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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMÁTICA BÁSICA MATEMÁTICA BÁSICA PARA INGENIERÍA UNIDAD I: VECTORES, RECTAS Y PLANOS EN ℝ3, ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES SESIÓN 05: CAMBIO DE BASES, MATRIZ DE CAMBIO DE BASES O DE COORDENADAS DE UN VECTOR 2019 - 2 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2 FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMÁTICA BÁSICA NIVEL I: 1. Exprese un vector ( 2 −5 ) ∈ ℝ2, en términos de la base dada. a) {( 7 −12 ) , ( 3 6 )} b) {( 2 −3 ) , ( 3 −2 )} c) {( 5 7 ) , ( 3 −4 )} 2. Exprese un vector ( −1 4 2 ) ∈ ℝ3, en términos de la base dada. a) {( −5 0 3 ) , ( 1 2 −2 ) , ( 5 2 0 )} b) {( 1 0 0 ) , ( 1 1 0 ) , ( 1 1 1 )} c) {( 3 0 4 ) , ( −2 −5 −2 ) , ( 4 4 −5 )} d) {( 2 1 3 ) , ( −1 4 5 ) , ( 3 −2 −4 )} NIVEL II: 3. En 𝑀22 escriba la matriz ( 2 −1 4 6 ) en términos de la base {( 1 1 −1 0 ) , ( 2 0 3 1 ) , ( 0 1 −1 0 ) , ( 0 −2 0 4 )} 4. Sea 𝐵 = {𝑣1,⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , 𝑣3⃗⃗⃗⃗ } = {( 1 1 1 ) , ( 2 3 3 ) , ( −3 2 3 )} y 𝐶 = {𝑤1⃗⃗ ⃗⃗ , 𝑤2⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝑤3⃗⃗⃗⃗ ⃗} = {( 1 2 1 ) , ( −1 −1 0 ) , ( 2 9 8 )} a) Verifique que 𝐵 y 𝐶 son bases de ℝ3. b) Escriba los tres sistemas de ecuaciones necesarios para expresar cada vector en 𝐵 como una combinación lineal de vectores en 𝐶. c) Sea 𝑥 = ( 1 −2 −3 ). Encuentre [𝑥]𝐵 y [𝑥]𝐶 . DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 3 FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMÁTICA BÁSICA 5. Sean 𝐵1 = {(3,1), (2, −1)} y 𝐵2 = {(2,4), (−5,3)} dos bases en ℝ 2. Si [𝑥]𝐵1 = ( 2 , 5 ), exprese 𝑥 en términos de los vectores de 𝐵2. 6. Sean 𝐵1 = {(2,−3), (1, −2)} y 𝐵2 = {(3,−3), (−1,5)} dos bases en ℝ 2. Si [𝑥]𝐵1 = (−2 , 1 ), exprese 𝑥 en términos de los vectores de 𝐵2. 7. Sean 𝐵1 = {1 − 5𝑥, 1 + 𝑥} y 𝐵2 = {3 + 2𝑥,−1 + 𝑥} dos bases en P1. Si [𝑤]𝐵1 = 5 + 2𝑥, exprese 𝑤 en términos de los vectores de 𝐵2. 8. Escriba los polinomios: P1: 2 + 3𝑥 + 𝑥2 y P2: −3 + 𝑥 − 2𝑥2 en términos de las bases dadas: a) 𝐵1 = {1, 𝑥 − 1, 𝑥 2 − 1} b) 𝐵2 = {1 + 𝑥 + 4𝑥 2, −3 − 2𝑥2, 3 − 2𝑥} c) 𝐵3 = {4𝑥 − 3𝑥 2, 𝑥 + 4𝑥, 1 − 5𝑥 − 2𝑥2} NIVEL III: 9. Determine la matriz de transición en ℝ2 de la base {(1 0 ) , ( 0 1 )} a la base {( 2 3 ) , ( −3 −4 )} 10. Determine la matriz de transición en ℝ2 de la base {(3 1 ) , ( −2 2 )} a la base {( 2 3 ) , ( −3 −4 )} 11. Dados los siguientes conjuntos de vectores 𝐵1 = {(1,0), (0,1)} y 𝐵2 = {(1,3), (−1,2)}, pruebe que son bases de ℝ2 y determine la matriz de transición de 𝐵1 a 𝐵2. 12. Sean 𝐵1 = {( 5 −2 ) , ( 2 −4 )} y 𝐵2 = {( 3 3 ) , ( −1 2 )} dos bases en ℝ2. Si [𝑥]𝐵1 = ( −2 1 ), Determine la matriz de transición y además, exprese 𝑥 en términos de los vectores de 𝐵2. BIBLIOGRAFÍA: N° CÓDIGO AUTOR TITULO AÑO 1 512.5 POOL LAY, DAVID Algebra Lineal: para cursos con enfoque por competencias PRIMERA EDICIÓN, 2013 2 GROSMAN, STANLEY I. Algebra Lineal SÉPTIMA EDICIÓN, 2012
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