A2 _ CALCULO_gababito_pdf (1)

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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Página 1 de 5 
Lista de Exercícios – Diferenciação implícita 
 
 
1) Nos exercícios abaixo, ache dy/dx por diferencia ção implícita e 
calcule a derivada no ponto indicado, quando houver . 
 
a) 2 2 49 (0, 7)x y no ponto+ = 
 
2 2 49x y+ = 
2 2 0
dy
x y
dx
+ = 
2 2
dy
y x
dx
= − 
dy x
dx y
= − 
0
0
7
dy
dx
= − = 
 
b) 4 ( 5, 1)y xy no ponto+ = − − 
 
4y xy+ = 
1 0
dy dy
x y
dx dx
+ ⋅ + ⋅ = 
(1 )
dy
x y
dx
+ = − 
1
dy y
dx x
= −
+
 
1 1 1
1 ( 5) 4 4
dy
dx
− −= − = − = −
+ − −
 
 
c) 3 3 (0, 0)x y y x no ponto− = 
 
3 3x y y x− = 
3 2 3 23 3 1
dy dy
x y y x
dx dx
⋅ + ⋅ − = 
( )3 2 2 33 1 1 3dyx y x y
dx
− ⋅ = − 
2 3
3 2
1 3
3 1
dy x y
dx x y
−=
−
 
1 0
1
0 1
dy
dx
−= = −
−
 
 
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d) 
1 1
2 2 9 (16, 25)x y no ponto+ = 
 
1 1
2 2 9x y+ = 
1 1
2 21 1 0
2 2
dy
x y
dx
− −
+ = 
1
2
1
2 1
2
dy
y
dx
−
= −
1
2x
−
 
1
2
1
2
dy y
dx x
= − 
dy y
dx x
= − 
25 5
16 4
dy
dx
= − = − 
 
e) 3 2 23 3 26 (2, 3)x x y xy no ponto− + = 
 
3 2 23 3 26x x y xy− + = 
2 2 23 3 6 3 2 3 0
dy dy
x x y x x y y
dx dx
 − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = 
 
 
2 2 23 3 6 6 3 0
dy dy
x x xy xy y
dx dx
− ⋅ − + ⋅ + = 
2 2 22 2 0
dy dy
x x xy xy y
dx dx
− ⋅ − + ⋅ + = 
( )2 2 22 2dyxy x xy x y
dx
− ⋅ = − − 
2 2
2
2
2
dy xy x y
dx xy x
− −=
−
 
2 2
2
2 2 3 2 3 12 4 9 12 4 9 1
2 2 3 2 12 4 12 4 8
dy
dx
⋅ ⋅ − − − − − −= = = = −
⋅ ⋅ − − −
 
 
f) 2
2
2
x y
x
x y
+=
−
 
 
Resolução 1: 
 
2 2
2
x y
x
x y
+=
−
 
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2
( 2 ) 1 2 ( 2 ) 1 2
2
( 2 )
dy dy
x y x y
dx dx
x
x y
   − ⋅ + − + ⋅ −   
   =
−
 
22 ( 2 )x x y x⋅ − = 2 2 4dy dyx y y
dx dx
+ − − x− 2 2 4dy dyx y y
dx dx
+ − + 
( )2 22 4 4 4 4dyx x xy y x y
dx
⋅ − + = − 
3 2 24 2 8 8 4
dy
x x x y xy y
dx
= − + + 
3 2 24 4 2
2
dy x x y xy y
dx x
− + += 
 
Resolução 2: 
 
2 2
2
x y
x
x y
+=
−
 
 
2 ( 2 ) ( 2 )x x y x y⋅ − = + 
2 1 2 ( 2 ) 2 1 2
dy dy
x x y x
dx dx
 ⋅ − + − ⋅ = + 
 
 
2 2 22 2 4 1 2
dy dy
x x x xy
dx dx
− + − = + 
2 2 22 4 1 2 2
dy dy
x x xy x
dx dx
+ − − = + 
2 2(2 2) 3 4 1
dy
x x xy
dx
+ = − − 
2
2
3 4 1
2( 1)
dy x xy
dx x
− −=
+
 
 
g) 23 3 4x xy y+ = 
 
23 3 4x xy y+ = 
( )1 1 23 3 4x xy y+ = 
1 1 1 23 3 3 4x x y y+ = 
2 1 2 1 2
3 3 3 3 31 1 1 8
3 3 3
dy dy
x x y y x y
dx dx
− − −
+ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ 
1 2 2 1 2
3 3 3 3 31 1 18
3 3 3
dy dy
y x y x y x
dx dx
− − −
⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ 
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1 1
3 3
2 2 2
3 3 3
1
8
3 3 3
dy x dy y
y
dx dxy x x
⋅ − ⋅ = + 
5 1 1
3 3 3
2 2
3 3
24 1
3 3
y x dy y
dxy x
 − +
  ⋅ =
 
 
 
1
31
3
dy y
dx
+= 2
3
3
x
⋅
2
3
5 1
3 324
y
y x−
 
2
3
52
3 324
dy y y
dx x y x
+=
−
 
 
h) ( ) ( )2 2 3 3x y x y x y+ − − = + 
 
( ) ( )2 2 3 3x y x y x y+ − − = + 
( ) ( ) 2 22 1 2 1 3 3dy dy dyx y x y x y
dx dx dx
   + ⋅ + − − ⋅ − = + ⋅   
   
 
2x 2 2 2
dy dy
x y y
dx dx
+ ⋅ + + ⋅ 2x− 2 2 2dy dyx y y
dx dx
+ ⋅ + − ⋅ 2 23 3 dyx y
dx
= + ⋅ 
2 22 2 2 2 3 3
dy dy dy
x y x y x y
dx dx dx
⋅ + + ⋅ + = + ⋅ 
( )2 24 3 3 4dyx y x y
dx
− ⋅ = − 
2
2
3 4
4 3
dy x y
dx x y
−=
−
 
 
2) Ache uma equação da reta tangente à curva 4 416 32x y+ = no ponto 
(1, 2) . 
 
4 416 32x y+ = 
3 364 4 0
dy
x y
dx
+ ⋅ = 
3 316 0
dy
x y
dx
+ ⋅ = 
3 316
dy
y x
dx
⋅ = − 
3
3
16dy x
dx y
= − 
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3
16
dy x
dx y
 = −  
 
 
3
1 1
16 16 2
2 8
m    = − = − = −   
   
 
 
0 0( )y y m x x− = − 
2 2 ( 1)y x− = − ⋅ − 
2 2 2y x= − + + 
2 4y x= − + 
 
3) Mostrar que a circunferência 2 2 12 6 25 0x y x y+ − − + = é tangente à 
circunferência 2 2 2 10x y x y+ + + = no ponto (2,1) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como mostra o esquema acima, para que as duas circunferências sejam 
tangentes num dado ponto, é necessário que elas tenham o mesmo coeficiente 
angular da reta tangente naquele ponto. 
 
2 2 12 6 25 0x y x y+ − − + = 2 2 2 10x y x y+ + + = 
2 2 12 6 0
dy dy
x y
dx dx
+ − − = 2 2 2 0dy dyx y
dx dx
+ + + = 
6 3 0
dy dy
x y
dx dx
+ − − = ( ) ( )2 1 2 2dyy x
dx
+ = − + 
( 3) 6
dy
y x
dx
− = − ( )2 2
2 1
xdy
dx y
+
= −
+
 
6
3
dy x
dx y
−=
−
 
( )2 2 2 6
2
2 1 1 3
dy
dx
⋅ +
= − = − = −
⋅ +
 
6 2 4
2
1 3 2
dy
dx
−= = = −
− −