atomo_de_hidrogeno

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Fundamentos de Química Teórica 
© Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2003. 
EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO: UNA 
SOLUCIÓN EXACTA DE LA ECUACIÓN DE 
SCHRÖDINGER 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 sistema real sistema modelo 
M = masa nuclear m
Mm
M
�
�
�



+
=µ 
m = masa del electrón 
 
El átomo de hidrógeno está compuesto por un núcleo y un electrón. La 
evidencia experimental es que el núcleo y el electrón tienen cada uno su 
propia masa M y m, respectivamente, y un movimiento independiente 
aunque se perturban mutuamente. Una representación esquemática es la 
del sistema real en la figura anterior. 
 
La mayor complejidad del átomo de hidrógeno para la aplicación de la 
ecuación de Schrödinger es la presencia de las dos partículas (el núcleo 
y el electrón). Por ello es preciso crear un sistema modelo (ver figura) 
donde se considera un núcleo de masa infinita y el electrón con una 
masa µ que se conoce como masa reducida. 
 
Otra complejidad es que se trata de un sistema tridimensional, pero esta 
es preciso tenerla en cuenta en todo el desarrollo. 
 
M 
m ∞
µ
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Consideraremos un potencial de una partícula cargada de masa µ con 
respecto a un núcleo de carga opuesta y masa ∞: 
( )
222
2
4
,,
zyx
ZezyxVV
o ++
−==
πε
 
lo que daría una expresión clásica para la energía total del sistema: 
( ) ( ) EzyxVppp zyx =+++ ,,1 222µ 
Para trabajar en mecánica cuántica reemplazamos las magnitudes 
dinámicas px, py, pz y E por sus operadores diferenciales y queda la 
ecuación de operadores: 
( )
t
izyxV
zyx ∂
∂=+






∂
∂+
∂
∂+
∂
∂− �� ,,
2 2
2
2
2
2
22
µ
 
Obsérvese que la componente potencial no varía de la forma clásica a la 
cuántica. 
 
 
Usaremos la ecuación de Schrödinger para encontrar la función de 
onda ( )tzyx ,,,Ψ de este sistema: 
( )
t
iV
t
izyxV
zyx
∂
Ψ∂=Ψ+Ψ∇−
∂
Ψ∂=Ψ+






∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂−
�
�
�
�
2
2
2
2
2
2
2
22
2
,,
2
µ
µ
 
al aplicar el operador laplaciano 2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇ . 
 
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Desarrollo de la solución para el átomo de 
hidrógeno: 
 
Haciendo una separación de variables inicial, dado que el potencial no 
depende del tiempo: 
( ) ( ) �
iEt
ezyxtzyx
−
=Ψ ,,',,, ψ 
 
entonces, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para 
el átomo de hidrógeno queda como: 
 
( ) ( ) ( ) ( )zyxEzyxzyxVzyx ,,',,',,,,'
2
2
2
ψψψ
µ
=+∇− � 
 
 
Para la solución de esta ecuación diferencial el preciso separar las 
variables de las tres dimensiones, en tres ecuaciones de una sola 
variable. Ello se logra con coordenadas esféricas mediante una 
transformación lineal tal que 
θ
φθ
φθ
cos
sinsin
cossin
rz
ry
rx
=
=
=
 
y por tanto 
( ) ( )φθψψ ,,,,'ˆ rzyxO = 
donde el valor propio del operador de transformación es evidentemente 
unitario. 
 
Así se simplifica sobre todo al potencial, pues solo depende de la 
distancia al núcleo (coordenada r): 
( )
r
ZerVV
0
2
4πε
−== 
 
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El laplaciano en coordenadas esféricas queda: 
φθφθ
θ
θ
θθφθ rr rrr
r
rr






∂
∂
∂
∂+






∂
∂+





∂
∂
∂
∂≡∇ sin
sin
1
sin
11
22
2
22
2
2
2 
 
Finalmente, la ecuación de Schrödinger en términos de coordenadas 
esféricas queda, en forma general: 
 
( ) ( ) ( ) ( )φθψφθψφθψ
µ
,,,,,,
2
2
2
rErrVr =+∇− � 
 
con una función de onda que debe ser separable o factorable según: 
 
( ) ( ) ( ) ( )φθφθψ ΦΘ= rRr ,, 
 
para lograr una solución viable. 
 
La ecuación expandida queda como: 
( ) ΘΦ=ΘΦ+
ΘΦ














∂
∂
∂
∂+






∂
∂+





∂
∂
∂
∂−
ERRrV
R
rrr
r
rr rr φθφθ θ
θ
θθφθµ
sin
sin
1
sin
11
2 22
2
22
2
2
2
�
 
 
Ejecutando las derivaciones parciales y reordenando adecuadamente: 
 
( )[ ]rVEr
d
d
d
d
dr
dRr
dr
d
Rd
d −−




 Θ
Θ
−




−=Φ
Φ
θµ
θ
θ
θ
θθ
φ
22
2
2
2
2
2
sin2sinsinsin1
�
 
 
Como puede observarse, en esta ecuación cada término contiene solo 
una de las variables, por lo que ya están separadas, y eso facilita la 
solución de la misma. 
 
 
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Las componentes dependientes de las funciones angulares Φ y Θ se 
pueden tratar de forma idéntica al comportamiento de una partícula 
sobre un anillo y una esfera respectivamente. 
 
 
Igualamos ambos términos de esa ecuación a un número ya conocido de 
la solución de la partícula en el anillo y en la esfera 2lm . De esta forma, 
para el caso de Φ tenemos, por una parte, una ecuación diferencial 
sencilla del operador de movimiento angular de un electrón en torno al 
núcleo de hidrógeno dependiente de la variable φ con un valor propio 
2
lm al igual que la partícula en un anillo: 
Φ−=Φ 22
2
lmd
d
φ
 
cuya solución es: 
( ) φ
π
φ l
l
im
m e2
1=Φ . 
 
Esta función sería físicamente la de una partícula orbitando en torno a un 
centro y cuyas condiciones de contorno de que 
( ) ( )π20 Φ=Φ 
solo se satisfacen con valores propios: 
 
�lmz mL l =, donde ,...3,2,1,0=lm 
o sea: ml = 0, ±1, ±2, ... 
 
por lo que los estados de esta función de onda angular Φ están 
determinados por este llamado número cuántico orbital ml. 
 
 
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Reordenando la otra parte de la ecuación: 
 
( )[ ] 




 Θ
Θ
−=−+





θ
θ
θθθ
µ
d
d
d
dmrVEr
dr
dRr
dr
d
R
l sin
sin
1
sin
21
2
2
2
2
2
�
 
 
De nuevo, los dos términos de la ecuación dependen de variables 
diferentes, por lo que los podemos igualar a una constante que por 
conveniencia será l(l+1) y quedarán dos nuevas ecuaciones diferenciales 
de valores y vectores propios. 
 
 
La que depende de la otra componente angular es: 
 
( )Θ+=Θ+




 Θ− 1
sin
sin
sin
1
2
2
llm
d
d
d
d l
θθ
θ
θθ
 
 
que multiplicada en ambos miembros por sin2 θ, y reordenando queda: 
 
( )
Θ






−=




 Θ
Θ+−=




 Θ
2
2
2
22
sin2sinsin
sin)1(sinsin
}
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
IEm
d
d
d
d
llm
d
d
d
d
l
l
 
 
pues coincide exactamente con la solución de los armónicos esféricos en 
la partícula sobre una esfera. 
 
Así, al igual que en la mencionada solución, para la parte angular da el 
número cuántico azimutal l: 
 
( )12 2 += ll
IE
�
 donde l = 0, 1, 2, ... y además lm ≤≤0 
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La función angular del átomo de hidrógeno está dada tambien, entonces, 
por una serie de potencias denominadas polinomios de Legendre: 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )θθ cos!
!
2
12 2
1
,
m
l
l
l
ml Pml
mll
l 





+
−+=Θ 
donde 
( ) ( )
( ) ( ) ( )θθθ
θ
θ
θ
coscos1cos
1cos
cos!2
1cos
022
20
lm
mm
m
l
l
l
l
il
P
dx
dP
d
d
l
P
l
ll
l −=
−=
 
 
 
 
Consecuentemente, los armónicos esféricos constituyen la función 
angular total: 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )θπφθ
φ cos
!
!
4
12,
2
1
,
m
l
im
l
l
ml Peml
mllY
l 





+
−+= 
 
 
 
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La ecuación radial después de igualada a l(l+1), multiplicada en ambos 
términos por R/r2, haciendo el potencial V(r) igual al electrostático entre 
un núcleo con Z cargas positivase y el electrón de carga negativa e, y 
desarrollando la derivada quedó como: 
 
( ) 0122 2
2
22
2
=







 +−






+++ R
r
ll
r
ZeE
dr
dR
rdr
Rd
�
µ 
 
 
En el caso en el que E será negativa, la ecuación puede simplificarse con 
la introducción de un nuevo parámetro n, definido en la relación: 
 
( ) 220
42
24 �n
eZEn πε
µ−= 
 
y una nueva variable x definida por: 
 
x
Ze
nr 2
2
2µ
�= 
 
 
 
Efectuando la sustitución la ecuación queda 
 
( ) 01
4
12
22
2
=


 +−+−++ R
x
ll
x
n
dx
dR
xdx
Rd 
que tiene una solución de la forma 2)(
x
lexxuR
−
= si se cumple que 
l = 0, 1, 2, 3,... con la restricción de que n ≥ l + 1. A n se le conoce como 
número cuántico principal. 
 
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Si en la expresión de la energía se efectúan las constantes y se expresa la 
energía en electrón voltios, queda como: 
 
26.13 −−= nEn 
 
que coincide con la energía de ionización del átomo de hidrógeno para 
n = 1. 
 
 
Restituida la variable r y evaluadas las constantes de integración, la 
solución final de la ecuación diferencial, o sea, la función radial del 
átomo hidrogenoide es: 
 
( )
( )[ ] 


















+
−−= ++
−
0
12
0
3
0
3,
222
!2
!1)( 0
na
ZrLe
na
Zr
na
Z
lnn
lnrR l ln
na
Zrl
ln 
 
donde 




+
+
0
12 2
na
ZrL l ln son polinomios de Lagerre que son diferentes para 
cada n y l, así como a0 es el radio de Bohr dado por 
529.010529.04 102
2
0
0 =⋅==
− m
e
a
µ
πε � Å. 
 
 
Obsérvese que para definir el estado del sistema, dado por la función 
radial y los armónicos esféricos, hacen falta tres números cuánticos n, l y 
ml. No obstante, la energía solo depende del valor de n.