Apuntes algebra lineal y geometria vega (53)

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2.5. CAMBIOS DE BASE Y MATRICES EQUIVALENTES 49
referidas a distintas bases. Para ello, y previamente, se estudia la matriz asociada a la composición
de aplicaciones lineales (que tambien es una aplicación lineal).
Proposición 2.5.1
Sean V , W y U K–espacios vectoriales, y BV , BW y BU bases de V , W , y U respectivamente. Si
f : V ! W y g : W ! U son aplicaciones lineales tales que MBV ,BW (f) = A y MBW ,BU (g) = B,
entonces MBV ,BU (g � f) = BA
Una primera aplicación de la proposición anterior aparece en la siguiente afirmación:
Sea A una matriz m⇥n, B una matriz p⇥m y BA la matriz producto. Se tiene entonces
que rango(BA)  rango(A). ¿Puedes demostrarlo?
El siguiente ejemplo motiva la consideración de los cambios de base: el estudio de la relación entre
las coordenadas de un mismo vector respecto de distintas bases.
Ejemplo 2.5.1
Sea f : R3 ! R4 la aplicación lineal definida por f(x, y, z) = (x� 2y � 3z, x� y � 2z, x+ 2y, x+ z).
La matriz asociada a f respecto de las bases canónicas en ambos espacios es
A =
0
BB@
1 �2 �3
1 �1 �2
1 2 0
1 0 1
1
CCA
Si en R3 consideramos la base
B = {(1, 2, 1), (2, 1, 0), (1, 0, 0)}
y en R4 la base
B0 = {(1, 1, 0, 0), (1,�1, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0)},
la matriz asociada a f respecto dichas bases es
A0 =
0
BBBBBB@
�92
1
2 1
�212 �
1
2 0
2 2 1
5 4 1
1
CCCCCCA
El estudio de la relación que existe entre estas dos matrices que representan la misma aplicación lineal
pero respecto de distintas bases es el objeto del resto de esta sección. La clave se encontrará en la
relación que existe entre las coordenadas de un mismo vector respecto de distintas bases.
2.5.1 Cambios de Base
Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y B0 = {v01, v02, . . . , v0n} bases de un K–espacio vectorial V . Si (x1, x2, . . . , xn)
y (x01, x
0
2, . . . , x
0
n) son las coordenadas de un vector v 2 V respecto de B y B0 respectivamente, ¿qué
relación hay entre dichas coordenadas? Si IV : V ! V es la aplicación identidad y P = MB0,B(IV ),
teniendo en cuenta la ecuación matricial de una aplicación lineal, se verifica que
0
BB@
x1
x2
...
xn
1
CCA = P
0
BB@
x01
x02
...
x0n
1
CCA