que el producto infinito (1) converge 
uniformemente en todo compacto K c C . 
Introduzcamos la función 
9n(z) = ~ ' 
Entonces 
ln gn{z) = 
= ln ( l -
exp 
{ an 2 \an 
"f . • » 4* 
Pn $1 
Z 1 ( Z + — + " — an 2\an + . . .+ Pn \ün 
Pn + 1 \ an 
Pa+1 
pn+2 \ an 
P*+ 2 
Pn + 3 V an 
í>»+ 3 
Para — ^ q < 1 obtenemos la estimación 
a„ 
\Pn+l 
1 - f f 
(3) 
Para todo compacto üf C C existe un número n0 tal que 
Vn ^ n 0 í f C = {z €. C: |z} < Por consiguiente, 
s> > ¡ s> í í í S S V N S ^ S % W s Y •• s» < \ > •> s> 
(SĴ ^̂ SŜ wi i .X N .i» X <v\V < S 
la serie 
]Pln0 f , (z) (n ^ no) 
está mayorada en el compacto K por la serie convergente (2), 
por lo que podemos afirmar que su suma es una función 
analítica g„0. Este hecho implica la convergencia del producto 
infinito 
II 9n(z) = fno(z) = e9"«(z), (4) 
n=«0 
siendo /„0 una función no nula analítica en el compacto K . 
n 0 - l 
El producto infinito (1) difiere de fno(z) en el factor 9n(z) 
n=l 
que se anula sólo en los puntos o¡>\, a-i , . . . , an o-i ' Como K 
es un compacto arbitrario, entonces z »-> P{z) es una función 
entera con ceros {a„; n € N}, an ^ 0, y la multiplicidad del 
cero ak es igual al número de términos de la sucesión (a„) 
iguales a ak. El producto infinito (1) se denomina producto 
infinito de Weierstrass. 
La función z <p(z) = zxP(z) es entera y tiene en 
el punto a0 = 0 un cero de multiplicidad A, así como una 
sucesión de ceros (an), an 0, lim an = oo. n—»oo 
Ahora ya podemos demostrar el teorema de Weiers-
trass de representación de una función entera mediante un 
producto infinito. 
Teorema (de Weierstrass). Toda función entera f con un conjunto 
infinito de ceros, donde z ~ 0 es un cero de orden X, (an) es ta sucesión 
de Jos demás ceros y lim an = oo, se puede representar mediante un 
11—'QO 
producto infinito 
m = zxeh{z) n 1 
71=1 
x exp 
\an 2 \an 
+ ... + 
Pn 
(5) 
--tilili r - c i : 
donde h es cieña función entera y los números pn se eligen de tal 
manera que la serie (2) converja. 
Demostración. Como la función z <p(z) — z>lP{z) es 
entera y sus ceros coinciden con los de la función /, la 
función — también es entera (se considera que sus puntos 
singulares evitables han sido evitados) y no tiene ceros en 
el plano C. Según el teorema de monodromía (v. teorema 2, 
p. 1.3, cap. 3, t. 6), la función 
h(z) = ln m 
<p(z) 
también es entera y, por consiguiente, 
f(z) = em<p{z) = zxemP(z). 
3.4. Desarrollo de la función sen z 
mediante un producto infinito 
En calidad de ejemplo, desarrollemos la función entera z f—• 
sen z en un producto infinito. La función sen z tiene un cero 
simple en el punto z = 0 y ceros simples en los puntos 
an — tvk {n = ±1, ±2,...). Por cuanto la serie ^ ( - ) 
njÉO ^ n ' 
converge en todo compacto, en el producto infinito (1), p. 3.3, 
podemos tomar pn = 1 para todo n. De acuerdo con la 
fórmula (5), 
sen z = zeh(z} n 
o 727T / 
siendo h una función entera. El símbolo J ] ' significa que no 
se toma el factor correspondiente a n = 0. 
méi 
.^•H'mmm 
Sea K C C un compacto arbitrario que no contiene 
los ceros del seno. Para todo z E K obtenemos que 
ln sen 2 
00 t / / 
h(z) + ln z + (ln (1 ~ 
j| =— 00 * 
z \ z 
— + — mr} nir 
dz 
ln senz = ctg z ~ 
0 0 / 
h'(z)+-+Y! ( — + 1 - ) -z \z - n-K nir / »=—00 x ' 
Comparando la igualdad obtenida con el desarrollo de ctg z 
en fracciones simples (v. fórmula (11), p. 2.3), obtenemos que 
h(z) — const. Así, 
sen z 
00 
n = - o o 
zf(nir) 
sen z 
A partir de lim — — = 1 hallamos que C — 1. Consi-
r 2^0 z ^ 
guientemente, el desarrollo de sen z mediante un producto 
infinito es 
sen 2 = IT O-i)-*" 
72 = - 0 0 x ' 
71=1 
nh- n 2 7 r 2 
pues, como la serie - converge absoluta-
mente, podemos unir los factores de índices - n y n , 
3.5. Género y orden de una función entera 
Sea / una función entera y (an) una sucesión de ceros suyos 
tal que an ^ 0, lim an = 00 y la serie (2), p. 3.3, converge 
n~>oo 
Y'Síft 
para pn = p, donde p es el menor número entero no negativo 
para el cual la serie converge. En este caso el número p se 
denomina género del producto infinito 
P(z) 
= n K 
exp 
\( z 
P 
(ésta es la fórmula (1), p.3.3, para pn = p). Entonces la 
fórmula (5), p. 3.3, adquiere la forma 
l an 2 \ an P a») } ' (1) 
Si h es un polinomio degrado p\, se dice que / es 
una función de género finito igual a max{p, pi}. 
Cuando no hay ceros'o», el género de la función / es 
igual a pi, es decir, al grado del polinomio h. 
Por ejemplo, sen z es una función entera de primer 
género {p = 1, p\ = 0). 
En los demás casos, cuando h es una función entera 
trascendente o la serie > r 1 no converge para ningún p 
no negativo, la función / se denomina función entera de género 
infinito. 
Sea M(r) = max \f{z)\. Si f(z) const, confor-
\z\=r 
me al teorema de Liouville tenemos lim M(r) = oo. El 
r—>oo 
siguiente teorema, cuya demostración no entra en el mar-
co de este libro, nos da una idea del comportamiento de 
una función entera de género finito cuando ésta tiende 
a infinito. 
f p :r li»; 
Demostración. La primera parte de la afirmación y la 
desigualdad ^ q ^ p + 1 se deducen directamente de la defi-
nición de orden de una función entera y de la desigualdad (2) 
para a = 1/ • 
^ Una demostración completa de éste teorema, así como del teorema 
de Poincaré, se puede encontrar en el libro Biteadze A V, Fundamentos du 
teoría de las funciones analíticas de variable compleja, M., Naúka, 1972 (en 
ruso). 
3.6. Función meromorfa como el cociente 
de dos funciones enteras 
Sea F una función meromorfa y sea z • <p(z) — zxP(z) 
una función entera representada en forma de un producto 
infinito. Supongamos que los ceros de <p(z) coinciden con los 
polos de la función F y las multiplicidades de los ceros de (p 
coinciden con los órdenes de los polos de F . Sea A el orden 
del polo de F en el punto z — 0; si zq — 0 es un punto de 
analiticidad de la función F, entonces suponemos A = 0. 
La función ip ~ F(p es entera, pues los polos de la 
función F se simplifican con los ceros de la función tp. Por 
tanto, 
if> 
<P 
Así pues, toda función meromorfa es igual al cociente de 
dos funciones enteras. La afirmación recíproca también se 
cumple: el cociente de dos funciones enteras es una función 
meromorfa. Este hecho sugiere una segunda definición de 
función meromorfa (la primera definición se da en el p. 2.2): 
una función F es meromorfa si se puede representar como el 
cociente de dos funciones enteras. 
Problemas resueltos. 
Solución, a) Dado que 
k=1 
k(k + 2) 
TT (* + V2 
Í i *<* + 2) 
_ ((» + ^)Q2-2 _ + 1) 
~ n\(n + 2)! n + 2 ' 
obtenemos 
n=1 N N + 2 ) / oo 
= lim P„ = 2; 
b) Tenemos: 
p„=n 
fc=2 
fc3-l 
fc3 + l 
r r (fc - + fe + 1 ) 
+D(fc 2 - fc+1) 
2 (n - 1 ) ! II (n + 1)! ¿ ¿ ( f e - l ) 2 + ( f c - l ) + l 
2 n2 + n -f 1 
n(n + 1) 3 
^ n 3 - 1 „ 2 II "TT7 = l i m P« = V 
71=2 
4 Solución. Según el teorema 1, p. 3.1, estos productos infinitos 
convergen o divergen junto con las series respectivas 
„ / i\ 1 / 1 Y ^ 1 
SH 
y U : ; V í • : • 
I > K K l > H ) 
Dado que la serie 
converge [ ln ( 1 + 
X > (! + 
diverge ( arctg — ~ — 
V » n, 
y el segundo converge. 
y la serie 
, el primer producto infinito diverge 
- ) ^ 0 si \z\ ^ 3, entonces 
3/ 
para estos valores de 2 el producto infinito diverge. Si 
\z\ <3, entonces el producto infinito converge absolutamente, 
pues converge la serie — A d e m á s , la convergencia es 
J 
uniforme en todo círculo 
Kr = {z £ C: \z\ < r < 3 } . 
Por consiguiente, el producto infinito dado define una función 
analítica P en el círculo Kr. 
b) El producto infinito converge en C y constituye una 
función entera. Esto se deduce de la convergencia absoluta y 
„ z» 
uniforme de la serie ) —r en todo círculo 
Kr = {z e C \z\^ R < 1}. 
c) El producto considerado es un producto infinito 
de Weierstrass para an = - n y pn = 1. Por consiguiente, 
converge en C y representa una función analítica en C. • 
Solución. Según el teorema 1, p. 3.1, este producto infinito 
converge o diverge absolutamente junto con la serie 
1 1 E 
n ) 
n> 2. 
Esta serie de potencias de r converge sólo para \z\ > 1, Por 
\z\ 
consiguiente, la región de convergencia absoluta del producto 
infinito es el conjunto D = {z € C: \z\ > 1 } . • 
A Solución. Fijemos un z G C. Para valores grandes de n 
tenemos la fórmula asintótica 
1 - c + n 
z¡n 
= 1 - 1 - c + n 
I + - + O 
n 
z z ^ ( 1 
+ 0 -
c + n n \n' 
cz 
n + c\n 
+ O 
Si el número c no es un entero negativo, la serie 
zjn £ 1 1 e c + n ) 
converge absolutamente porque converge la serie 
W J ^ L + o f i ) ) . 
¿-^\\n + c\n \n2/J 
Según el teorema 1, p. 3.1, el producto infinito dado converge 
absolutamente si c^ — n, n € N. • 
mw^-'r . ... 
I ̂ iiÜM̂ irfi >> Ü WijiV̂ ̂ WWÜÜ • ̂ p* »• PMlij •• * JLMlU Li J 
A Solución, Analicemos la función 
n zn ~ z -
n=k 1 
(3) 
en el círculo ÜT|Zt[ = {z £ C: \z\ < |z¡fc|}. Todos los factores 
de (3) son distintos de cero. De la estimación 
l«n(z)l = 
(zn - z)zn ' 
1 -zzn 
1 ~ \zn\2 2(1 
\l-zzn\ 1 
M) 
\ * k \ 
y de la convergencia de la serie (1) se deduce que el producto 
infinito (3) converge uniformemente a una función analítica y 
no nula en el círculo K\Zky, además, el producto infinito (2) es 
una función P analítica en el círculo K\Zk\, la cual se anula 
sólo en los puntos z\, z 2 / . . . , Z)¡-i. Como lim = 1 (esto A-» 00 
se deduce de la convergencia de la serie (1)), entonces P es 
una función analítica en el círculo K = {z £ C \z\ < 1} y se 
anula solamente en los puntos z\, z2,.... 
Estimemos el módulo de un factor arbitrario del pro-
¿n - z ducto infinito (2) para \z\ < 1: —z„ < \zn\ < 1. Por 1 -zzn 
consiguiente, \P(z)\ < 1 Vz £ K. • 
* <o¡ 4 t i 4 ** 1 í ^ v >, s / 
xt,x 9A fa f » * ^ ^ f í * ® x * » 
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x V i » . ' . t ' 
£ <<, ' < '»f V f 
A . , f / 
' ^ " * s s ** . * Á 
X < « V . • • 
> X 3 X ^ > $ $ 
« x « < • y x • y x 4 < • x < r > v > > x í - < ^ v < < . . . » » w ^ w : x • : •• • 
•4 Solución. Utilicemos la fórmula de desarrollo del seno me-
diante un producto infinito (v. p. 3.4). Tras una serie de 
transformaciones obtenemos 
az bz e — e = 
o±b ( a-b 7 a-b = e 2 [ e i - e 2 . 
o+ft r a — b = 2e~2~ sh z = 
. (a - b)iz 
= - 2 i e 2 sen - — 
= —2í e 2 z 
2 „2 
1 + 
(fl - bfz 
4ir2n2 
o+ft 
(a - b)ze 2 
2 „2 (a - bfz 
4 n 2 7 r 2 
^ Solución. Cuando n —• oo tenemos 
= O 
a2n = O 
1 
1 
a2n-l = O 
y/ñ din = O 
n 
I 
71 
entonces an = O 
1 
cuando n —+ oo < = O I i 
V » / 
y las series a„ y ^ a2 divergen por el criterio de 
comparación (con la serie armónica). 
Vemos que el producto infinito J7(l + an) satisface la 
condición necesaria de convergencia. El producto converge 
si, y sólo si, n ( l + ft2n-i)(l + «2n). Ya que 
1 
(1 + a2 n-i)(l + a2n) = — -
rty/n 
Bita 
y la serie ^ — c o n v e r g e , entonces también converge el 
producto infinito dado. • 
M Solución. Dado que 
2 M{r) — max | eos az | = 
[je r 
-——a Z ^ 
M_ r (2n)\ 
2n„4n 
e|a|r2 + e 
2 
- í r 
4 
— ch |a\r' 
i arg a 
y en el punto zq — Vire 2 se tiene f(zQ) 
tenemos que 
M(r) = 
el«|r2 + e-|a|r2 
Utilizando la fórmula (4), p. 3.5, resulta 
ln ln 
q = lim 
r—«oo ln r 
= lim 
ln (|a|r2 + ln (l + e •2\a\r' ln2 
r—>00 ln r 
mm -BMSm 
Aplicación de los residuos 
al cálculo de integrales 
y de sumas de series 
.1. Aplicación de los residuos al cálculo 
de integrales definidas 
t 
1 teorema fundamental de los residuos (v. teorema 1, p. 1.3) 
ermite reducir el cálculo de una integral curvilínea a lo 
rgo de una curva cerrada al cálculo de la suma de los 
siduos de la función subintegral en los puntos singulares 
arcados por la curva. A veces este método también permite 
lcular integrales a lo largo de curvas no cerradas e, incluso, 
>unas integrales definidas de funciones de variable real. Esto 
posible debido a que mediante ciertas transformaciones 
eciales el cálculo de tales integrales se puede reducir al 
culo a lo largo de curvas cerradas, a las cuales se puede 
icar el teorema de Cauchy de los residuos.1) Sea (x, y)R{x, y) una función racional de x e y, 
ual no tiene puntos singulares en la circunferencia 7 = 
, y) € R2: x2 + y2 = 1}. Entonces es válida la fórmula 
e {Zk; k = 1,71} son los polos de la función 
1 f z - l / z z + l/z\ 
z -R | :—, z \ 2i ' 2 ) 
mecientes al círculo unidad K = {z eC: \z\ < 1} 
¡ ÍÉÉISS 
Para obtener la fórmula (1), en la función subintegral hay que 
realizar el cambio de variable z = e*. Entonces, 
¿ I T 
/ 
fí(sen t, eos t) dt 
z - 1 / 2 z + \/z\dz 
IZ 
r = (7/7or)-
Aplicando ahora el teorema de Cauchy de los residuos llega-
mos a la fórmula (1). • 
2) Sea / una función analítica en el semiplano com-
plejo superior (incluido el eje real)salvo en un conjunto finito 
de puntos z& (Im z& > 0 V 1,»). Dada una curva 
llt={z£ C z = Reli, 0 
supongamos que 
Af(fi) = max |/(2)|, U > max \z]¡\ 
z€7ií 
7 lim RM(R) = 0, 
R-* oo 
Entonces se cumple que 
(2) 
. < . . . 
Sea 7 = l - A «1 U <»' T = (T. 7 « ) = (Ti. r , ) , un. curva 
suave a trozos cerrada y orientada positivamente (f.g. 1). 
Según el teorema fundamental de los residuos, tenemos 
/ dz 
i l . 
/ 
dx + / 
C V 
£ 
fc=l 
® 
-R o | 
Fig.l 
Pasando en esta igualdad al límite cuando R —> +00 
y teniendo en cuenta la condición (2), obtenemos la fór-
mula (3). • 
3) Lema (de Jordán) Sea f una función analítica en el semiplano 
superior Z* = {z 6 O Im z ^ 0} salvo en un conjunto finito de puntos 
singulares aislados y sea 
lim M{R) = 0 
R-> oo 
(4) 
(o bien lim M(Rn) — 0, donde (Rn) es una sucesión de números tal Ra—>00 
que las semicircunferencias 7^ con centros en el origen de coordenadas 
no contienen puntos singulares de la función f). Entonces V A > 0 es 
justa la igualdad 
J ™ / R-^ooJ 
f{z)eiX¿dz = 0, TR = {lR/ 7-) 
rR 
lim í Rn^OO J f(z)e
iXzdz = 0, = ). 
(5) 
< Demostración. Estimemos la integral del segundo miem-
bro de la fórmula (5) utilizando la conocida desigualdad 
21 f ir' 
sen t > —, la cual se cumple V t G O, — . Tenemos: 
7T r 2 
/ /(*)eiA* ¿z ^ / / ( i k V « c o s ^ - A f i s e n ^ ^ . 
^ Í2AT(Í2) / AJtsertí 
= 2RM{R) 
j t / 2 
/ • 
-A/lsen¿ 
^ 2RM{R) 
«¡2 2Afl 
J e 7T dt~~ M(R) -XR 
De la condición (4) y de la estimación obtenida se deduce la 
fórmula (5). • 
Nota. Analizando la demostración del lema de Jordán vemos que la analítici-
dad de la función / no es esencial. 
El lema de Jordán demostrado para el semiplano 
superior puede ser enunciado y demostrado de forma análoga 
para los demás semiplanos. 
Tomando en todos los casos A > 0 y asumiendo 
que la semicircunferencia jr se encuentra en el semiplano 
correspondiente, escribimos la fórmula (5) para los demás 
semiplanos: 
b) Zdei = {zeC:Rez^0}, lim / f{z)e~Xzdz = 0; 
R—>00 J 
Tr 
J-
r R J 
iXz dz = 0; (6) 
(7) 
•¡HÍ > 
\ t J l : 
^̂ pf irp ¿j ̂ í 
c) = / f{z)eXzdz = 0. (8) 
Si la función / cumple las condiciones del lema de 
Jordán y tiene en el semiplano Z¿Qr un conjunto finito de 
puntos singulares {a^; k — 1, n } , lmak > 0, entonces, 
razonando de la misma forma que en 2), V A > 0 obtenemos 
la fórmula 
+00 
/ iXx 
ib 
dx = 2t t¿ V res(/(z)e'A*), 
/ Í 9 
Jk=l 
de donde 
-f oo 
/ 
+oo 
(9) 
J f(x) sen A® ¿c = Im ^2tt i ¿ res (/(z)elAz) j . (11) 
—OO 
Ejemplo» 
+00 
/* ar ¡ 
J 1 
x sen Ax ze iXz 
+ r 
dx = Im 2ir i res - — Im i 1 + z2 
2iri • ié 
- A 7T6 • 
-oo 
4) Sea / una función que satisface las condiciones 2) 
y tiene un conjunto finito de polos simples j = 1, ro} 
en el eje real, es decir, Im bj = 0. En este caso se verifica la 
fórmula 
donde la integral se entiende en el sentido del valor principal 
respecto a todos los puntos bj y oo. 
IH8GF 
—R b-r b¡+r b2~r b2+r O b„rr R 
Fig.2 
< Consideremos la curva cerrada de Jordán 
m m 
Irt = [-R,R] \ U (bj - r < X < bj + r) I j 7 j r , 
i 
dónde 7 j r es una semicircunferencia superior con centro 
en el punto bj y radio r suficientemente pequeño; 7^ 
es la semicircunferencia superior con centro en el origen 
de coordenadas y radio R suficientemente grande. Se su-
pone que la curva abarca todos los puntos singula-
res ak (k = \,n). Consideremos la curva suave a trozos 
Tjir = (r̂ Ti;, r2/..., r~r/ rm+1/ VR), la cual es cerrada, 
orientada positivamente y está compuesta de un conjunto 
ordenado de curvas suaves orientadas (fig. 2). 
Aplicando el teorema de Cauchy de los residuos, 
obtenemos 
/ 
IV 
f(z)dz = 
1 * 
- s / 
f(z)dz + 
•7=1 r jr 
/ f(z)dz+ / f{z)dz = 
= 2tt¿ 
fc=i 
res/ (z). 
ak 
Pasemos ahora en esta fórmula al límite cuando R —• oo y 
7* —• 0. Tomando en consideración que 
lim f f(z) dz = 0, 
2 Í ~ k x > J 
r« 
lim [ f{z) dz~~\ res f{z), 
r—>0 J 2 bj 
rir 
llegamos a la fórmula (12). • 
De un modo análogo se puede generalizar la fórmu-
la (9): si la función / tiene polos simples bj ( j = 1, m) en el 
eje real, entonces 
+00 
f(x)eiXx dx = 
-OO 
n ™ 
= 2iri y " res }{z)eix' + ttí V res ](z)eix'. (13) 
w * U "i 
+00 
tlx 
/
€ 
—• dx (t > 0) es igual a 
e¡tz 
1tí res — = 7Ti. o z 
5) Sean / una función racional y {ak-, k ~ l,n} el 
conjunto de sus polos, ninguno de los cuales se encuentra en 
el eje real positivo. Sean, además, p y q dos números enteros 
(p < q) tales que 
f(z) = o ( ~ ) , z 0; 
V z P j (14) 
11 
i: 
v 
i 
Fig.3 
Analicemos la función z h za~1f(z) (p < a < q no es un 
número entero) en el plano z con un corte a lo largo de la 
semirrecta (0, +oo), especificando la rama za~l mediante la 
igualdad 
2 = ey 1 1 5 0 < a r g z < 2 ? r . 
El conjunto ordenado de curvas orientadas (fig. 3) 
rv = (ri,rfl/ rf,r~) es una curva cerrada suave a tro-
zos orientada positivamente que abarca todos los puntos 
a>k (k = 1/ n). Aplicando el teorema fundamental de los 
residuos obtenemos 
R 
J za~]f(z)dz = f z*-}m dx ^ 
r 
R 
+ / dz = 
Tr 
n 
= 2th ]>] resza"7(z)-ak fc^-1 
Pasemos en esta igualdad al límite cuando R —• +00 y r —• 0. 
A partir de las condiciones (14) se deduce que 
lim í za~1 J f(z) dz = 0; 
r« 
lim í za~l r^Oj f(z) dz — 0, 
in-
debido a lo cual tenemos 
+00 +00 
J Xa-1 /(®) dx = -e^1**1' J x^fix) dx 
o 0 
n 
/T1 
-feo 
De este modo, la integral j xa 1 f{x) dx existe y 
o 
4.2. Aplicación de los residuos al cálculo 
de sumas de series 
Sea / una función meromorfa con un conjunto finito de polos 
. . ' • t ^ 
{a¿; fc = h n j entre los cuales no hay números enteros. Sea 
(7™) u n a sucesión de curvas cerradas de Jordán que abarcan 
' . . I fS j j j . • _ . j 
el origen de coordenadas sin pasar por ninguno de los puntos 
enteros z = n ni por los polos de la función f , y tales que 
rm —> oo cuando ra —• oo, donde rm es la distancia desde el 
origen de coordenadas hasta la curva 7m . En este caso, si 
lim / f(z) ctg 
n-»oo J 
TTZdZ^O, r m = ( 7 m , 7^), (1) 
lim n^oo J sen 7rz sen 7T2 (2) 
y las series correspondientes convergen, entonces se cumplen, 
respectivamente, las igualdades siguientes: 
V W 4 9 
f{n) = res f(z) ctg ttz, (3) 
T i — — O O 
« « 
X > l ) n / ( n ) = -1T X ) 
m 
n=1 ak sen 7TZ 
(4) 
Demostremos la fórmula (3). Para simplificar asumimos que la 
curva 7m es simétrica respecto al eje imaginario. Tomemos m 
tan grande que todos los polos (k = 1, ra) sean abarcados 
por la curva 7m . Denotemos mediante 2Pm el número de 
puntos de coordenadas enteras abarcados por dicha curva. 
Entonces, según el teorema de los residuos tenemos 
¿ i I m c t s 
7TZ dZ 
—yzres c t g 1 ( 2 + c tg * * -
/ I • « i fc=l 
— 
= V res ctg 7TZ + V /(j). r
 flí. r 
\ H i t < S > ) I ' ' * . ' 1 
Pasando en esta igualdad al límite cuando ra —• oo y tomando 
en consideración (1), llegamos a la fórmula (3). 
La fórmula (4) se obtiene análogamente, utilizando (2) 
7rf{z) 
y teniendo en cuenta que res — (—l)J/(j). Nótese que 
i sen 7xz 
las condiciones (1) y (2) se cumplen si f{z) — 0(z ) para 
-{ oo y 7m = i 2 G C: \z\ = m + 
V2 G 7m tenemos 
a -
ya que en este caso 
• ^ 1 + e _ , r 
I r t S ' ^ T T T T ' 
1 
j sen7rz| ^ — • 
S h -
a Problemas resueltos. 
< Solución. De acuerdo con la fórmula (1), p. 4.1, consideremosla función 
1 2 i _ 
( z + l/z\ ~~ bz2 + b + Haz ~ , / f l - l 6 . j 
donde 
b(z - zi)(z - z2y 
= + V a 2 + 6 2 ) , 
^•mmmmm 
:. -:;; kí ú̂ 'É. Éts kî ŜI 
= l- ( - a - \/a2 + 62 ) • 
Si a > O, el punto está en el interior de la circun-
ferencia 7 = {2 e C: \z\ — 1}, mientras que el punto z2 se 
encuentra en su exterior. De la fórmula (1), p. 4.1, obtenemos 
¿M 
dt _ 2 i 
ib eos t zi b(z — z\)(z — z2) 
4ni 2tt 
^1-^2) Va2 + b2' 
Si a < 0, el punto z\ se encuentra fuera de la 
circunferencia 7 y el punto z2 está en su interior; por tanto, 
f dt 
J a — ib i 
4ni 
ib eos t b(z2 - z\) 
2tt 
Solución. Como la función x y-* <p(x) — 
sen mx 
— 2a eos x+ a2 
(Dv — [—7r, 7r]) es impar, entonces / <p(x) dx = 0, luego 
-Ir. 
-7T 
?mxdx 
2a eos x + a2' 
- 5 T 
f 
Haciendo el cambio de variable eiX = z, transformamos 
la integral I en la integral por la circunferencia orientada 
positivamente F = (7,7or)/ y ~ {z tC: \z\ = 1}: 
7 = -
u 
zm dz 
(z - a)(z - 1/a)' 
, , i 2wiam 2?ram 
Si |a| < 1, entonces 1 — — - = — — -
a a — 1/a 1 — a¿ 
_ . . _ 2tt 
Si ]a| > 1, entonces I — 
am{a2 - 1) 
«4 Solución. Como / G I e 7t 6 i , donde 
•J 
XOSX eos (sen x) sen nx dx, 
entonces 
I + ilí 
¿X 
= J ecosx eos (sen x)einx dx = 
1 í • , • / «eosx+mz/tsena? , —i sen 
= 2 I ^ ' 
i J e™ + e*'*) dx. 
» 
No es difícil comprobar que Ji = 0. Tomando etx = z en la 
integral, obtenemos 
I = ^ J z"'1 {e'+ e1") dz, 
r 
r = (7,7or)/ 7 = |z| = l } . 
Dado que la función z n - l e es analítica, el teorema de 
Cauchy implica que / zn 1ez dz — 0, por lo que 
r 
U* dz. 
Según el teorema fundamental de los residuos, 
I = 7r res z 
o 
n-l l/z € ' = 
l*>x< r <Í < : • ' 
< < ¿ < > f < » » v » . ' » > • >-<• 
A< < a Í > < < •'.>/• 
A . - : •/ > / . " \ 
>x*x< / . • • ' . • 
OX* 
» <<,y<,X<»X 'Y' <®> v»->» » 
v , w x v > < ^ x > < - . » • • 
í „ » . . . , < . . . s » . 
v i » , »<. • » • 
. y » < 
^K J < < » > » » . < » » < » ' » • 
x*r ''V ' v • ' • ' 
• ; > » < < . . -> » ^ / A v v / » • ^ ' / 
, * f , x < ' » : • 
> . « > > « » > ; > > > v > / • • • 
-SÍV: 4 x v a í v í v í ^ ^ » ^ »» ' S1Í t ^ ^ Al 
< Solución. La función z 
ocho polos simples 
J V 
f(z) = r tiene en el plano C 
1 + z 
zk = e % (fc = 0,7) , 
de los cuales los cuatro primeros pertenecen al semipla-
no superior. Utilizando la fórmula (3), p. 4.1, obtenemos 
_ 6 
(tomando en consideración que la función <p(x) — 
l + x*' 
••• jtl ¡m^Mp 
D 9 ~ {-oo, +00) es par): 
-í-oo 
l + x8 
dx = 
—00 
= *i ¿ 
k=0 
res 
zt 1 + z8 
• 3 ., 
- ÜZ v ^ 1 _ 
~ 8 U, Zk ~~ k=0 K 
•Kl 
7TI 
( -i~ -¿3* _¿57r • 7tt \ le 8-f-e 8 + e 8 + e T ) 
e s + e e 8 
7TÍ 
- ' f - e ' f ) + (1 
,-3tt ,3TT 
8 + e T 
7T / 7T 
- - sen - + sen 
3?r 
< Solución. Hallemos los puntos singulares de la función 
Jaz 
Z l-» 
z4 + z2 + 1 pertenecientes al semiplano superior: 
i i e 3 
2?r 
e T 
1 .\/3 
1 
2 2 
De acuerdo con la fórmula (10), p.4.1, 
+00 
1 f eos ax 
xA + x2 + 1 
+00 
-00 
a?4 + x2 + 1 
.taz 
7rt I res ^ * -> - + r e s ^ Z4 + Z2 + 1 22 Z4+Z2 + 1 
Az¡ + 2*i tó + 2z 
_v3 3 V 3 
« s W O ^ f r S ^ ^ í v . $ 
4 . >. . : •. . 
x < x > S 4 » , 
v « < . . . \ < » i • S > » ' 
v . A ^ s '<• A W J 1 W /rn, a s v . - n v ' . S 
• x < v - < 4 í < < ¿ ' v » , » » » . 
S ^ Í ^ X ^ ^ X ^ A X ^ ^ X ^ Í X • ; < ' 
< s X « X « \ * ¿ t t ^ » . " > - . <-? X <• x 4 V i f " ' 
.1 «V , "1 
t w . . -
i*!-'-
1 1 ' r , ' 
< Solución. Es evidente que 
+00 
1 í x2 ~b2 sen ax 
~ 2 J ¿ f + b z ~ l ~ d x = 
—00 
+<X> . 
1 _ f x2-b2 etax • J M W v 
2 J x2 + 62 x 
00 
Uno de los polos simples z\ = ib de la función 
,, , z2-b2 eiaz 
z " f { z ) = T T I 2 z¿ + b2 z 
se encuentra en el semiplano superior y el otro z2 — 0, en el 
eje real. Aplicando la fórmula (13), p.4.1, obtenemos 
1 = j I m ( 2 ? r ¿ /(*) + 7r¿ res /(*)) = 
= i Im (27T¿e-a6 + Trz(-l)) = 7re~"a6 - • 
Utilizando ahora la fórmula (13), p.4.1, obtenemos 
/ z + i(eiz - 1) 1 z + i(eiz- 1)\ 
= 7rt res r ^ r— + - res t—: ™ ) = 
\ia z3(z2 + a2) 2 o z3(z2 + a2) ) 
. / i(a 4- e~a + 1) i \ _ 
V 2a4 4 a 2 ) ~ 
+ 1 — a — e ). • 
= wi 
2 a 4 V 2 
<« Solución. La función re h-* <p(x) = x *enx ,Dv = (-oo,oo) 
xs(x2+a2) F 7 
es par, luego 
+00 +00 
x - sen x 
xz(x2 + a2) 
1 f dx = - I 
2 J 
-OO 
x + i(eix - 1) 
x3(x2 -f a2) dx. (1) 
"I"00 eos X 1 
En efecto, i f dx = 0, pues la función subinte-
-OO ^ l® ~T & ) 
gral es impar, lo que conduce a la igualdad (1). 
¡•¡fellfeí 
Solución. Tomemos r < a < R. Sean 
7 f i = { z e C : 2 = Reü, 0 ^ t ^ *}, 
7r = {z 6 C: z - reü, 0 < í ^ tt} 
dos semicircunferencias. 
Consideremos una curva cerrada suave a trozos orien-
tada positivamente, formada por el conjunto ordenado de 
curvas suaves orientadas T = (rv TR/ T2, IV) (fíg. 4). La fun-
ción f tiene en el punto z = ia, z 6 Krt, im polo simple. 
Según el teorema fundamental de los residuos, tenemos 
J J x¿(xl + a¿) 
—T 
/
j _ gi2mx p 2 _ ¿ilmz 
x2(x2 + a2) dX + J z2(z2 + a2) ** 
17 
| g»2mz 
2 7 r ¿ r £ s = 
7r(e~ 2 m f l - l ) 
' J z2(z2 + a2) 
rR 
,i2mz 
Haciendo tender R a infinito y r a cero, y teniendo en cuenta 
que 
& / z 2 ( z 2 
í2mz 
(z2+a2) 
dz=0, 
lint f 1~eí2mZ 
r~*oJ z2(z2-ha2 
dz = 
= lim 
i2m 
+ 2m +i 
4 3 2M\ 
- m + — ] z + 
Í X ® * < 
7T 
= lim4 [ (-2m + i2m2rei<p + r-o a2 J \ 
obtenemos 
+00 
4 3 2 m 
+ «I - ra + «r e 2 
ilmz r i _ 
r1™/ z2(z2 + a2) 
rr 
dz — 
i 
2 - 2 eos 2mx 
x2{x2 + a2) 
+00 
+ . . . dy? = — 
2m?r 
' 
/
sen mx , 
-57-5 57 dx = 
x2(a;2 + a2) 
x2(x2 + a2) 
2m7r 
7r(e~2ma - 1 ) 2m7r ?r(e —2 ma - 1 + 2ma) 
Solución. Integrando la función 
z i-> f{z) = ^ Z , (ln z = ln |z¡ + i arg z) 
z¿ + a¿ 
a lo largo de la curva T (fig. 4), para todo a £ (r, R) hallamos 
If{z)dz = ¡^dx+Í 
ln z 
z2 + a2 
dz + 
-r 
+JJr¿dx+J 
Inz 
z2 + 
dz = 
-R 
Inz 7T / .7r\ 
= 27T¿ res -r r = - lna + %— . 
ia zL + a¿ a\ 2 J 
WSmm 
Realizando el cambio de variable x = ~t (t > 0) en la integral 
7 lnxdx t + in 
J i „2 ^gamos a la integral J — dt. Teniendo en 
-R x ~r a r -f a¿ 
cuenta este cambio pasemos en la igualdad 
J f(z)dz = + 
r 
al límite cuando R +00 y r 0. Obtenemos 
+00 +00 
lnxdaj / l n x + íTr 7r / 7T\ 
J ' ^ T ^ d x = a [ ] a a + i2)' 
+00 
/ lnxdx 
+00 
£C2 -f-
to f dx 
x2 + a2 
7T ITT 
— ln o H . a 2 a 
de donde 
00 
/ ln xdx 7r — — — ln a. 
x2 + a2 2a 
Si a = 1, entonces 
+00 
i " J x 
ln xdx 
+ 1 = 0. 
M Solución. La función z 1-» f(z) = — — tiene un polo 
^ • j ^ , +a) de segundo orden en el punto 2 = ia del semiplano superior. 
' i " ¿ 
V i ' M •! i 4 i ' . ! : • 4 ' , i í ' . e i v i - v i - . v • • • • ' • • 
-i 
Escribiendo 
+00 
x1 dx 
(x2 4 a2)1' 
—00 
podemos utilizar la fórmula (3), p.4.1. Tenemos: 
1 z2 d z\z~iaf 
I = 2tt« res - ¡rr = 7r¿ lim — — — 
id 2 (z2 + a2)2 z^ia dz (z2 + a2)2 
= 7TZ lim —-
z—ia dz Z 4 ia 
Haz 
= 7vi lim -—• ; ~ 
z—*ia (Z 4 4a 
Solución. La función z f(z) = ^ ^ tiene un polo 
de n-ésimo orden en el punto z — % que se encuentra en el 
semiplano superior del plano z. Por cuanto 
+00 
/ 
-00 
dx 
utilizando la fórmula (3), p. 4.1, obtenemos 
I — iri res f(z) = 
Í7l-1 7T2 . dn~l {z - i)" 
_ _ _ _ _ .̂m * + l)n lim 
t t « 
in-l 
(n - 1)! dzn~l (z 4- i)n' 
Dado que 
dk -(z 4 i)~n = (—l)Kn(n + l ) . . . ( n + fc- 1 ){z 4 i) 
dzk 
(n+fc) 
resulta 
( T ñ r = ( " i r l n ( n + • • < • ^ 
lim 1 = ( - i r y n + l ) . . . ( 2 n - 2 ) 
z^i dz11-1 (z + i)2n~1 t2"-1.22"-1 
iri {—\)n~ln(n + 1)... (2n 1 = 
(n - 1)! iln- 12 
7rn(n + 1)... (2n - 2) 
(n - 1)! • 22""1 
?r (2n — 2)! _ 
2 ((n - 1)!)2(2"-1)2 ~ 
7T (2rc 
2 ((2ñ~ 
Si n = 1, entonces I = J 
2)! _ 7T (2n - 3)!! 
2)!!)2 " 2 (2n - 2)!! 
+00 dar 
n > 1. 
o + l z->i z + i 
Solución. Dado que la función z w f(z) — — 
(z2 + a2)(z2 + 62) 
tiene en el semiplano superior dos polos simples z1 = ia y 
z2 = ib, utilizando la fórmula (3), p.4.1, obtenemos 
27ri^res f{z) 4 res f(z)j = 
2tt¿ ( lim * „ • 4 lim 
\z^ia (z 4 ia)(z2 4 b2) z~>ib (z2 4 a2)(z 4 ib) 
i . i M 
nwim 
| I I , IIIVI»!" I I l i l i l í I III..!• ^MIINiiiinimmiiniihi 
2ia(b2 - a2) 2ib{b2 - a2) 
ab(a + b) 
9 t x f , v > x « x< í 
< / * y a \ - ' ' w w 
:: »v > x • : 
r t , - v ^ i » ' » ' » » 
y < > < > $ » ^ s x »>. > y > y : : $ x » ' • y >.•>•:>.>.< >.•.<> • • • '• 
f , x >' >/**•'<>'< y< ~ ' y * » » ' • » • ' ' 
¿¿--.VA < > < ' - ' ' - • ' / ' • ' • 
< X<* y <*</ v < ' • . • • ' 
. s v v " < v > . . X > v » X » , 
. » v 
a v"». «is . »/ 
< v - í ' N ^ ' ' ' V • • 
SoIucion. Obviamente 
+00 
/ 
-00 
x2 + l 
£4 + 1 
dx. 
Dado que la función z f(z) = 
z2 + l 
z4 + l 
tiene en el semiplano 
.•3tt ¿ ¿L j v 
superior dos polos simples zi = e 4 y z2 = e 4 , según la 
fórmula (3), p. 4.1, 
I = 7T« (res /(z) + res /(z)) = 
\ zt / 
= 7Ti -(zl±l 
l\ 4z3 \Z=Z\ 
z2 + l 
4z3 
(l+i l - Í \ 
= ™ —3F + — 9 F = 
\4e1T 4 e T / 
V2x¿ / l + ¿ l - i \ 
_ (1 + i f - (1 - i)2 
4 - 2 
\/2TT¿ 4Í 7T 
L2=Z2 
7TÍ 1 + t 1 
•3tt + ~ 
e 4 ( i i e 4 
« . y , v-y- < « y / > u 
s X - / , • 
.» . . " « I ^ M M M M I h U U P M M ^ J . U U J j M J l J m U U U ^ 
Solución. Utilicemos la fórmula (10), p. 4.1, teniendo en 
zeiz cuenta que la función z — • típnp Pn p ! c o m i n l a n n 
r e -
cuenta que la función 2 — — • tiene en el semiplano 
z¿ -2z +10 r 
superior un polo simple = 1 + 3i. Tenemos: 
I = Re 27tí res f(z) = 
Z=Zi Z=Z\ 
zeiz — Re 2iri lim = 
z—*l+3i Z - 1 + 3Í 
= Re2 ^ + 30 exp {¿p + S ) } = 
6¿ 
= - Re (1 + 3¿)e~3(cos 1 + i sen 1) o 
= - e Icos 1 - 3 sen 1). • 
x t x 
Z€ÍZ <4 Solución. La función z 1-+ f(z) = — tiene en el 
z2 + 4z + 20 
semiplano superior un polo simple 21 = - 2 + ¿4. Aplicando 
la fórmula (11), p.4.1,.hallamos 
I — Im 2ni res f(z) = 
Z=Z\ 
zeiz 
~ Im 2ttí lim — = 
Z-+-2+Í4 z + 2 + i4 
llilÉÉ 
* • < s . - ^ • V : < y X 
• ^ • i i ^ ' < ? : * > s < x W 
. • •• w s. } i : ¿ : ^ Í j í í ' í 
: ' : ¿ : y±ys i > ¥ x 
. ' * . - * . y< < 
( - 2 + i4) exp {i{-2 + ¿4)} 
= Im 2m 
Si 
* -4 = Im ™(—2 + 4¿)e (eos 2 - i sen2) = 
= — e~4(2 sen 2 + 4 eos 2) = 
4 
7T 
= — e_4(sen 2 + 2 eos 2). • 
Solución. Dado que las funciones 
eos ax 
y x 
tp(x) 
sen ax 
x2 + tí1' 
Dé = (-00,00), 
son, respectivamente, par e impar, podemos escribir 
+00 
í 
* * * * * M 
2 J 
i ax 
+ 62 
da;. 
.taz 
La función 2 /(2) = —r—— tiene en el semiplano superior 2 + o 
un polo simple z\ — bi, luego 
J = ttí res /(2) = 
bi 
7T¿ lim : = 
z-+bi 2 + 02 
2 bi 2b 
Solución. La integral I diverge, pues cuando x -+ 1 la 
función subintegral tiene el mismo orden de crecimiento que 
la función x »—> . 
x - 1 
Por cuanto la función z f(z) = —— 
tiene un polo simple Z\ — 2i en el semiplano superior y un 
polo simple z2 = 1 en el eje real, utilizaremos la fórmula (13), 
p.4.1, Tenemos: 
I = Im \ 2iri res f(z) + ni res f(z)j — 
( eiz eiz \ 
— Im 2-kí lim — + ni lim -r = 
\ * - * » ( * + 2 i ) ( z - l ) z2 + 4j 
( e~2 é \ — Im ( 2ni—; + ir i— 1 = 
V 4¿(2¿ - 1) 5 ) 
- 2 /T e * 7Tí \ 
= I m VI5r^ + T (cosl + t s e n l )) = 
= Im -2 
7TÍ 
- e ( - 1 - 2¿) + ~ eos 1 
5T 
- s e n l 
7r , 
~ ~ (eos 1 -
M Solución. Podemos escribir la integral como 
+00 
1 = li J 
-00 
;tÜX 
x{x2 + b2) 
dxf 
pues 
+oo +00 
- y 
sen ax 
x(x2 + b2) 
dx y 
-00 
\ -00 
eos ax 
x(x2 + b2) 
dx — 0. 
.taz 
La función z f(z) = 2 ^ ^ tiene dos polos simples en 
los puntos z\ = bi (en el semiplano superior) y z2 = O (en el 
eje real). Utilizando la fórmula (13), p. 4.1, obtenemos 
I = iri res f(z) + -i res f(z) = 
Z¡ 2 
.taz .taz e 7T . e 
— n |{m + — lim , 9 
*-»w z(z + bz) 2 *->o z2 + ¥ 
e~ab jr__ 
~*-2b2 + 2b2 ~ 
= 26^ * 
( - R , 2ti) (R,2n) 
C \ J 
(-R, O) 
Fig.5 
(R, 0) 
«« Solución. Integremos la función z f(z) - a Jo 
largo de la frontera orientada positivamente ^ d t l r e c t á n -
f1» f , c ° L v é r t ' f " s e n los pTtos <*' 2*), 
( - a , 2tt), s p = (rX/ r2/ r3-, r4-) ( f í g . 5 ) : 
/ /(*) = 
j f{z)dz + J m d z + J } { z ) d z + J m dz = 
J I* y j 
- y 
âĴ H-ífít/ 
1 + eR+iy dy + 
ñ 
ax+¡2ira 
d?/ — 1 + e-iz+íj, -
= ( 1 -
-R 
+ i J c " ^ 
ai ~aR 
1 + eReiv 1 -f- e~R t%y dy. (3) 
Los puntos ZK = Í(TC + 2KN), K 6 son polos simples 
de la función /. Dentro del rectángulo P se encuentra, 
sin embargo, un único polo Zq = ttí. Según el teorema 
fundamental de los residuos, 
I = 2-kí res f{z) = 27r¿ -licie iair 
z—iir 
Pasemos en la igualdad (4) al límite cuando R 
tomando en consideración que 
(4) 
4-oo, 
eaR e~aR 
lim í t — = lim = 0 (0 < a < 1). 
ñ_>+00 x + eRe%y R-*+oo 1 + e~Re*y 
Obtenemos 
+00 
/ 
-00 
eax 2 7rieta* — ¿jj — 
+ e* 1 - e'2™ 
2ttieia* (1 - e~~i2ffa) _ 
4 sen2 aTr 
*i(eimt - e~ 
2 sen2 an 
e~iav) 
•wili 
sen an 
2 sen2 air 
sen a7r 
Haciendo el cambio de variable t = ex en la integral 
+00 f 1 . 
T7¡dt' 
obtenemos la integral analizada 
+00 
/ r 
e 7r = 
4- sen a?r 
—-00 
con lo que queda demostrada la igualdad (1). 
En la integral 
+00 . 
r x m ~ l 
~ J l + xn 
dx (O <m < n) 
i - - V * : 1 
¡1 
. ¿ J j j - ^ » 
.1 V. r^l^^paffip 
El lector, posiblemente, ya habrá notado que para 
0 < o < 1 
+00 
/
t 
dt = B{a, 1 - a) = r(a)r(l - a) = — i +1 sen' sen a7r 
Solución. Evidentemente, 
/ = í 
2 
+0O 
Sh £ 
dx 
-00 
y x = O es un punto singular evitable de la función subinte-
gral. Consideremos ahora la función 
m = - shz 
/ 
Esta también tiene un punto singular evitable en z 
polos simples en los puntos 
zk = 7Tki (k £ Z\{0}). 
Tomemos la sucesión (Rn) de números positivos, 
„ ( 1\ 
Rn = ( n + - J ir, v la sucesión de regiones 
= 0 y 
donde 
71 2/ 7r' ^ s u c e s ^ n de regiones 
C |z| < Imz > 0} 
fcstíJM^ 
Fig.6 
con fronteras orientadas positivamente dKn, = ff».^) 
(fig. 6). Integrando la función f a lo largo de las curvas f)Kn,, 
obtenemos 
/ 
0Kfía 
J f(z)dz + j f(z)dz = 
r* r«« 
__ 7? riín 
-dz 
Z 
¿ r e s / ( z ) = 2 7 r i ¿ 
t í ** 
sh z-z 
r e s — — kvi z¿snz 
sh z~z EO l l - W ^ I 2 z s h 7 + ? c h z L=k)r¿ 
k=\ 
JL^ -hit i _ 
fe=i 
k ~ fe fe=i fc=i 
'-'•^SSMUt 
Cuando n oo Ja sucesión i2n 
guíente, conforme al lema de Jordán 
+00. Por consi-
Km J f(z)dz^0 
y también 
Ra 
i ¡m ? ( i 1 \ dx 
sh x j x 
= £ 
( - D n+1 
= ln2. 
n=1 
Solución. Utilicemos la fórmula (15), p.4.1, tomando 
y a = a + l • 
Para p = 0 y g = 4 1a función / satisface las condiciones 
especificadas en el punto 5), p.4.1. Teniendo en cuenta que 
0 < a + 1 < 4, según la fórmula (15), p, 4.1, 
+00 
/ (1 + x1)2 dx = 
^ Solución. Aquí p = O a - ? n, - 2 
. J 4 F ' q ~ ¿> a ~ r y se cumplen 
í l x s t m d i c a d a s e n e i p u n t ° 5 ) ' p - 4 - j - * * * * 
2 ni 
+ res 1 _ ¿f \ * yz(z2 + 4) -2i ^ ( ^ + 4 ) 
- ü l í _ _ ~ e 
- T ( e 6 ~ e 6) 
7T ^ 
2?r¿ / 2a ¿a 
i _ g¿2jr(a+l) l r f ( 1 + ^2)2 + ™ ( 1 + ^2)2 
2 wi ( d za d za 
^— ( lim — -ñ + lim — 7 
1 - et2íra dz (z + i)2 dz (z - i)2 
Im /2ia(a — 1) 2 ( - ¿ ) > - 1) 
1 - ei2ira V -Si + 8i 
1 - ei2ira 4i 
- a ) / ¿ ¥ ^ 
2(1 - el2™) V / 
?r(l - a) 1 
4 xa • eos 
•SSllÉiÉÉl 
1 mmárMwmmsmmm 
f A l 
„ <- ¿ 
Solución. Tenemos f(z) = y z = 
(a + bz)2 
de segundo orden de la función /. Entonces 
- es un polo o 
<°+»ft)2 
7T Cte 7TZ 
— res 
-o/& (a + &z)2 
= lim W ^ A _ 
z-+-afb dz \ (a 4- fr*^2 / 
S - t A ^ 
+ Solución. Utilizando la fórmula (4), p. 4.2, y tomando 
f(z) ~ ~a 7, obtenemos ¿4 - a4 
1 . 1 ^ ( -1 ) " 1_ 
ni L 2a4 2 n4 — a4 ~ 
1 * ( f(z) f(z) 
— ~ - / res — + res + 
la 2 \ a senír^ ¡a semrz 
f(z) f(z) + res - + res 
~ia sen ir z -asen nz 
1 tt / 1 1 I + 
2a4 4a3 Vsen7ra shTra 
4 Solución. Aplicando la fórmula (3), p. 4.2, obtenemos 
res 
— 1+íy 
2 
ctgxz 
Z1 + Z + 1 
7T / (7T 
K fiV3 \ 
2?r , tta/3 
ctg 1TZ 
res — 
-i-»V5 + z -f 1 
2 
/ * ,\/3 
- C t g ( - - W T 7 T 
y k <• ¿m k»v?wv T ^ 
Solución. En el ej.62 se demostró que 
£ (a + nbf p sen: ira * (1) 
Para b = 1 se obtiene la serie considerada. Por consiguiente, 
£ 
n=-oo 
(ia 4- n)2 sen2 ira 
f* 
r ys 
^ ̂ ! y ̂ 1 : I , . t . . . . i > 
Solución. Evidentemente, 
y * ± H L = i £ í 
- ^ ^ y E soncasos 
particulares de la serie £ ^ + , cuya suma