Introdução às Señales e Circuitos

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61
CAPÍTULO 2
SEÑALES
2.1 INTRODUCCIÓN
La importancia del estudio de las señales, se debe a que los circuitos son alimentados
(estimulados) por fuentes que poseen diversas formas de onda.
Estas formas de onda representan las diferentes señales que pueden imponerse a los circuitos. Estos
últimos se comportarán de manera diferente según las señales que los alimenten.
Durante el desarrollo se analizarán varios tipos de estas señales. En la primera parte se analizará el
comportamiento de los elementos básicos de los circuitos cuando son alimentados por estímulos con
cualquier forma de onda. En la segunda parte se analizarán los métodos de resolución de circuitos
utilizando estímulos de valor constante, también llamados estímulos de corriente continua (C.C.). Estos
estímulos, al facilitar el análisis de los circuitos, facilitan la comprensión de los métodos de resolución de
circuitos que se verán en esta sección. Por último se realizará un estudio específico de los circuitos
alimentados por estímulos sinusoidales, por la importancia y gran uso de este tipo de señal también llamada
Corriente Alterna (C.A.).
Una señal es continua si no cambia de sentido o polaridad en el periodo de tiempo analizado, aún cuando
se haga cero en algún, o algunos, instantes. Caso contrario es clasificado como alterna. Debemos enfatizar
que estrictamente esta clasificación es independiente de la ley de variación que tenga; en la jerga técnica
suele entenderse como continua a aquella que, además, es constante y como alterna aquella que, además,
es senoidal simétrica, pero esto es un hecho particular.
Señal continua Señal alterna
La segunda clasificación es de constante o variable, siendo constante aquella que no cambia de valor ni
sentido en el tiempo y variable en el caso contrario. De hecho una señal constante sólo puede ser continua
aunque una continua puede ser constante o variable.
t
f(t)
0
t
f(t)
0
62
Dentro de las variables podemos clasificar a su vez en periódicas o en aleatorias. Periódica es aquella señal
en la que puede reconocerse una ley de variación que se repite a intervalos iguales, matemáticamente
podemos indicar que f(t) = f(t+T) donde T es el período. Aleatoria es aquella en la que no se encuentra un
período de repetición. Esta clasificación es independiente del hecho de ser continua o alterna.
Para dar una idea mejor del tipo de señal a la cual nos estamos refiriendo se indica el nombre que mejor se
aproxima a la forma del gráfico representativo. Así es como tenemos ondas sinodales, o armónicas, ondas
cuadradas, diente de sierra, etc.
2.2 DEFINICIONES GENERALES.
2.2.1 SEÑAL: Magnitud física portadora de información y que varía en función del tiempo. Existen diversas
clasificaciones de las señales que estimulan al sistema, entre estas podemos distinguir:
Señal De Entrada: Son señales que estimulan al sistema. Existen dos tipos:
Excitación: Es una entrada sobre la que se puede actuar, o sea que se puede fijar a voluntad. Mediante
ellas se intenta que el sistema actúe en una forma deseada.
Perturbación: es una entrada indeseable sobre la cual no se tiene control, pero que está presente y
condiciona la evolución del sistema, (por ejemplo las descargas atmosféricas, mal estado de las conexiones,
etc.)
Señal De Salida: Señal que entrega el sistema en los terminales considerados de salida. Pueden ser:
Respuesta: Variable asociada a los atributos del sistema en los que se está interesado directamente.
Variables Internas (o salidas suprimidas): Son las que, estando condicionadas por las entradas, no son de
interés particular para el observador; relacionan la entrada con la salida.
Otra clasificación de las señales está relacionada con su comportamiento en el tiempo; de esta forma
obtenemos las siguientes señales:
Periódicas: Es aquella señal que se reproduce idénticamente al cabo de un determinado período de tiempo
llamado ciclo o período.
Este se define como un conjunto de estados o valores por los cuales pasa una magnitud o fenómeno en un
orden determinado que se repite.
t
f(t)
0
t
f(t)
0
TT
63
Donde T es el periodo en segundos.
Ciclo: La parte de la onda comprendida en el intervalo t a (t+T), se denomina ciclo de dicha onda.
Frecuencia: la inversa del periodo se denomina frecuencia y se representa por f.
Se ve que la frecuencia es igual al número de ciclos de una onda que tiene lugar en la unidad de tiempo. Su
unidad es el Hertz.
Ángulo de Fase: Si )( tf es una función periódica y 1t es un valor constante, )( 1ttf  será también una
función periódica, la diferencia entre los instantes en que sucede cada fase será 1t . A ese intervalo se
denomina Angulo de fase o diferencia de fase. Si 1t es positivo entonces )( 1ttf  se dice que va en atraso de
)( tf en la cantidad 1t .
Aperiódicas: o también acíclicas, son señales que no se repiten en el tiempo. Se considera que su
período es infinito.
T
Señal Periódica Señal Aperiódica
Valor Instantáneo: Valor en un instante determinado de una señal o variable que depende del tiempo.
T
f
1

64
2.2.3 MAGNITUDES ASOCIADAS A LAS SEÑALES
VALOR MEDIO: Es la media aritmética de los valores instantáneos de una señal, durante un intervalo de
tiempo t2 - t1. Si la señal es periódica, el intervalo no es más que el período mismo de dicha señal.
En general:
Para una señal periódica
Por otra parte, si el valor medio de una función periódica es cero, la función es alterna. Es por esto que a los
circuitos cuyas corrientes son sinusoidales se les llama circuitos de corriente alterna.
También se pude calcular como el área comprendida bajo la curva para un ciclo.
Las señales periódicas en las cuales el valor medio es diferente de cero se denominan señales
pulsantes
Vm
VALOR EFICAZ (o valor RMS, Root Mean Square): Se define como la raíz cuadrada de la media de los
cuadrados de los valores instantáneos alcanzados en un lapso t2-t1:
Este valor es de gran importancia ya que desde el punto de vista de las corrientes industriales es
muy utilizado. Se representa con la letra mayúscula del símbolo de la variable de que se trate; por ejemplo
(V=220V) Eléctricamente, los valores medios y eficaces son muy utilizados. Su interpretación es la
siguiente:
Valor Medio: La carga eléctrica transportada por una corriente i(t), en el intervalo t2-t1, se iguala con la que
transportaría en el mismo lapso una corriente de valor constante IM, llamado valor medio de la corriente i(t).
Valor Eficaz: La energía que disipa una corriente i(t) en una resistencia R, durante el lapso t2-t1, se identifica
con la que disiparía, en iguales condiciones, una corriente constante de valor IRMS , definido como
valor eficaz de la corriente i(t) en el lapso t2-t1
VALOR MAXIMO: Es el mayor valor positivo o negativo de la onda y se designa por la letra Mayúscula
MaxMaxMax PIE ,, (Amplitud del valor máximo, o también llamado valor Pico).
VALOR PICO A PICO: Es la diferencia algebraica entre picos positivos(o Negativos).
= 12 − 1 ( )
= 1 ( )
= 12 − 1 ( ( ))
65
VALOR EFICAZ DE UNA SERIE TRIGONOMETRICA: De acuerdo con la identidad de Parseval, la función:
...)32(...)32( 3213210)(  wtSenbwtSenbsenwtbwtCosawtCosaCoswtaaY t
Tiene un valor eficaz de:
2 2 2 2 2 2 2
0 1 2 3 1 2 3
1 1
 .... ....
2 2rms
Y a a a a b b b            
2 2 2 2 2 2 2
0 1 2 3 1 2 3 .... ....rmsY a A A A B B B            
Donde nA es el valor eficaz de Cosnwtan y nB es el valor eficaz de Sennwtbn .
Ejemplo de Aplicación:
En el último estudio de calidad de la energía realizado por el estudiante Jacinto Vergaray, el equipo de
medición registró los siguientes componentes armónicos de Tensión:
VoltwtsenwtSenwtSenwtSenI t )11(10)5(15)3(20)(13.311)( 
¿Cuál es el valor eficaz de la onda distorsionada?
FACTOR DE FORMA: Es la relación que existe entre el valor Eficaz y el Valor medio de una onda dada, y
se utiliza para realizar pruebas dieléctricas, se expresa de la siguientemanera:
Medio
eficaz
V
V
FF 
Para una onda en la que el valor medio sea cero, se calculara para el semiperiodo, es decir este valor medio
se calcula para la onda rectificada en un periodo.
FACTOR DE CRESTA O AMPLITUD: Es la relación que existe entre el máximo valor de la onda (amplitud)
y el valor Eficaz, se expresa de la siguiente manera:
Max
Eficaz
V
FC
V

66
2.3 ANÁLISIS DE SEÑALES.
2.3.1 Funciones singulares: Escalón, Rampa e Impulso.
Se analizarán tres tipos de funciones básicas, representables matemáticamente en forma simple y que
sirven para construir un gran número de ondas. Se denominan singulares porque no tienen derivadas
finitas de todos los órdenes. Estas señales sólo pueden concebirse en sistemas idealizados.
FUNCIÓN ESCALÓN μ (t): Se define como:
Físicamente se puede lograr un escalón unitario si se aplica un volt de tensión en una red, cuando en t=0 se
cierra un interruptor.
FUNCIÓN RAMPA r (t):
FUNCION IMPULSO δ(t) (DELTA DE DIRAC):
Una forma de definir el impulso es la siguiente:
0 Para t ≤0
μ (t) = 1 Para t ≥ 0
? Para t = 0
Se define como:
r (t)= t μ (t) = 0 para t≤ 0
t para t ≥0
1
t
t






0,1
0,0
)( t
t
t
1
t
)(t
67
2.3.2 Funciones Sinusoidales
La siguiente figura representa dos señales sinusoidales. En la figura se pueden reconocer sus principales
características:
Donde se puede detallar que:
, es el ángulo de desfasaje entre los dos tipos de onda presentados.
, es el periodo de la onda.
y son las amplitudes (valores Máximos) de las ondas.
CLASIFICACIÓN LAS SEÑALES DE ACUERDO CON SU VARIACIÓN EN EL TIEMPO.
Denominamos señal a toda tensión, corriente y, eventualmente, potencia con la que trabajamos o
analizamos en nuestros circuitos. Conceptualmente no hay diferencia con lo que denominamos ruido, ya
que la separación está sólo en el hecho de ser deseada o no.
La clasificación de las señales se hace según distintos aspectos. La primera que puede indicarse es tener
en cuenta si cambia o no de sentido o polaridad en el intervalo considerado, en función de ello decimos que:
Onda completa rectificada Onda semi-rectificada
2.4 FORMAS DE ONDAS
En el análisis de circuitos tratamos con corrientes y tensiones que varían con el tiempo. El símbolo
matemático que expresa la relación funcional entre corriente y tiempo en un dipolo a-b es iab. Y esta relación
entre esta función y el tiempo puede especificarse bien analíticamente por medio de expresiones
matemáticas o por medio de gráficas.
1A
T
f
2A
f
T
1A 2A
68
2.4.1 PRINCIPALES FORMAS DE ONDA
 Onda Rectangular, es aquella que tiene el siguiente comportamiento:
 Onda Triangular, es aquella que tiene el siguiente comportamiento:
 Onda diente de Sierra, es aquella que tiene el siguiente comportamiento:
2
2
A
V
A
V
Medio
rms


0

Medio
rms
V
AV
2
3
A
V
A
V
Medio
rms


2
3
A
V
A
V
Medio
rms


69
 Onda Rectificada, es aquella que tiene el siguiente comportamiento:
 Onda Completa, es aquella que tiene el siguiente comportamiento

A
V
A
V
Medio
rms


2

A
V
A
V
Medio
rms
2
2


T
70
SEÑALES
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA Nº 01
En la figura la forma de la onda de tensión de la resistencia se muestra
R =100 Ω, L= 10H
a) Hallar la forma de onda de la tensión y corriente total aplicada
b) Hallar la forma de onda del Voltaje en la inductancia
c) Hallar la forma de la onda de la fuente de alimentación.
Resolución:
a) Hallando el voltaje en la resistencia y la corriente
De acuerdo a la grafica el periodo de la onda es T=2s, en tal sentido la expresión analítica de la onda de
tensión en la resistencia será:






21;2010
10;10
)( tt
tt
V t
Suponiendo que el circuito se encuentra conectado a la fuente de alimentación por un tiempo muy largo,
asumiremos que no hay influencia del estado transitorio, por lo tanto las respuestas producto de la señal de
alimentación V serán:






21;2.01.0
10;1.0)(
)()()( tt
tt
R
V
iii tLRt
71
b) Hallando el voltaje en la inductancia
Sabemos que el voltaje en la inductancia está dado por la siguiente expresión:






21;1
10;1)(
t
t
dt
di
LV tL
c) La fuente de alimentación tendrá el siguiente comportamiento:






21;1910
10;110
)( tt
tt
VVV tRL
La forma de la onda de la tensión total será:
PROBLEMA Nº 02
En el circuito de la figura se conoce la forma de onda de la corriente por el Amperímetro A4. Determinar la
lectura de los amperímetros: A1, A2, A3. (Diodos ideales).
Resolución:
72
Lectura de A1:
Valor medio
I(t) = t 0 < < 22 − t 1 < < 20 2 < < 4
I( )medio = 14 tdt + (2 − t)dt + 0dt
Resolviendo I( )Medio = 1
El valor de A2 es el mismo por ser la misma onda pero corrida entonces, su valor medio es igual al de A1.
Lectura de A3:
I(t) = 0 0 < < 2t − 2 2 < < 34 − t 2 < < 4
Resolviendo
Irms = 14 (t − 2) dt + (4 − t) dt
Irms = 0.91
Esta es la forma de onda que
detecta el amperímetro A1 luego de
ser rectificada.
Recordar que en el primer pulso de
alimentación para el intervalo de 1s
a 2s, los diodos D1 y D2 conducen.
Esta es la forma de onda que
detecta el amperímetro A1 luego de
ser rectificada.
Recordar que en el primer pulso de
alimentación para el intervalo de 2s
a 4s, los diodos D3 y D4 conducen.
73
PROBLEMA Nº 03
Tenemos una función de onda triangular, como se muestra en la figura, en el cual tenemos su periodo de
T = 9.73ms y su Valor pico = 9.20V













TtTAt
T
A
TtTAt
T
A
Ttt
T
A
tf
4/3,44
4/34/,24
4/0,4
)(
Hallar:
a) El valor valor pico (Vpp)
b) Valor medio (me)
c) valor eficaz (RMS)
Resolución:
Cálculo del Valor Pico a Pico:
AAAVpp 2)( 
Cálculo del Valor Eficaz:

T
Mediot dttfT
f
0
)( )(
1
)...(44244
1 4/3
4/ 4/3
4/
0
)( 










 




   
T
T
T
T
T
Mediot dtAtT
A
dtAt
T
A
dtt
T
A
T
f
82
444
4/
0
24/
0
4/
0
AT
I
t
T
A
dtt
T
A
dtt
T
A
I
tTT
 
ATATtA
t
T
A
dtAt
T
A
II
T
T
T
T
T
t





  
4/3
4/
4/3
4/
24/3
4/
2
2
4
24
0 II





 










   4
3
4
16
92
4
2
4
44
2
2
4/3
4/3
2
4/3
T
TA
T
T
T
A
tA
t
T
A
dtAt
T
A
III
T
T
T
T
T
T
ATIII
8
1

74
)(, enIIIyIII
0
88
1
)( 


 
ATAT
T
f Mediot
0)(  Mediotf
Cálculo del Valor Eficaz:
 
T
RMS dttfT
f
0
22 )(
1
  )...(244
2/
1
)(
2/
1 4/
0
2/
4/
222/
0
22 













 




  
T T
T
T
RMS dtAtT
A
dtt
T
A
T
dttf
T
f
 




4/
0
24/
0
3
2
22
12
)(
3
)(164T
T
TA
I
t
T
A
dtt
T
A
I
 










 
2/
4/
2
2
2
2
22/
4/
2
)(4
)(16)(16
24
T
T
T
T
dtAt
T
A
t
T
A
dtAt
T
A
II
2/
4/
2
2/
4/
222/
4/
3
2
2
)(4
2
)(16
3
)(16 T
T
T
T
T
T
tA
t
T
At
T
A
II 
TA
TATA
II 2
22
)(
2
)(3
12
)(7

)(enIIyI
3
)(
)(1
2
3
12
7
12
1
2/
1 222 ATA
T
f RMS 










 
A
A
ARMS 577.0
3

PROBLEMA Nº 04
El voltaje senoidal tiene la siguiente forma: )6010002(200   tsenV está en la grafica mostrada,
determine el tiempo 1t .
75
Resolución:
Sabemos que: wt , donde:
 = ángulo desplazado en radianes
W= velocidad angular
T= tiempo
Como w es constante entonces podemos afirmar que: cte
t
w 

Además de la expresión de onda de tensión se tiene que: 10002w ,
Reemplazando en
w
T
2
 , se tendrá que T =0.001s
Entonces
xt
3
001.0
2


 , despejando tendremos que: sxtx
41066.6 
Con ello como el periodo total es T=0.001, entonces sxtTt x
4
1 1033.3

PROBLEMA Nº 05
Una onda completa senoidal rectificada está cortada a 0.707 de su valor máximo como indica la figura hallar
los valores medios y eficaces de dicha función.
Resolución:
Como podremos observar en la grafica, la función tiene periodo  y estará definida por:















wtwtSenY
wtY
wtwtSenY
Y
m
m
m
t
4
3
;)(
4
3
4
;707.0
4
0;)(
)(
Una Vez definida la función procedemos a calcular el valor medio, de la siguiente manera:
Sabemos:
76
i
)(mst86
42
10
10

T
t dtYT
Ymed
0
)(
1 , con ello se tendrá:
YmwtdwtsenYmwtdYmwtdwtsenYmYmed 54.0)())(()()707.0()())((
1 4
0
4
3
4 4
3
2 





    
 



A su vez el valor eficaz estará dado por la siguiente expresión:
Sabemos:

T
t dtYT
Yrms
0
2
)(
1 , con ello se tendrá:
   





    40
4
3
4 4
3
222 )())(()()707.0()())((
1  



wtdwtsenYmwtdYmwtdwtsenYmYrms
mYYrms
2341.0 0.584rmsY Ym 
PROBLEMA Nº 06
Por una bobina pura de autoinducción igual a mHr3 circula una corriente cuya forma de onda es
representada en la figura. Dibujar la grafica de la tensión V(t) y de la potencia instantánea P(t) ¿ Cual es la
potencia media P?
Resolución:
Como el valor de L = mHr3 , la expresión analítica de la forma de onda de corriente instantánea será:












103t5+50-;10ms< t<8
10-;ms8< t<6
 t10310-50;ms6< t<4
10;ms4< t<2
 t1035;ms2< t<0
)(ti
Además sabemos que en una bobina la tensión está dada por la siguiente expresión:
77
dt
di
Le Lt )(
Las tensiones correspondientes son:
(a) v
dt
txd
x
dt
di
LVL 15
)105(
103
3
3  
(b) v
dt
d
x
dt
di
LVL 0
)10(
103 3  
(c) v
dt
txd
x
dt
di
LVL 30
)101050(
103
3
3 

 
(d) v
dt
d
x
dt
di
LVL 0
)10(
103 3 

 
(e) v
dt
txd
x
dt
di
LVL 15
)10550(
103
3
3 

 
Los valores de la potencia instantánea correspondientes son:
(a) txtxiVP ttt
33
)()()( 1075)105(15 
(b) 0)10(0)()()(  ttt iVP
(c) txtxiVP ttt
33
)()()( 103001500)101050(30 
(d) 0)10(0)()()(  ttt iVP
(f) txtxiVP ttt
33
)()()( 1075750)10550(45 
Tensión Instantánea V(t) , en la Bobina
i
8
64
2
15
30
10
)(mst
78
La potencia media P es nula y se puede comprobar calculando el área bajo la curva.
PROBLEMA Nº 07
Dada la señal, calcular el valor pico, valor medio, valor eficaz, el Factor de Forma (FF) y el Factor de cresta
(FC).
Resolución:
Vpp = Am – (-Am) = 2.Am = 10
Cálculo del valor medio:
0
1
( )
T
Sme S t dt
T
 
T2T
5
5
0
Potencia Instantánea P(t), en la Bobinai
)(mst8
6
4
2
150
300
10
150
300
79
/ 2
0 / 2
1
( ) ( )
T T
T
Sme S t dt S t dt
T
 
   
 
 
0Sme 
0
1
( )
T
S me S t dt
T
 
S me Am
5S me 
 22
0
1
( )
5
1
1
T
f
S S t dt
T
S Am
fc
f

 



PROBLEMA Nº 08
Dada la señal calcular el valor pico pico, valor medio, valor medio del modulo, valor eficaz, el Factor de
Forma (FF) y el Factor de Cresta (FC).
Resolución:
2.5 0 / 2
( )
2.5 / 2
senwt t T
S t
senwt T t T
  
    
0
) 2 5
1
) ( ) 0
T
a Vpp Am u
b Sm S t dt
T
 
 
/ 2
0 0
1 1
) ( ) ) 2.5 0.636 2.5 1.59
/ 2
T T
c S me S t dt S me senwtdt S me x
T T
      
 22
0
1
) 2.5
T
d S senwt dt
T
 
2 . 5
2.5
0 2
80
/ 2 / 2
2 2 2 2
0 0
1 6.25
(2.5) (1 cos 2 )
/ 2
T T
S sen wtdt S wt dt
T T
    
/ 2
2
0
2
6.25
cos(2 )
2
4.41875
TT
S wt dt
T
S
 
  
 


max 2
eficaz
valor
FC
valor
 
1.76459ff 
PROBLEMA Nº 09
En la figura mostrada, se tiene una red alimentando a un motor de inducción que se representa por un
circuito serie R-L. (R=5 , L=22.971mH).Se conoce la forma de onda de voltaje ( )V t , W = 377rad/seg. Y
es posible hacer variar la magnitud de  entre 0 y, / 2 de acuerdo a la potencia media que deseamos
suministrar al motor, se sabe que cuando  =0, la potencia media suministrada al motor es 605 Vatios, se
pide hallar:
El valor máximo de V(t)
Lectura del voltímetro, y el factor de aislamiento, cuando / 3 
Resolución:
CIRCUITO RL
Representamos el voltaje en función del tiempo para un periodo:


2
( )t s
81
0 0
( )
( )
0
( ) 2
m
m
t
V sen wt t
V t
t
V sen wt t

 
  
  
 
      
   
Calculamos la potencia media, para 0  , la forma de onda es totalmente sinusoidal:
( ) ( ). ( ) ...(2)donde P t v t i t Potencia instantánea
0
1
( ) ...(1)
T
medP P t dtT
 
Hallando, en el circuito R – L serie, en el circuito inductivo la tensión adelanta a la corriente un ángulo  :
m
m
2 2
2 2
m
2 2
m m
( ) I ( )
( ) ( ) : 0
:
( ) . ( ) . ( )
( ) ( ) .I ( )
: .I I
i
v v
v i
m
m
I t sen wt
V t V sen wt en estecaso
desfase
V t Z I t R w I t
V t V sen wt R w sen wt
donde V R w Z

 
  
 
 
  
 
  
    
  
El desfasaje es:
-3377 22.971.10
: ( ) ( ) 70.90
3
wL
desfase arctg arctg
R
   
Calculando la impedancia del circuito:
2 2 2 3 2( ) (5) (377*22.971*10 ) 10Z R wL Z      
Sabemos que:
2
cos( ) cos( )
2 2
m m m
med
V I Z I
P  
 
 
( )V t
R
L
( )I t
82
210
: 605 cos(70.9) 19.23
2
m
med m
I
DATO P w I A

   
Donde para W = 377rad/seg, por lo tanto:
Tenemos la función:
( ) ( )mv t V sen wt , para encontrar su valor máximo
 4 1
( ) cos( ) 0
2m
n
v t V w wt t 

   
, para n entero
   
m
4 1 4 1
( ) ( ) .I 192.3
2 2m m
n n
v V sen w V Z V 
 
   
,
Es el valor máximo que puede tomar:
La lectura del voltímetro está dada por el valor eficaz:
2
0
23 3
2 2 2 2 2
0
3 3
2 2
2 2 2
4
3 3
1
: ( )
1
0 192.3 ( ) 0 ( 192.3 ( ))
1 192.3 1 cos(2 ) 1 cos
192.3 ( ) ( 110 ( ))
2
T
rms
rms
rms
De la relación V V t dt
T
V dt sen wt dt dt sen wt dt
T
wt
V sen wt dt sen wt dt dt
T T
  
 
  
 
 



 
      
  
 
       
  

   
 
3
4
3 3
(2 )
2
wt
dt


 
 
 
 
  
 
22
4
3 3
2
192.3 (2 ) 4 (2 )
[( ) (2 ) ]
2 3 2 3 2
192.3 (2*377* ) (2*377* /3) 4 (2*377*2 ) (2*377*4 /3)
[( ) (2 ) ]
2*2 3 2*377 3 2*377
110.99
rms
rms
rms
sen wt sen wt
V T
T w w
sen sen sen sen
V
V V
 
 
  
      

     
 
     

Con este dato hallamos el factor de aislamiento o factor de cresta, para / 3  :
83
192.3
1.733
110.99
p m
C C
eficaz RMS
V V V
F F
V V V
    
PROBLEMA Nº 10.
Si el voltímetro de bobina móvil de la figura lectura 148.35 voltios; para la forma de onda que se muestra,
a) Calcular el factor de forma de la onda. (Tomar valor medio solo para medio ciclo)
b) Si se cambiara el voltímetro de bobina móvil por uno de hierro móvil, ¿Cuál será su lectura?
Resolución:
a) El factor de forma esta dado por:
medio
eficaz
f V
V
F 
Hallando el valor medio para medio ciclo )0( 
 Primero obtenemos los ángulos de corte de la onda senoidal ya que tenemos la función:
rad
xx
3
º60 
180
)10778.2(377
1
3
1




 
rad
xx
 
º180 
180
)10333.8(377
2
3
2




 
84
rad
xx
3
4
º240 
180
)10111.11(377
3
3
3




 
rad
xx
 2
º360 
180
)10666.16(377
4
3
4




 
El valor medio para medio ciclo:
   
   
AV
A
wtCos
A
V
wtdwtSen
A
wtdwtASenV
wtdwtASenwtdwtASenV
m
m
m
m
477.0
2
3
)(
)()(
1
)()(
1
3/
3/
3/
0
2
1
1





























De la lectura del voltímetro:
311
477.035.148


A
A
Hallando el valor eficaz:
 
   





 
























2
3/43/
2
2
2
3/4
2
3/
22
0
22
)(
2
)2(1
)(
2
)2(1
2
)()()()(
2
1
)()(
1
wtd
wtCos
wtd
wtCosA
V
wtdwtASenwtdwtASenV
wtdwtASen
T
V
rms
rms
T
rms
AV
AA
V
SenSenSenSen
A
V
wtdwtCoswtdwtdwtCoswtd
A
V
rms
rms
rms
rms
634.0
)338(
242
3
3
4
4
)
3
8
()4(
2
1
)
3
4
2()
3
2
()2(
2
1
34
)()2()()()2()(
4
22
2
2
2
2
3/4
2
3/43/3/
2
2



















 





 




 






 















85
329.1
477.0
634.0

A
A
V
V
F
medioeficaz
f
b) Cuando cambiemos el voltímetro de bobina móvil por uno de hierro móvil:
voltsV
xFVV
MHIERROrms
fmMHIERROrms
 16.197.) (
.) (


PROBLEMA Nº 11
Sea la función de onda:
      tf Vp Sen wt Cos wt 
Cuya gráfica es:
Hallar el valor medio y eficaz de la onda.
Resolución:
Hallando el Valor Medio (Vmed):
( )
0
1 T
med tV f dtT
 
Como:
2
w
T



1
2
w
T 

86
Entonces:
    
2
( )
0 0
1
2
T
med t
w
V f dt Vp Sen wt Cos wt dt
T


   
              
2 2 2
0 0 02 2
med
Vp Vp
V Sen wt Cos wt d wt Sen wt d wt Cos wt d wt
  
 
 
    
 
  
       2 2
0 0
1 1 0 0
2 2med
Vp Vp
V Cos wt Sen wt
 
 
           
0medV 
Hallando el Valor Eficaz (VRMS):
 2( )
0
1 T
RMS tV f dtT
 
Como:
2
w
T



1
2
w
T 

Entonces:
      
2
22
( )
0 0
1
2
T
RMS t
w
V f dt Vp Sen wt Cos wt dt
T


     
   
2
2 2 2
0
2 ( ) ( )
2RMS
w
V Vp Sen wt Cos wt Sen wt Cos wt dt


    
       
2 22 2
0 0
1 2 ( ) ( ) 1 (2 )
2 2RMS
Vp Vp
V Sen wt Cos wt d wt Sen wt d wt
 
 
    
         
2 2 22 2
0 0 0
1 (2 ) 2 2 2 2
4 4RMS
Vp Vp
V Sen wt d wt d wt Sen wt d wt
  
 
 
    
 
  
     
2 2
2 2
00
2 (2 ) 2 0 1 1
4 4RMS
Vp Vp
V wt Cos wt
  
 
         
87
2 2
2
4 2RMS
Vp Vp
V 

 
2
1
2 2
RMS
Vp
V   
PROBLEMA Nº 12
La corriente de placa de un triodo que trabaja como oscilador toma la forma general mostrada en la figura:
a) ¿Cuál es el valor de la frecuencia de oscilación ilustrada?
b) ¿Cuál es el valor medio de la corriente pulsante?
c) ¿Cuál es el valor eficaz de la corriente pulsante?
Resolución:
Tenemos:( ) = = 2( ) = = 4( ) = = 10 − 2( ) = = 0
a) Según la figura para determinar la frecuencia diremos que f = 1/t
Siendo t = 41012  segundos
4
4
1 10
833.3
12 10 12
f ciclos  
1 22 7
Amperios
seg410
88
b) Valor Medio
I medio:

T
dtti
T 0
)(
1
Según las ecuaciones del gráfico se tendrá:
2 3 5 12
m
0 2 3 5
1
I 2 4 (10 2 ) 0
12edio
tdt dt t dt
 
     
 
   
mI 1edio A
c) Valor Eficaz
2
0
1
I
T
eficaz i dtt
 
2 3 5 12
2 2 2 2
0 2 3 5
1
I (2 ) 4 (10 2 ) 0
12eficaz
t dt dt t dt dt
 
     
 
   
I 1,77eficaz Amperios
PROBLEMA Nº13
Hallar el valor medio de la función representada por:
89
Resolución:
El periodo de la función para este caso es 2.0T
Luego, en la grafica se tienen tres partes, primero una curva de función exponencial, luego una función
constante y por ultimo otra curva exponencial.
Aproximando 010 e , se tiene:











2.0;20
;10
0;)1(20
)(
2
)1.0(100
21
1
100
tte
ttt
tte
ty
t
t
Luego, se reemplaza 10)( ty en las ecuaciones de las funciones curvas para hallar los puntos de t en
que la función es constante, entonces, para la primera curva se tiene:
100
)2ln(
100
)2/1ln(
)5.0ln(100
)5.0ln()ln(
5.0
15.0
)1(2010
1
1
1
100
100
100
100
1
1
1
1











t
t
t
e
e
e
e
t
t
t
t
Luego para la segunda curva:
100
10)2ln(
1.0
100
)2ln(
100
)2/1ln(
100
)5.0ln(
1.0
)1.0(
100
)5.0ln(
)1.0(100)5.0ln(
)ln()5.0ln(
5.0
2010
2
2
2
2
2
)1.0(100
)1.0(100
)1.0(100
2
2
2












t
t
t
t
t
e
e
e
t
t
t
90
Entonces la función )(ty quedaría como sigue:

















2.0
100
10)2ln(
;20
100
10)2ln(
100
)2ln(
;10
100
)2ln(
0;)1(20
)(
)1.0(100
100
te
t
te
ty
t
t
Aplicando la fórmula del valor medio:

T
med dttyT
ty
0
)(
1
)(
Reemplazando los valores, se tiene:














































 


 
55
)1010(
5
1
100
20
20
2.0
1
)(
100
20
10
100
20
20
2.0
1
)(
2010)1(20
2.0
1
)(
)1.0(10010
12
100
1
2.0
)1.0(100
0
100
2.0 )1.0(100
0
100
21
2
2
1
1
2
2
1
1
tt
med
t
t
t
t
t
t
med
t
tt
t
t t
med
ee
tt
e
tty
e
t
e
tty
dtedtdtety
Reemplazando los valores de 1t , 2t y haciendo valer la aproximación 010 e
693.5)(
5)2ln()(
5
5)2ln(
2.0
1
)(
10
1
1
10
1
5
)2ln(
2.0
1
)(
5
5.0
1
10
21)2ln(2
2.0
1
)(
5
1
5
1
10
1
5
)2ln(
2.0
1
)(
5
)
10
)2ln(10)2ln(
(
5
1
100
)5.0(20
5
)2ln(
2.0
1
)(
5
)
10
)2ln(
10
10)2ln(
(
5
1
100
20
5
)2ln(
2.0
1
)(
)2ln(
)
100
1010)2ln(
(100
)1.0
100
10)2ln(
(100
)2ln(





 



 
















 

















 



























 



































ty
ty
ty
ty
ty
e
ty
e
ty
ee
ty
med
med
med
med
med
med
med
med
91
PROBLEMA Nº 14
Hallar el tiempo de desfase, con respecto al origen de las ordenadas, para que la onda representada
cumpla que su valor eficaz sea la mitad de su valor máximo (valor de cresta).
Resolución:
Sabemos que:














TtT
TtTV
Tt
T
tV
f p
p
t
3/2;0
3/23/;
3/;
3/
)(
)(



Además:

T
tRMS dtfT
V
0
2
)(
1
Entonces:
 
T
tRMS dtfT
V

2
)()(
1
 

















  
3/
3/2
2
3/2
3/
2
2
0
3/
)(
)(
1 T T
T
T
T
p
p
RMS dtdtVdtT
tV
T
V
 


92
 

















  
3/ 3/2
3/
22
3/
)(
)(
T T
T
p
RMS dtdtT
t
T
V
V
 


 
 
 
















 


 3/3/2
3
)(
3/
1
)(
3/3
2
2
TT
t
TT
V
V
T
p
RMS



 



 




33
)3/(
)(
2
TT
T
V
V pRMS


 
 



 





 


39
4
)(
3
3/
)(
2
2




T
T
V
V
TT
T
V
V
p
RMS
p
RMS
Pero tenemos la premisa que :
2
p
RMS
V
V 
, por lo tanto:
 
239
4
)(
2
pp
RMS
VT
T
V
V 


 




     
439
4
)(
22
2 pp
RMS
VT
T
V
V 


 




4
1
39
4
)(
1



 




T
T ;
tenemos:
 27273648  TT
3/7
37
T
T




PROBLEMA Nº15
Un voltímetro de bobina móvil tiene una lectura de 148.35 voltios, para la forma de onda que se muestras se
pide:
 Calcular el factor de forma de la onda.
 Si se cambia el voltímetro por uno de hierro móvil, cuál sería su lectura.
93
Resolución:
Aquí vemos que la forma de onda es una onda senoidal rectificada que sufrió un “disparo” por un dispositivo
electrónico de potencia.
Recordemos entonces la señal de la red (senoidal) V (t):
f = 60 Hz. Y como f = 1/T , entonces T = 16.66 mseg.
Sin embargo para el cálculo de los valores eficaces y medios en ondas senoidales, tenemos que considerar
la función del voltaje como V(wt):
f = 60 Hz. Entonces wt = 2 (periodo respecto al ángulo)
Se tiene esta analogía:
(wt)  (t)
2 16.66 ms. (T)
 8.33 ms.
Entonces haciendo una analogía con la onda propuesta:
(wt)  (t)
 8.33 ms. (T)
 2.77 ms.
Calculando, tenemos:
 = 0.333
94
Con todo esto, tenemos la fórmula del valor medio para hallar el voltaje máximo:

T
avg wtdwtvT
V
0
)()(
1






  
 
 0
)()()(0
1
wtdwtsenVwtdV pavg
  )cos()/1( wtVV pavg 
1
148.35 ( )[cos( ) cos(0.333 )]
1
148.35 ( )[cos( ) cos(0.333 )]
:
310.497
avg p
p
p
V V
V
despejamos
V V
 

 


  

 

Ahora, conociendo el voltaje máximo calculamos el valor eficaz:

T
rms wtdwtvT
V
0
2 )()(
1






  
 
 0
2222 )()()(0
1
wtdwtsenVwtdV prms











  


 )(
2
)2cos(1
)/( 22 wtd
wt
VV prms


 


 
2
)(
)()2/( 22
wtsen
wtVV prms
2 2
2 2
1
( / 2 )[ 0.333 (0.666 )]
2
( / 2 )[2.5289]
:
196.985rms p
rms p
rms
V V sen
V V
reemplazando
V V
   

  


Calculando el factor de forma (FF):
196.985
148.35
1.328
eficaz
medio
Valor
FF
Valor
FF
FF


