Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas

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Modelado matemático de sistemas 
de fluidos y sistemas térmicos
Saucedo Casti l lo Ana Laura
No. Control: 17060420
Introducción
Los sistemas de fluidos son el medio más versátil para transmitir señales y potencia, los fluidos.
En primer lugar se presentan los sistemas de nivel de líquido que se utilizan frecuentemente en 
los procesos de control. Después se introducen los conceptos de resistencia y capacitancia para 
describir la dinámica de tales sistemas. Entonces se tratan los sistemas neumáticos. Estos 
sistemas se emplean mucho en la automatización de la maquinaria de producción y en el campo 
de los controladores automáticos. Por ejemplo, tienen un amplio uso los circuitos neumáticos 
que convierten la energía del aire comprimido en energía mecánica, y se encuentran diversos 
tipos de controladores neumáticos en la industria. Después se presentan los servosistemas 
hidráulicos. Éstos son ampliamente utilizados en las maquinarias de las herramientas de 
sistemas, los sistemas de control aéreos, etc.
Sistemas de nivel de líquido
Al analizar sistemas que implican el flujo de líquidos, resulta necesario dividir los regímenes de 
flujo en laminar y turbulento. Si el número de Reynolds es mayor que entre 3000 y 4000, el flujo 
es turbulento. El flujo es laminar si el número de Reynolds es menor que unos 2000. 
Si se introduce el concepto de resistencia y capacitancia para tales sistemas de nivel de líquido, 
es posible describir en formas simples las características dinámicas de tales sistemas.
Si se introduce el concepto de resistencia y capacitancia para tales sistemas de nivel de líquido, 
es posible describir en formas simples las características dinámicas de tales sistemas.
Considérese el sistema de nivel de líquidos 
que aparece en la Figura 4-1(a). En este 
sistema el líquido sale a chorros a través de 
la válvula de carga a un lado del tanque. Si 
el flujo a través de esta restricción es 
laminar, la relación entre el caudal en 
estado estable y la altura en estado estable 
en el nivel de la restricción se obtiene 
mediante
Q=KH
donde Q = caudal del líquido en estado 
estable, m3 /seg 
K = coeficiente, m2/seg 
H = altura en estado estable, m
Para el flujo laminar, la resistencia R1 se 
obtiene como:
La resistencia del flujo laminar es constante 
y análoga a la resistencia eléctrica.
Si el flujo es turbulento a través de la 
restricción, el caudal en estado estable se 
obtiene mediante:
donde Q = caudal del líquido en estado 
estable, m3/seg
K = coeficiente, m2.5/seg
H% altura en estado estable, m
La resistencia Rt para el flujo turbulento se 
obtiene a partir de:
Como de la Ecuación (4-1) se obtiene:
Entonces:
La resistencia se determina mediante una 
gráfica de la curva de la altura frente al caudal, 
basada en datos experimentales y midiendo la 
pendiente de la curva en la condición de 
operación. Un ejemplo de tal gráfica aparece 
en la Figura 4-1(b). En la figura, el punto P es el 
punto de operación en estado estable. La línea 
tangente a la curva en el punto P intersecta la 
ordenada en el punto (0, -H). Por tanto, la 
pendiente de esta línea tangente es 2H/Q. 
Como la resistencia Rt en el punto de 
operación P se obtiene mediante 2H/Q, la 
resistencia Rt es la pendiente de la curva en el 
punto de operación.
Considérese la condición de operación en la 
vecindad del punto P. Se define como h una 
desviación pequeña de la altura a partir del 
valor en estado estable y como q el pequeño 
cambio correspondiente del flujo. A 
continuación, la pendiente de la curva en el 
punto P está dada por:
La aproximación lineal se basa en el hecho de 
que la curva real no difiere mucho de su línea 
tangente si la condición de operación no varía 
mucho. La capacitancia C de un tanque se 
define como el cambio necesario en la 
cantidad de líquido almacenado, para producir 
un cambio de una unidad en el potencial 
(altura). (El potencial es la cantidad que indica 
el nivel de energía del sistema.)
Sistemas de nivel de líquido. Considérese 
el sistema que aparece en la Figura 4.1(a). 
Las variables se definen del modo siguiente:
Q = caudal en estado estable (antes de que 
haya ocurrido un cambio), m3/seg
qi = desviación pequeña de la velocidad de 
entrada de su valor en estado estable, 
m3/seg
qo = desviación pequeña de la velocidad de 
salida de su valor en estado estable, m3/seg
H = altura en estado estable (antes de que 
haya ocurrido un cambio), m
h = desviación pequeña de la altura a partir 
de su valor en estado estable, m
Sistemas de nivel de líquido con 
interacción. Considérese el sistema que 
aparece en la Figura 4-2. En este sistema 
interactúan los dos tanques. Por tanto, la 
función de transferencia del sistema no es 
el producto de las dos funciones de 
transferencia de primer orden.
En lo sucesivo, sólo se supondrán 
variaciones pequeñas de las variables a 
partir de los valores en estado estable. 
Usando los símbolos definidos en la Figura 
4-2, se obtienen las ecuaciones siguientes 
para este sistema:
• Si q se considera la entrada y q2 la 
salida, la función de transferencia del 
sistema es:
Es instructivo obtener la Ecuación (4-7), función de transferencia de los sistemas que 
interactúan, mediante una reducción del diagrama de bloques. A partir de las Ecuaciones (4-3) a 
(4-6), se obtienen los elementos del diagrama de bloques, tal como aparece en la Figura 4-3(a). 
Si se conectan las señales de manera adecuada, se puede construir un diagrama de bloques, 
como el de la Figura 4-3(b). Es posible simplificar este diagrama de bloques, tal como aparece en 
la Figura 4-3(c). Simplificaciones adicionales llevan a cabo en las Figuras 4-3(d) y (e). La Figura 4-
3(e) es equivalente a la Ecuación (4-7).
Sistemas neumáticos
Las últimas décadas han visto un gran desarrollo de los controladores neumáticos de baja 
presión para sistemas de control industrial, que en la actualidad se usan ampliamente en los 
procesos industriales. Entre las razones para que estos controladores resulten atractivos están 
que son a prueba de explosiones, son sencillos y son fáciles de mantener.
Resistencia y capacitancia de los sistemas de presión. Muchos procesos industriales y 
controladores neumáticos incluyen el flujo de un gas, que puede ser aire, en recipientes a 
presión conectados a través de tuberías.
presión conectados a través de tuberías. 
Considérese el sistema a presión de la Figura 
4-4(a). El caudal del gas a través de la 
restricción es una función de la diferencia de 
presión del gas pi-po. Tal sistema de presión se 
caracteriza en términos de una resistencia y 
una capacitancia.
La resistencia R del flujo de gas se define 
del modo siguiente:
Calculando la pendiente de la curva en una 
condición de operación determinada, como 
se aprecia en la Figura 4-4(b). La 
capacitancia del recipiente a presión se 
define mediante:
La capacitancia C se obtiene como:
Sistemas de presión. Considérese el sistema de 
la Figura 4-4(a). Si sólo se suponen 
desviaciones pequeñas en las variables a partir 
de sus valores en estado estable respectivos, 
este sistema se considera lineal.
Para valores pequeños de pi y po, la resistencia 
R obtenida mediante la Ecuación (4-8) se 
vuelve constante y se escribe como:
La capacitancia C se obtiene mediante:
Si pi y po se consideran la entrada y la salida, 
respectivamente, la función de transferencia 
del sistema es:
Amplificadores neumáticos de tobera-
aleta.
La Figura 4-5(a) muestra un diagrama 
esquemático de un amplificador neumático de 
tobera-aleta. La fuente de potencia para este 
amplificador es un suministro de aire a una 
presión constante. El amplificador de tobera-
aleta convierte los cambios pequeños en la 
posición de la aleta en cambios grandes en la 
presión trasera de la tobera. Por tanto, una 
salida de energía grande se controla por medio 
de la pequeña cantidad de energía necesaria 
para posicionar la aleta.
La Figura 4-5(b) contiene una curva típica que 
relaciona la presióntrasera Pb de la tobera con 
la distancia X tobera-aleta. La parte con gran 
inclinación y casi lineal de la curva se utiliza en 
la operación real del amplificador de tobera-
aleta. Debido a que el rango de los 
desplazamientos de la aleta está limitado a un 
valor pequeño, también es pequeño el cambio 
en la presión de salida, a menos que la curva 
esté muy inclinada.
Relés neumáticos. En la práctica, en un controlador neumático, el amplificador de tobera-
aleta actúa como el amplificador de primera etapa y el relé neumático como el amplificador 
de segunda etapa. El relé neumático es capaz de manejar un flujo de aire grande
Obsérvese que algunos relés neumáticos 
funcionan en acción inversa. Por ejemplo, el 
relé de la Figura 4-7 es un relé de acción 
inversa. En él, conforme aumenta la presión 
trasera de la tobera Pb, la válvula de esfera es 
impulsada hacia el asiento inferior, por lo cual 
disminuye la presión de control Pc. Por 
consiguiente, se trata de un relé de acción 
inversa.
Controladores neumáticos 
proporcionales (de tipo fuerza-distancia).
En la industria se usan dos tipos de controladores neumáticos, el denominado de fuerza-
distancia y el de fuerza-balance. Sin tener en cuenta lo distintos que pueden parecer los 
controladores neumáticos industriales, un estudio cuidadoso mostrará la estrecha similitud en 
las funciones del circuito neumático. Aquí se considerarán controladores neumáticos del tipo de 
fuerza-distancia.
Controladores neumáticos 
proporcionales (del tipo fuerza-balance).
La Figura 4-10 muestra un diafragma 
esquemático de un controlador neumático 
proporcional de fuerza-balance. Los 
controladores de fuerza-balance se usan 
ampliamente en la industria. Se los conoce 
como controladores apilados. El principio de 
operación básico no es diferente del que 
emplea el controlador de fuerza-distancia. La 
principal ventaja del controlador fuerza-
balance es que elimina muchos enlaces 
mecánicos y uniones de pivote, con lo cual 
reduce los efectos de la fricción.
Válvulas con actuador neumático.
Considérese el diagrama esquemático de una válvula con actuador 
neumático como la de la Figura 4-11. Supóngase que el área del 
diafragma es A. Suponga también, que cuando el error es cero la 
presión de control es igual a P1c y el desplazamiento de la válvula 
es igual a X1.
La función de transferencia entre x y pc se 
convierte en:
Principio básico para obtener una acción 
de control derivativa
El principio básico para generar la acción de 
control que se requiere es insertar el inverso 
de la función de transferencia deseada en la 
trayectoria de realimentación. Para el sistema 
de la Figura 4-12, la función de transferencia 
en lazo cerrado es:
Obtención de una acción de control 
neumática proporcional-integral.
Obtención de una acción de control 
neumática proporcional-integral-derivativa.
Una combinación de los controladores neumáticos de las Figuras 4-14(a) y 4-15(a) produce un 
controlador proporcional-integral-derivativo, conocido como controlador PID. La Figura 4-16(a) 
muestra un diagrama esquemático de dicho controlador. La Figura 4-16(b) muestra un diagrama 
de bloques de este controlador en el supuesto de variaciones pequeñas en las variables.
Sistemas hidráulicos
Servosistema hidráulico. La Figura 4-17(a) 
muestra un servomotor hidráulico. Es 
esencialmente un amplificador de potencia 
hidráulico controlado por una válvula piloto y 
un actuador. La válvula piloto es balanceada, 
en el sentido de que las fuerzas de presión que 
actúan sobre ella están balanceadas. Una 
salida de potencia muy grande se controla 
mediante una válvula piloto, que se posiciona 
con muy poca potencia.
dráulica grande con el propósito de mover 
una carga. En la Figura 4-17(b) se tiene un 
diagrama ampliado del área del orificio de 
la válvula. Se definen las áreas de los 
orificios de la válvula en los puertos 1, 2, 3, 
4, como A1, A2, A3, A4, respectivamente. 
Asimismo, se definen los caudales a través 
de los puertos 1, 2, 3, 4, como q1, Capítulo 
4. Modelado matemático de sistemas de 
fluidos y sistemas térmicos 125 
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www.elsolucionario.net q2, q3, q4, 
respectivamente. Obsérvese que, como la 
válvula es simétrica, A1% A3 y A2% A4. Si se 
supone que el desplazamiento x es 
pequeño, se obtiene:
donde k es una constante
Además, se supondrá que la presión de 
retorno po en la línea de retorno es pequeña 
y, por tanto, que puede pasarse por alto. 
Entonces, remitiéndose a la Figura 4-17(a), los 
caudales a través de los orificios de la válvula 
son
Para la válvula simétrica de la Figura 4-17(a), la 
presión en cada lado del pistón de potencia es 
(1/2)ps cuando no se aplica una carga, o Bp = 
0. Conforme se desplaza la válvula de bobina, 
la presión en una línea aumenta, a medida que 
la presión en la otra línea disminuye en la 
misma cantidad. En términos de ps y Bp, se 
vuelve a escribir el caudal q obtenido 
mediante la Ecuación (4- 25), como:
Controladores hidráulicos integrales.
El servomotor hidráulico de la Figura 4-19 es un 
amplificador y actuador de la potencia hidráulica, 
controlado por una válvula piloto. De forma similar al 
servosistema hidráulico que se muestra en la Figura 4-
17, para masas de carga insignificantes, el servomotor 
de la Figura 4-19 funciona como un integrador o un 
controlador integral. Dicho servomotor constituye la 
base del circuito de control hidráulico.
La transformada de Laplace de esta última ecuación, 
suponiendo una condición inicial nula, produce:
donde K = K1/(Ao). Por ende, el servomotor hidráulico 
de la Figura 4-19 funciona como un controlador 
integral.
Controladores hidráulicos 
proporcionales.
Se ha mostrado que el servomotor de la Figura 
4-19 funciona como un controlador integral. 
Este servomotor se modifica en un controlador 
proporcional mediante un enlace de 
realimentación. Considérese el controlador 
hidráulico de la Figura 4-20(a). El lado 
izquierdo de la válvula piloto está unido al lado 
izquierdo del pistón de potencia mediante un 
enlace ABC. Este enlace es flotante y, por 
tanto, no se mueve alrededor de un pivote fijo.
En este caso, el controlador opera del modo siguiente. Si la 
entrada e mueve la válvula piloto a la derecha, se 
descubrirá el puerto II y el aceite a alta presión fluirá a 
través del puerto II hacia el lado derecho del pistón de 
potencia e impulsará éste a la izquierda. El pistón de 
potencia, al moverse a la izquierda, arrastrará el enlace de 
realimentación ABC con él, con lo cual moverá la válvula 
piloto a la izquierda. Esta acción continúa hasta que el 
pistón del piloto cubre otra vez los puertos I y II. En la 
Figura 4-20(b) se dibuja un diagrama de bloques del 
sistema. La función de transferencia entre Y(s) y E(s) se 
obtiene mediante:
Amortiguadores.
El amortiguador de la Figura 4-21(a) funciona 
como un elemento de diferenciación. 
Supóngase que se introduce un 
desplazamiento escalón a la posición del 
pistón y. En este caso, el desplazamiento z 
iguala momentáneamente a y. Sin embargo, 
debido a la fuerza del resorte, el aceite fluirá a 
través de la resistencia R y el cilindro regresará 
a la posición original. Las curvas y frente a t y z 
frente a t se muestran en la Figura 4-21(b).
Como el caudal a través de la restricción 
durante dt segundos debe ser igual al cambio 
en la masa del aceite del lado izquierdo del 
pistón durante los mismos dt segundos, se 
obtiene:
El caudal q se obtiene mediante:
Como el caudal a través de la restricción 
durante dt segundos debe ser igual al cambio 
en la masa del aceite del lado izquierdo del 
pistón durante los mismos dt segundos, se 
obtiene:
donde ρ=densidad, lb/ In3. (Se supone que el 
fluido es incompresible o que ρ=constante.) 
Esta última ecuación puede reescribirse como:
Obtención de una acción de control 
hidráulica proporcional-integral.
La Figura 4-22(a) muestra un diagrama 
esquemático de un controlador hidráulico 
proporcional-integral. La Figura 4-22(b)es un 
diagrama de bloques del mismo. La función de 
transferencia Y(s)/E(s) se obtiene mediante:
Obtención de una acción de control 
hidráulica proporcional-derivativa.
La Figura 4-23(a) muestra un diagrama 
esquemático de un controlador hidráulico 
proporcional derivativo. Los cilindros están 
fijos en el espacio y los pistones se mueven. 
Para este sistema, obsérvese que:
Obtención de una acción de control hidráulica 
proporcional-integral-derivativa.
La Figura 4-24 muestra un diagrama 
esquemático de un controlador hidráulico 
proporcional-integral-derivativo. Es una 
combinación de un controlador proporcional-
integral y un controlador proporcional-
derivativo. Si los dos amortiguadores son 
idénticos, la función de transferencia Z(s)/Y(s) 
se puede obtener como:
En la Figura 4-25 se muestra un diagrama de 
bloques para este sistema. La función de 
transferencia Y(s)/E(s) se puede obtener 
como:
Donde:
problemas
B-4-2. Considere el sistema de control de nivel de líquido de la Figura 4-43. El controlador es
de tipo proporcional. El punto de funcionamiento del controlador está fijo. Dibuje un diagrama
de bloques del sistema suponiendo que los cambios en las variables son pequeños. Obtenga la
función de transferencia entre el nivel del segundo tanque y la entrada de perturbación qd.
Obtenga el error en estado estacionario cuando la perturbación qd es un escalón unidad.
Solución
La función de transferencia entre H(s) y Qd(s) 
se puede obtener como:
𝐻 𝑠
𝑄𝑑 𝑠
=
𝑅2 𝑅1𝐶1𝑠+1
𝑅1𝐶1𝑠+1 𝑅2𝐶2𝑆+1 +𝑘𝑅2
A partir de esta ecuación, se puede obtener la 
respuesta H a la entrada de perturbación 
Qd(s). Para la entrada de perturbación de 
paso unitario Qd(s), obtenemos:
ℎ2 ∞ = lim
𝑠→0
𝑠𝐻2 𝑠 =
𝑅2
1+𝑘𝑅2
por lo tanto,
error de estado estable = 
−𝑅2
1+𝑘𝑅2
El sistema exhibe compensación en la 
respuesta a una entrada de perturbación de 
paso de unidad.
B-4-7. Considere el controlador 
neumático de la Figura 4.48. ¿Qué 
clase de acción de control produce 
este controlador? Suponga que el 
relé neumático tiene la característica 
de que pc=Kpb, donde K>0.
Solución
𝑃𝐶 𝑠
𝐸 𝑠
=
𝑎
𝑎 + 𝑏
𝑘1𝑘
1 + 𝑘1𝑘
𝑎
𝑎 + 𝑏
⋅
𝐴
𝑘
⋅
𝑅2𝐶2𝑆
𝑅2𝐶2 + 1
⋅
1
𝑅1𝐶1𝑠 + 1
Si K1K>>1, donde:
𝑃𝐶 𝑠
𝐸 𝑠
=
𝑏𝑘
4𝐴
𝑅2𝐶2𝑆 + 1
𝑅2𝐶2S
𝑅, 𝐶1𝑆 + 1
𝑃𝐶 𝑠
𝐸 𝑠
=
𝑏𝑘
4𝐴
1 +
𝑅1𝐶1
𝑅2𝐶2
+
1
𝑅2𝐶2
+ 𝑅1𝐶1𝑆
B-4-9. La Figura 4-51 es un diagrama 
esquemático de un sistema de 
control de elevación de aeronaves. 
La entrada al sistema es el ángulo de 
deflexión h de la palanca de control y 
la salida es el ángulo de elevación h . 
Suponga que los ángulos h y h son 
relativamente pequeños. Demuestre 
que, para cada ángulo h de la 
palanca de control, existe un ángulo 
de elevación h correspondiente (en 
estado estable).
Solución
Del diagrama de bloques obtenemos la función de 
transferencia Y(S)/ϴ(S) de la siguiente manera:
𝑌 𝑠
𝜃 𝑠
=
𝑙
𝑏
𝑎+𝑏
∗
𝑘
𝑠
1+
𝑘
𝑠
∗
𝑎
𝑎+𝑏
=
𝑙𝑘𝑏
𝑠 𝑏+𝑎 +𝑎𝑘