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Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS 
FACULTAD DE INGENIERIA 
ESCUELA DE INGENIERIA MECÁNICA Y ELECTRICA 
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECÁNICA 
 
 
 
 
 Transferencia de Calor IM-314 
 
 
 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
 
Ing. Jorge Gallo Navarro 
ME., MSc., MBA. 
Ing. Fernando José Zorto Aguilera 
ME. 
 
 
 
 
 
 
 
Resumen 
 
En el Estudio de transferencia de calor, uno del mecanismo más utilizado en la ingeniería y como 
primer tema de cualquier curso de transferencia calor, se estudia a fondo lo que es la transferencia 
de calor por conducción, en este caso, analizamos un cuerpo rectangular para poder definir la 
ecuación general de calor en coordenadas cartesianas, esto, es decir que el vector del flujo de 
calor será ( ) y de esta deduce dicha ecuación general de calor por conducción. Se plantea 
también que en algunos casos especiales que un un espacio euclidiano es muy complicado para 
poder resolver ciertos problemas en la transferencia por conducción, en este caso, se expone la 
solución general para el cambio de coordenadas rectangulares a cualquier Espacio no Euclidiano 
en coordenadas curvilíneas. 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
 
 
Introducción: 
 
En el presente trabajo se deducirá la ecuación general de calor por conducción para cualquier tipo 
de espacio vectorial, recordando, que el flujo de calor es un vector y que la resolución de dicha 
ecuación será determinada por la forma geométrica del solido que transfiere energía mediante la 
conducción en su medio. 
 
Objetivos: 
1. Definir una ecuación que generalice el fenómeno físico de la transferencia de calor atreves 
de la conducción y los fenómenos adicionales de energía que ocurren en el cuerpo en 
coordenadas rectangulares. 
 
2. Definir una solución general para la transformación de espacio de uno euclidiano con base 
canónica a otro espacio curvilíneo ortonormal. 
 
3. Definir la ecuación que generalice el fenómeno físico de la transferencia de calor atraves 
de la conducción y los fenómenos adicionales de energía que ocurren en un cuerpo 
curvilíneo. 
 
 
ANALISIS 
Ecuación General de Calor por Conducción 
La ecuación de calor general en coordenadas rectangulares resulta de un balance de 
energía del vector de flujo calor, la energía generada y la energía que se almacena en 
dicho sistema. Esto es expresado de la siguiente manera: 
 
 (1.1) 
 
 ̇ 
 
 
 (1.2.) 
 
Aplicando la serie de Taylor tendremos que los son iguales a: 
 
 
 
 
 
 (1.3.) 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
 
Por lo tanto: 
 
 
 
 (1.4.) 
 
 
 
 
 (1.5.) 
 
 
 
 
 (1.6.) 
 
 
Sustituyen las ecuaciones 1.3. a la 1.6 en 1.2 Tendremos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̇ 
 
 
 (1.7.) 
 
Acomodando los términos, donde se tiene que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̇ 
 
 
 (1.8.) 
 
 
Se cancelan los flujos de calor, lo cual, obtenemos la nueva ecuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̇ 
 
 
 (1.9.) 
 
Al desarrollar un poco más la igualdad anterior, se observa lo siguiente: 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) ̇ 
 
 
 (1.10.) 
 
Ahora se debe recordar cómo se define el flujo de calor dado que en este caso ( ), es decir 
que el flujo de calor es un vector en un espacio coordenado Cartesiano. Al encontrarse en un 
espacio rectangular se dice que la base que define dicho espacio se encuentra conformada por los 
vectores (
 
 
 
) (
 
 
 
) (
 
 
 
), los cuales, de denominan base canónica. Planteando lo anterior el flujo de 
calor por medio de la ley de Fourier: 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
 
 ̇ ( 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂) (1.11.) 
Donde 
 
 
 
 (1.12.) 
 
 
 
 (1.13.) 
 
 
 
 (1.14.) 
 
Retornemos a la ecuación 1.9 y sustituir los flujos de calor respectivos de las ecuaciones de la 1.12 
hasta 1.14 : 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) ̇ 
 
 
 (1.15.) 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 ) ̇ 
 
 
 (1.
16.) 
 
Pasamos a multiplicar el signo negativo a fuera de los paréntesis: 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 ) ̇ 
 
 
 (1.17.) 
 
 
En los siguientes pasos se encontrará la ecuación general de calor por conducción ahora se debe 
determinar los diferenciales de área y volumen involucrados en la ecuación. 
 
 (1.18.) 
 (1.19.) 
 (1.20.) 
Adicionalmente 
 
 (1.21.) 
Hay que hacer una mención de donde salen estos términos de las diferenciales áreas, es el 
área transversal del flujo de calor de un cubo infinitesimal y el dv se relaciona al volumen 
infinitesimal del mismo cubo. 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
 
Sustituyen las ecuaciones 1.18 al 1.20 en la 1.17 se obtienen que: 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 ) ̇ 
 
 
 (1.22.) 
 
Los diferenciales que se encuentran dentro del paréntesis son constantes se pueden pasar a 
multiplicar a fuera del mismo y ser divididos a ambos extremos de la igualdad: 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 ) ̇ 
 
 
 (1.23.) 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 ) ̇ 
 
 
 (1.24.) 
 
Asumiendo una Conductividad Térmica constante, pasamos el término a fuera de los paréntesis y 
luego dividiéndolo a ambos lado de la igualdad se tiene: 
 
 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
(
 
 
 ) ̇ 
 
 
 (1.25.) 
 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
(
 
 
 ) ̇ 
 
 
 
 
 (1.26.) 
Por lo tanto: 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
 (1.27.) 
Sustituyendo, se obtiene que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̇ 
 
 
 
 
 (1.28.) 
 
 
Al realizar todas estas operaciones matemáticas la expresión resultante se conoce como 
Ecuación de Difusividad o Ecuación General de Conducción de Calor, en el caso que la 
conductividad térmica sea constante. La ecuación 1.28 también se conoce como la Ecuación de 
Fourier-Biot y, en condiciones específicas, se reduce a estas formas: 
 
 
 
 
 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
1. Régimen Estacionario: 
(Ecuación de Poisson ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̇ (1.29.) 
 
2. Régimen transitorio sin 
generación de calor: 
(Ecuación de difusión) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (1.30.) 
 
3. Régimen estacionario y sin 
Generación de calor: 
(Ecuación de Laplace) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (1.31.) 
 
 
Ecuación de Calor en Coordenadas Curvilíneas 
 
En los problemas reales de transferencia de calor existirán 
diversas maneras o métodos para poder darles alguna solución, 
esto conlleva que algunas formas geométricas por donde se 
manifiesta el fenómeno sea muy difícil analizarlas por 
coordenadas rectangulares, lo cual, hacemucho más fácil su 
estudio si transformamos el espacio por donde existe el 
fenómeno de transferencia de calor. De esta manera, si se 
plantearán en otro espacio coordenado ajeno a un Espacio 
Euclidiano normal a uno no Euclidiano se logra generar una 
transformación curvilínea entre el espacio coordenado 
cartesiano al nuevo sistema curvilíneo ortonormal como son los 
ejemplos de los espacios esféricos y los cilíndricos (Tou, 2011). 
 
Así mismo, Esta transformación al nuevo espacio coordenado 
nos ayuda a expandir nuestra visión sobre el problema de 
transferencia de calor. Adicionalmente, se dice que un espacio 
vectorial no Euclidiano, donde un sistema coordenado curvilíneo 
se encuentra definido por la base conformada por los vectores , 
 , caso contrario, lo que ocurre en un sistema Cartesiano, 
donde, la base canónica está definida por x, y, z, así como se observa en la figura 1.1, En 
este caso, los vectores curvilíneos se pueden expresar de la siguiente manera: 
 
Figura 1.1 Espacio Vectoriales a) 
Rectangular b)Espacio Curvilineo 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
 ( ) (1.32.) 
 ( ) ( ) ( ) (1.33.) 
 (1.34.) 
Donde son las coordenadas de nuestro nuevo espacio coordenado, así 
mismo, , , se conocen como factores escalares, lo cuales, se deben encontrar para 
realizar la transformación. 
 
La pregunta fundamental es como definir o realizar una Transformación de un Espacio a otro; 
Según Osizik (1993) se debe definir en primera instancia la distancia de un vector en la base 
canónica, ósea, en sus correspondientes coordenadas rectangulares. Esto se calcula según 
Grossman (2011) de la siguiente manera: 
 
‖ ‖ (1.35.) 
 
Al determinar que el vector tiene características infinitesimales, dado que se mueve de un punto a 
otro, esa distancia sufre una pequeña variación en su posición, la cual, matemáticamente puede 
ser expresada como una diferencial del vector V, esto también, diferenciará cada una de sus 
componentes rectangulares y curvilíneas: 
 
 ( ) (1.36.) 
Donde la nueva distancia será: 
‖ ‖ (1.37.) 
 
Ahora bien, si una componente se puede expresar en términos de otras componentes del nuevo 
espacio curvilíneo, podemos decir que cada componente cartesiana puede ser expresada como 
una diferencial total correspondiente a sus nuevas coordenadas: 
 
 ( ) (1.38.) 
 
 ( ) (1.39.) 
 
La diferencial total se determina de la siguiente manera. 
 
 ( ) ̂ ( 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
 ) ̂ ( ) ̂ (1.40.) 
 
Desarrollando la serie de Taylor para los primeros términos, a lo cual tenemos: 
 
 
 
 (1.41.) 
 
Y sustituyendo esta en 1.40, el vector queda: 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) ̂ ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) ̂ ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) ̂ (1.42.) 
 
Eliminando términos semejantes: 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) ̂ ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) ̂ 
( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) ̂ (1.43.) 
 
Reagrupando la expresión anterior como sumatorias tendremos lo siguiente: 
 
 ∑ (
 
 
 ) ̂
 
 ∑ (
 
 
 )
 
 ̂ ∑ (
 
 
 )
 
 ̂ (1.44.) 
Dado que: 
 ∑ (
 
 
 )
 
 (1.45.) 
 
 ∑ (
 
 
 )
 
 (1.46.) 
 
 ∑ (
 
 
 )
 
 (1.47.) 
Los diferenciales de x, y, z son vectores con coordenadas curvilíneas así como lo muestra la 
ecuación 2.1, por lo tanto, podemos sustituir esta expresión en 2.6, así que, 
 
 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂ (1.48.) 
 
 (
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 (1.49.) 
 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂ (1.50.) 
 
 (
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 (1.51.) 
 
 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂ (1.52.) 
 
 (
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 (1.53.) 
 
 
Sustituyendo en la 1.37 
 
‖ ‖ =(
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 
(
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 (
 
 
 )
 
 (1.54.) 
 
Agrupando términos semejantes: 
 
‖ ‖ ((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
) 
 ((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
) 
 
((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
) 
 (1.55.) 
Entonces: 
 
‖ ‖ 
 
 
 
 
 
 
 (1.56.) 
 
Dónde: 
 ((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
) (1.57.) 
 
 ((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
) (1.58.) 
 
 ((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
) (1.59.) 
 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
De esta manera se encuentran los factores escalares para hacer la transformación, ahora el nuevo 
vector transformado tendrá las siguientes coordenadas: 
 
 ( ) (1.60.) 
Coordenadas Cilíndricas 
Esta es la manera general para cambiar el espacio coordenado para un sistema ortonormal 
curvilíneo, ahora se analizara que es lo que ocurre en una figura geométrica igual a un cilindro, las 
coordenadas internamente de un vector en cualquier cilindro se definen de la siguiente manera: 
 
 
 ( ) ( ) (1.61.) 
 
Por lo tanto se debe definir como se expresan sus coordenadas rectangulares a coordenadas 
cilíndricas: 
 
 (1.62.) 
 
Adicionalmente, se debe de recordar que analizamos este caso 
para determinar el vector de flujo de calor en coordenadas 
cilíndricas en ese caso tenemos entonces lo siguiente: 
 
Si analizamos el flujo de calor en una sección infinitesimal de un 
cilindro, en el cual, existe flujo de calores entrantes, como, 
salientes donde se generé calor y se almacena parte de la energía, 
se podría deducir una Ecuación que nos ayude a definir la 
transferencia de calor en coordenadas cilíndricas. En este caso 
determinemos con un balance de energía cual sería dicha ecuación: 
 
 (1.63.) 
 
 ̇ 
 
 
 (1.64.) 
 
Aplicando la serie de Taylor tendremos que los son iguales a: 
 
 
 
 
 
 (1.65.) 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
Por lo tanto: 
 
 
 
 (1.66.) 
 
 
 
 (1.67.) 
 
 
 
 (1.68.) 
 
Sustituyen las ecuaciones 1.66 hasta la 1.68 en 1.64 se tendrá que. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̇ 
 
 
 (1.69.) 
 
Acomodando los términos se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̇ 
 
 
 (1.70.) 
 
Se cancelan los flujos de calor, lo cual, obtenemos la nueva ecuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̇ 
 
 
 (1.71.) 
 
Al desarrollar un poco más la igual anterior tendríamos lo siguiente:( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) ̇ 
 
 
 (1.72.) 
 
Ahora bien debemos de determinar en este caso el vector del flujo de calor como función de las 
coordenadas cilíndricas 
 
 ̇ ( 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂) (1.73.) 
 
Donde los diferenciales de área son los siguientes: 
 
 (1.74.) 
 (1.75.) 
 (1.76.) 
 
 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
Adicionalmente 
 (1.77.) 
 
En este caso determinemos el cambio de variables, para esto necesitamos deducir los Factores 
escalares que determinamos anteriormente: 
 
 
 ((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
) ((
 
 
( ))
 
 (
 
 
( ))
 
 (
 
 
( ))
 
) ( ) ( ) (1.78.) 
 
 
 ((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
) ((
 
 
( ))
 
 (
 
 
( ))
 
 (
 
 
( ))
 
) ( ) ( ) (1.79.) 
 
 
 ((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
) ((
 
 
( ))
 
 (
 
 
( ))
 
 (
 
 
( ))
 
) (1.80.) 
 
Por tanto tenemos que: 
 (1.81.) 
 (1.82.) 
 (1.83.) 
Sustituyendo en la ecuación 1.11 
 
 ̇ ( 
 
 
 ̂ 
 
 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂) (1.84.) 
 
Dónde: 
 (1.85.) 
 
 (1.86.) 
 
 (1.87.) 
 
 (1.88.) 
 
Por tanto: 
 ̇ ( 
 
 
 ̂ 
 
 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂) (1.89.) 
 
Dónde: 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 (1.90.) 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
 
 
Este sería el vector del flujo de calor según la ley de Fourier en coordenadas Cilíndricas ahora 
sustituyendo las ecuaciones 1.90 en la ecuación 1.72: 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 ) ̇ 
 
 
 (1.91.) 
 
Sacando los términos constantes de las respectivas derivadas parciales: 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
) ̇ 
 
 
 (1.92.) 
 
 
Sustituyendo la ecuación 1.88 en la 1.92: 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
) ̇ 
 
 
 
(1.93.) 
 
 
Se divide y se obtiene: 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
) ̇ 
 
 
 (1.94.) 
 
 
Si se asume una conductividad térmica constante se tiene que: 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
(
 
 
) ̇ 
 
 
 
 
 (1.95.) 
 
 
Esta expresión es la Ecuación General de Calor por conducción en coordenadas cilíndricas. 
Así como las coordenadas Rectangulares vamos otras variaciones para este determinado espacio 
curvilíneo: 
 
 
 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
1. Régimen Estacionario: 
(Ecuación de Poisson en 
coordenadas cilíndricas) 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
(
 
 
) ̇ (1.96.) 
 
2. Régimen transitorio sin 
generación de calor: (Ecuación 
de difusión coordenadas 
cilíndricas) 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
 (1.97.) 
 
3. Régimen estacionario y sin 
Generación de calor: (Ecuación de 
Laplace en coordenadas 
cilíndricas) 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
(
 
 
) (1.98.) 
 
 
 
Coordenadas Esféricas 
 
Ya analizado el método de transformación de espacio podemos analizar un nuevo conjunto de 
coordenadas curvilíneas, ahora se realizará el en una figura geométrica igual a una esférica, las 
coordenadas internamente de un vector en cualquier cilindro se definen de la siguiente manera: 
 
 
 ( ) ( ) (1.99.) 
 
 
Por lo tanto se debe definir como se expresan sus 
coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas: 
 
 (1.100.) 
 
 
Adicionalmente, se debe de recordar que analizamos este 
caso para determinar el vector de flujo de calor en 
coordenadas cilíndricas en ese caso tenemos entonces lo 
siguiente: 
 
Si analizamos el flujo de calor en una sección infinitesimal de un cilindro, en el cual, existe flujo de 
calores entrantes, como, salientes donde se generé calor y se almacena parte de la energía, se 
podría deducir una Ecuación que nos ayude a definir la transferencia de calor en coordenadas 
cilíndricas. En este caso determinemos con un balance de energía cual sería dicha ecuación: 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
 
 (1.101.) 
 
 
 ̇ 
 
 
 (1.102.) 
 
 
Aplicando la serie de Taylor tendremos que los son iguales a: 
 
 
 
 
 
 (1.103.) 
 
Por lo tanto: 
 
 
 
 (1.104.) 
 
 
 
 
 (1.105.) 
 
 
 
 
 (1.106.) 
 
 
Sustituyen las ecuaciones 1. en 1. Tendremos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̇ 
 
 
 (1.107.) 
 
Acomodando los términos se tiene que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̇ 
 
 
 (1.108.) 
 
Se cancelan los flujos de calor, lo cual, obtenemos la nueva ecuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̇ 
 
 
 (1.109.) 
 
 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
Al desarrollar un poco más la igual anterior tendríamos lo siguiente: 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) ̇ 
 
 
 (1.110.) 
 
 
Ahora bien debemos de determinar en este caso el vector del flujo de calor como función de las 
coordenadas cilíndricas 
 
 ̇ ( 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂) (1.111.) 
 
Donde los diferenciales de área son los siguientes: 
 
 (1.112.) 
 
 (1.113.) 
 
 (1.114.) 
Adicionalmente 
 
 (1.115.) 
 
En este caso determinemos el cambio de variables, para esto necesitamos deducir los Factores 
escalares que determinamos anteriormente: 
 
 
 
 ((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
) ((
 
 
( ))
 
 (
 
 
( ))
 
 (
 
 
( ))
 
) ( ) ( ) ( ) (1.116.) 
 
 
 ((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
) ((
 
 
( ))
 
 (
 
 
( ))
 
 (
 
 
( ))
 
) ( ) ( ) (1.117.) 
 
 
 ((
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
) ((
 
 
( ))
 
 (
 
 
( ))
 
 (
 
 
( ))
 
) ( ) ( ) ( ) (1.118.) 
 
Por tanto tenemos que: 
 
 (1.119.) 
 (1.120.) 
 (1.121.) 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
 
Sustituyendo en la 1.11 las ecuaciones 1.119 a la 1.121: 
 
 ̇ ( 
 
 
 ̂ 
 
 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂) (1.122.) 
Dónde: 
 
 (1.123.) 
 
 (1.124.) 
 
 
 (1.125.) 
 
 (1.126.) 
 
Por tanto sustituyendo en 1.222 las ecuaciones 1.123 hasta la 1.126: 
 
 ̇ ( 
 
 
 ̂ 
 
 
 
 
 ̂ 
 
 
 ̂) (1.127.) 
Dónde: 
 
 
 
 
 
 ;; 
 
 
 
 (1.128.) 
 
Este sería el vector del flujo de calor según la ley de Fourier en coordenadas Cilíndricas ahora 
sustituyámoslo en la ecuación 1.110: 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 
 
 ) ̇ 
 
 
 
 
(1.129.) 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
) ̇ 
 
 
 
(1.130.) 
 
Sustituyendo la ecuación 1.126. En la 1.130 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
 
 
 ) 
 
 
( 
 
 
) 
 ̇ 
 
 
 (1.131.) 
 
 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
Pasamos a dividir y se obtiene: 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
( 
 
 
) ̇ 
 
 
 (1.132.) 
 
Si se asume una conductividad térmica constante se tiene que: 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 ( ) 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
 
 
( 
 
 
) ̇ 
 
 
 
 
 (1.133.) 
 
Esta expresión es la Ecuación General de Calor por conducción en coordenadas cilíndricas. 
Así como las coordenadas Rectangulares vamos otras variaciones para este determinado espacio 
curvilíneo: 
 
1. Régimen Estacionario: 
(Ecuación de Poisson en 
coordenadas cilíndricas) 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 ( ) 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
 
 
( 
 
 
) ̇ 
(1.134.) 
 
2. Régimen transitorio sin 
generación de calor: (Ecuación 
de difusión coordenadas 
esféricas) 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 ( ) 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
 
 
( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
(1.135.) 
 
3. Régimen estacionario y sin 
Generación de calor: (Ecuación de 
Laplace en coordenadas 
cilíndricas) 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 ( ) 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
 
 
( 
 
 
) (1.136.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
Conclusiones 
 
1. En el balance de Energía que existe en un cuerpo multidimensional, el cual, es afectado 
por un flujo de calor incidiendo en todas sus dimensiones, así mismo, se le aplica una 
generación calor y ocurre una almacenamiento de energía, se lograr determina que el 
ecuación de calor por conducción es una ecuación diferencial parcial, que cuya solución 
será una función matemática de sus coordenadas en el espacio vectorial que sea 
estudiado. Adicionalmente esta solución determina la distribución de Temperatura en 
cualquier punto del espacio vectorial en el estudio. En este caso, se deben plantear las 
condiciones de frontera o las condiciones físicas para poder determinar la solución más 
adecuada para dicha ecuación. 
 
 
2. Se puede realizar un cambio de espacio vectorial, con el simple hecho de realizar un 
cambio de base entre 2 espacios ortonormales, en este caso, trasladar un Espacio 
Euclidiano rectangular con base canónica a otro espacio vectorial no Euclidiano con base 
curvilínea. Se lograr hacerlo con el simple hecho de realizar una diferencial total a las 
coordenadas curvilíneas que definen a las coordenadas rectangulares en el espacio 
rectangular. Por tanto, se puede concluir que la trasformación de un espacio a otro es una 
linealización del mismo con un factor de escala determinado, dicho, términos son los 
factores escalares a1,a2,a3, los cuales se multiplican a los vectores de la base canónica, lo 
que conlleva que la base nueva es una base linealmente independiente 
 
3. La transferencia de calor para un espacio coordenado curvilíneo puede también 
encontrarse una expresión matemática que modele dicho mecanismo de intercambio de 
calor, haciendo las respectivas transformaciones de las coordenadas del espacio, se 
puede determinar cualquier ecuación general de calor para un sinfín de espacios 
curvilíneos, en nuestro caso los determinados en coordenadas Cilíndricas y esféricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción 
Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas 
Bibliografía 
1. Cengel, Y. A. (2007). Transferencia de Calor y Masa, un enfoque Práctico. Mexico D.F.: 
Mcgraw Hill. 
2. Grossman, S. (2011). Algebra lineal. Mexico DF: McGraw-Hill. 
3. Holman, J. P. (2010). Heat Transfer. New York: Mcgraw-Hill. 
4. Osizik, N. (1993). Heat conduction . New York: John Wiley and Sons. 
5. Prieve, D. C. (2000). A course in Fluid Mechanics with Vector Field Theory. Pittburgh: 
Carnegie Mellon University. 
6. Tou, S. (2011). Visualization of Fields and Applications in Engineering. John Wiley & Sons.