P FERNANDEZ - ALETAS PROBLEMAS

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PROBLEMAS SOBRE 
PROTUBERANCIAS Y ALETAS
pfernandezdiez.es
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-79
IV.1.- Al realizar un estudio de calefacción se llegó a la conclusión de que era necesario uti-
lizar aletas anulares de radio en la base rb = 30 cm y temperatura en la base Tb=120°C, para 
mantener un fluido exterior a 20°C, de forma que cada aleta disipe 225,2 Kcal/hora, con un 
rendimiento de aleta del 40%. El material de las aletas tiene una conductividad térmica, 
k=50 Kcal/h.m°C
Determinar el radio exterior de la aleta y su espesor, sabiendo que el coeficiente de película 
es hcF = 5,6 Kcal/h.m2°C
____________________________________________________________
RESOLUCIÓN
Flujo de calor disipado por la aleta anular
Q = π (1 - α an2 ) k e Φ b β an2 G2 (α anβ an ) = α an = 
rb
re
 ; β an = 
2 re2 h C ext
k e 
 Φ b = Tb - TF = 120 - 20 = 100ºC
 =
 
= π (1 - rb
2
re2
) k e Φb 2 re
2 hcF
k e G2(αan.βan) = π (re
2 - rb2) Φb 2 hcF G2(αan.βan)
Despejando re:
re2 = rb
2 + Q2 π Φ b h cF G 2 (α anβ an )
 = 0,32 m 2 + 225,4 Kcal/h
2 π x 100ºC x 5,6 Kcal/hm 2 ºC x 0,4
 = 0,25 m2 ⇒ re = 0,5 m
A partir de la ecuación: βan = 2 re
2 hcF
k e , se obtiene el espesor de la aleta:
e = 2 re
2 hcF
k βan
2
 = 2 x 0,5
2 x 5,6
50 βan
2
 = 0,056
βan
2
Como: µ = G2(αan.βan), es el rendimieto de la aleta anular, mediante la gráfica de G2 se obtiene:
α an = 
rb
re
 = 0,30,5 = 0,6 
G2 (α anβan ) = 0,4
⎫ 
⎬ 
⎭ 
 ⇒ β an = 5,4 ⇒ e = 
0,056
5,42
 = 0,00192 m
*********************************************************************************************
IV.2.- Una varilla de aluminio de sección transversal rectangular de 2 mm de espesor y 80 mm de anchura, (aleta 
de la culata de un motor, extremo libre aislado), tiene en su base de contacto con la culata una temperatura de 
250°C.
Determinar
a) La temperatura en su extremo libre situado a 5 cm de la base, si se 
supone que la temperatura TF del medio ambiente es de 15°C.
b) La cantidad de calor disipada al exterior y la eficiencia de la aleta
Otros datos: k = 200 Kcal/mh°C ; hcF = 40 Kcal/m2h°C
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RESOLUCIÓN
a) Temperatura en el extremo libre de la aleta situado a 5 cm de la base, si se supone que la temperatura TF del 
medio ambiente es de 15°C..- Protuberancia paralelepipédica con su extremo libre térmicamente aislado ξ = 1
€ 
TL = TF + 
Tb - TF
Ch Bi
 = Bi = hcF p L
2
k S
 = 40 (Kcal / hm
2 ���C) {2 (80 + 2).10-3} m x 0,052m2
200 (Kcal / hm ���C) (2 x 80).10-6m
 = 0,5125 =
= 15 + 250 - 15
Ch 0,5125
 = 200ºC
b) Calor disipado al exterior
Q = k S Tb - TFL Bi Th Bi = 200 
Kcal
h m ºC (2 x 80).10
-6 m 2 (250 - 15)ºC0,05 m 0,5125 Th 0,5125 = 66,14 
Kcal
hora
Eficiencia de la aleta µ = Th Bi
Bi
 = Th 0,5125
0,5125
 = 0,858
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-80
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IV.3.- Una protuberancia de acero inoxidable k=20 W/m.K tiene una sección recta circular con un diámetro de 2 
cm y una longitud de 10 cm. La protuberancia está unida a una pared que tiene una temperatura de 300°C. El 
fluido que la rodea tiene una temperatura ambiente de 50°C y el coeficiente de película es de 10 W/m2.°K. 
El extremo de la protuberancia está aislado térmicamente. Con estos datos determinar: 
 
a) El calor disipado por unidad de tiempo desde la protuberancia
b) La temperatura en el extremo de la protuberancia
c) La transferencia térmica por unidad de tiempo desde el área de la pared 
cubierta por la protuberancia si ésta no se utilizase
d) La transferencia de calor por unidad de tiempo desde una protuberancia 
con la misma geometría si el acero inoxidable de ésta se sustituye por un 
material ficticio de conductividad térmica infinita
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Calor disipado por unidad de tiempo desde la protuberancia con su extremo libre térmicamente aislado
Q = k S Tb - TFL Bi Th Bi = 
 S = π d
2
4 = 
π x 0,02 2
4 = 10
-4 π m 2 
 Bi = h cF p L
2
k S = 
10 (π x 0,02) x 0,12
20 x 10-4 π
 = 1 
 =
= 20 x 10
-4 π
0,1 (300 - 50) 1 Th 1 = 11,96 W
b) Temperatura en el extremo de la protuberancia, ξ = 1
Φ(ξ) = 
Ch { Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
 ξ = 1 ⎯ → ⎯ Φ(1) = Ch { 1 (1 - 1)}
Ch 1
 = 11,543 = 0,648 = 
TL - TF
Tb - TF
 = TL - 50300 - 50 ⇒ TL = 212ºC 
c) Transferencia térmica por unidad de tiempo desde el área de la pared cubierta por la protuberancia si ésta no se 
utilizase.- El coeficiente de transmisión de calor en la superficie de la pared, cuando la protuberancia está en su sitio, 
le podemos suponer igual al de la protuberancia, por lo que:
Q = hcF S (Tb - TF) = hcF π R2 (Tb - TF) = 10 Wm2.ºC
 x (π x 10-4 m2) x (300 - 50)ºC = 0,785 W
La presencia de la protuberancia aumenta la disipación de calor procedente del área de la superficie cubierta por la 
misma, siendo la mejora:
Mejora = 11,96 - 0,7850,785 
 x 100 = 1423,5 %
d) Transferencia de calor por unidad de tiempo desde una protuberancia con la misma geometría, si el acero ino-
xidable de ésta se sustituye por un material ficticio de conductividad térmica infinita.- Para un material con k = ∞, 
Bi = 0, por lo que la protuberancia sería isoterma a Tb.
La transferencia de calor por unidad de longitud desde la protuberancia ideal es:
Qideal = h cF A (Tb - TF ) = h cF (π d L) (Tb - TF ) = 10 Wm 2 ºC
 (π x 0,02 x 0,1) m 2 (300 - 50)ºC = 15,71 W
que es el calor máximo posible que se podría disipar en la unidad de tiempo por la protuberancia ideal.
La protuberancia de acero inoxidable disipa: 15,71 - 11,9615,71 
x100 = 24%
que es la cuarta parte de lo que disipa la protuberancia ideal
La eficiencia de la protuberancia es: µ = qrealqideal = 
11,96 x 100
15,71 = 76,13%
*********************************************************************************************
IV.4.- Se desea construir un radiador de tubo con aletas y para ello se utiliza una tubería de cobre puro de diáme-
tro exterior 14 mm y diámetro interior 10 mm con aletas de aluminio puro de espesor 0,2 mm y radio exterior 28 
mm. Las aletas están separadas entre planos medios una distancia de 5 mm. El radiador tiene que disipar una car-
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-81
ga térmica de 750 Kcal/hora cuando trabaja con agua a presión a la temperatura de 120°C, encontrándose el aire 
del medio ambiente a 20°C. 
El valor del coeficiente de película hce (aleta-aire) es 25 Kcal/h.m2°C, mientras que el valor del coeficiente de pelí-
cula hci para el fluido que circula por el interior del tubo es de 1000 Kcal/h.m2.°C. 
Se sabe que la conductividad térmica del cobre es kcobre= 326 Kcal/h.m.°C 
 y la del aluminio kaluminio= 197 Kcal/h.m.°C. 
Determinar
a) La temperatura en la base de la aleta
b) El nº de aletas y la longitud del radiador necesaria para conseguir la mencionada disipación de calor 
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
 
Q = Ti - Tpi1
Ai hci
 = Tpi - Tb
ln rbri
2 π kCu a
 = Tb - TFRaletas + Rtubo
 = Tb - TF1
hce (µ Aaletas + Atubo)
a) Temperatura en la base de la aleta
 Llamaremos N al nº total de aletas, y a a la longitud del tubo, de forma que: 0,005 N = a ; N = 200 a
Area de intercambio térmico (aletas + tubo ) = A aletas + A tubo = 2 π (re2 - rb
2 ) N + 2 π rb (a - N e )
Calor disipado el exterior: 
 Q = (µ Aaletas + Atubo) hce (Tb - TF) = [µ 2 π (re2 - rb2) N + 2 π rb (a - N e)] hce(Tb - TF) 
A su vez entre el fluido interior a 120ºC y la base de la aleta se tiene:
Q = 
Ti - Tpi
1
Ai h ci
 = 
Tpi - Tb
1
2 π k Cu a
 ln rbri
 = Ti - Tb
1
A i h ci
 + 12 π kCu a
 ln rbri
 = Ti - Tb
1
2 π ri a hci
 + 12 π k Cu a
 ln rbri
Ti - Tb = 
Q
2 π a (
1
ri h ci
 + 1kCu
 ln rbr i
) = 7502 π a (
1
0,005 x 1000 + 
1
326 ln 
7
5 ) = 
24
a ⇒ Tb = 120 - 
24
a
Qaletas = 2 π (re2 - rb2) Φb N hce ηan = 2 π (re2 - rb2) Φb N hcF G2(αan βan) =
= 
 α an = 
rb
re
 = 728 = 0,25 
 β an = 
2 re2 h C ext
k e = 
2 x 0,0282 x 25
197 x 0,0002 = 0,9974 
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎫ 
⎬ 
⎪ 
⎭ 
⎪ 
 ⇒ G2 (α anβan ) = 0,74 
Tb = 120 - 24a ; Φ b = Tb - TF = 120 - 
24
a - 20 = 100 - 
24
a ; 0,005 N = a ⇒ N = 200 a 
 = 
= 2 π (0,0282 - 0,0072 ) (100 - 24a ) x 200 a x 25 x 0,74 = 1708,1 a - 410,1
Qtubo sin aletas = 2 π rb (a - N e) h ce (Tb - TF ) = 2 π rb (a - 200 a e) h ce (Tb - TF ) =
= 2 π x 0,007 a {1 - (200 x 0,0002)} x 25 (100 - 24a ) = 1,055 a (100 - 
24
a )
Longitud a del radiador:
Q = 750 Kcalhora = (1708,1 a - 410,1) + 1,0555 a (100 - 
24
a ) = 1834,25 a - 435,4 ⇒ a = 0,646 m
Tb = 120 - 240,646 = 82,84ºC ; N = 200 x 0,646 = 129 aletas
*********************************************************************************************
IV.5.- Una aleta anular de perfil rectangular, de acero k = 44 Kcal/h.m.ºC y dimensiones e = 0,5 mm y L = 15 mm, 
se coloca en un tubo de 20 mm de diámetro exterior. La temperatura en la base de la aleta es Tb = 90ºC, la tempe-
ratura del fluido es TF = 20ºC y el coeficiente de película hcF = 100 Kcal/h.m2.ºC
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-82
Determinar
a) La temperatura en el extremo de la aleta y en un radio r = 22 mm
b) La eficacia de la aleta
c) El calor transmitido al fluido desde la aleta
d) El calor transmitido al fluido desde la aleta por unidad de superficie 
__________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Temperatura en el extremo de la aleta:
€ 
Φe
Φb
= K1(m re) I0(m re) + K0(m re) I1(m re)
K1(m re) I0(m rb) + K0(m rb) I1(m re)
 = 
 re = (10 + 15).10
-3 = 25.10-3m
 m = 2 hcF
k e
 = 2 x 100
44 x 0,5.10-3
 = 95,34 
 m rb = 95,34 x 10.10
-3 = 0,9534 ; m re = 95,34 x 25.10
-3 = 2,3836 
 =
= K1 (2,3836) I0 (2,3836) + K 0 (2,3836) I1 (2,3836)K1(2,3836) I0 (0,9534) + K 0 (0,9534) I1 (2,3836)
 = 
 K1 (2,3836) = 0,05456 π/ 2 = 0,08570 
 K 0 (2,3836) = 0,04569 π/2 = 0,07177
 K 0 (0,9534) = 0,4545 ; I0 (0,9534) = 1,2429 
 I0 (2,3836) = 3,0148 ; I1 (2,3836) = 2,2666
 =
= (0,0857 x 3,0148) + (2,2666 x 0,07177)(0,0857 x 1,2429) + (2,2666 x 0,4545) = 0,3704 = 
Textremo - 20
90 - 20 ⇒ Textremo = 45,9ºC
Gráficamente
G1(γ β) = 
 K1(βan) I0(βan) + K0(βan) I1(βan)
 K1(βan) I0(γ βan) + K0(γ βan) I1(βan)
 = Φe
Φb
 = Te - TFTb - TF
 
€ 
Para: 
 βan = m re = 2,3836 
 αan = 
rb
re
 = 10
25
 = 0,4 ⇒ G1(η βan ) = 0,37 ; Te = 20 + (0,37 x 70) = 45,9ºC
€ 
Para: 
 βan = m re = 2,3836 
 αan = 
rb
r
 = 10
22
 = 0,4545 ⇒ G1(η βan ) = 0,40 ; Te = 20 + (0,4 x 70) = 48���ºC
b) Eficiencia de la aleta. µ = k e βan
2 G2(αan βan)
k e βan
2
 = G2(αan βan) = 
 βan = 2,3836 
αan = 0,4 
 = 0,51
De otra forma: 
 L 2 hcFh e = 0,015 
2 x 100
44 x 0,5.10-3
 = 1,43 
 rerb
 = 2510 = 2,5
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎪ 
⎫ 
⎬ 
⎪ 
⎪ 
⎭ 
⎪ 
⎪ 
 ⇒ µ = 0,52
c) El calor transmitido al fluido desde la aleta
Q = π (1 - α an2 ) k e Φ b β an2 G2 (α anβ an ) = π (1 - 0,42 ) x 44 x 0,5.10-3 (90 - 20) x 2,38362 x 0,52 = 12 Kcalh
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-83
Comprobación:
Q = µ Q i = 0,52 hcF 2 A (Tb - TF ) = 0,52 x 100 Kcalh m2 ºC
 x 2 π (252 - 102 ).10-6 (m 2 ) x 70ºC = 12 Kcalhora 
d) El calor transmitido al fluido desde la aleta por unidad de superficie, es el flujo térmico, de valor:
Q
A
 = Q
2 π (252 - 102 ).10-6 m 2
 = 12 Kcal/hora
0,003298 m 2
 = 3568 Kcal
h m 2
 
*********************************************************************************************
IV.6.- Sobre un tubo de una determinada aleación, de 30 mm de diámetro exterior, se desea colocar aletas longitu-
dinales de perfil triangular. La base de estas aletas tiene un espesor de 1,5 mm siendo el espacio vacío entre las 
bases de dos aletas consecutivas de aproximadamente 4 mm. El coeficiente de película para el tubo y las aletas es 
de 25 W/m2°C y la conductividad térmica del material de 75 W/m°C.
Determinar: a) La altura óptima de la aleta
 b) El calor disipado al exterior por metro de longitud de tubería (en Kcal) si la temperatura exterior del tubo 
es de 100°C y la del aire de 25°C, en condiciones de diseño óptimo de la aleta. Mejora obtenida.
c) La temperatura en el centro de gravedad de la aleta y en su vértice.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Altura óptima de la aleta (Se entiende que es la altura del perfil triangular)
bópt = 1,6718 (Ω
2 hcF
k )
1/3
 
Lópt = 1,196 (Ω khcF
)1/3 = 2 Ωbóp
 = 1,196 ( b Lópt k2 hcF
)1/3 = 1,196 ( b k2 hcF
)1/3 Lópt1/3
Lópt2/3 = 1,196 ( b k2 hcF
)1/3 = 1,196 ( 0,0015 x 752 x 25 )
1/3 = 0,1567 ; Lópt = 0,062 m
b) Calor disipado al exterior por metro de longitud de tubería (en Kcal) si la temperatura exterior del tubo es de 
100°C y la del aire de 25°C, en condiciones de diseño óptimo de la aleta:
Q1aleta = - Φb k b 
β t
2 L G 4 (β t ) = 
 Φ b = 100 - 25 = 75ºC 
 β t = 
8 f hcF L2
k b = f = 1{ } = 
8 x 25 x 0,0622
75 x 0,0015 = 2,614 
 G 4 (βt ) = G 4 (2,614) = 0,77
 =
 
= - 75 x 75 x 0,0015 x 2,6142 x 0,062 x 0,77 = - 136,95 
W
m (calor cedido)
N º de aletas: π db = (1,5 + 4) N ⇒ N = 30 π5,5 = 17,3 ⇒ (17 aletas) 
QN aletas = 17 x 136,95 Wm = 2328,15 
W
m
€ 
Calor disipado por el tubo limpio de aletas: Qtubo sin aletas = 2 π rba hcF (Tb - TF ) = 2 π 
0,03
2
 x 1 x 25 x 75 = 176,71 W
m
Fracción de calor disipado por el tubo, cuando lleva aletas:
€ 
Qtubo = a hcF (Tb - TF ) (π db - N b) = 1 x 25 x 75 {0,03 π - (17 x 0,0015)} = 128,9 
W
m
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-84
Calor total disipado al exterior: Q = 128,9 + 2328,15 = 2457 W/m ⇒ Mejora = 2457 - 176,7176,7 100 = 1290%
c) La temperatura en el centro de gravedad de la aleta es: 
Φ cdg
Φ b
 = 
Tcdg - TF
Tb - TF
 = I 0 (2 n x )
I0 (2 n L )
Tcdg = TF + (Tb - TF ) 
I 0 (2 n x )
I0 (2 n L )
 = 25 + 75 I 0 (2 n x )
I0 (2 n L )
 =
= 
 Centro de gravedad: x = 2 L3 = 
2 x 0,062
3 m = 0,0413 m 
 n = 2 f h cF Lk b = f = 1{ } = 
2 x 25 x 0,062
75 x 0,0015 = 5,25
 I0 (2 n L ) = 2 n L = 2 x 5,25 0,062 = 2,6144 { } = I0 (2,6144) = 3,5968 
 I0 (2 n x ) = 2 n x = 2 x 5,25 0,0413 = 2,1338 { } = I 0 (2,1338) = 2,5134 
 = 25 + 75 2,51343,5968 = 77,4ºC
De otra forma
Φ( c .d. g.)
Φ b
 = G 3 (β t η t ) = 
 β t = 2,614 ; ηt = xL = 
2
3 = 0,8185 
 β tη t = 2,614 x 0,8165 = 2,1343
 = G3 (2,1343) = 0,70 = 
T(c.d.g.) - 25
100 - 25 ⇒
T(c.d.g.) = 25 + (75 x 0,7) = 77,5ºC
Temperatura en el vértice de la aleta
Φvértice
Φb
 = Tvértice - TFTb - TF
 = I0(2 n x)
I0(2 n L)
 = 
 Vértice ⇒ x = 0 ; I0(0) = 1 
 I0 (2 n L) = I0(2,6144) = 3,5968 
 = 13,5968 = 0,278
Tvértice = TF + 0,278 (Tb - TF) = 25 + 0,278 x 75 = 45,86ºC
*********************************************************************************************
IV.7.- Un determinado fluido de propiedades: ρ = 0,75 gramos/cm3; cp = 0,35 Kcal/kgºC, se calienta desde 80ºC 
hasta 120ºC, a razón de 50.000 kg/hora. Para mejorar el proceso térmico se utilizan tubos de acero de 20 mm de 
diámetro exterior,de conductividad térmica k = 60 Kcal/h.m.ºC, con aletas longitudinales triangulares del mismo 
material que el tubo, de base 1,5 mm, siendo la distancia entre los centros de sus bases de 4 mm. La temperatura 
media de la base de las aletas se estima en 150ºC en toda la longitud del tubo. El coeficiente medio de película es: 
hCF = 500 Kcal/h.m2.ºC 
Determinar:
a) La longitud óptima de las aletas (Se entiende que es la altura del perfil triangular) y rendimiento 
b) La temperatura en el vértice de las aletas
c) El número de tubos, si se utilizan tubos de 3 metros de longitud
d) El número de tubos a utilizar, si se sustituyen las aletas longitudinales triangulares, por otras aletas trans-
versales triangulares de rendimiento 60%, base 1,5 mm, y distancia entre los centros de sus bases 10 mm, sobre tu-
bos de 3 metros de longitud, manteniendo la longitud óptima del apartado (a) 
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
ALETAS TRIANGULARES LONGITUDINALES
a) Longitud óptima de las aletas : Lópt = 1,196 (Ω khcF
)1/3 = 2 Ωbóp
 = 1,196 ( b Lópt k2 hcF
)1/3 = 1,196 ( b k2 hcF
)1/3 Lópt1/3
Lópt2/3 = 1,196 ( b k2 hcF
)1/3 = 1,196 ( 0,0015 x 602 x 500 )
1/3 = 0,0536 ; Lópt = 0,0124 m = 12,4 mm
Rendimiento de las aletas:
€ 
η = 2 G4 (βt )
βt
 = 
n = 2 f hcF L
k b
 2 x 1 x 500 x 12,41.10
-3
60 x 15.10-3
 = 11,74 
βt = 2 π L = 2 x 11,74 12,41.10
-3 = 2,616 ⇒ G4 (βt ) = 
I1(βt )
I0(βt )
 = I1(2,616)
I0(2,616)
 = 2,799
3,602
 = 0,775 
 =
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-85
 
€ 
= 2 x 0,775
2,616
 = 0,594 = 59,4%
que es un resultado lógico puesto que está construida con dimensiones óptimas y en estas condiciones el rendimiento 
óptimo sabemos es del orden del 60%
b) Temperatura en el vértice de las aletas
Φ vértice
Φ b
 = I 0 (2 n x )
I 0 (2 n L )
 = 
 Vértice: x = 0 ; I 0 (0) = 1
 I 0 (2 n L ) = I 0 (2,616) = 3,6 
 = 13,6 = 0,2776
TF = 80 + 1202 = 100ºC
Tvértice = TF + 0,2776 (Tb - TF) = 100 + 0,2776 x (150 - 100) = 113,88ºC
c) Número de tubos, si tienen 3 metros de longitud
Calor evacuado por una aleta longitudinal por 1 m de longitud de tubería:
q1aleta = µ h cF A (Tb - TF ) = A = 2 x 0,0124 m x 1 m = 0,0248 m 2 = 0,594 x 500 x 0,0248 (150 - 100) = 368,95 Kcalh m
En 3 m de tubo el calor disipado por una aleta longitudinal es: q3m aletas = 368,95 Kcalh m 
x 3 m = 1107 Kcalhora
N º de aletas longitudinales: π d e
(1,5 + 2.5).10-3
 = 15,7 ⇒ 16
Calor evacuado por las aletas en cada tubo de 3 m de longitud = q 3 m aletas x n = 1107 x 16 = 17712 Kcalh
Calor evacuado por la fracción de tubo de 3 m sin aletas = 3 m x{π d e - (16 x 0,0015)} x h cF (150 - 100) = 2912,4 Kcalh
Calor total evacuado por el tubo de 3 m con aletas = 2912,4 + 17712 = 20624,4 Kcalhora
Calor total a disipar: m c p (T1 - T2 ) = 50000 
kg
hora x 0,35 
Kcal
kgºC x (120 - 80)ºC = 700000 
Kcal
hora
N º de tubos de 3 m de longitud = 70000020624,4 = 33,9 ⇒ 34 tubos
ALETAS TRIANGULARES TRANSVERSALES
d) Número de tubos a utilizar, si se sustituyen las aletas longitudinales triangulares, por otras aletas transversales 
triangulares de rendimiento 60%, base 1,5 mm, y distancia entre los centros de sus bases 10 mm, sobre tubos de 3 
metros de longitud, manteniendo la longitud óptima del apartado (a) 
d e = d b + 2 L ópt = 20 + (2 x 12,4) = 44,8 mm
A a = 2 π (re2 - rb
2 ) = 2 π (22,42 - 10 2 )10-6 m 2 = 0,00252 m 2
q1 aleta = µ hcF A (Tb - TF) = 0,6 x 500 x 0,00252 x (150 - 100) = 37,86 Kcalhora
Nº de aletas en cada tubo de 3 m de longitud = 30,01 = 300 
Calor evacuado por las aletas en cada tubo: 300 x 37,86 = 11358 Kcalhora
Calor evacuado por el tubo por la parte que no lleva aletas:
= (π d b x 0,0085 x 300) h cF (150 - 100) = d b = 0,02m ; h cF = 500 Kcal/h m 2 ºC = 4005 Kcal/h
Calor total evacuado por el tubo de 3 m con aletas = 4005 + 11358 = 15363 Kcalhora
Número de tubos de 3 metros de longitud = 700.00015363 = 45,56 ⇒ 46 tubos 
*********************************************************************************************
IV.8.- Una aguja de 25 cm de longitud y 3 cm de diámetro sobresale de un objeto. La temperatura en la base 
Tb=150°C, mientras que el medio exterior se encuentra a T∞=30°C. Suponiendo un coeficiente de película cons-
tante hcF = 10 Kcal/h.m2°C, calcular para los siguientes casos:
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-86
a) Varilla de Cu: k = 332 Kcal/h.m°C
b) Varilla de acero de 0,5% C: k = 46 Kcal/h.m°C
c) Vidrio: k = 0,94 Kcal/h.m°C 
1) La temperatura en los puntos situados a 1/5,2/5,3/5,4/5 y 5/5 de la distancia entre 
la base y el extremo, suponiendo despreciable el flujo de calor en el extremo 
2) El flujo calorífico por hora cedido por la varilla, con flujo de calor en el extremo, 
hcF= 10 Kcal/hm2°C 
2b) El flujo calorífico por hora cedido por la varilla, despreciando el flujo de calor en el extremo 
2c) El flujo calorífico por hora cedido por la varilla, considerándola muy larga
 _________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
1) Temperatura en los puntos situados a 1/5,2/5,3/5,4/5 y 5/5 de la distancia entre la base y el extremo, suponiendo 
despreciable el flujo de calor en el extremo.- Para el supuesto de flujo de calor despreciable en el extremo, la distri-
bución de temperaturas es:
Tξ - TF
Tb - TF
 = Ch{ Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
, siendo: ξ = xL ; p = 2 π r ; S = π r
2
Bi = hC p L
2
k S = 
1000 x 2 π x 0,015 x 0,252
k x π x 0,152 = 
83,33
k ⇒ 
 Cu ⇒ k = 332 Kcal/hmºC ; Bi = 0,25
 Acero 0,5% C ⇒ k = 46 Kcal/hmºC ; Bi = 1,81 
 Vidrio ⇒ k = 0,94 Kcal/hmºC ; Bi = 88,65
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
T (ξ) = TF + (Tb - TF ) 
Ch{ Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
 = Tb - TF = 150 - 30 = 120ºC = 30 + 120 
Ch{ Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
Para el Cu: Bi = 0,25 ; ξ1= 
1
5 ; T1 = 30 + 120 
Ch{ 0,25(1 - 15 )}
Ch 0,25
 = 145,05ºC ⇒ 
ξ2 = 2/5 ; T2 = 141,24ºC
ξ3 = 3/ 5 ; T3 = 138,45ºC
ξ4 = 4/5 ; T4 = 136,95ºC
ξ5 = 1 ; T5 = 136,42ºC
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
Para el Acero: Bi = 1,81 ; ξ1 = 
1
5 ; T1 = 30 + 120 
Ch{ 1,81(1 - 15 )}
Ch 1,81
 = 125,84ºC ⇒ 
ξ2 = 2/5 ; T2 = 108,66ºC
ξ3 = 3/ 5 ; T3 = 96,94ºC
ξ4 = 4/5 ; T4 = 90,42ºC
ξ5 = 1 ; T5 = 88,3ºC
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
Para el Vidrio: Bi = 0,25 ; ξ1 = 
1
5 ; T1= 30 + 120 
Ch{ 88,65 (1 - 15 )}
Ch 88,65
 = 48,25ºC ⇒ 
ξ2 = 2/5 ; T2 = 32,77ºC
ξ3 = 3/5 ; T3 = 30,42ºC
ξ4 = 4/ 5 ; T4 = 30,066ºC
ξ5 = 1 ; T5 = 30,02ºC
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
2) Flujos caloríficos por hora cedidos por las varillas: 
2a) Con flujo de calor en el extremo (Coeficiente de película en el extremo 10 Kcal/hm2°C 
Q = k S (Tb - TF ) BiL 
Th Bi + S Bip L
1 + S Bip L Th Bi
 = 
S
p L = 
π r 2
2 π r L = 
r
2 L = 
0,015
2 x 0,25 = 0,03 
 SL ( Tb - TF ) = 0,34
 =
 
= 0,34 k Bi Th Bi + 0,03 Bi
1 + 0,03 Bi Th Bi
Para el Cu: Q = 0,34 x 332 Kcal
h m ºC
 0,25 
Th 0,25 + 0,03 0,25
1 + 0,03 0,25 Th 0,25
 = 26,84 Kcal
hora
Para el acero: Q = 0,34 x 46 Kcal
h m ºC
 1,81 
Th 1,81 + 0,03 1,81
1 + 0,03 1,81 Th 1,81
 = 18,56 Kcal
hora
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-87
Para el vidrio: Q = 0,34 x 0,94 Kcal
h m ºC
 88,65 
Th 88,65 + 0,03 88,65
1 + 0,03 88,65 Th 88,65
 = 3,009 Kcal
hora
2b) Despreciando el flujo de calor en el extremo: Q = k S Tb - TF
L
 Bi Th Bi = 0,34 k Bi Th Bi 
Para el Cu: Q = 0,34 x 332 Kcal
h mºC
 0,25 Th 0,25 = 26,03 Kcal
hora
Para el acero: Q = 0,34 x 46 Kcal
h m ºC
 1,81 Th 1,81 = 18,33 Kcal
hora
Para el vidrio: Q = 0,34 x 0,94 Kcal
h mºC
 88,65 Th 88,65 = 3,003 Kcal
hora
2c) Considerando aletas muy largas: Q = k S Tb - TF
L
 Bi= 0,34 k Bi 
Para el Cu: Q = 0,34 x 332 Kcal
h m 2 ºC
 0,25 = 56,32 Kcal
hora
Para el acero: Q = 0,34 x 46 Kcal
h m ºC
 1,81 = 21 Kcal
hora
Para el vidrio: Q = 0,34 x 0,94 Kcal
h mºC
 88,65 = 3,003 Kcal
hora
A la vista de los resultados, y por lo que respecta a los calores desprendidos, se observa que cuando las conductivida-
des son bajas, el hecho de considerar aletas muy largas es perfectamente válido. 
En casi todos los casos se puede considerar el flujo de calor en el extremo despreciable.
*********************************************************************************************
IV.9.- Se desea incrementar el paso de calor desde una pared plana al medio ambiente que la rodea, instalando 
para ello aletas de diferentes tipos sobre dicha superficie, de tal forma que sobresalgan de la superficie de la pared 
una longitud de 20 cm, siendo el material utilizado un conductor de k=40 Kcal/h.m°C y suponiendo en cualquier 
caso un coeficiente de transmisión de calor sólido-fluido de 17 Kcal/h.m2.°C.
Bajo estas condiciones se desea saber:
a) La configuración que será la más eficaz de entre las siguientes:
a.1) Aleta recta de perfil rectangular constante, de espesor e=1,25 cm y anchura unidad
a.2) Aleta triangular de similar base de apoyo a la anterior
b) Material con el que se debe construir la aleta triangular, tomando como referencia su conductividad térmi-
ca, para que en las condiciones anteriores tenga la misma efectividad que la encontrada para la aleta rectangular.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a.1) Aleta recta de perfil rectangular constante, de espesor e=1,25 cm y anchura unidad
Bi = p h cF L
2
k S = 
 p = 2 ( e + a ) = 2 (0,0125 + 1) = 2,025 m 
 S = e a = 0,0125 x 1 = 0,0125 m 2 = 
2,025 x 17 x 0,22
40 x 0,0125 = 2,754
Aleta recta, aislada térmicamente en su extremo libre: 
η = Th Bi
Bi
 = Th 2,754 
2,754
 = 0,56 
Aleta recta, con convección en su extremo libre:
η = 
k S (Tb - TF ) Bi
L 
Th Bi + S Bip L
1 + S Bip L Th Bi
 
hcF A (Tb - TF )
 = A = 2 a L = 1
Bi
 
Th Bi + S Bip L
1 + S Bip L Th Bi
 =
 = S Bip L = 
0,0125 2,754
2,025 x 0,2 = 0,05122 = 
1
2,754
 Th 2,754 + 0,05122
1 + 0,05122 Th 2,754
 = 0,547
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-88
Aleta triangular
η = 1
n L
 I1(2 n L )
I0 (2 n L )
 = 2 G 4 (βt )
βt
 = 
 f = 1 + ( b2 L )
2 = 1 + ( 0,01252 x 0,2 )
2 = 1,00048 (cond. unidireccional 
 n = 2 f hcFLkb = 
2 x 1,00048 x 17 x 0,2
40 x 0,0125 = 3,6887
 =
= n L = 3,6878 x 0,2 = 1,6492 ; 2 n L = 2 x 3,6878 x 0,2 = 3,2993 
 I0 (2 n L ) = I 0 (3,2993) = 6,258 ; I1 (2 n L ) = I1 (3,2993) = 5,195
 = 11,6492 
5,195
6,258 = 0,5033
Se observa que el rendimiento de las aletas rectangulares es superior al de la aleta triangular. 
b) Material con el que se debe construir la aleta triangular, tomando como referencia su conductividad térmica, 
para que en las condiciones anteriores tenga la misma efectividad que la encontrada para la aleta rectangular. 
Hay que determinar la conductividad térmica del material
La ecuación a resolver es: 0,58 = 1
n L
 I1 (2 n L )
I 0 (2 n L )
 = n L = N { } = 1N 
I1 ( 2 N)
I 0 (2 N)
N 0,58 N
1 0,58 2,2796 1,5906 0,6967 0,58 < 0,6967
1,5 0,87 4,8808 3,9534 0,8099 0,87 > 0,8099
1,4 0,812 4,1573 3,3011 0,7941 0,812 > 0,794
1,3 0,754 3,5533 2,7554 0,7754 0,754 < 0,7754
1,35 0,783 3,8553 3,0282 0,7854 0,783 < 0,785
I1(2 N)
I0(2 N)I1(2 N)I0(2 N)
Un valor aceptable es: N = 1,35, luego:
n = 2 hcF Lk b = 
N
L
 ; N = 2 hcFk b L ; k = 
2 hcF L2
b N2
 = 2 x 17 x 0, 2
2
0,0125 x 1,3 52
 = 59,7 Kcalh m ªC
*********************************************************************************************
IV.10.- A un tubo de 40 mm de diámetro exterior se le adosan aletas anulares de aluminio k=197 Kcal/h m°C, de 
0,5 mm de espesor y 100 mm de radio exterior separadas entre si una distancia de 5 mm. Las aletas están aisladas 
térmicamente en su extremo. La presencia de un fluido exterior implica la existencia de un coeficiente de película 
de 60 Kcal/h.m2°C. 
Si existe una diferencia de temperaturas de 50°C entre la superfi-
cie del tubo y el medio exterior, determinar:
a) El calor disipado en 1 metro de longitud de tubería sin aletas
b) El calor disipado en 1 metro de longitud de tubería con aletas
c) La temperatura en el extremo aislado de la aleta
d) El aumento en % del calor disipado, por el hecho de colocar las 
aletas 
________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Calor disipado en cada metro de longitud de tubería sin aletas
 
€ 
qtubo (1 m) = (π db1) hC extΦb = π x 0,04 x 60 x 50 = 377 
Kcal
h m
b) Calor disipado en cada metro de longitud de tubería con aletas.- Calor disipado por una aleta:
q1 aleta = π (1 - α an2 ) k e Φ b β an2 G 2 (α an β an ) = 
 α an = rb /re = 0,02/ 0,1 = 0,2 
 β an = 
2 re2 hC ext
k e = 
2 x 0,12 x 60
197 x 0,0005 = 3,49 
 
 α an β an = 0,7 ⇒ G 2 (α an β an ) = G 2 (0,7) = 0,18 
 =
 
= π (1 - 0,22 ) x 197 x 0,0005 x 50 x 3,49 2 x 0,18 = 32,56 Kcalh
Calor disipado por la parte de tubo correspondiente a cada aleta:
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-89
 q tubo = (π d b 0,005) hC extΦ b = π x 0,04 x 0,005 x 60 x 50 = 1,885 
Kcal
h
Calor disipado por una aleta más el tubo correspondiente a la misma: 
 
qtubo+ qaleta= 1,885 + 32,56 = 34,445 Kcalh m
b) Si existe una diferencia de temperaturas de 50°C entre la superficie del tubo y el medio exterior, determinar el 
calor disipado por cada metro de longitud de tubería con aletas.
Nº de aletas por 1 m de longitud de tubería : 1a = 0,0055 = 182
Qdisipado por 1 m de tubo con aletas = 34,445 x 182 = 6270 Kcalh m
De otra forma:
Rendimiento de la aleta anular : µ = G2(αan βan) = 0,18
q aleta real = µ q aleta ideal = µ h c ext A (Tb - Text ) = A = 2 π (re2 - rb
2 ) = 2 π (0,12 - 0,022 ) = 0,0603 m 2 =
 = 0,18 x 60 Kcal
hm 2 ºC
 x 0,0603 m 2 x 50ºC = 32,56 Kcalhora
q tubo = (π d b x 0,005) h c extΦ b = π x 0,04 x 0,005 x 60 x 50 = 1,8848 Kcal/hora
Qtubo + aletas = (1,8848 + 32,57) x 182 = 6270,7 Kcal/h.m lineal
c) Temperatura en el extremo aislado de la aleta
G1 (α an β an ) = 
Φ e
Φ b
 = G 1 ( 0,7) = 0,06 ⇒ Φe = 0,06 Φ b = 0,06 x 50 = 3 = Te - TF ⇒ Te = TF + 3
d) Aumento en % del calor disipado por el hecho de colocar las aletas
Mejora = 0,689 - 0,041470,04147 = 15,60 ⇒ 1560% 
*********************************************************************************************
IV.11.- Al realizar un estudio para instalar calefacción en una factoría en la que se dispone de agua caliente a 
85°C, se llegó a la conclusión de que había que aportar 460 Kcal/h.m para mantener la temperatura ambiente a 
+24°C. 
Dado que en la factoría se dispone de hierro fundido k= 
50 Kcal/h.m°C, del calibre 60/66 y de aletas anulares 
del mismo material y de radio exterior 66 mm, con un 
espesor de 3 mm y considerando que los coeficientes de 
película son 1000 y 8 Kcal/h.m2°C, determinar el núme-
ro de aletas necesario para disipar el calor indicado.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
Veamos si son necesarias las aletas:
Q
a (1 m) = 
2 π (TF - Text )
1
ri hcF
 + 1k ln 
rb
ri
 + 1rb h c ext
 = 2 π (85 - 24)1
0,06 x 1000 + 
1
50 ln 
33
30 + 
1
0,033 x 8
 = 100,25 Kcalh < 460 
Kcal
h 
luego SÍ son necesarias, ya que el tubo limpio no puede aportar las calorías necesarias
Cálculo de Tb:
Q = 
TF - TpF
1
2 π a ri hcF
 = 
TpF - Tb
1
2 π a k ln 
rb
ri
 = TF - Tb
1
2 π a ri h cF
 + 12 π a k ln 
rb
ri
TF - Tb = 
Q
2 π a (
1
 ri h cF
 + 1k ln 
rb
ri
) = 460(Kcal/h m )2 π x 1 (
1
0,03 x 1000 + 
1
50 ln33
30 ) = 2,58ºC
Tb = TF - 2,58 = 85 - 2,58 = 82,42ºC
Calor disipado por una aleta: q1 aleta = π (1 - α an2 ) k e Φ b β an2 G 2 (α anβ an ) =
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-90
= 
 α an = rb /re = 0,033/ 0,066 = 0,5 
 β an = 
2 re2 h C ext
k e = 
2 x 0,0662 x 8
50 x 0,03 = 0,682 
 
 α an β an = 0,34 ⇒ G 2 (α an β an ) = 0,95
 = π (1 - 0,52 ) x 50 x 0,003 x (82,42 - 24) x 0,682 2 x 0,95 = 9,11 Kcalhora
ó también:
q1 aleta = µ hc ext A (Tb - Text) = G2(αan βan) hc ext 2 π 4 (de
2 - db2) (Tb - Text) =
 
= 0,95 x 8 x 2 π4 (0,13 2
2 - 0,06 62) x (82,42 - 24) = 9,11 Kcalhora
Para: a = 1 m habrá N aletas de espesor e que ocupan (Ne) metros, por lo que quedan (1 - N e) metros de tubo sin ale-
tas
Calor total disipado: Q = q aletas + qtubo entre aletas = 
 q tubo entre aletas = (
q
a )tubo (1 - N e ) 
 q aletas = q1 aleta N
 = 460 Kcalh m =
= ( q a )tub (1 - N e) + q1 aleta N = 100,25 (1 - N x 0,003) + 9,11 N ⇒ N = 40,83 ≅ 41 aletas
Separación entre aletas: 1 - (41 x 0,03)41 = 0,0219 m
*********************************************************************************************
IV.12.- Al realizar un estudio para instalar calefacción en una factoría en la que se dispone de agua caliente a 
85°C, se llegó a la conclusión de que había que aportar 5000 Kcal/hora para mantener la temperatura ambiente 
en +24°C. Dado que en la factoría se dispone de hierro fundido 
k= 50 Kcal/h.m°C, de diámetros 60/66 y de aletas anulares del 
mismo material, de radio exterior 66 mm, con un espesor de 3 
mm, separadas 20 mm, y sabiendo que los coeficientes de pelí-
cula son 1000 y 8 Kcal/h.mºC, determinar el número de aletas 
necesario para disipar el calor indicado y la temperatura en la base de la aleta.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
Q = 
TF - TpF
1
2 π a ri hcF
 = 
TpF - Tb
1
2 π k a ln 
rb
ri
 = TF - Tb
1
2 π a ri h cF
 + 12 π k a ln 
rb
ri
TF - Tb = 
Q
2 π a (
1
ri h cF
 + ln ( rb /ri )k ) = 
5000 Kcal/h
2 π a (
1
0,03 x 1000 + 
ln (33/ 30)
50 ) = 
28,042
a ⇒ Tb = TF - 
28,042
a
Φb = Tb - Text = TF - 
28,042
a - Text = 85 - 
28,042
a - 24 = 61 - 
28,042
a
€ 
Calor disipado total: Q = QN aletas + Qtubo entre aletas
Calor disipado por una aleta:
q1 aleta = π (1 - α an2 ) k e Φ b β an2 G 2 (α anβ an ) , con: 
 α an = rb /re = 0,033/ 0,066 = 0,5 
 β an = 
2 re2 h C ext
k e = 
2 x 0,0662 x 8
50 x 0,03 = 0,682 
 
 α an βan = 0,34 ⇒ G 2 (α an β an ) = 0,95
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
 
Calor disipado por el tubo entre aletas:
Qtubo entre aletas = (2 π rb a - N e 2 π rb ) h C extΦb = 2 π rba (1 - N ea ) h C extΦ b 
Q = π (1 - α an2 ) k e Φ b β an2 G 2 (α anβ an ) N + 2 π rb a (1 - N ea ) h C extΦb = Φ b = 61 - 
28,042
a =
= {π (1 - 0,52 ) x 50 x 0,003 x (61 - 28,042a ) x 0,682
2
x 0,95 N} + {2 π x 0,033 a (1 - 0,003 Na ) x 8 ( 61 - 
28,042
a )} =
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-91
= 
 N (0,020 + 0,003) = a 
 N = a0,023 = 43,48 a
 = {π (1 - 0,52 ) x 50 x 0,003 x (61 - 28,042a ) x 0,682
2
x 0,95 N} +
+ [2 π x 0,033 a {1 - ( 43,48 x 0,003)} x 8 ( 61 - 28,042a )] = 501,73 a - 230,65 = 5000 
Kcal
hora
a = 5000 + 230,65501,73 = 10,42 ⇒ n º de aletas = N = 43,48 a = 43,48 x 10,42 = 453 aletas 
Temperatura en la base: Tb = 24 + 61 - 
28,042
10,42 = 82,3ºC
*********************************************************************************************
IV.13.- Sobre un tubo de una aleación de aluminio de 20 mm de diámetro exterior se desea colocar aletas longitu-
dinales de perfil triangular. La base de las aletas tiene un espesor de 1 mm y la distancia entre los centros de las 
bases de las aletas es de 3,5 mm lo que permite mantener un coeficiente de película hcF =50 Kcal/hm2°C. La con-
ductividad térmica del material es, k = 100 Kcal/hm°C.
Determinar
a) Las dimensiones del perfil óptimo de las aletas triangulares longitudinales
b) El calor transmitido al exterior por metro de longitud de tubo si la temperatura de la base es de 125°C y la 
del fluido exterior de 20°C
c) La temperatura en el centro de gravedad de la aleta y en el vértice
d) El calor evacuado por una aleta
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Dimensiones del perfil óptimo de las aletas triangulares longitudinales
Lópt = 1,196 (Ω khcF
)1/3 = Ω = b L2 = 1,196 (
b Lópt k
2 hcF
)1/3 = 1,196 ( b k2 hcF
)1/3 Lópt1/3
Lópt2/3 = 1,196 ( b k2 hcF
)1/3 = 1,196 ( 0,001 x 1002 x 50 )
1/3 = 0,1196 ; Lópt = 0,04136 m = 41,36 mm ; Base = 1 mm
b) Calor transmitido al exterior por metro de longitud de tubo, si la temperatura de la base es de 125°C y la del 
fluido exterior de 20°C
Para 1 aleta: q1 aleta = - Φb k b 
β t
2 L G4 (β t ) = 
 Φb = Tb - TF 125 - 20 = 105ºC 
 βt = 
8 f hcF L2
k b = f = 1 { } = 
8 x 50 x 0,0412
100 x 0,001 = 2,616 
 G4 (β t ) = 
I1(β t )
I0 (β t )
 = I1(2,616)I 0 (2,616)
 = 0,775
 =
= - 105 x 100 x 0,001 2,6162 x 0,041 0,775 = 257,35 
Kcal
m
ó también a partir de: Lópt = 
0,842
hcF
 q1 aletaTb - TF
 ; 0,00413 = 0,84250 
q1 aleta
105 ; q1 aleta = 257,5 Kcal
Para N aletas: N º de aletas: N = π de = 3,5 N ⇒ N = 20 π3,5 = 17,97 ⇒ 18 aletas
QN aletas = 257,35 (Kcal/m lineal) x 18 aletas = 4632,23 Kcal/m lineal
Calor disipado por la fracción de tubo sin aletas: q tubo = (2π re - N b) a h cF (Tb - TF ) =
= {(2 π x 0,01) - (18 x 0,001)} x 1 m x 50 (Kcal/hm 2 ºC) x 105ºC = 235,4 (Kcal/m. lineal)
qTotal (1 m lineal) = 4632,23 + 235,4 = 4867,63 Kcalm lineal
Rendimiento de la aleta: η = 2 G4(βt)
βt
 = 2 x 0,7752,616 = 0,5925 = 59,25% (Del orden del 60%)
c) Temperatura en el centro de gravedad de la aleta:
Φ
Φb
 = G 3 (β tηt ) = 
 β t = 2,616 ; ηt = 
x
L = 
2
3 = 0,8165 
 β tηt = 2,616 x 0,8165 = 2,1388 
 = 0,69
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-92
Tc.d.g. - TF
Tb - TF
 = 0,69 ; 
Tc.d.g.- 20
125 - 20 = 0,69 ⇒ Tc.d.g. = 92,45ºC
De otra forma:
Φ
Φb
 = I0 (2 n x )
I0 (2 n L )
 = 
 L = 0,04136 m ; Centro de gravedad: x = 2 L/3 = 0,02757 m
 n = 2 f hcF Lk b = f = 1{ } = 
2 x 50 x 0,04136
100 x 0,001 = 6,43
 I0 (2 n L ) = 2 n L = 2 x 6,431 0,04136 = 2,6153 { } = I0 (2,6153) = 3,60 
 I0 (2 n x ) = 2 n x = 2 x 6,431 0,02757 = 2,1356 { } = I0 (2,1356) = 2,522 
 =
Tcdg = TF + (Tb - TF ) 
I0 (2 n x )
I0 (2 n L )
 = 20 + (125 - 20) 2,5223,6 = 93,55ºC
Temperatura en el vértice de la aleta: Tvértice = TF + (Tb - TF ) 
I0 (2 n 0 )
I0 (2 n L )
 = 20 + (125 - 20) 13,6 = 49,16ºC
*********************************************************************************************
IV.14.- Un tubo de una determinada aleación k= 80 W/m°K tiene un diámetro interior de 25 mm y un diámetro 
exterior de 30 mm, y sobre el mismo se han dispuesto 20 aletas rectas longitudinales, del mismo material que el tu-
bo, uniformemente distribuidas, con su extremo libre aislado térmicamente, de espesor e=3 mm y longitud trans-
versal L= 30 mm.El medio exterior (aire), se encuentra en reposo a la temperatura de 20°C, siendo de 100°C la 
temperatura de la superficie exterior del tubo.
Suponiendo el mismo coeficiente de película en el tubo y en las aletas, determinar:
a) El aumento en % que supone la disipación de calor con aletas, frente al tubo sin aletas
b) Temperatura en el centro de gravedad de cada aleta y en su extremo libre.
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
Propiedades del aire exterior: Temperatura de película:
T = 100 + 202 = 60ºCPropiedades del aire
⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ 
 ρ = 1,025 kg/m 3 ; c pF = 1017 J/kgºK ; k = 0,0279 W/mºC
 ν = 19,4.10-6 m 2 /seg ; Pr = 0,71 ; g β
ν 2
 = 0,782.108 
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
Gr = g β ΔT L
3
ν2
 = 
 ΔT = 100 - 20 = 80ºC
L = d = 0,03 m
 = 0,782 x 10 x 80 x 0,0 33 = 168.912
Gr . Pr = 168.912 x 0,71 = 119927,5 
El coeficiente de película se puede calcular a partir de:
Para flujo laminar: Nud = 0,36 + 
0,518 Rad
1/ 4
{1 + ( 0,56Pr )
9/16}4/ 9
 = 0,36 + 0,518 119927,5
4
{1 + ( 0,560,71 )
9/16}4/ 9
 = 7,64 ⇒ hcF = 7,1 
W
m2 ºC
a) Aumento en % que supone la disipación de calor con aletas, frente al tubo sin aletas.- Calor desprendido por 
metro lineal de tubería sin ninguna aleta:
q1m lineal = hcF A L ΔT = 7,1 
W
m 2 ºC
 x 0,03 π (m 2 ) (100 - 20)ºC = 53,53 W
metro de tubo
Espacio de tubo no ocupado por las aletas = 0,03 π - (20 x 0,003) = 0,03425 m
Calor por metro lineal a través de la fracción de tubo no ocupado por las aletas = 0,03425 x 53,530,03 π = 19,45 
W
m 
Aleta con su extremo libre termicamente aislado:
q N aletas = k S 
Tb - TF
L Bi Th Bi N = 
 S = 0,003 x 1 = 0,003 m 2 ; p = 2 (1 + 0,003) = 2,006 m 
 Bi = h cF p L
2
k S = 
7,1 x 2,006 x 0,032
80 x 0,003 = 0,0534
 =
 
= 80 x 0,003 100 - 20
0,03
 0,0534 Th 0,0534 x 20 = 671,6 W
m
Calor disipado total = 19,45 + 671,6 = 691 ( W/m )
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-93
Aumento en % = 691 - 53,5353,53 100 = 1191%
b) Temperatura en el c.d.g. de cada aleta y en su extremo libre: Φ(ξ) = T(ξ) - TFTb - TF
 = Ch { Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
Temperatura en el c.d.g. de la aleta (ξ = 0,5): 
Tc.d .g . - 20
100 - 20 = 
Ch{ 0,0571(1 - 0,5)}
Ch 0,0571
 = 0,98 ⇒ Tc .d .g . = 98,32 ºC
Temperatura en el extremo libre de la aleta (ξ = 1): 
Tξ=1 - 20
100 - 20 = 
1
Ch 0,0571
 ⇒ Tξ=1 = TL = 97,77ºC
*********************************************************************************************
IV.15.- Para realizar el control del calentamiento de un determinado reactor, que no debe sobrepasar los 250°C, 
se hace uso de un tubo especial de acero k= 45 W/m°C, en cuyo interior 
se ha hecho el vacío, que conecta el interior del reactor con un dispositi-
vo electrónico exterior acoplado en su otro extremo y que no debe sobre-
pasar los 60°C. Si el tubo se asimila a un cilindro de 50 cm de longitud y 
3 cm de diámetro, y el medio exterior se encuentra a 20°C, determinar: 
a) El coeficiente de película existente entre el cilindro y el medio exte-
rior
b) Sistema de refrigeración que habrá que utilizar en el cilindro
c) La temperatura en la mitad del cilindro 
________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
El tubo de acero, cuyo diámetro interior no se da, y en cuyo interior se ha hecho el vacío (no existe convección en el 
interior), se puede asimilar a una protuberancia cilíndrica de 3 cm de diámetro, con uno de sus extremos a 250ºC y el 
otro extremo, sobre el que va el dispositivo electrónico que no permite intercambio térmico por el extremo, que con-
sideraremos térmicamente aislado a 60ºC.
a) Coeficiente de película existente entre el cilindro y el medio exterior
Tb - TF
T(1) - TF
 = Ch Bi ; 250 - 2060 - 20 = 5,75 = Ch Bi ; Bi = 5,9277 
Bi = h cF p L
2
k S = 
hcF (p d) L2
k (p d2 /4)
 = 4 h cF L
2
k d = 
4 hcF x 0,52
45 x 0,03 = 5,9277 ⇒ h cF = 8 
W
m 2 ºC
b) Sistema de refrigeración que habrá que utilizar en el cilindro
Con este valor de hcF la convección es natural y no es necesario ningún otro tipo o medio de refrigeración
c) Temperatura en la mitad del cilindro: Φ(ξ) = T(ξ) - TFTb - TF
 = Ch { Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
Temperatura en la mitad del cilindro ( ξ = 0,5) : T(0,5) - 20250 - 20 
Ch{ 5,9277 x (1 - 0,5)}
Ch{ 5,9277
 ⇒ Tξ=0 ,5 = 93,5ºC
*********************************************************************************************
IV.16.- Un cazo metálico contiene agua hirviendo a 100ºC. El mango metálico del mismo, es un tubo cilíndrico, de 
diámetro exterior de= 0,01 m, longitud L= 0,175 m, espesor 1 mm y 
conductividad térmica k= 40 W/mºK, y lleva en su extremo libre un ais-
lamiento térmico. La temperatura del aire del medio exterior y del hue-
co del tubo es de 20ºC y el coeficiente de película correspondiente hc = 
10 W/m2ºC. 
a) Determinar a partir de qué distancia en el tubo del mango la tempe-
ratura es inferior a 50ºC. Calor evacuado a través del mango y rendimiento.
b) Suponiendo que el flujo térmico en la parte interior del tubo del mango es despreciable, determinar a partir 
de qué posición en el mango la temperatura es inferior a 50ºC. Calor evacuado a través del mango y rendimiento.
c) Si se considera el mango macizo, calcular a partir de qué posición la temperatura sería inferior a 50ºC. 
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-94
a) A partir de qué distancia en el tubo del mango la temperatura es inferior a 50ºC. 
Distribución de temperaturas: Φ(ξ) = T(ξ) - TFTb - TF
 = Ch { Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
Bi = h cF p L
2
k S = 
 p = π (d e + di ) = π (0,01 + 0,008) = 0,05655 m 
 S = π4 (d e
2 - d i
2 ) = π4 (0,01
2 - 0,0082 ) = 2,827.10 -5 m 2 = 
10 x 0,05655 x 0,1752
40 x 2,827.10 -5 
 = 15,31
La temperatura en la base de la protuberancia, entronque con el cazo, es de 100ºC, ya que el coeficiente de película 
del agua en ebullición es muy elevado, por lo que la temperatura del agua y la del cazo será prácticamente la misma. 
Si llamamos x a la distancia a partir de la cual la temperatura del mango es inferior a 50ºC, se tiene:
50 - 20
100 - 20 = 0,375 = 
Ch { 25,31 (1 - x0,175 )}
Ch 25,31
 ⇒ x = 0,0439 m
Calor evacuado a través del mango y rendimiento
q = k S Tb - TLL Bi Th Bi = 40 x 2,827.10
-5 800,175 15,31 Th 15,31 = 2,02 W
η = Th Bi
Bi
 = Th 15,31
15,31
 = 0,2523 = 25,23%
b) Suponiendo que el flujo térmico en la parte interior del tubo del mango es despreciable, determinar a partir de 
qué posición en el mango la temperatura es inferior a 50ºC.
Bi = h cF p L
2
k S = 
 p = π d e = π x 0,01 = 0,0314 m 
 S = π4 (d e
2 - d i
2 ) = π4 (0,01
2 - 0,0082 ) = 2,827.10 -5 m 2 = 
10 x 0,0314 x 0,1752
40 x 2,827.10-5 
 = 8,5
50 - 20
100 - 20 = 0,375 = 
Ch { 8,5 (1 - x0,175 )}
Ch 8,5
 ⇒ x = 0,06 m
Calor evacuado a través del mango y rendimiento: 
q = k S Tb - TLL Bi Th Bi = 40 x 2,827.10
-5 800,175 8,5 Th 8,5 = 1,4985 W
η = Th Bi
Bi
 = Th 8,5
8,5
 = 0,3409 = 34,09%
c) Si se considera el mango macizo, calcular a partir de qué posición la temperatura sería inferior a 50ºC.
Bi = h cF p L
2
k S = 
 p = π d e = π x 0,01 = 0,0314 m 
 S = π de2 /4 = π x 0,012 /4 = 7,85.10-5 m2 
 = 10 x 0,0314 x 0,175
2
40 x 7,85.10-5 
 = 3,06
50 - 20
100 - 20 = 0,375 = 
Ch { 3,06 (1 - x0,175 )}
Ch 3,06
 ⇒ x = 0,128 m
Calor evacuado a través del mango y rendimiento
q = k S Tb - TLL Bi Th Bi = 40 x 2,827.10
-5 80
0,175 3,06 Th 3,06 = 2,366 W
µ = Th Bi
Bi
 = Th 3,06
3,06
 = 0,538 = 53,8% 
*********************************************************************************************
IV.17.- Se tiene un cilindro de espesor uniforme k = 10 Kcal/h.m.ºC, de 120 mm de longitud y 20 mm de diámetro, 
entre dos paredes, que se encuentra a 300ºC y 100ºC respectivamente. Se supon-
drá que el fluido exterior (aire) está a una temperatura de 10ºC, y que el coefi-
ciente de película es hC = 15 Kcal/h.m2.ºC.
Determinar
a) El calor evacuado al exterior 
b) La temperatura en la mitad de la aguja
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-95
_________________________________________________________________________________________RESOLUCIÓN
Aleta con sus extremos a temperaturas Tb y TL 
a) El calor evacuado al exterior es la diferencia de los calores que pasan por las bases.
q = q ξ = 0 - q ξ = 1 = - 
k S
L (Tb - TF ) Bi 
(1 - Ch Bi ) {Φ(1) + 1}
Sh Bi
 =
= 
 Bi = h cF p L
2
k S = 
 p = π d = π x 0,02 = 0,0628 m 
 S = π d 2 /4 = π x 0,022 /4 = 3,14.10-4 m 2 
⎧ 
⎨ 
⎩ 
⎫ 
⎬ 
⎭ 
 = 15 x 0,0628 x 0,12
2
10 x 3,14.10 -4 
 = 4,32 
 Φ(1) = 100 - 10300 - 10 = 0,31
 =
= - 10 x 3,14.10
-4
0,12 (300 - 10) 4,32 
(1 - Ch 4,32 ) {0,31 + 1}
Sh 4,32
 = 16 Kcalh
b) Temperatura en la mitad de la aguja
Φ(ξ = 0,5) = 
Sh{ Bi (1 - ξ)} + Φ(1) Sh ( Bi ξ)
Sh Bi
 = Sh{ 4,32 (1 - 0,5)} + 0,31 Sh ( 4,32 x 0,5)
Sh 4,32
 = 0,4119
Tξ = 0,5 = 10 + (300 - 10) x 0,4119 = 129,45ºC
*********************************************************************************************
V.18.- Se tiene un cilindro de espesor uniforme, de 30 cm de longitud y 2 cm de diámetro, que sobresale de una su-
perficie plana A que se encuentra a 400ºC. El cilindro está conformado por dos tipos de material, de forma que los 
5 primeros cm más cercanos a la pared tienen una conductividad tér-
mica k1 = 2 Kcal/h.m.ºC, y el resto una conductividad térmica, k2 = 5 
Kcal/h.m.ºC. Se supondrá que el fluido exterior (aire) está a una tem-
peratura de 20ºC, y que el coeficiente de película lateral y en el extremo 
libre B es hC = 10 Kcal/h.m2.ºC.
Determinar
a) La temperatura TC de unión de los materiales que conforman el cilindro
b) El calor evacuado al exterior
c) La temperatura en el extremo libre B 
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
El cilindro se puede considerar, con conducción unidimensional, conformado por una aleta (AC) entre 2 temperaturas 
y una aleta (CB) con convección por el extremo libre.
Aleta con convección en el extremo libre y base a TC.- El calor disipado q2 es el que entra por la base C
q2 = 
k2 S (TC - TF ) Bi2
L2
 
Th Bi2 + 
S Bi 2
p L 2
1 + 
S Bi2
p L2
 Th Bi 2
 =
= Bi2 = 
hcF p L22
k2 S
 = 
 p = π d = π x 0,02 = 0,0628 m ; L 2 = 0,25 
 S = π d2 /4 = π x 0,022 /4 = 3,14.10-4 m2 
⎧ 
⎨ 
⎩ 
⎫ 
⎬ 
⎭ 
 = 10 x 0,0628 x 0,25
2
5 x 3,14.10-4 = 25 
 ΦC = TC - TF
 =
 = 
5 KcalhmºC x 0,000314 m
2x Φ C ºC x 5
0,25m 
Th 5 + 0,000314 x 50,06283 x 0,25
1 + 0,000314 x 50,06283 x 0,25 Th 5
 = 0,0314 ΦC
Aleta con sus extremos a temperaturas TA y TC .- El calor que atraviesa la base C es:
Q = - k1 SL1
 (TA - TF ) Bi1 
- Ch{ Bi1 (1 - ξ )} + Φ(1) Ch ( Bi1 ξ)
Sh Bi1
 =
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-96
 = 
 Φ(1) = TC - TFTA - TF
 = Φ400 - 20 = 
Φ
380 
 L1 = 0,05 m ; ξ = 1
 Bi1 = 
p L12 hC
k1 S
 = 0,06283 x 0,05
2 x 10
2 x 0,000314 = 2,5 ⇒ Bi1 = 1,581 
 =
= - 
 2 Kcalh.m.ºC 
x 0,000314 m2 
0,05 m (400 - 20)ºC 
x 1,581 x 
 - 1 + Φ380 Ch 1,581
 Sh 1,581 = 3,2445 - 0,02162 Φ
Igualando los dos calores: 0,0314 Φ = 3,2445 - 0,02162 Φ ⇒ Φ = 61,2 ºC = TC - 20 ⇒ TC = 81,2ºC 
b) Calor evacuado al exterior.- El calor evacuado al exterior por el cilindro, es el mismo que penetra por la base A; 
por lo tanto:
q A = - 
k1 S
L1
 (TA - TF ) Bi1 
- Ch{ Bi1 (1 - ξ)} + Φ(1) Ch ( Bi1 ξ)
Sh Bi1
 = Φ(1) = 
TC - TF
TA - TF
 = 61,2400 - 20 = 0,161 
 x= 0 ; ξ = 0
 =
 
= - 
 2 Kcalh.m.ºC 
x 0,000314 m2 
0,05 m (400 - 20)ºC 
x 1,581 x - Ch 1,581 + 0,161 Sh 1,581 = 7,69 
Kcal
hora
c) Temperatura en el extremo libre B ⇒ ξ = 1 (Aleta con convección en el extremo libre)
Φ(1) = Ch 0 + 0
Ch Bi2 + 
S Bi 2
p L2
 Sh Bi 2 
 = 1
Ch 5+ 0,000314 x 50,06283 x 0,25 Sh 5 
 = 0,00674 = Tb - 2081,2 - 20 ⇒ Tb =20,4ºC
*********************************************************************************************
IV.19.- Un soldador consiste, (a efectos térmicos), en una varilla cilíndrica metálica que se calienta eléctricamente 
por un extremo B alcanzándose en el otro extremo A (punta del soldador) una cierta temperatura. La temperatura 
del medio exterior es de 20ºC. Datos del soldador: k = 80 W/mºK ; hC = 20 W/m2ºK ; α = 1,93 x 10-4 m2/seg
Las dimensiones del soldador son: Longitud L= 80 mm; Diámetro d= 5 mm 
Determinar, considerando sólo efectos convectivos:
a) La temperatura en el extremo B cuando la temperatura en el extremo A sea de 400ºC (en régimen estacio-
nario), y la potencia eléctrica a aplicar en B en estas condiciones
b) Si se supone que al soldador se le aplica por el extremo B la potencia calculada en el apartado (a) y que el 
calentamiento se realiza uniformemente, hallar el tiempo que se tardará en conseguir en el mismo una temperatu-
ra de 300ºC, supuesto el medio exterior a 20ºC. ¿Qué temperatura máxima se podría conseguir en estas circuns-
tancias?
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Temperatura en el extremo B cuando la temperatura en el extremo A sea de 400ºC (en régimen estacionario) Se 
trata de una aguja cilíndrica (protuberancia) que intercambia calor con el medio exterior, con convección por el ex-
tremo libre: Se conoce: TA = 277ºC ; ξ = 1
 T(x) - TF 
TB - TF
 = 
 Bi Ch[(1 - ξ) Bi] + hC L k Sh[(1 - ξ) Bi] 
Bi Ch Bi + hC L k Sh Bi
 ; 400 - 20 TB - 20
 = Bi Ch(0) + 0
Bi Ch Bi + hC L k Sh Bi
Bi = hcF p L
2
k S = p = π d = 0,005 π = 0,0157 m ; S = 
π d2
4 = 1,96.10
-5 m2 = 20 x 0,0157 x 0,08
2
80 x 1,96.10-5 = 1,2816
400 - 20
TB- 20
 = 1,28
1,28 Ch 1,28 + 20 x 0,0880 Sh 1,28 
 = 0,576 ⇒ TB=679,6ºC
Potencia eléctrica a aplicar en B en estas condiciones.- Hay que determinar una cantidad de calor igual a la que se 
desprende a través de toda la varilla
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-97
qconv = 
k S (TC - TF ) Bi
L 
Th Bi + S Bip L
1 + S Bip L Th Bi
 = 80 x 1,96.10
-5 (679,6 - 20) 1,28
0,08 
Th 1,28 + 1,96.10
-5 1,28
0,0157x0,08
1 + 1,96.10
-5 1,28
0,0157 x 0,08 Th 1,28 
 = 12 W
De otra forma.- A partir de la eficiencia de la aleta se tiene:
qconv = hC A (TB- TA ) ηaleta = ηaleta = 
Th Bi
Bi
 = Th 1,28
1,28
 = 0,7172 ; A = 1,276.10-3 m2 =
 = 20 x 1,276.10
-3 (679,6 - 20) x 0,7172 = 12 W
b) Si se supone que al soldador se le aplica por el extremo B la potencia calculada en el apartado (a) y que el ca-
lentamiento se realiza uniformemente, hallar el tiempo que se tardará en conseguir en el mismo una temperatura 
de 300ºC, supuesto el medio exterior a 20ºC. 
Al realizarse el calentamiento uniformemente, se trata de un caso con condición de contorno con RESISTENCIA TÉR-
MICA INTERNA DESPRECIABLE, por lo que:
t = 
ρ L c p
hCF
 ln qq - hcFA (T - TF ) 
 = V kA hCF α
 ln qq - hcFA (T - TF ) 
 = 
= 
 VA = 
(π d2 / 4) L
π d L + (π d2 /4) = 
d L
4 L + d = 
0,005 x 0,08
(4 x 0,08) + 0,005 = 0,00123 m 
 A = π d L + (π d 2/ 4) = (π x 0,005 x 0,08) + (π x 0,0052 /4) = 0,001276 m 2 
 Bi = hC (V/A)k = 
20 x 0,00123
80 = 0,000307
 =
= 0,00123 m x 80 (W/mºC)20 (W/m2 ºC) x 1,93.10-4 (m2 /seg) ln 
12 W
12 W - 20 (W/m2 ºC) x 20 m 2 (300 - 20)ºC = 23,07 seg
Temperatura máxima que se podrá conseguir en estas circunstancias
Para: t → ∞ ; q = h CA (Tmáx - TF ) ⇒ Tmáx = TF + 
q
hCA
 = 20 + 121,276.10-3 x 20 = 490,2ºC
*********************************************************************************************
IV.20.- En una sala de maquinaria se desea mantener una temperatura uniforme de 20ºC y para ello se dispone de 
un sistema de calefacción, por agua caliente a presión, a una temperatura media de 100ºC, que consiste en un 
tubo de acero, k= 42 W/mºC, de diámetro interior di= 4 cm, diámetro exterior db=5 cm, y aletas longitudinales 
triangulares, de altura 4 cm y espesor en la base sobre el tubo de 0,785 cm, colocadas a una distancia entre cen-
tros de 15,7 mm, del mismo material que el tubo
La velocidad delagua caliente es de 1,5 m/seg. La longitud del tubo con aletas es de 300 metros. El tubo se en-
cuentra en posición horizontal y la nave tiene 100 m de longitud.
Determinar
a) El calor disipado por una aleta
b) El calor cedido a la sala por la instalación de calefacción
c) La caída de temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo, y temperatura de la mis-
ma a la entrada del tubo
d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor
e) La temperatura en el extremo de la aleta, y en su centro de gravedad, en el punto medio de la tubería.
Datos del agua caliente: ρ = 958,4 kg/m3 ; cp = 4,211 kJ/kgºC ; k = 0,682 W/mºC ; ν = 0,294 x 10-6 m2/seg ; 
Pr = 1,75 ; gβ/ν2 = 85,09 (1/ºK.m3)
Datos del aire:
ρ = 1 kg/m3 ; cp = 1,01 kJ/kgºC ; k = 0,03 W/mºC ; ν = 20,76 x 10-6 m2/seg ; Pr = 0,7; α = 0,3 x 10-4 m2/seg 
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
El problema se puede plantear como un intercambiador de calor compuesto por (tubo + aletas), por lo que se puede 
aplicar el concepto de (LMTD) una vez conocido el valor de (UA).
Para hallar (UA) hay que conocer el nº de aletas: N = db πl = 
50 mm x π
15,7 = 10
Cálculo de hc ext (aire en reposo), En primera aproximación se puede suponer una temperatura de pared de 99,5ºC, 
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-98
que habrá que comprobar a posteriori.
Gr = 
g β ΔT dbase3
ν2
 = 
 ΔT = 99,5 - 20 = 79,5ºC ; d base = 0,05 m 
 g β
ν2
 = 
9,8 mseg2 
1
273 + 20 (1/ºK)
(20,76.10-6 )2 (m2 /seg) = 7,76.10
7 1
m3 ºK
 = 7,76.107 x 79,5 x 0,053 = 771150
Gr.Pr = 771.150 x 0,7 = 539.805 < 1 07 (laminar)
h c ext = 1,18 
ΔT
d b
4 = 1,18 79,50,05
4 = 7,45 Wm2 ºC
a) Calor disipado por una aleta triangular.- No se conoce la temperatura en la base Tb, pero podemos suponer vale 
99,5ºC, que es un poco inferior a la temperatura media del agua caliente, por ser k = 42 W/mºC. 
q1 aleta long = η h c (ext ) A lateral aleta (Tb - Text )
Alateral aleta = 2 (L* x 300 m) = 2 (0,04 x 300) = 24 m2
Φb = Tb - TF = 99,5 - 20 = 79,5º
β t = 
8 f h cF L2
k b = 
8 x 1 x 7,45 x 0,04 2
42 x 0,785.10-2
 = 0,5378 ⇒ G 4 (β t ) = 0,241
η = 2 G4 (β t )
β t
 = 2 x 0,240,5378 = 0,8925
q1 aleta long. = 0,8925 x 7,45 x 24,1 x (99,5 - 20) = 12750 W
Calor disipado por todas las aletas triangulares: qN aletas long. = 12.750 x 10 = 127.503 W
b) Calor cedido a la sala por la instalación de calefacción
q tubo= hc (ext ) A tubo (Tb - Text ) = A tubo = (π db - 10 x 0,00783) a tubo = (0,05 π - 10 x 0,00783) x 300 = 23,57 m 2 = 
 = 7,45 x 23,57 x (99,5 - 20) = 13.962 W 
Qtotal = q tubo + qaletas = 13962 + 127503 = 141465 W = (Atubo + η Aaletas ) hc(ext )(Tb - Text )
De otra forma:
Q = TF - Text
1
Ai hCi
 + 12 π k a ln 
rb
ri
 + 1(η Aaletas + A tubo ) hc (ext )
 = 
 η = 0,8925
 Aaletas = 24 x 10 = 240 m2 ; A tubo = 23,57 m 2 
 =
= 
 Red i = 
uF d i
ν agua
 = 1,5 x 0,04
0,294.10 -6
 = 204080 
 Nu = 0,023 Re 0,8 Pr 0,3 = 0,023 x 204080 0,8 x 1,750,3 = 481,4 ⇒ h ci = 8207 W/m2 ºC 
 =
= 100 - 201
π x 0,04 x 300 x 8207 + 
1
2 π x 42 x 300 ln 
0,5
0,4 + 
1
{(0,8925 x 240) + 23,57} x 7,45
 = 140.608 W
De aquí se puede obtener la temperatura de la pared exterior Tb del tubo:
Q total = 
TF - Tb
1
A i hCi
 + 12 π k a ln 
rb
ri
 = 100 - Tb1
2 π x 0,04 x 300 x 8207 + 
1
2 π x 42 x 300 ln 
0,5
0,4
 = 100 - Tb
1,616.10−6 + 2,819.10-6
 =
 = 140.608 W ⇒ Tb = 99,39ºC
que es una aproximación más que suficiente el haber considerado la temperatura de 99,5ºC.
c) Caída de la temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo
Qtotal = 141.465 W = Gagua cp agua (Tentrada - Tsalida) = (Ωi uF ρi) cp agua ΔT
* =
= Ω i = 
π d i
2
4 = 
π x 0,04 2
4 = 0,001257 m
2 = 0,001257 m 2 x 1,5 mseg x 958,4 
kg
m 3
 x 4211 JkgºC x ΔT*ºC = 7607,3 ΔT*
Temperatura del agua a la entrada y salida del tubo: 
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-99
ΔT* = 1414657607,3 = 18,6ºC ⇒ 
 Tent = 100 + (18,6/2) = 109,3ºC
 Tsal = 100 - (18,6/2) = 90,7ºC
⎧ 
⎨ 
⎩ 
d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor
NTU = U AC mín
 = 
 U A (TF - Text ) = 141.465 W = U A (100 - 20) ⇒ U A = 1768,3 W/m ºC 
 Cmín = Gagua c p agua = 7607,3 W/ºC
 = 1768,37607,3 = 0,2324
ε = 1 - e-(NTU) = 1 - e- 0,2324 = 0,2074 = 20,74%
Comprobación:
Qtotal = ε Cmín (TC1 - TF1 ) = ε Cmín (Tentrada agua - Text ) = 0,2474 x 7607,3 (109,3 - 20) = 140900 W
 
e) Temperatura en el vértice de la aleta situada en el centro de la tubería 
 
€ 
Φvértice = Φb 
I0(βtηt )
I0(βt )
= (99,5 - 20) I0(0)
I0(0,5378)
= 79,5ºC 1
1,076
= 0,93 
Tvértice = 20 + (0,93 x 79,5) = 93,9ºC
Temperatura en el centro de gravedad de la aleta:
Φcdg = Φb 
I0 (β t η t )
I0 (βt )
 = β t = 0,5378 ; ηt = 
x
L = 
2
3 = 0,812 
 β t ηt = 0,5378 x 0,812 = 0,4367
 = (99,5 - 20) I0 (0,4367)I0 (0,5378)
 = 79,5ºC 1,04991,076 = 77,56ºC
Tcdg = TF + 77,56ºC = 20ºC + 77,56ºC = 97,56ºC
*********************************************************************************************
IV.21.- En una sala de maquinaria se desea mantener una temperatura uniforme de 20ºC y para ello se dispone de 
un sistema de calefacción, por agua caliente a presión, a una temperatura media de 100ºC, que consiste en un 
tubo de acero, k= 42 W/mºC, de diámetro interior di= 4 cm, diámetro exterior db=5 cm, y aletas anulares del mis-
mo material que el tubo, de diámetro exterior de = 15 cm y espesor en la base sobre el tubo de 0,3 cm, colocadas a 
una distancia entre centros de 4 cm.
La velocidad del agua caliente es de 0,5 m/seg. La longitud del tubo con aletas, horizontal, es de 50 metros.
Las aletas están aisladas térmicamente en su extremo libre. 
Se puede suponer una temperatura en la base de 99,5ºC
Determinar
a) El calor disipado por una aleta
b) El calor cedido a la sala por la instalación de calefacción
c) La caída de temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo, y temperatura de la mis-
ma a la entrada del tubo
d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor
e) La temperatura en el extremo aislado de las aletas
Datos del agua caliente:ρ = 958,4 kg/m3 ; cp = 4,211 kJ/kgºC ; k = 0,682 W/mºC ; ν = 0,294 x 10-6 m2/seg ; 
Pr = 1,75 ; gβ/ν2 = 85,09 1/ºK.m3
Datos del aire: ρ = 1 kg/m3 ; cp = 1,01 kJ/kgºC ; k = 0,03 W/mºC ; ν = 20,76 .10-6 m2/seg ; Pr = 0,7
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
El problema se puede plantear como un intercambiador de calor compuesto por (tubo + aletas), por lo que se puede 
aplicar el concepto de (LMTD) una vez conocido el valor de (UA).
Para hallar (UA) hay que conocer el nº de aletas en el tubo: N = 50 m0,04 m = 1250 aletas
Cálculo de hc ext (aire en reposo)
Gr = 
g β ΔT dbase3
ν2
 = 
 ΔT = 99,5 - 20 = 79,5ºC ; d base = 0,05 m 
 g β
ν2
 = 
9,8 mseg2 
1
273 + 20 
1
ºK
(20,76.10-6 )2 m2 /seg = 7,76.10
7 1
m 3 ºK
 = 7,76.107 x 79,5 x 0,053 = 771150
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-100
Gr.Pr = 394830 x 0,7 = 539805 < 1 07 (laminar)
h c ext = 1,18 
ΔT
d b
4 = 1,18 79,50,05
4 = 7,45 Wm2 ºC
De otra forma: El coeficiente de convección se puede calcular con la fórmula:
Para flujo laminar: Nud = 0,36 + 
0,518 Rad
1/ 4
{1 + ( 0,56Pr )
9/16}4/ 9
 , con: 
 10−6 < Ra d < 109
 Pr > 0,5
⎧ 
⎨ 
⎩ 
Nu d = 0,36 + 
0,518 (539805)1/4
{1 + ( 0,560,7 )
9 / 16 }4 / 9
 = 10,96 ⇒ h c ext = k Nud = 
0,03 x 10,96
0,05 = 6,58 
W
m 2 ���C
a) Calor disipado por una aleta con su extremo libretérmicamente aislado: q1 aleta = η h c extA lateral aleta (Tb - Text )
Alateral aleta = 2 π (re2 - rb2) = 
 re = 7,5 cm
rb = 2,5 cm
 = 2 π (0,075 2 - 0,025 2) = 0,031416 m2
Φ b = Tb - TF = 99,5 - 20 = 79,5ºC
Rendimiento de la aleta: η = G2 (αanβan ) = 
 α an = 
rb
re
 = 0,0250,075 = 0,333 
 β an = 
2 hc ext re2
k e = 
 2 x 6,58 x 0,0752
42 x 0,03 = 0,766 
 = 0,84
q1aleta = η hc ext A (TpF - TF ) = 0,84 x 6,58 (W/m2 ���ºC) x 0,031416 m2 x (99,5 - 20)º ��� C = 15,63 W
Calor disipado por todas las aletas:q N aletas = 15,63 W x 1250 = 18756 W
b) Calor cedido a la sala por la instalación de calefacción: 
q tubo = h c ext A tubo (Tb - Text ) = A tubo = π d b (0,04 - 0,003) = 5,812.10-3 m 2 = 
 
= 5,812.10-3 m 2 x 6,58 (W/m2 ���ºC) (99,5 - 20) ºC = 3,04 W
q tubo total = 1250 x 3,04 W = 3648,4 W
Qtotal = q tubo + q aletas = 20000 + 3648,4 = 23648,4 W
De otra forma:
Q total = 
TF - Text
1
A i hci
 + 12 π k a ln 
rb
ri
 + 1N (η A aletas + A tubo ) hc ext
 = 
 η = 0,84 
 A aletas = 0,031416 m2 ; A tubo = 0,005812 m2
 = 
= 
 Re d i = 
u F di
νagua
 = 0,5 x 0,04
0,294.10 −6
 = 68027
 Nu= 0,023 Re 0 ,8 Pr 0,3 = 0,023 x 680270,8 x 1,750 ,3 = 200 ⇒ hci = 
200 x 0,682
0,04 = 3410 
W
m ºC 
 =
= 100 - 201
π x 0,04 x 50 x 3410 + 
1
2 π x 42 x 50 ln 
0,5
0,4 + 
1
1250 {(0,84 x 0,031416) + 0,005812} x 6,58
 = 20964 W
c) Caída de la temperatura del agua calefactora que circula por el interior del tubo
Qtotal = 20964 W = Gagua cp agua (Tentrada - Tsalida ) = (Ω i uF ρi ) c p agua ΔT* =
 
= Ωi = 
π x 0,042
4 = 0,001257 m
2 = 0,001257 x 0,5 x 958,4 x 4211 x ΔT* = 2525,8 ΔT*
Temperatura del agua a la entrada y salida del tubo
ΔT* = 236482535,8 = 9,32���ºC ⇒ 
 Tentrada = 100 + 
9,32
2 = 104,66���ºC
 Tsalida = 100 - 
9,32
2 = 95,34���ºC
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
 
d) La eficiencia de este sistema de calefacción, como intercambiador de calor
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-101
ε = 1 - e-(NTU) = NTU = U ACmín
 = 
 23648 = U A (100 - 20) ⇒ U A = 295,6 Wm ���ºC 
 Cmín = G agua c p agua = 2535,8 W���ºC
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎫ 
⎬ 
⎪ 
⎭ 
⎪ 
 = 295,62535,8 = 0,1166 =
€ 
= 1 - e- 0,1166 = 0,11
Comprobación:
Qtotal = ε Cmín (TC1 - TF1 ) = ε C mín (Tentrada agua - Text ) = 0,11 x 2535,8 (104,66 - 20) = 23614 W
e) Temperatura en el extremo aislado de la aleta central
€ 
Φe = Φb G1(αan βan ) = αan = 0,33 ; βan = 0,809 ⇒ G1(αan βan ) = 0,83 = 0,83 Φb
Te = 20 + (0,83 x 79,5) = 86���C (aleta central) 
Te primera aleta = 20 + 0,83 {(104,66 - 0,5) - 20} = 89,85���C
Te última aleta = 20 + 0,83 {(95,34 - 0,5) - 20} = 82,1���C
⎧ 
⎨ 
⎩ 
*********************************************************************************************
IV.22.- En una habitación se dispone de un sistema de calefacción por agua caliente que consiste en un tubo de 
acero de diámetro interior di = 4 cm y exterior db = 4,4 cm, y aletas anulares de diámetro exterior de = 10 cm y es-
pesor 0,1 cm, colocadas a una distancia entre centros de 5 cm. El coeficiente k = 42 Kcal/hm°C
La longitud del tubo es de 12 metros. El coeficiente de película al exterior es, hc ext = 5 Kcal/hm2°C
El coeficiente de película por el interior del tubo correspondiente al {agua caliente-pared interior del tubo} es hci = 
1000 Kcal/hm2°C
Las aletas están aisladas térmicamente en su extremo. Se puede suponer que la temperatura exterior del tubo es 
igual a la temperatura en la base de la aleta Tb; Temperatura del aire, Text = 20°C
Determinar
a) El valor U A 
b) La temperatura de salida del agua calefactora que circula por el interior del tubo y el calor cedido a la habi-
tación, si circulan 10 litros/minuto de agua, que entra en la tubería a 60°C
c) La temperatura en el extremo aislado de la primera aleta
Datos del agua, ρ = 1000 kg/m3 ; cp = 1 Kcal/kg°C 
_________________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
El problema se puede plantear como un intercambiador de calor compuesto por (tubo + aletas), por lo que se puede 
aplicar el concepto de (LMTD) una vez conocido el valor de (UA).
Para hallar (UA) hay que conocer el nº de aletas: N = 12 m0,05 = 240
Calor disipado por una aleta.- No se conoce la temperatura en la base Tb
q1 aleta anular = η hc ext A lateral aleta (Tb - Text )
A lateral aleta = 2 π (re2 - rb
2 ) = 
 re = 5 cm 
 rb = 2,2 cm 
 = 2 π (0,052 - 0,022 2 ) = 0,0127 m 2 
η = G2 (α an .βan ) = α an = 
rb
re
 = 0,0220,05 = 0,44 ; β an = 
2 re2 hC ext
k e = 
2 x 0,052 x 5
42 x 0,001 = 0,77 = 0,92
q1 aleta = 0,92 x 5 Kcalh.m2.ºC
 x 0,01276 m2 x (Tb - 20)ºC = 0,05842 ( Tb - 20) Kcalhora
qtubo (para 1 aleta) = hc ext Atubo (Tb - Text) = Atubo = π x 0,044 x 0,049 = 0,0068 m2 = 
 
= 5 Kcal
h.m2.ºC
 x 0,0068 m2 x (Tb - 20)ºC = 0,034 ( Tb - 20) Kcalhora
a) Valor de (U A) 
Qtotal = N (qtubo + qaletas) = 240 x {0,05842 ( Tb - 20) + 0,034 x (Tb - 20)} = Tb - 200,04508 
Kcal
hora
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-102
Qtotal = 
TF - Ti
1
2 π a r i h ci
 = Ti - Tb
1
2 π k a ln 
rb
ri
 = Tb - 200,04508 = 
TF - 20
1
2 π a r i h ci
 + 12 π k a ln 
rb
ri
 + 0,04508
 =
= TF - 201
2 π x 0,02 x12 x 1000 + 
1
2 π x 42 x 12 ln 
22
20 + 0,04508
 = TF - 200,045773 = U A (TF- 20) ⇒ U A = 21,847 
Kcal
hora
b) Temperatura de salida del agua calefactora que circula por el interior del tubo (que entra en la tubería a 60°C 
si circulan 10 litros/minuto de agua
Gagua = V ρ = 10 x 60 
litros
hora x 1000 
kg
m3 = 600 
kg
hora
Qtotal = Gagua c p agua ( Tent - Tsal ) = 600 
kg
h x 1 
Kcal
kgºC x (60 - Tsal )ºC
Qtotal = U A 
ΔT2 - ΔT1
ln ΔT2
ΔT1
 = 
 ΔT2 = Tent - Text = 60 - 20 = 40 
 ΔT1 = Tsal - Text = Tsal - 20 
 = 21,847 60 - Tsal
ln 40Tsal - 20
Igualando las ecuaciones anteriores de Qtotal se obtiene:
500 Kcalh x (60 - Tsal )ºC = 21,847 
Kcal
h 
60 - Tsal
ln 40Tsal- 20
 ⇒ Tsal = 58,56ºC
Calor cedido a la habitación
Qtotal = Gagua c p agua ( Tent - Tsal ) = 600 
kg
h x 1 
Kcal
kgºC x (60 - 58,56)ºC = 858,2 
Kcal
hora
De otra forma:
ε = 1 - e- NTU = NTU = U A Cmín
 = Cmín = Gagua cp agua = 600 
kg
h x 1 
Kcal
kg ºC = 600 
Kcal
h ºC
⎧ 
⎨ 
⎩ 
⎫ 
⎬ 
⎭ 
 = 21,847600 = 0,03641 =
= 1 - e - 0,03641 = 0,035756 = 3,57%
Q total = ε Cmín (TC1 - TF1) = ε Cmín (Tentrada agua - Text) = 0,035756 x 600 x (60 - 20) = 858,16 Kcalhora
c) Temperatura en el extremo aislado de la primera aleta
Φ e = Φ b G1 (α anβ an ) = G1 (α anβ an ) = G1 (0,44 x 0,77) = 0,90 = 0,90 Φ b ⇒ Te - Text = 0,90 (Tb - Text )
1ª Aleta (TF = 60ºC) ; Tb - 200,04508 = 
TF - 20
0,045773 = 
60 - 20
0,045773 = 873,877 ; Tb = 59,4ºC
Te = Text + 0,90 x (Tb - Text) = 20 + 0,90 x (59,4 - 20) = 55,45ºC
*********************************************************************************************
IV.23.- En un tubo de acero que tiene una conductividad térmica de 40 Kcal/hm°C y diámetro exterior de=30 mm, 
se han dispuesto 20 aletas longitudinales de sección transversal constante, de 2 mm de espesor y altura 20 mm
Las aletas se considerarán con su extremo libre aislado térmicamente.
Se supondrá que el fluido que envuelve al conjunto se encuentra a una temperatura de 
20°C, que la superficie exterior del tubo está a 90°C y que el coeficiente de película es 
hc=30 Kcal/h.m2.°C.
Si las aletas se encuentran uniformemente distribuidas sobre la superficie exterior del tu-
bo, determinar:
a) El calor disipado y el aumento en % que supone esta disipación mediante aletas, frente al tubo sin aletas.
b) Valor del coeficiente máximo de película que debería existir entre el tubo y el fluido, para 
quedejase de ser interesante el uso de superficies adicionales.
c) El calor disipado, cuando en otro tubo de las mismas características se colocan 100 aletas 
anulares por metro lineal de tubo, de espesor constante igual a 2 mm, y radio exterior de 35 
mm; el diámetro del tubo es de 30 mm. Las condiciones térmicas son las del enunciado.
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-103
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RESOLUCIÓN
a) Calor disipado y el aumento en % que supone esta disipación mediante aletas, frente al tubo sin aletas.
Para el caso de no existir aletas, el calor desprendido por el tubo limpio, por metro lineal es:
q = h cF A ΔT = 30 Kcalh m 2 ºC
 x 0,03 π m 2 (90 -20)ºC = 197,92 Kcalh m
Calor disipado a través del espacio de tubo no ocupado por las aletas:
q1= 
197,92 Kcalh m tub
 x Fracción tubo
0,03 π = Fracción tubo = 0,03 π - (20 x 0,002) = 0,054 = 
197,92 x 0,054
0,03 π = 113,9 
Kcal
h.m.lineal
Las aletas son longitudinales con el extremo térmicamente aislado; el calor disipado por las mismas es:
q 2 = k S 
Tb - TF
L Bi Th Bi n = 
 k = 40 Kcalh m ºC ; S = 0,002 x 1 = 0,002 m
2 ; L = 0,2 m
 Tb - TF = 90 - 20 = 70 ºC ; p = 2 (1 + 0,002) = 2,004 m 
 n = 20 aletas ; Bi = h c p L
2
k S = 
30 x 2,004 x 0,022
40 x 0,002 = 0,3006 
 =
= 40 x 0,002 700,02 0,3006 Th 0,3006 x 20 = 1533 Kcal/h m
q disipado = q1 + q 2 = 113,92 + 1533 = 1646,92 Kcal/h m
Aumento en % = 1646,92 - 197,92197,92 
x 100 = 732,1%
b) Valor del coeficiente máximo de película que debería existir entre el tubo y el fluido, para que dejase de ser in-
teresante el uso de superficies adicionales.
hcF e
2 k < 1 ; hcF < 
2 k
e ; h cF < 
2 x 40
0,002 ; hcF < 40000 
Kcal
h m 2 ºC 
luego se justifica el uso de aletas cuando hcF sea menor de 40000 Kcal/hm2ºC
c) El calor disipado, cuando en otro tubo de las mismas características se colocan 100 aletas anulares por metro 
lineal de tubo, de espesor constante igual a 2 mm, y radio exterior de 35 mm; el diámetro del tubo es de 30 mm. 
Las condiciones térmicas son las del enunciado. 
q1 = calor disipado a través del tubo = {1 - (100 x 0,002)} q = 0,8 x 197,92 = 158,3 Kcal/h m
q 2 = Calor disipado a través de 100 aletas por metro = = π (1 - α an2 ) k e Φ b β an2 G 2 (α an βan ) n =
= 
 α an = 
rb
re
 = 1535 = 0,4286 
 β an = 
2 hcF re2
k e = 
 2 x 30 x 0,0352
40 x 0,002 = 0,9585 
⎫ 
⎬ 
⎪ 
⎭ 
⎪ 
 ⇒ G2 (0,4286 x 0,9585) = 0,87 =
= π (1 - 0,42862 ) x 40 x 0,002 x 70 x 0,95852 x 0,87 x 100 = 1147,86 Kcal/h m
q disipado = q1 + q 2 = 158,3 + 1147,86 = 1306,2 Kcal/h m
*********************************************************************************************
IV.24.- Un pequeño dispositivo electrónico que genera calor por efecto Joule, lo disipa durante su funcionamiento 
al exterior. Este dispositivo se puede considerar como un cilindro de di-
mensiones, radio Ri = 0,002 m y altura, a= 0,006 m.
Para que su funcionamiento sea lo más correcto posible se le inserta 
una camisa aleteada de aluminio k = 200 W/mºK con 12 aletas longitu-
dinales en su superficie exterior, que tienen su extremo libre térmica-
mente aislado. Los datos de la camisa aleteada son, diámetro exterior 
De = 0,006 m, espesor de las aletas, e = 0,0007 m, y longitud de las ale-
tas, L = 0,01 m.
La resistencia de contacto (dispositivo electrónico-camisa aleteada) es 
muy importante, y vale, 10-3 m2.ºK/W
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-104
El coeficiente de película al exterior es, hcF = 25 W/m2ºK. La temperatura exterior es Te = 20ºC
La camisa aleteada se ha diseñado para que la superficie del dispositivo electrónico no supere los 80ºC.
Determinar:
a) El calor disipado al exterior 
b) La temperatura que adquiriría la superficie del dispositivo electrónico si no se utilizase la camisa aleteada.
c) La temperatura de los diámetros interior y exterior de la camisa aleteada y en el extremo de la aleta
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RESOLUCIÓN
El circuito térmico se puede poner en la forma:
 
El calor evacuado es: Q = Ts - TextRcontacto (dispositivo-camisa) + Rcamisa + Raletas + tubo
a) Calor disipado al exterior
Calor disipado por la (aleta + tubo) = hcF (Atubo + µ Aaletas) (Tb - Text) = Tb - Text1
hcF (Atubo + µ Aaletas)
Bi = hcFp L
2
k S = 
 p = 2 (a + e) = 2 (0,006 + 0,0007) = 0,0134 m 
 S = a e = 0,006 x 0,0007 = 4,2.10-6 m2 = 
25 x 0,0134 x 0,012
200 x 4,2.10-6 = 0,03988
µaleta = Th BiBi
 = Th 0,03988
0,03988
 = 0,9869
Atubo = (De π - 12 e) x 0,006 = [0,006 π - (12 x 0,0007)] x 0,006 = 6,27 x 10-5 m2
Aaletas = 2 (L x a) x 12 = 2 (0,01 x 0,006) x 12 = 1,44 x 10-3 m2
Resistencia asociada a las aletas = 1
25 {6,27.10 -5 + 0,9869 (1,44.10-3 )}
 = 26,96 ºKW
Resistencia contacto dispositivo-camisa: 10
-3 (m 2 ºK/W )
2 π R a (m 2 )
 = 10
-3
2 π x 0,002 x 0,006 
ºK
W = 13,26 
ºK
W
Resistencia conductiva de la camisa: 12 π k a ln 
Re
R i
 = 12 π x 200 x 0,006 ln 
0,003
0,002 = 0,05377 
ºK
W
Q = 80 - 20
13,26 + 0,05377 + 26,96
 = 1,49 W
b) Temperatura que adquiere la superficie del dispositivo electrónico si no se utiliza la camisa aleteada.- En estas 
circunstancias el dispositivo tiene que eliminar la misma energía (1,49 W) generada por efecto Joule, por lo que:
Q = Ts - Text1
2 π Ri h cF a
 = Ts - 201
2 π x 0,002 x 25 x 0,006
 = 1,49 ⇒ Ts = 810,5ºC
De otra forma:
Ts - TF = 
E Ri
2 h cF
 (1 + R i h cF2 k - 
r 2 h cF
2 k R i
)r = R i = E = 
Q
A = 
1,49 W
π x 0,002 2 x 0,006
 = 1,976.107 W
m 3
 =
= E R i2 h cF
 = 1,976.10
7 x 0,002
2 x 25 = 790,4 ºC ⇒ Ts = 20 + 790,4 = 810,4ºC
c) Temperatura de los diámetros interior Ti y exterior Te de la camisa aleteada
Q = Ts - TiR contacto
 ⇒ Ti = Ts - Q Rcontacto = 80 - (1,49 W x 13,26 ºCW ) = 60,24ºC
Q = Ti - TbR camisa
 ⇒ Tb = Ti - Q R camisa = 60,24 - (1,49 W x 0,05377 ºCW ) = 60,16ºC
Temperatura en el extremo de la aleta
pfernandezdiez.es Aletas.IV.-105
T( ξ) - TF
Tb - TF
 = 
Ch{ Bi (1 - ξ)}
Ch Bi
 = ξ = 1 = 1
Ch Bi
 ⇒ T(1) = TF + 
Tb - TF
Ch Bi
 = 20 + 60,16 - 20
Ch 0,03988
 = 59,37ºC
*********************************************************************************************
IV.25.- Un dispositivo electrónico cilíndrico (k = 150 W/mºC) de dimensiones, R = 0,003 m y longitud a = 0,008 m, 
disipa al exterior el calor generado a través de una camisa que se inserta con 12 aletas triangulares longitudinales 
de aluminio (kaluminio= 200 W/mºC), siendo su radio exterior rb = 0,004 m.
Las dimensiones de las aletas son: base = 0,8 mm; altura = 10 mm
El coeficiente de convección es de 40 W/m2ºC
La resistencia de contacto entre el dispositivo electrónico y la camisa es de 0,002 m2ºC/W
El medio ambiente se encuentra a 15ºC
Sabiendo que el centro del dispositivo electrónico no puede superar los 80ºC, determinar:
a) El rendimiento de las aletas
b) La temperatura de la superficie exterior del dispositivo electrónico y el calor disipado al exterior
c) La temperatura en la base de las aletas y en su extremo
d) La temperatura que adquiriría la superficie del dispositivo si no llevase aletas
__________________________________________________________________________________
RESOLUCIÓN
a) Rendimiento de las aletas.- Gráficamente se tiene:
η = 2 G4 (βt )
βt
 = βt = 
8 f hcFL2
k b = 
8 x 1 x 40 x 0,012
200 x 0,0008 = 0,4472 ⇒ G4 (βt ) = 0,22 = 0,984 = 98,4%
que prácticamente es del 100%, ya que en este caso lo que interesa es disipar calor y no el efecto económico
Analíticamente:
η = I1 (2 n L )
I0 (2 n L )
 1
n L
 = n L = β t2
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
 = I1 (βt )I0 (βt )
 2
β t
 = β t = 0,447