Álgebra Lineal Mora (119)

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Álgebra lineal
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Ejercicio 4.3.5. Sean V y W dos espacios vectoriales fi nitamente generados. Demues-
tre que V � W ⇔ dim (V) � dim (W).
Ejercicio 4.3.6. Si T : Rn → Rm es una transformación lineal, de acuerdo con los 
ejercicios 13 y 14, página 146, encontrar RT se reduce a resolver sistemas de ecuaciones 
lineales. Explique esto.
4.4. Matrices y transformaciones lineales
En esta sección estableceremos una relación estrecha entre transformaciones lineales 
y matrices. También probaremos un resultado importante para matrices: si A es una 
matriz m � n, entonces el espacio generado por las columnas y el espacio generado por 
las fi las tienen la misma dimensión. A este número común le llamaremos el rango de A.
Sabemos que una transformación lineal queda completamente determinada en 
una base, teorema 4.1.2, página 128. Si T : V → W es una transformación lineal, {α1, α2, 
..., αn} y {β1, β2, ..., βm} son bases de V y W respectivamente, entonces para cada j � 1, ..., 
n, T(αj) se representa como combinación lineal de los elementos de la base {β1, β2, ..., 
βm}, es decir, existen escalares a1j, a2j, ..., amj, únicos, tales que:
 T(αj) � a1jβ1 	 a2jβ2 	 · · · 	 amjβm (4.10)
Los escalares aij solamente dependen de la transformación lineal y de las bases ele-
gidas, con ellos formamos la matriz:
A[α,β] � 
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
am1 am2 · · · amn
· · ·
Defi nición 4.4.1. La matriz A[α, β] se llama la matriz asociada a la transformación T 
respecto a las bases {α1, α2, ..., αn} y {β1, β2, ..., βm}. Si no hay lugar a confusión en cuanto a 
las bases, suprimiremos el subíndice de la matriz asociada a una transformación.
Ejemplo 4.4.1. Sea T : R2 → R5 dada por T(x, y) � (2x 	 y, x � y, 4x � 3y, x, y). Encuen-
tre la matriz asociada a T respecto a las bases canónicas.
Desarrollo. Para encontrar la matriz asociada a T respecto a las bases canónicas, 
la evaluamos en e1 � (1, 0) y en e2 � (0, 1), encontrándose combinaciones lineales en 
términos de la base canónica de R5. Los coefi cientes que aparecen en T(e1) forman la 
primera columna y los de T(e2) forman la segunda columna. Se tiene:
 T(1, 0) � (2, 1, 4, 1, 0)
 � 2(1, 0, 0, 0, 0) 	 (0, 1, 0, 0, 0) 	 4(0, 0, 1, 0, 0) 	 (0, 0, 0, 1, 0) 	 0(0, 0, 0, 0, 1)
y
 T(0, 1) � (1, �1, �3, 0, 1)
 � (1, 0, 0, 0, 0) � (0, 1, 0, 0, 0) � 3(0, 0, 1, 0, 0) 	 0(0, 0, 0, 1, 0) 	 (0, 0, 0, 0, 1)
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	Álgebra Lineal
	Capítulo 4 Transformaciones lineales y matrices
	4.4. Matrices y transformaciones lineales