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Estudios matemáticos nivel medio _ Libro del alumno - Blythe
Alexander Patricio Alberca Donayre
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L I B R O D E L A LU M N O
Peter Blythe
Jim Fensom
Jane Forrest
Paula Waldman de Tokman
PROGRAM A D EL D I PLOM A D E L I B O XFORD
ESTUDIOS
MATEMTICOS
NI VEL M EDIO VE
R
S
I
N
E
N
E
S
P
A
O
L
3
Great Clarendon Street, Oxford, OX2 6DP, Reino Unido
Oxford University Press es un departamento de la Universidad
de Oxford que promueve el objetivo de excelencia acadmica,
educativa e investigadora de esta Universidad mediante sus
publicaciones en todo el mundo. Oxford es una marca registrada
de Oxford University Press en el Reino Unido y en algunos otros
pases.
Oxford University Press 2015
Los autores han reivindicado sus derechos morales.
Traducido del ingls por Paula Waldman de Tokman, y revisado
por Irene Owen y Valeria Juanatey-Oogan
Derechos de autor de la traduccin Oxford University Press 2015
Primera publicacin en 2015
Reservados todos los derechos. No se podr reproducir ninguna
parte de esta publicacin, ni almacenarla en un sistema de
recuperacin de datos o transmitirla en cualquier forma o por
cualquier procedimiento sin autorizacin previa por escrito de
Oxford University Press o salvo conforme a lo expresamente
permitido por la ley, por licencia o por las condiciones acordadas
con la organizacin de derechos de reprografa pertinente.
Cualquier consulta relativa a la reproduccin de esta publicacin
al margen de lo antedicho debe enviarse a: Rights Department,
Oxford University Press, Great Clarendon Street, Oxford, OX2 6DP,
Reino Unido.
No le est permitido distribuir partes de esta publicacin en
cualquier otra forma, y debe imponer esta misma condicin a
cualquier persona que tenga acceso a la misma.
Esta publicacin figura en el catlogo de la Biblioteca Britnica
con los datos siguientes:
978-0-19-833875-8
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
El papel usado para la fabricacin de este libro es un producto
natural y reciclable de madera de bosques sostenibles. El proceso de
fabricacin se ajusta a las normas ambientales del pas de origen.
Impreso en China
Agradecimientos
ii
Los editores desean agradecer a las siguientes personas e
instituciones su autorizacin para usar sus fotografas:
P3: PEKKA AHO/Associated Press; P20: kirych/Shutterstock; P22:
allOver photography/Alamy; P25: Ronald Sumners/Shutterstock;
P41: Christopher King/Dreamstime.com; P41: XYZ/Shutterstock;
P41: Ionia/Shutterstock; P43: Paul Brown/Rex Features; P45:
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P63: Stphane Bidouze/Shutterstock; P69: Liv Falvey/
Shutterstock; P84: Paul Walters Worldwide Photography Ltd/
Photo Library; P85: David H.Seymour/Shutterstock; P85: SkillUp/
Shutterstock; P85: Nlshop/Shutterstock; P85: marina ljubanovic/
Shutterstock; P87: David Parker/Alamy; P130: Dietmar Hp/
Shutterstock; P130: pagadesign/istockphoto; P131: Professor
Peter Goddardd/Science Photo Library; P131: Dreamstime; P133:
A777thunder; P165: James Steidl/Shutterstock; P166: Tatiana53/
Shutterstock; P166: Hemera Technologies/Getty Images; P171:
Smileus/Shutterstock; P173: Dirk Ercken/Shutterstock; P173:
Bradcalkin.../Dreamstime.com; P174: Draghicich/Dreamstime.
com; P175: sherpa/Shutterstock; P181: Yegor Korzh/Shutterstock;
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P223: pandapaw/Shutterstock; P224: Science Photo Library; P227:
Lakhesis/shutterstock; P230: paul prescott /Shutterstock; P239:
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Dmitry Rukhlenko/Dreamstime.com; P293: Paul Wootton/Science
Photo Library; P292: Eugene Sim/Shutterstock; P293: PixAchi/
Shutterstock; P292: Jessmine/Shutterstock; P295: Annabelle496/
Dreamstime.com; P303: Rui Matos/Dreamstime.com; P304:
Slidepix/Dreamstime.com; P306: negative/Shutterstock;
P308: Oleksandr Pekur/Dreamstime.com; P310: Tupungato/Dream-
stime.com; P312: Anna Dudek/Dreamstime.com; P320: Stuart Key/
Dreamstime.com; P327: Seymour/Science Photo Library; P326:
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P327: GoodMood Photo/Shutterstock; P329: Badzmanaoi.../Dream-
stime.com; P350: negative/Shutterstock; P352: Tatiana Popova/
Shutterstock; P352: Sinelyov/Shutterstock; P355: Roman Sigaev/
Shutterstock; P361: Sinelyov/Shutterstock; P365: grum_l/Shut-
terstock; P378: M&N/Alamy; P379: Peter E Noyce/Alamy; P379:
Tele52/Dreamstime.com; P378: Oleksiy Mark/Shutterstock; P381:
Comstock/Thinkstock; P403: Olga Utlyakova/Shutterstock; P419:
FromOldBooks.org/Alamy; P418: Briangoff/Dreamstime.com; P418:
TerryM/Shutterstock; P418: Bomshtein/Shutterstock; P419: Zack
Clothier/Shutterstock; P419: Anton Brand/Shutterstock; P421:
Ahmet Ihsan Ariturk/Dreamstime.com; P423: Sunnyi/Dreamstime.
com; P429: Sunnyi/Dreamstime.com; P452: Simon Colmer and
Abby Rex/Alamy; P452: Photo Researchers/Alamy; P452: Carlos
Caetano/Shutterstock; P452: Picsfve/Shutterstock; P520: Karin
Hildebrand Lau/Shutterstock; P524: Reeed/Shutterstock; P518:
De Agostini/Getty Images; P533: Science Source/Science Photo
Library; P539: Georgios Kollidas/Shutterstock.
Portada: JS. Sira/Photolibrary.
Los editores han procurado por todos los medios identifcar y
contactar a todos los titulares de los derechos de autor antes de
la publicacin de este libro, pero no ha sido posible en todos los
casos. Si se les notifca, los editores rectifcarn cualquier error u
omisin a la mayor brevedad.
Defnicin del libro del
alumno
Los libros del alumno del Programa del
Diploma del IB son recursos diseados como
apoyo para el estudio en los dos aos del
Programa del Diploma. Estos recursos ayudan
a los alumnos a entender lo que se espera del
estudio de una asignatura del Programa del
Diploma del IB y presentan su contenido de
manera que ilustra el propsito y los objetivos
del IB. Reejan la flosoa y el enoque del IB,
y avorecen una comprensin prounda de la
asignatura al establecer conexiones con temas
ms amplios y brindar oportunidades para el
pensamiento crtico.
Conorme a la flosoa del IB, los libros
abordan el currculo teniendo en cuenta el
curso en su totalidad y el uso de una amplia
gama de recursos, la mentalidad internacional,
el perfl de la comunidad de aprendizaje del
IB y los componentes troncales del Programa
del Diploma del IB: Teora del Conocimiento,
la Monograa y Creatividad, Actividad y
Servicio (CAS).
Todos los libros pueden usarse en combinacin
con otros materiales y, de hecho, se espera
que los alumnos del IB extraigan conclusiones
basndose en una variedad de recursos. Todos
los libros proponen lecturas adicionales
y brindan sugerencias para ampliar la
investigacin.
Adems, los libros del alumno proporcionan
asesoramiento y orientacin con respecto a los
requisitos de evaluacin de las asignaturas y la
probidad acadmica.
Declaracin de principios
del IB
El Bachillerato Internacional tiene como
meta ormar jvenes solidarios, inormados y
vidos de conocimiento, capaces de contribuir
a crear un mundo mejor y ms pacfco, en el
marco del entendimiento mutuo y el respeto
intercultural.
En pos de este objetivo, la organizacin
colabora con establecimientos escolares,
gobiernos y organizaciones internacionales
para crear y desarrollar programas de
educacin internacional exigentes y mtodos
de evaluacin rigurosos.
Estos programas alientan a alumnos del
mundo entero a adoptar una actitud activa
de aprendizaje durante toda su vida, a ser
compasivos y a entender que otraspersonas,
con sus dierencias, tambin pueden estar en lo
cierto.
El perfl de la comunidad
de aprendizaje del IB
El objetivo undamental de los programas
del Bachillerato Internacional (IB) es ormar
personas con mentalidad internacional que,
conscientes de la condicin que las une como
seres humanos y de la responsabilidad que
comparten de velar por el planeta, contribuyan
a crear un mundo mejor y ms pacfco. Como
miembros de la comunidad de aprendizaje del
IB, nos esorzamos por ser:
Indagadores: Cultivamos nuestra curiosidad,
a la vez que desarrollamos habilidades para
la indagacin y la investigacin. Sabemos
cmo aprender de manera autnoma y junto
con otros. Aprendemos con entusiasmo y
mantenemos estas ansias de aprender durante
toda la vida.
Informados e instruidos: Desarrollamos
y usamos nuestra comprensin conceptual
mediante la exploracin del conocimiento
en una variedad de disciplinas. Nos
comprometemos con ideas y cuestiones de
importancia local y mundial.
Pensadores: Utilizamos habilidades de
pensamiento crtico y creativo para analizar
y proceder de manera responsable ante
problemas complejos. Actuamos por propia
iniciativa al tomar decisiones razonadas y
ticas.
Buenos comunicadores: Nos expresamos
con confanza y creatividad en diversas
ii i
lenguas, lenguajes y maneras. Colaboramos
efcazmente, escuchando atentamente las
perspectivas de otras personas y grupos.
ntegros: Actuamos con integridad y
honradez, con un proundo sentido de la
equidad, la justicia y el respeto por la dignidad
y los derechos de las personas en todo el
mundo. Asumimos la responsabilidad de
nuestros propios actos y sus consecuencias.
De mentalidad abierta: Desarrollamos
una apreciacin crtica de nuestras propias
culturas e historias personales, as como
de los valores y tradiciones de los dems.
Buscamos y consideramos distintos puntos
de vista y estamos dispuestos a aprender de la
experiencia.
Solidarios: Mostramos empata, sensibilidad
y respeto rente a las necesidades y los
sentimientos de otros. Nos comprometemos a
ayudar a los dems y actuamos con el propsito
de inuir positivamente en las vidas de las
personas y el mundo que nos rodea.
Audaces: Abordamos la incertidumbre con
previsin y determinacin. Trabajamos de
manera autnoma y colaborativa para explorar
nuevas ideas y estrategias innovadoras.
Deendemos nuestras posturas con valenta y
claridad.
Equilibrados: Entendemos la importancia
del equilibrio sico, mental y emocional para
lograr el bienestar propio y el de los dems.
Refexivos: Evaluamos detenidamente el
mundo y nuestras propias ideas y experiencias.
Nos esorzamos por comprender nuestras
ortalezas y debilidades para, de este modo,
contribuir a nuestro aprendizaje y desarrollo
personal.
Probidad acadmica
Es undamental citar debidamente a los
autores de la inormacin que se utiliza en un
trabajo. Despus de todo, los autores de las
ideas (propiedad intelectual) tienen derechos
de propiedad. Para que un trabajo se considere
original, debe basarse en ideas propias y citar
debidamente la autora de las ideas y el trabajo
de otras personas. Por lo tanto, toda actividad
escrita u oral realizada para la evaluacin debe
estar expresada en palabras propias. Cuando se
utilicen uentes externas o se haga reerencia
a ellas, ya sea en orma de cita directa o
parrasis, se debe indicar debidamente su
procedencia.
Cmo citar el trabajo de otros
Para indicar que se han utilizado las ideas de
otras personas se usan notas a pie de pgina y
bibliograas.
Notas a pie de pgina (colocadas en la
parte inerior de una pgina) o notas al fnal
(colocadas al fnal de un documento): deben
utilizarse cuando se cita o pararasea de otro
documento, o cuando se reproduce de manera
resumida la inormacin de otro documento.
No es necesario usar una nota a pie de pgina
para inormacin que orma parte de un rea
de conocimiento. Es decir, no es necesario
citar defniciones en notas a pie de pgina,
ya que se considera que son de conocimiento
general.
Bibliograas: deben incluir una lista ormal de
los recursos que se han utilizado en un trabajo.
Por ormal se entiende que debe presentarse
siguiendo una de las varias convenciones
aceptadas. Esto normalmente implica separar
los recursos utilizados en dierentes categoras
(por ejemplo, libros, revistas, artculos
periodsticos, recursos de Internet, CD y obras
de arte) y proporcionar datos completos de
dnde puede encontrar la misma inormacin
un lector o un observador del trabajo. La
bibliograa es una parte obligatoria de la
Monograa.
Qu constituye una conducta
improcedente?
La conducta improcedente es toda accin
por la que un alumno salga o pueda salir
benefciado injustamente en uno o varios
componentes de la evaluacin. El plagio
y la colusin se consideran conducta
improcedente.
iv
Plagio: se entiende como la presentacin de
las ideas o el trabajo de otra persona como
propios. Estas son algunas ormas de evitar el
plagio:
Debe citarse la autora de las palabras e
ideas de otras personas que se utilicen para
respaldar los argumentos propios.
Los pasajes citados textualmente
deben entrecomillarse y debe citarse
su autora.
Los CD-ROM, mensajes de correo
electrnico, sitios web y otros medios
electrnicos deben ser tratados de la misma
manera que los libros y las revistas.
Debe citarse la uente de todas las
otograas, mapas, ilustraciones,
programas inormticos, datos, grfcos,
materiales audiovisuales y otros
materiales similares que no sean de
creacin propia.
Cuando se utilicen obras de arte, ya sean
de msica, cine, danza, teatro o artes
visuales, o cuando se haga un uso creativo
de una parte de una obra de arte, se debe
citar al artista original.
Colusin: se entiende como el comportamiento
de un alumno que contribuye a la conducta
improcedente de otro. Incluye:
Permitirle a otro alumno que copie un
trabajo o lo presente como si uese propio
Presentar un mismo trabajo para distintos
componentes de evaluacin o requisitos
del Programa del Diploma
Otras formas de conducta improcedente
incluyen cualquier accin que le permita a un
alumno salir benefciado injustamente, o que
tenga consecuencias sobre los resultados de
otro alumno (por ejemplo, introducir material
no autorizado a la sala de examen, conducta
indebida durante un examen y alsifcar
documentacin relacionada con CAS).
v
Contenidos
Captulo 1 Nmero y lgebra 1 2
1 .1 Los conjuntos numricos 3
1 .2 Aproximaciones y error 1 1
1 .3 Notacin cientfca 22
1 .4 Unidades de medicin SI 25
Captulo 2 Estadstica descriptiva 42
2.1 Clasifcacin de datos 44
2.2 Datos discretos simples 47
2.3 Datos discretos o continuos agrupados 48
2.4 Medidas de posicin central 54
2.5 Curvas de recuencias acumuladas 61
2.6 Diagramas de caja y bigotes 67
2.7 Medidas de dispersin 73
Captulo 3 Geometra y trigonometra 1 86
3.1 Pendiente de una recta 88
3.2 Ecuaciones de rectas 95
3.3 Las razones seno, coseno y tangente 103
3.4 El teorema del seno y el del coseno 1 19
Captulo 4 Modelos matemticos 132
4.1 Funciones 1 34
4.2 Modelos lineales 147
4.3 Modelos cuadrticos 1 52
4.4 Modelos exponenciales 166
4.5 Grfcos de unciones de la orma
f (x) = ax m + bx n + . . . , m, n Z 1 75
4.6 Utilizacin de la CPG para la
resolucin de ecuaciones 187
4.7 Grfcos de situaciones de la
vida real 1 89
Captulo 5 Aplicaciones estadsticas 202
5.1 La distribucin normal 204
5.2 Correlacin 216
5.3 La recta de regresin 2285.4 La prueba de chi-cuadrado 233
Captulo 6 Introduccin al clculo
diferencial 254
6.1 Introduccin al clculo de derivadas 256
6.2 La uncin derivada 263
6.3 Clculo de la pendiente de la curva
en un punto dado 267
6.4 La tangente y la normal a una curva 271
6.5 Razn de cambio 275
6.6 Puntos mximos y mnimos locales 279
6.7 Uso de derivadas en la elaboracin de
modelos matemticos: optimizacin 283
Captulo 7 Nmero y lgebra 2 294
7.1 Progresiones aritmticas 296
7.2 Progresiones geomtricas 304
7.3 Conversin de divisas 310
7.4 Inters compuesto 314
Captulo 8 Conjuntos y probabilidad 328
8.1 Teora bsica de conjuntos 331
8.2 Diagramas de Venn 334
8.3 Extensin a tres conjuntos 343
8.4 Resolucin de problemas usando
diagramas de Venn 345
8.5 Conceptos bsicos de la teora de
probabilidades 352
8.6 Probabilidad condicionada 355
8.7 Dos casos especiales: sucesos
incompatibles y sucesos
independientes 360
8.8 Diagramas de espacios muestrales 364
8.9 Diagramas de rbol 367
Captulo 9 Lgica 380
9.1 Introduccin a la lgica 382
9.2 Proposiciones compuestas
y notacin simblica 383
9.3 Tablas de verdad: negacin 385
9.4 Tablas de verdad: conjuncin (y) 388
9.5 Tablas de verdad: resolucin de una
ambigedad, el conector o 390
9.6 Equivalencia lgica, tautologa y
contradicciones 395
9.7 Proposiciones compuestas ormadas
por tres proposiciones simples 397
9.8 Argumentos 401
Captulo 10 Geometra y
trigonometra 2 420
10.1 Geometra de los slidos en el espacio 422
10.2 Distancia entre puntos en un slido 426
10.3 ngulos entre dos rectas, o entre una
recta y un plano 429
10.4 Superfcie de los slidos en el espacio 436
10.5 Volumen de los slidos en el espacio 441
Captulo 11 El proyecto 454
11 .1 El proyecto 454
11 .2 Los criterios de evaluacin interna 455
11 .3 Moderacin del proyecto 463
11 .4 Probidad acadmica 463
11 .5 Tener registro de lo hecho 464
11 .6 Eleccin de un tema 465
vi
Captulo 12 Cmo aprovechar al
mximo la calculadora de pantalla
grfca 468
1 .1 Resolucin de sistemas de ecuaciones
lineales 469
1 .2 Resolucin de ecuaciones
cuadrticas 470
1 .3 Notacin cientfca 471
1 .4 Ciras signifcativas 472
2.1 Ingreso de listas de datos 473
2.2 Ingreso de los datos en una tabla
de recuencias 473
2.3 Dibujo de un histograma de
recuencias a partir de una lista 474
2.4 Dibujo de un histograma de recuencias
a partir de una tabla de recuencias 475
2.5 Dibujo de un diagrama de caja y
bigotes a partir de una lista 476
2.6 Dibujo de un diagrama de caja y
bigotes a partir de una tabla de
recuencias 477
2.7 Clculo de parmetros estadsticos
a partir de una lista 478
2.8 Clculo de parmetros estadsticos
a partir de una tabla de recuencias 479
2.9 Clculo del rango intercuartil 480
2.10 Uso de parmetros estadsticos 481
3.1 Grfco de unciones lineales 482
3.2 Cmo hallar los ceros 482
3.3 Cmo hallar la pendiente de una
recta 483
3.4 Resolucin de sistemas de ecuaciones
en orma grfca 484
4.1 Dibujo del grfco de una cuadrtica 486
4.2 Cmo hallar el mnimo local o el
mximo local 487
4.3 Dibujo del grfco de una exponencial 492
4.4 Cmo hallar la asntota horizontal 493
4.5 Resolucin de una ecuacin que
combina cuadrtica y exponencial 494
4.6 Uso de transormaciones para
modelizar una uncin cuadrtica 496
4.7 Uso de deslizadores para modelizar
una uncin exponencial 498
5.1 Clculo de probabilidades conociendo
los valores de X 500
5.2 Clculo de valores de X conociendo
las probabilidades 501
5.3 Diagramas de dispersin usando una
pgina de datos y estadstica 502
5.4 Diagramas de dispersin usando una
pgina de grfcos 505
5.5 Uso de tablas de contingencia 507
6.1 Pendiente en un punto 508
6.2 Dibujo de la tangente a una curva 509
6.3 Puntos mximos y mnimos 510
7.1 Valor total de una inversin 512
7.2 Clculo de pagos por un prstamo 513
Captulo 13 Conocimientos previos 514
1 .1 Operaciones 515
1 .2 Nmeros primos, divisores y
mltiplos 516
1 .3 Fracciones y decimales 518
1 .4 Porcentajes 520
1 .5 Razn y proporcin 523
1 .6 El mtodo de reduccin a la unidad 524
2.1 Desarrollo de parntesis y
actorizacin 525
2.2 Frmulas 526
2.3 Resolucin de ecuaciones lineales 527
2.4 Sistemas de ecuaciones lineales con
dos incgnitas 529
2.5 Expresiones exponenciales 530
2.6 Resolucin de inecuaciones 531
2.7 Valor absoluto 533
3.1 El teorema de Pitgoras 533
3.2 Puntos, rectas, planos y ngulos 535
3.3 Figuras planas (bidimensionales) 535
3.4 Permetro 537
3.5 rea 538
3.6 Geometra analtica 539
4.1 Grfcos estadsticos 541
Captulo 14 544
Prctica para la prueba 1 544
Prctica para la prueba 2 549
Respuestas 553
ndice temtico 609
vii
Acerca del libro
En este libro se cubre detalladamente el actual programa de estudios
de Estudios Matemticos NM. El libro est escrito por educadores que
estuvieron involucrados en la ltima revisin del currculo. Cada captulo
est dividido en secciones que pueden abordarse en una clase
e incluyen:
Investigaciones
Sugerencias para exploraciones
Consejos del examinador
Teora del Conocimiento
Curiosidades
Exploracin histrica
La intencin es permitir al alumno navegar por el libro en el orden que
elija. Al comienzo de cada captulo, hay una ejercitacin corta sobre lo
que el alumno debera saber antes de empezar ese captulo. Adems, el
libro presenta un captulo sobre conocimientos previos. En todo el libro,
se incluyen preguntas tipo examen, cuyas soluciones completas estn en
el sitio web (www.oxordsecondary.com/ib-matematicas). Las respuestas
fnales de todas las ejercitaciones estn al fnal del libro.
El captulo sobre calculadoras de pantalla grfca (CPG) y las capturas
de pantalla en todo el libro son de la calculadora TI-Nspire. Junto a las
preguntas en las que se requiere usar la CPG, hay un icono de calculadora.
En la clase es importante aplicar estrategias de dierenciacin. Para ayudar
a los proesores con esto, los autores han escrito, en cada ejercitacin,
preguntas que van de ciles a diciles. En el sitio web, se incluye adems
material de ampliacin. Parte de este material les resultar til a los
alumnos cuando escriban sus proyectos. Para obtener el mximo nivel
de logro en el criterio Procedimientos matemticos, los clculos deben
hacerse a mano. En el material de ampliacin, esto se expone claramente.
Adems hay un captulo que aborda los criterios de evaluacin para el
proyecto,
junto con sugerencias para escribir un buen trabajo.
Al fnal de cada captulo, se incluye un resumen de las habilidades ms
importantes que el alumno ha aprendido en ese captulo. A continuacin
del resumen, hay algunas pginas interesantes sobre Teora del
Conocimiento, para hacer que los alumnos se detengan a pensar.
El lenguaje utilizado en todo el libro es simple, conciso y claro, con
contextos internacionales que son interesantes y pertinentes.
Nota: Se ha utilizado el estilo del IB para los trminos matemticos.
Tambin se ha empleado el estilo ormal de redaccin utilizado en los
exmenes del IB, para ayudar a los alumnos a prepararse para dichas
pruebas.
viii
Acerca de los autores
Peter Blythe ha enseado durante 25 aos los 4 cursos de matemticas
del Programa del Diploma del IB. Actualmente es profesor en el
United World College South East Asia y es examinador jefe adjunto de
Estudios Matemticos NM.
Jim Fensom ha enseado cursos de matemticas del IB durante
aproximadamente 35 aos. Ha trabajado como coordinador de
Matemticas en el Nexus International School en Singapur.
Jane Forrest ha enseado matemticas durante ms de 30 aos.
Actualmente es la directoradel Rotterdam International Secondary
School en los Pases Bajos. Fue examinadora jefa adjunta de Estudios
Matemticos NM durante 5 aos y es moderadora principal de los
proyectos.
Paula Waldman de Tokman ha enseado matemticas durante ms
de 20 aos. Fue examinadora jefa adjunta de Estudios Matemticos
durante 6 aos. Actualmente ensea cursos de matemticas del IB en
el St. Andrews Scots School en Buenos Aires (Argentina).
Paul La Rondie y todos los autores del libro de alumno Matemticas
NM han contribuido en las secciones sobre Teora del Conocimiento.
1
Nmero y
lgebra 1
OBJETIVOS DEL CAPTULO:
1.1 Nmeros naturales, N; enteros, Z; nmeros racionales, Q; nmeros reales, R
1.2 Aproximacin: lugares decimales, ciras signifcativas, estimacin,
porcentajes de error
1.3 Expresin de nmeros en notacin cientfca, operaciones con nmeros en
notacin cientfca
1.4 SI y otras unidades bsicas de medicin
Qu necesitamos saber
1 Sustituir en frmulas. Por ejemplo:
G y F se relacionan a travs de la
frmula G
F
F
=
+
1
2
. Hallar el valor de
G cuando F = 98. G = =
+
98 1
98 2
9 7, .
2 Resolver ecuaciones simples en una
variable. Por ejemplo:
a 2x 8 = 10 b x2 = 25
2x = 8 x = 5 o x = 5
x = 9
3 Calcular porcentajes. Por ejemplo:
Calcular el 5% de 240.
5
100
240 12 =
4 Resolver inecuaciones y representar
la solucin en la recta numrica. Por
ejemplo:
2x + 7 0
2x 3
1 0
1 ,5
1 2
x ,5
5 Calcular el valor absoluto de un nmero.
Por ejemplo: | 2,5| = 2,5; | ,3| = ,3;
| 0| = 0; | 5 0| = 5
Comprobemos nuestras habilidades
1 Halle el valor de y cuando x = 0,1 si las
variables x e y estn relacionadas a travs
de la frmula:
a y = 3x2 (x 1) b y
x
x
=
( )1
2
c y = (1 x) (2x + 1)
2 Halle el valor de x:
a 3x 7 = 14 b 2(x 6) = 4
c
1
2
1 0( ) =x d x2 = 16
3 Calcule:
a 8% de 1200 b 0,1% de 234
4 Resuelva las siguientes inecuaciones.
Represente las soluciones en la recta
numrica:
a 10 x 1 b 3x 6 > 12
c 2x 0
5 Calcule:
a | 5| b
1
2
c | 5 7| d
12 8
8
100
1
Antes de comenzar
Nmero y lgebra 12
El castillo se encuentra 100 km al sur del Crculo rtico.
Se tarda en construir aproximadamente seis semanas.
La temperatura no debe ser mayor que 8 C para impedir que se derrita.
El rea del castillo vara anualmente. Hasta ahora ha variado
de 1 3 000 a 20 000 m2.
Cuando se abri el castillo por primera vez, lo visitaron aproximadamente
300 000 personas de todo el mundo.
Los castillos han tenido torres ms altas que 20 m y paredes ms largas
que 1000 m.
Estos hechos y estas ciras acerca del castillo de nieve usan distintos tipos de
nmeros y distintos tipos de unidades. Algunos son valores aproximados.
Este captulo nos ayudar a clasifcar nmeros, redondear nmeros y hacer
aproximaciones, adems de mostrarnos la orma de escribir en notacin cientfca nmeros
muy grandes o muy pequeos, y hacer conversiones entre dierentes unidades de medida.
1.1 Los conjuntos numricos
Estas expresiones usan varios tipos de nmeros:
La temperatura ms baja de Finlandia en invierno est alrededor de 45 C.
El desempleo de Irlanda en el 2010 ue superior al 1 3%.
Aproximadamente
4
5
de la poblacin del mundo tiene un telono celular o mvil.
Usain Bolt gan la carrera de 100 metros en los Juegos Olmpicos de 2008 con un
tiempo rcord mundial de 9,69 segundos.
El rea de un crculo de radio 1 cm es cm2.
Chapter opener image
[ Este es e l casti l lo de
n ieve ms grande del
mundo. Se encuentra
en e l norte de Fin landia .
Fue constru ido por
primera vez en 1996.
Desde entonces ha
sido reconstru ido cada
invierno en el que hubo
sufciente cantidad de
n ieve.
Captulo 1 3
Los nmeros 60; 45;
1
3
; 9,69 y pertenecen a distintos conjuntos
numricos, los cuales se describirn en las prximas pginas.
Al fnal de esta seccin, podremos clasifcar a estos nmeros como
elementos de esos conjuntos.
Los nmeros naturales, N
El conjunto de nmeros naturales N es {0, , 2, 3, 4, . . . }
Usamos estos nmeros:
Para contar: por ejemplo: En los Juegos Olmpicos de 202,
se espera que participen 205 naciones.
Para ordenar: por ejemplo: El bosque tropical del Congo es el
segundo ms grande del mundo.
Podemos representar los nmeros
naturales en la recta numrica
defniendo un origen y una unidad.
Ejemplo 1
a Halle el valor de estas expresiones cuando a = 5 y b = 7:
i a + b ii a b iii a b iv b a
b Indique si sus respuestas al apartado a son nmeros naturales.
Respuestas
a i 5 + 7 = 12 ii 5 7 = 35 iii 5 7 = 2 iv 7 5 = 2
b i Natural ii Natural iii No natural iv Natural
Ejercitacin 1A
a Halle el valor de estas expresiones cuando a = 2 y b = 4:
i 2a + b ii 2(a + b) iii a2 b2 iv (a b)2
b Indique si sus respuestas al apartado a son nmeros naturales.
Escribimos N = {0, 1,
2, 3, 4, 5, . . . }.
Las l laves encierran
los elementos de un
conjunto.
10 2
1 unidad
origen
3 4 5
Hay tantos nmeros
naturales como
nmeros pares.
Hay que recordar que
los nmeros negativos
no estn en N.
Investigacin: nmeros naturales
Indique si las siguientes afrmaciones son verdaderas o alsas.
Si son alsas, d un ejemplo para mostrar por qu.
a Verdadero o also? Siempre que se sumen dos nmeros
naturales, la suma ser un nmero natural.
b Verdadero o also? Siempre que se multipliquen dos
nmeros naturales, el producto ser un nmero natural.
c Verdadero o also? Siempre que se resten dos nmeros
naturales, la diferencia ser un nmero natural.
Si a + b = c, decimos que
c es la suma de a y b.
Si a b = c, decimos que
c es el producto de a y b.
Si a b = c, decimos que
c es la d ierencia de a y b.
Nmero y lgebra 14
El conjunto de los enteros, Z
En el ejemplo vimos que la diferencia entre dos nmeros naturales
no es siempre un nmero natural. De manera que necesitamos un
nuevo conjunto, dado que hay cantidades que no se pueden
representar con nmeros naturales. El nuevo conjunto es , el
conjunto de los enteros.
El conjunto de enteros es {. . . , 4, 3, 2, , 0, , 2, 3, 4, . . .}
Todo nmero natural es tambin un nmero entero, pero no todo
nmero entero es un nmero natural.
Se puede representar en la recta numrica as:
1123 0 2 3
Ejemplo 2
Halle el valor de x en cada ecuacin. Indique si la solucin de la
ecuacin es un entero o no.
a x + 5 = 11 b 3x = 10
Respuestas
a x + 5 = 11
x = 6 x es un entero.
b 3x = 10
x =
-10
3
x no es un entero.
Ejemplo 3
a Halle el valor de las siguientes expresiones cuando j = 4 y
k = 2.
i
5k j
k j
-
+
ii
j k
j k
2
2
2
-
+
b Indique si sus respuestas al apartado a son enteros.
Respuestas
a i 5 2 4
2 4
14
2
7
( )- -
- +
=
-
= -
ii
4 2
4 2 2
2
2
1 5
+
=
( )
( )
,
b i Entero
ii No entero
Escribir las expresiones sustituyendo
las letras por los nmeros
Podemos usar la calculadora de
pantalla grfca (en adelante, CPG)
para calcular esto.
Al usar la CPG para ingresar
expresiones raccionarias, debemos
recordar el uso de parntesis para
indicar claramente el numerador
y el denominador o, en su deecto,
utilizar la plantilla de raccin.
es una extensin
de N.
En esta recta numrica:
Los enteros
positivos se ubican
a la derecha del
cero
Los enteros
negativos se ubican
a la i zqu ierda del
cero
El cero no es n i
positivo n i negativo
Usamos nmeros
negativos pararepresentar muchas
situaciones cotid ianas.
Enumere al menos tres.
Brahmagupta vivi
desde 589 hasta 669
e. c. en India. Se le
atribuye haber escrito
el primer l ibro que
incluy el cero y los
nmeros negativos.
Captulo 1 5
Ejercitacin 1B
1 a Resuelva la ecuacin 4x + 2 = 0.
b Indique si su solucin al apartado a es un nmero entero.
2 a Resuelva la ecuacin x2 = 4.
b Indique si sus soluciones al apartado a son nmeros enteros.
3 a Halle el valor de estas expresiones cuando a = 2 y b = 4.
i a b
a b
+
ii 3 2
9
a
b
b Indique si sus respuestas al apartado a son nmeros enteros.
Investigacin: enteros
Indique si las siguientes afrmaciones son verdaderas o alsas.
Si son alsas, d un ejemplo para mostrar por qu.
a La suma de dos enteros es siempre un entero.
b La diferencia de dos enteros es siempre un entero.
c El cociente de dos enteros es siempre un entero.
d El producto de dos enteros es siempre un entero.
Si
a
b
c= entonces
decimos que c es el
cociente de a y b.
Cociente signifca
razn.
El conjunto de los nmeros racionales, Q
En la investigacin tendramos que haber encontrado que el
cociente de dos enteros no es siempre un entero. Por lo tanto
necesitamos un nuevo conjunto, ya que hay cantidades que no se
pueden representar con enteros. Este conjunto es Q, el conjunto de
los nmeros racionales.
El conjunto de nmeros racionales Q es:
p
q
donde p y q son enteros y q 0
Esta defnicin signifca que un nmero es racional
si se puede escribir como un cociente de dos enteros.
Aqu se muestran ejemplos de nmeros racionales.
7 es un nmero racional, ya que se puede escribir
como 7
1
, donde 7 y 1 son enteros.
3 es un nmero racional, ya que se puede escribir
como
3
1
, donde 3 y 1 son enteros.
0 es un nmero racional, ya que se puede escribir
como
0
4
, donde 0 y 4 son enteros.
1 ,5 es un nmero racional, ya que se puede escribir
como 3
2
, donde 3 y 2 son enteros.
0,6
.
= 0,666. . . es un nmero racional, ya que se puede escribir como
6
9
,
donde 6 y 9 son enteros.
Q es una extensin
del conjunto .
Observe que q 0 ya
que la d ivisin por 0
no est defnida.
La expresin decimal de un
nmero racional puede tener una
cantidad fnita de lugares decimales
(por ejemplo, 1,5) o puede repetirse
indefnidamente (por ejemplo, 0,6
.
). Un
nmero cuyos decimales se repiten
indefnidamente tiene un perodo,
es decir un decimal o un grupo de
decimales que se repiten despus
de la coma decimal . Por ejemplo:
el perodo de 0,66666. . . es 6 y el
perodo de 0,767676. . . es 76.
Nmero y lgebra 16
A partir de estos ejemplos podemos ver que todo entero es
tambin un nmero racional, pero que no todos los nmeros
racionales son enteros. Podemos representar algunos nmeros
racionales en la recta numrica as:
0,50 1 1 ,250,5 1
4
1
8
1
4
Ejemplo 4
a Exprese 1,3
.
como una raccin.
b A partir de lo anterior, calcule 1 3
4
5
,
.
+ . D su respuesta como una
raccin.
Respuestas
a Sea a = 1,3
.
entonces
a = 1,3333 . . .
10a = 13,333 . . .
10a a = 13,333 . . . 1,3333 . . .
= 12
9a = 12
a = =
12
9
4
3
b 1 3
4
5
,
.
+ =
4
3
4
5
32
15
+ =
Multiplicar por 10 para obtener otro
nmero con el mismo perodo
Restar a de 10a
Dividir ambos miembros por 9
Simplifcar a la expresin ms
simple
Usar el denominador comn 15 o su
CPG
Ejercitacin 1C
1 a Halle la expresin decimal de estas racciones:
2
3
5
4
2
9
4
7
11
5
b Para cada raccin de a, indique si su expresin decimal es:
i Finita ii Peridica
2 a Exprese 0,5
.
como una raccin. b Exprese ,8
.
como una raccin.
c A partir de lo anterior, calcule 0,5
.
+ ,8
.
. D su respuesta como una
raccin.
3 a Escriba un nmero racional cuya expresin decimal sea fnita.
b Escriba un nmero racional cuya expresin decimal sea peridica.
c Escriba un nmero racional cuya expresin decimal tenga un
perodo que empieza en la cuarta cira despus de la coma decimal.
Para todo par de nmeros racionales siempre podemos encontrar
un nmero racional que se encuentre entre ellos en la recta numrica.
Por ejemplo, la media aritmtica de dos nmeros est a mitad de
camino entre ambos nmeros.
Averige ms acerca
de la h istoria de los
nmeros racionales
en las pginas 4041.
A partir de lo
anterior es
un trmino de
instruccin que se
usa frecuentemente
en los exmenes. Si
leemos a partir de
lo anterior , entonces
debemos usar los
resultados anteriores
para hal lar el valor
sol icitado.
2
3
2 3
Use su CPG.
Exprese 1,9 como
una fraccin. Qu
observa? Es
verdad que 1,9 = 2?
.
.
Captulo 1 7
Ejemplo 5
a Escriba un nmero racional que se encuentre en la recta numrica
entre
2
3
y 1.
b Escriba un segundo nmero racional que se encuentre en la recta
numrica entre
2
3
y 1.
c Escriba un tercer nmero racional que se encuentre en la recta
numrica entre
2
3
y 1.
Respuestas
a
2
3
1
2
5
6
+
=
b
2
3
5
6
2
3
4
+
=
c
2
3
3
4
2
17
24
+
=
Hallar la media aritmtica de
2
3
y 1. Usar la CPG para simplifcar
la respuesta.
Un nmero es racional si:
Se puede escribir como el cociente de dos enteros
Su expresin decimal es fnita
Su expresin decimal no termina, pero tiene una cira o un
patrn de ciras que se repite indefnidamente
Ejemplo 6
Para cada una de las expresiones a ( )x y+ 2 b
5x
y
:
i Calcule el valor cuando x = 4 e y =
1
2
.
ii Indique si sus respuestas al apartado i son nmeros racionales.
Justifque su respuesta.
Respuestas
a i +
=
=4
1
2
7
2
49
4
2 2
ii Es un nmero racional, ya que se
puede escribir como el cociente
de dos enteros.
b i
+
= =
4 5 1
2
1 1
2 2
ii No es un nmero racional. La
expresin decimal es 1,4142135. . .
No tiene un nmero fnito de
lugares decimales y no tiene una
cira o un grupo de ciras que se
repite indefnidamente.
Para justifcar su respuesta,
explicar cmo sabe que es
racional
Escriba es un trmino
de instruccin que
seala que se
requieren pocos pasos
(o n inguno) para
obtener la respuesta.
Cuntos nmeros
racionales hay
entre dos nmeros
racionales?
Decir que no termina
es lo opuesto a decir
que es fnita .
Nmero y lgebra 18
Investigacin: nmeros racionales
Indique si las siguientes afrmaciones son verdaderas o alsas.
Si son alsas, d un ejemplo para mostrar por qu.
a La diferencia de dos nmeros racionales es siempre un nmero racional.
b El cuadrado de un nmero racional es siempre un nmero racional.
c El cociente de dos nmeros racionales es a veces un nmero racional.
d La raz cuadrada de un nmero racional es siempre un nmero racional.
Ejercitacin 1D
1 Escriba tres nmeros racionales que se encuentren entre
2
9
4
y en la recta numrica.
2 a Calcule el valor de la expresin 2( )y x cuando y = 3 y
x =
1
8
.
b Indique si su respuesta al apartado a es un nmero racional.
3 a Escriba tres nmeros racionales entre
9
5
y
1 1
6
.
b i Escriba tres nmeros racionales entre
28
13
y 2.
ii Cuntos nmeros racionales hay entre
28
13
y 2?
El conjunto de los nmeros reales, R
En la investigacin tendramos que haber encontrado que la raz
cuadrada de un nmero racional no es siempre un nmero racional.
Por lo tanto necesitamos un nuevo conjunto, ya que hay cantidades
que no se pueden representar con nmeros racionales. Por ejemplo,
podramos pensar en un crculo de radio 1 cm.
Cules el rea, A, de este crculo?
A = r 2
A = (1 cm)2
A = cm2
Es el nmero racional? La expresin decimal de obtenida de
la CPG es 3,141592654. Estas son solo las primeras nueve ciras
despus de la coma decimal.
La expresin decimal de tiene un nmero infnito de ciras
despus de la coma decimal y no tiene perodo (no tiene un patrn
que se repite indefnidamente).
Todo nmero decimal que tiene un nmero infnito de ciras
despus de la coma decimal y que no tiene perodo es un
nmero irracional.
1 cm
Podemos encontrar las
primeras 10 000 ciras
de en el sitio web:
http://www. joyopi .
com/pi.html (en ingls).
Captulo 1 9
Los nmeros irracionales incluyen, por ejemplo, , 2 , 3 .
El conjunto de los nmeros racionales junto con el conjunto
de nmeros irracionales completan la recta numrica y forman
el conjunto de los nmeros reales, R.
Nmeros naturales N
210 3 4 5 6
Nmeros enteros
1 23 0 1 2 3
Nmeros racionales Q
1 23 0 1 2 3
5
4
5
2
3
2
Los nmeros reales R completan la recta numrica:
1 23 0 1 2 3
2 r
Ejemplo 7
Calcule cada una de estas medidas e indique si son nmeros racionales
o irracionales:
a La longitud l de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1 cm
b El rea A de un crculo de radio
1
cm
Respuestas
a l 2 = 12 + 12
l 2 = 2
l = 2
2 es un nmero irracional.
b A = r 2
A =
2
1
=
1
A = 1 cm2
1 es un nmero racional.
Usar el teorema de Pitgoras
2 = 1, 4142. . .
No es fnito, no hay un perodo.
Usar la rmula del rea de un crculo
Ejercitacin 1E
1 a Calcule la longitud, h, de la hipotenusa de un tringulo
rectngulo cuyos lados miden 2 cm y 1,5 cm.
b Indique si h es racional o irracional.
2 a Calcule el rea, A, de un crculo de 10 cm de dimetro.
b Indique si A es racional o irracional.
Cuntos nmeros
reales hay? Los
podemos contar?
El 14 de marzo (o en el ormato mes/
da, 3/14), mucha gente de todo el
mundo celebra el Da de Pi, ya que 3,
1 y 4 son los dgitos ms signifcativos
de . Adems, el 14 de marzo es el
cumpleaos de Albert Einstein, por
lo que algunas veces ambos eventos
se celebran en conjunto. El Da de
la aproximacin de Pi es el 22 de
ju l io, que en el ormato da/mes es
22/7, el cual es una aproximacin del
valor de .
1 cm
1 ,5
2
h
Nmero y lgebra 110
Ejemplo 8
a Resuelva la inecuacin y represente la solucin en la recta numrica:
8 + x > 5
b Indique si p = es solucin de la inecuacin dada en el apartado a.
Respuestas
a 8 + x > 5
x > 3
3 2 1 0 1
b = 3,142. . . , por lo que < 3
p no es solucin de la inecuacin.
Ejercitacin 1F
1 a Resuelva estas inecuaciones:
i 0, 5
2
<
x
1 5, ii 3 x 1
b Represente la solucin al apartado a en la recta numrica.
c Indique si los nmeros q = 1,5 y t = 5 son soluciones de las
inecuaciones dadas en el apartado a.
2 a Resuelva estas inecuaciones:
i 2x + 1 > 1 ii 4 x + 1 8 iii 2 x > 1
b Represente la solucin al apartado a en la recta numrica.
c Copie y complete la siguiente tabla. Inserte un si el nmero
p es una solucin de la inecuacin dada.
Inecuacin
p
2x + 1 > 1 4 x + 1 8 2 x > 1
2
3
10
2
. Aproximaciones y error
Es importante comprender la diferencia entre valor exacto y valor
aproximado.
Algunas veces, como en los prximos ejemplos, aproximamos
cantidades porque no conocemos los valores exactos (quizs porque
el instrumento usado para tomar las mediciones solo alcanza cierta
precisin).
El rea aproximada de Ecuador es 283 56 km2.
La altura actual de la Gran Pirmide de Guiza es
aproximadamente 38,8 m.
El peso de una manzana es aproximadamente 250 g.
Todos usamos la
misma notacin en
matemtica? Estamos
usando un crculo
vaco para indicar
que x = 3 no est
inclu ido. Distintos
pases tienen
d istintas notaciones
para representar
lo mismo. Es ms,
d istintos profesores
dentro del mismo
pas usan d iferentes
notaciones.
Captulo 1 11
Algunas veces aproximamos cantidades porque no necesitamos el
valor exacto, como en los prximos ejemplos:
La poblacin de India es de alrededor de 1 800 000 000
habitantes.
Corro alrededor de 3 horas todos los domingos.
La economa de China creci a una tasa promedio del 1 0% por
ao durante el perodo 19902004.
Redondear un nmero es el proceso de aproximar este nmero con
un nivel de precisin dado.
Redondeo de nmeros a la unidad ms cercana, a la
decena ms cercana, a la centena ms cercana, a la
unidad de millar ms cercana, etc.
Redondear un nmero a la decena ms cercana es lo mismo
que redondearlo al mltiplo de 10 ms cercano.
Redondear un nmero a la centena ms cercana es lo mismo
que redondearlo al mltiplo de 100 ms cercano.
Para redondear 3746 a la centena ms cercana:
37253700 3750 3775 3800
37 4 6
Cambiar a ceros todas las
cifras que estn a la derecha
de la cifra redondeada
Dejar la cifra a
redondear igual
Nmero redondeado: 3 7 00
3746 est ms cerca
de 3700 que de 3800.
La cifra que est a la derecha
de la cifra a redondear es
menor que 5.
Para redondear 81 650 a la unidad de millar
ms cercana:
81 25081 000 81 500 81 750 82 000
81 6 50
Cambiar a ceros todas las
cifras que estn a la derecha
de la cifra redondeada
Sumar 1 a la cifra a
redondear
Nmero redondeado: 8 2 000
La cifra que est a la derecha
de la cifra a redondear es
mayor o igual que 5.
81 650 est ms cerca de
82 000 que de 81 000.
Reglas de redondeo
Si la cifra siguiente a la que se est redondeando es menor que
5, entonces mantener la cifra que se est redondeando y
cambiar a ceros todas las que estn a su derecha.
Si la cifra siguiente a la que se est redondeando es 5 o ms,
entonces sumarle 1 a la cifra que se est redondeando y
cambiar a ceros todas las que estn a su derecha.
Nmero y lgebra 112
Ejemplo 9
a Escriba 247 redondeado a la decena ms cercana.
b Escriba 1050 redondeado a la centena ms cercana.
Respuestas
a 250
b 1100
240 y 250 son ambos mltiplos de 10,
pero 250 est ms cerca del 247.
1000 y 1100 son ambos mltiplos de
100, y 1050 est exactamente en el
medio. Dado que la cifra siguiente
a la que se est redondeando es 5,
redondear hacia arriba.
Ejercitacin 1G
1 Escriba estos nmeros redondeados a la unidad ms cercana:
a 358,4 b 24,5 c 108,9 d 10 016,01
2 Escriba estos nmeros redondeados a la decena ms cercana:
a 246,25 b 109 c 1015,03 d 269
3 Escriba estos nmeros redondeados a la centena ms cercana:
a 140 b 150 c 1240 d 3062
4 Escriba estos nmeros redondeados a la unidad de millar ms
cercana:
a 105 607 b 1500 c 9640 d 952
5 Escriba un nmero que redondeado a la centena ms cercana
es 200.
6 Escriba un nmero que redondeado a la unidad de millar ms
cercana es 3000.
7 Escriba un nmero que redondeado a la unidad ms cercana es 6.
Redondeo de nmeros a una cantidad dada de cifras
decimales o lugares decimales
Esto signifca redondear nmeros al dcimo ms cercano,
al centsimo ms cercano, etc.
Redondear un nmero a un lugar decimal es lo mismo que
redondearlo al dcimo ms cercano.
Redondear un nmero a dos lugares decimales es lo mismo
que redondearlo al centsimo ms cercano.
Redondear un nmero a tres lugares decimales es lo mismo
que redondearlo al milsimo ms cercano.
Captulo 1 13
Para escribir 3,02 redondeado a un lugar decimal:
Cifr
rnr
Prir cifr l
rch s nr
qu 5
NmeRo 3 , 0 2 1
NmeRo
RedoNdeado
3 , 0 . . . . . . . . . . . .
3,021 = 3,0(1 lugar decimal)
Cifra a
redondear
se mantiene
igual .
Cifras a la
derecha de la cifra
redondeada se
el iminan.
Cifras a la
derecha de la cifra
redondeada se
el iminan.
Para escribir 0,583 redondeado a dos lugares decimales:
Cifr
rnr
Prir cifr l
rch s nr
qu 5
NmeRo 1 0 , 5 8 3
NmeRo
RedoNdeado
1 0 , 5 8 . . . . . .
10,583 = 10,58
(2 lugares decimales)
Cifra a
redondear se
mantiene igual .
Cifras a la derecha
de la cifra redondeada
se el iminan.
Para escribir 4,37 redondeado a un lugar decimal:
Cifr
rnr
Prir cifr l
rch s yr
qu 5
NmeRo 4 , 3 7 1
NmeRo
RedoNdeado
4 , 4 . . . . . . . . . . . .
4,371 = 4,4
(1lugar decimal)
A la cifra a
redondear se
le suma 1.
Cifras a la
derecha de la cifra
redondeada se
el iminan.
Cifras a la
derecha de la
cifra redondeada
se el iminan.
Reglas de redondeo para decimales
Si la cifra siguiente a la que se est redondeando es menor que 5, entonces mantener
la cifra que se est redondeando y eliminar todas las que estn a su derecha.
Si la cifra siguiente a la que se est redondeando es 5 o ms, entonces sumar a la
cifra que se est redondeando y eliminar todas las que estn a su derecha.
Ejemplo 10
a Escriba 10,045 redondeado a dos lugares decimales.
b Escriba 1,06 redondeado a un lugar decimal.
Rspusts
a 10,045 = 10,05 (2 lugares decimales)
b 1,06 = 1,1 (1 lugar decimal)
La cifra siguiente a 4 es 5, entonces redondear hacia arriba: 10,05.
La cifra siguiente a 0 es 6, entonces redondear hacia arriba: 1, 1.
Nmero y lgebra 114
Ejercitacin 1H
1 Escriba estos nmeros redondeados a 1 lugar decimal:
a 45,67 b 301,065 c 2,401 d 0,09
2 Escriba estos nmeros redondeados a 2 lugares decimales:
a 0,0047 b 201,305 c 9,6201 d 28,0751
3 Escriba estos nmeros redondeados a 3 lugares decimales:
a 10,0485 b 3,9002 c 201,7805 d 0,008 41
4 Use su calculadora de pantalla grfca para calcular
2
1, 8
3 , 08 0, 01 2
.
D su respuesta redondeada a:
a 1 lugar decimal b 2 lugares decimales
c 3 lugares decimales d La centena ms cercana
e La unidad de millar ms cercana
5 Dados p = 3,15 y q = 0,8, halle el valor de
3
( )p q
p q
+
+
.
D su respuesta redondeada a:
a 2 lugares decimales b 3 lugares decimales
c El entero ms cercano d La decena ms cercana
6 Escriba un nmero que redondeado a 2 lugares decimales es 2,37.
7 Escriba un nmero que redondeado a 1 lugar decimal es 4,1.
Redondeo de nmeros a una cantidad dada de
ciras signifcativas
La cantidad de ciras signifcativas (en adelante, cs) en un
resultado es la cantidad de ciras que se conocen con cierto
grado de fabilidad.
Esto en algunos casos depende de lo que se est midiendo. Por
ejemplo, si se est midiendo el largo de un lpiz con una regla cuya
divisin ms pequea es mm, entonces nuestra medicin podr ser
precisa solo hasta el milmetro ms cercano.
Podemos decir: Este lpiz mide 14,6 cm.
Sin embargo, no podemos decir: Este lpiz mide 14,63 cm.
La longitud del lpiz se puede dar con una precisin de tres ciras
signifcativas pero no con una precisin de cuatro ciras signifcativas.
Reglas para ciras signifcativas:
Toda cira d istinta de cero es signifcativa. 2578 kg tiene 4 cs.
Los ceros que se encuentran entre dos
ciras d istintas de cero son signifcativos.
20 004 km tiene
5 cs.
Los ceros a la izquierda de la primera cira
que no es cero no son signifcativos.
0,023 g tiene 2 cs.
Los ceros ubicados despus de otra cira,
pero que estn a la derecha de la coma
decimal , son signifcativos.
0,100 ml tiene 3 cs.
0
c
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
6
5
4
3
2
1
0
in
Es importante
comprender
cundo una cira es
signifcativa.
Captulo 1 15
Las reglas para redondear a una cantidad dada de ciras signifcativas
son similares a las de redondeo a la decena ms cercana, unidad de
millar ms cercana, etc. , o a las de redondeo a un nmero dado de
lugares decimales.
Este ejemplo muestra el mtodo.
Ejemplo 11
a Escriba 24,31 redondeado a 2 ciras signifcativas.
b Escriba 1005 redondeado a 3 ciras signifcativas.
c Escriba 0,2981 redondeado a 2 ciras signifcativas.
Respuestas
a 24,31 = 24 (2 cs)
b 1005 = 1010 (3 cs )
c 0,2981 = 0,30
(2 cs)
24,2524 24,5 24,75 25
24, 3 1
Cambiar a cero las cifras a
la derecha de la cifra
redondeada
Dejar igual la cifra a
redondear
Nmero redondeado:
La cifra a la derecha de la cifra
a redondear es menor que 5.
0042 ,
La cifra a la derecha de la cifra a redondear es igual
a 5. Sumar 1 a la cifra a redondear. Cambiar a cero
todas las cifras que estn a su derecha.
La cifra a la derecha de la cifra a redondear es mayor
que 5. Sumar 1 a la cifra a redondear. Eliminar
todas las cifras que estn a la derecha de la cifra
redondeada.
Reglas de redondeo para ciras signifcativas
Si la cira que est en el lugar (n + ) es menor que 5,
entonces mantener igual la cira del lugar n.
Si la cira que est en el lugar (n + ) es 5 o ms, entonces
sumar a la cira del lugar n.
En ambos casos todas las ciras a la derecha de la cira que
se ubica en el lugar n deben ser eliminadas si estn a la
derecha de la coma decimal, y deben ser reemplazadas por
ceros si estn a la izquierda de la coma decimal.
9 + 1 = 10.
Reemplazar la cifra a
redondear con un 0.
Sumar 1 a la cifra que
est a la izquierda de
la ci fra a redondear.
Nmero y lgebra 116
Ejemplo
Sea t =
12, 4
2,1 + 3
3
.
a Escriba el valor de t. D el valor completo que despliega la pantalla
de la calculadora.
b Escriba la respuesta al apartado a redondeando a:
i Tres ciras signifcativas ii Dos ciras signifcativas
Respuestas
a 497,5466391
b i 498
ii 500
497, 54 = 498 (3 cs )
49 7,54 = 500 (2 cs)
Ejercitacin 1I
1 Escriba el nmero de ciras signifcativas de cada uno de los siguientes nmeros:
a 106 b 200 c 0,02 d 1290 e 1209
2 Escriba estos nmeros redondeando a 1 cira signifcativa:
a 280 b 0,072 c 390,8 d 0,00132
3 Escriba estos nmeros redondeando a 2 ciras signifcativas:
a 355 b 0,0801 c 1,075 d 1560,03
4 Escriba estos nmeros redondeando a 3 ciras signifcativas:
a 2971 b 0,3259 c 10 410 d 0,5006
5 Calcule 4
8, 7 + 2 1, 6
0, 3
. D su respuesta redondeada a:
a 1 cs b 3 cs c 1 lugar decimal d El centsimo ms cercano
6 Escriba el valor de redondeado a:
a La unidad ms cercana b 2 lugares decimales
c 2 cs d 3 lugares decimales
7 Escriba estos nmeros con la precisin especifcada:
a 238 (1 cs) b 4609 (3 cs) c 2,7002 (3 cs)
8 a Calcule
+
3
2
3, 375
1, 5 1, 8
. Escriba el valor completo que despliega la pantalla
de la calculadora.
b D su respuesta al apartado a redondeada a:
i 2 cs ii 3 cs iii 4 cs
Captulo 1 17
Frecuentemente en los exmenes necesitamos hacer clculos que
requieren muchos pasos. En estas situaciones, se debe mantener
en los pasos intermedios al menos una cira signifcativa ms de las
necesarias en la respuesta fnal.
Por ejemplo, si se debe dar la respuesta fnal redondeada a tres ciras
signifcativas, entonces debemos mantener al menos cuatro ciras
signifcativas en los clculos intermedios, o guardar los valores sin
redondear en la CPG.
Ejemplo 3
El diagrama representa una reja de una ventana
hecha de alambre, para mantener a las palomas
uera de la casa. Los tringulos pequeos son
rectngulos y son todos congruentes.
Su hipotenusa mide 15 cm. Los otros dos lados
tienen la misma longitud. Halle la longitud
total del alambre, L. D la respuesta redondeando
a tres ciras signifcativas.
Respuestas
Sea x la longitud del lado de
los tringulos.x2 + x2 = 152
2x2 = 225
x2 = 112,5
x = 112 5,
Primero hallar la longitud del lado ms
corto usando Pitgoras
15 cm
x
x
x = 10,6066 . . . Mantener el valor exacto de x o redondeado
a ms de tres ciras signifcativas, ya que es
solo un valor intermedio
L = 31 x + 12 15
L = 31 10,6066 . . . + 12 5
L = 508,804 . . .
L = 509 cm (3 cs)
En la reja hay 31 lados de tringulos
cuya longitud es x y 12 lados cuya
longitud es 15.
Ejercitacin 1J
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
1 El rea de un crculo es 10,5 cm2.
a Halle la longitud de su radio. D su respuesta redondeada a cuatro ciras signifcativas.
b Halle la longitud de su circunerencia. D su respuesta redondeada
a dos ciras signifcativas.
2 Considere los nmeros p = 2 y q = 10 .
a Halle la media aritmtica de p y q. D su respuesta redondeada a cuatro ciras signifcativas.
b Halle el valor de (p + q)2. D su respuesta redondeada a tres ciras signifcativas.
c Halle el rea de un rectngulo cuyos lados miden p cm y q cm.
D su respuesta redondeada a dos ciras signifcativas.
La regla general en
Estudios Matemticos
es: Salvo que se
indique lo contrario en
la pregunta, todas las
respuestas numricas
debern ser exactas o
aproximadas con tres
ciras signifcativas.
Congruentes
signifca que tienen
exactamente la misma
orma y tamao.
Recuerde escribir
las unidades en sus
respuestas.
Nmero y lgebra 118
Estimacin
Una estimacin de una cantidad es una aproximacin que
recuentemente se utiliza para comprobar si una respuesta es razonable.
Para estimar la respuesta de un clculo, hay que redondear
todos los nmeros que lo componen a una cira signifcativa.
Ejemplo
Un teatro tiene 98 flas y cada fla tiene 23 asientos. Estime la cantidad
de asientos en el teatro.
Respuesta
100 20 = 2000 asientos Redondear 98 a 1 cs 100
Redondear 23 a 1 cs 20
Ejemplo
Estime la velocidad promedio de un automvil que recorre 527 km
en 6 horas.
Respuesta
velocidad promedio
distancia recorrida
tiempo empleado
=
500
5
100
1
= km h
-
527 500 (1 cs)
El 6 se redondea a 5 para
hacer ms fcil la divisin.
Ejercitacin 1K
1 Estime las respuestas de estos clculos:
a 298 10,75 b 3,82 c
147
11 , 02
d 103
2 Un camin traslada 210 contenedores con caos. Hay 18 caos
en cada contenedor. Estime la cantidad de caos que traslada
el camin.
3 Japn tiene una superfcie de aproximadamente 377 835 km2 y,
en marzo de 2009, la poblacin de Japn era de 127 076 183.
Estime la densidad de poblacin de Japn en 2009.
4 Un rbol produce en promedio 9000 hojas de papel. Estime el
nmero de resmas que se pueden hacer de un rbol.
5 Mizuki corre 33 km en 1,8 horas. Estime la velocidad promedio
de Mizuki.
La respuesta exacta
es: 98 23 = 2254
asientos.
La respuesta exacta es:
527
6
= 87, 8 km h (3 cs) 1
pob lac in to ta l
superfic ie
Densidad de pob lac in =
Una resma tiene 500
hojas.
d is ta n c ia re co rri d a
tiem po em p le a d o
Ve loc id a d p rom ed io =
Captulo 1 19
6 La seccin de Badaling y el Mausoleo de Ming, rea pintoresca
de la Gran Muralla, se limitan a recibir 53 000 visitantes al da.
Estime la cantidad de visitantes por ao.
7 Pedro calcula que el rea de este cuadrado
es 1020,01 m2. Utilice estimaciones para
decidir si Pedro tiene razn.
Porcentajes de error
En algunos casos necesitamos saber la diferencia entre el valor
estimado y el valor exacto.
La diferencia entre un valor estimado o valor aproximado y el
valor exacto se denomina error:
Error = v
A
v
E
Donde v
A
es el valor aproximado y v
E
es el valor exacto
Ejemplo 1
Olivia y Ramesh fueron a distintos conciertos. En el concierto al que
fue Olivia haba 1450 personas y ella estim que haba 1300.
En el concierto al que fue Ramesh haba 1950 personas y l estim
que haba 1800.
Calcule los errores que cometieron Olivia y Ramesh en sus
estimaciones.
Respuestas
Olivia: Error = 1450 1300
Error = 150 personas
Ramesh: Error = 1950 1800
Error = 150 personas
v
A
v
E
es negativo, entonces se
utiliza v
E
v
A
.
En el ejemplo 6, tanto Olivia como Ramesh cometieron el mismo
error, 50. Sin embargo, la estimacin de Ramesh fue ms precisa,
ya que 50 de 950 es una proporcin menor que 50 de 450.
Usando porcentajes:
150
1450
100 10 3 % , %= (3 cs) y
150
1950
100 7 69 % , %= (3 cs)
El error de Olivia representa 0,3% del total.
El error de Ramesh representa 7,69% del total.
Estos porcentajes nos ayudan a tener una mejor idea de la precisin
de las estimaciones. Se denominan porcentajes de error.
Porcentaje de error =
v v
v
A E
E
100%
Donde v
A
representa el valor aproximado o valor estimado
y v
E
representa el valor exacto
100,1 m
Por qu surgen los
errores?
Qu tipo de errores
conocemos?
Las palabras error
y equivocacin ,
tienen el mismo
signifcado?
| v
A
v
E
| es el mdulo
o valor positivo de
v
A
v
E
.
En algunas
situaciones no
conocemos el
valor exacto y lo
reemplazamos con el
valor aceptado.
[ La Gran Mura l la de Ch ina
Nmero y lgebra 120
Ejemplo 7
La medida del ngulo M es 125,7. Salomn, midiendo con un
transportador, encuentra que M mide 126. Halle el porcentaje de error
que ha cometido Salomn al medir M.
Respuesta
Porcentaje de error
=
126 125 7
125 7
100
,
,
%
Porcentaje de error
= 0,239% (3 cs)
Porcentaje de error
=
v v
v
A E
E
100%
Con v
A
= 126, v
E
= 125,7
Utilizar la CPG. Redondear a 3 cs.
Ejercitacin 1L
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
1 Considere a = 5,2 y b = 4,7.
a Halle el valor exacto de 3a + b3.
Gema estima que la respuesta al apartado a es 40.
b Halle el porcentaje de error que comete Gema en su
estimacin.
2 Las notas de Ezequiel en Biologa son 8,3; 6,8 y 9,4 sobre 10.
Su nota fnal en Biologa es la media de estas tres notas.
a Calcule la nota fnal de Ezequiel en Biologa.
Ezequiel redondea las tres notas a la unidad ms cercana para
calcular su nota fnal de Biologa.
b Calcule la nota fnal que hall Ezequiel.
c Calcule el porcentaje de error que cometi Ezequiel cuando
hall su nota fnal en Biologa.
3 El ancho y el largo de una cocina rectangular son 5,34 m y
3,48 m respectivamente.
a Calcule, en m2, el rea exacta de la cocina.
b Escriba la longitud y el ancho de la cocina redondeados a un
lugar decimal.
c Calcule el porcentaje de error que se cometera si el rea
uera calculada utilizando la longitud y el ancho, ambos
redondeados a un lugar decimal.
4 El rea de un jardn circular es 89 m2.
a Halle el radio del jardn. D su respuesta redondeando
a tres lugares decimales.
b Halle el permetro del jardn.
Jos estima que el permetro del jardn es 30 m.
c Utilizando su respuesta al apartado b, halle el porcentaje de
error que comete Jos. D su respuesta redondeada a dos
ciras signifcativas.
Captulo 1 21
1.3 Notacin cientfca
La cantidad de usuarios de Internet en el mundo
hasta junio de 200 era 2 109.
La masa de la Tierra es aproximadamente
5,97 1024 kg.
Una estimacin de la masa promedio de una clula
humana es 109 g.
Estos nmeros o bien son muy grandes o bien son muy pequeos.
Estn escritos en notacin cientfca: una orma de escribir nmeros
muy grandes o muy pequeos, evitando escribir muchos ceros.
Un nmero est escrito en notacin cientfca si est en la
orma a 0k, donde a < 0 y k es un entero.
Un googol es el nmero 1 seguido de 100 ceros. En notacin cientfca se
escribe 10100. El nombre googol lo invent un n io de nueve aos. Su to, el
matemtico americano Edward Kasner, le pidi que piense un nombre para
un nmero muy grande.
Elnombre de la compaa Google proviene de un juego de palabras con el
trmino googol y se relaciona con la cantidad de inormacin que maneja la
compaa.
Ejemplo 18
Estos nmeros estn escritos en notacin cientfca (a 10k).
Para cada uno de ellos, indique el valor de a y de k.
a 2 109 b 5,97 1024 c 109
Respuestas
a a = 2; k = 9 b a = 5,97; k = 24
c a = 1; k = 9
Comparar con a 10 k
Ejemplo 19
Indique cules de estos nmeros no estn escritos en la orma a 10k,
donde 1 a < 10 y k es un entero. Justifque sus decisiones.
a 2,06 105 b 13 101 c 6 13 10
1
3,
d 7,05 e 0,12 106
Respuestas
b 13 10 1 no est escrito en notacin
cientfca, ya que 13 es mayor que 10.
c 6 13 10
1
3, no est escrito en notacin
cientfca, ya que
1
3
no es un entero.
e 0,12 106 no est escrito en notacin
cientfca, ya que 0,12 es menor que 1.
Comparar con a 10 k,
donde 1 a < 10 y k
Si no usramos notacin cientfca,
escribiramos la masa de la Tierra como
5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg.
Cuando los nmeros
estn escritos en notacin
cientfca, es ms ci l :
Compararlos
Hacer clculos con el los
Abu Kami l Shuja
(c. 850c. 930),
tambin conocido como
al -Hasib al -Misri , que
signifca la calculadora
de Egipto , ue uno
de los primeros en
introducir en lgebra
smbolos para potencias
como xm xn = x m + n.
Nmero y lgebra 122
Ejemplo 0
Escriba estos nmeros en notacin cientfca, mostrando su
procedimiento:
a 257 000 000 b 0,00043
Respuestas
a 257 000 000
entonces k = 8
257 000 000 = 2,57 108
b 0,00043
entonces k = 4
0,00043 = 4,3 104
La primer cira signifcativa de
257 000 000 es 2. Ubicar la coma
decimal inmediatamente despus del 2.
Mover la coma decimal 8 lugares a la
derecha es equivalente a multiplicar por
108.
La primer cira signifcativa de 0,00043
es 4. Ubicar la coma decimal
inmediatamente despus del 4.
Mover la coma decimal 4 lugares a la
izquierda es equivalente a multiplicar
por 104.
Ejercitacin 1M
1 Cules de estos nmeros estn escritos en notacin cientfca?
2 5 10 12 10 10 3 15 10 0 81 10
3 5 1 0
1
2 2, , ,
2 Escriba estos nmeros en notacin cientfca:
a 135 600 b 0,00245 c 16 000 000 000
d 0,000108 e 0,23 103
3 Escriba estos nmeros en orden creciente:
2 3 10 3 4 10 0 21 10 215 10
6 5 7 4
, , ,
4 Escriba estos nmeros en orden decreciente:
3 621 10 31 62 10 0 3621 10 3 261 10
4 2 4 3
, , , ,
Ejemplo
Sea x =
+
5 121
7 1
2
( )
.
a Calcule el valor de x. Escriba el valor completo que despliega la
pantalla de la calculadora.
b Escriba su respuesta al apartado a redondeada a tres ciras
signifcativas.
c Escriba su respuesta al apartado b en la orma a 10k,
donde 1 a < 10 y k .
Consejos para
escribir un nmero en
notacin cientfca:
1 Escribir a : escribir
todas las ciras
signifcativas del
nmero y ubicar
la coma decimal
inmediatamente
despus de la
primera
2 Hal lar k
Escribir los nmeros
en su expresin
decimal , por ejemplo:
2,3 106
= 2 300 000.
Expresin decimal
no signifca que debe
haber una coma
decimal o lugares
decimales. Es el
nmero normal
escrito en base 10.
{ Contina en l a pg ina sigu iente.
Captulo 1 23
Respuestas
a 0,1666666667
b 0,167
c 1,67 101
Usar la CPG
0,166 666. . .
3 cs, redondear hacia arriba
Clculos con nmeros expresados en notacin cientfca
Podemos usar la CPG para clculos con nmeros escritos en
notacin cientfca.
Ejemplo
Sean x = 2,4 104 e y = 5,10 105.
a Halle el valor de 3x + y.
b Escriba su respuesta al apartado a redondeando a dos ciras
signifcativas.
c Escriba su respuesta al apartado b en la orma a 10k, donde
1 a < 10 y k es un entero.
Respuestas
a 3 2,4 104 + 5,10 105
= 582 000
b 580 000
c 5,8 105
Ejercitacin 1N
1 Dados x = 6,3 106 e y = 2,8 1010, calcule lo siguiente.
D sus respuestas en la orma a 10k, donde 1 a < 10 y k .
a x y b
x
y
c
x
y
2 Sean x = 2,5 106 e y = 3,48 106.
a Halle la media aritmtica de x e y. D su respuesta
en la orma a 10k, donde 1 a < 10 y k .
b D su respuesta al apartado a redondeando a la unidad
de milln ms cercana.
Cuidado
1,67E-1 es la notacin
de la calculadora
y no se acepta
como respuesta. Lo
debemos interpretar
como 1,67 101.
Siempre hay que
usar la CPG en este
tipo de pregunta,
pero mostrando el
procedimiento como
se ve en a .
Nmero y lgebra 124
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
3 Sean t = 22,05 108 y q = 3,15 106.
a Escriba t en la orma a 10k, donde 1 a < 10 y k .
b Calcule t
q
.
c Escriba su respuesta al apartado b en la orma a 10k, donde
1 a < 10 y k .
4 Sea x = 225 108.
a Escriba x en la orma a 10k, donde 1 a < 10 y k .
b Indique si la siguiente afrmacin es verdadera: x2 > 020.
Justifque su respuesta.
c i Calcule
x
x
.
ii D su respuesta al apartado i en la orma a 10k,
donde 1 a < 10 y k .
1. Unidades de medicin SI
Ariel est cocinando un pastel de atn.
Necesita una lata de atn con un peso neto de 180 g.
Otro ingrediente necesario es 240 ml de leche.
Cocina el pastel en un horno que est precalentado a 200 C por 20
minutos.
Ariel recicla materiales. Ha decidido usar el metal de la lata, por
lo que necesita tomar algunas medidas:
La altura de la lata de atn es 4 cm.
El rea total de metal usado para hacer la lata es 219 cm2.
El volumen de la lata de atn es 314 cm3.
Aqu se muestra, en una situacin cotidiana, cmo tratamos con
dierentes tipos de unidades como g, ml, C, minutos, cm, cm2, cm3.
Estas unidades se aceptan internacionalmente y tienen el mismo
signifcado en cualquier parte del mundo.
SI
c
A
mol
SI es la abreviacin internacional para el Sistema Internacional
de Unidades (en rancs, Systme International dUnits).
Hay siete unidades base (ver tabla). Se defne cada unidad en
orma precisa y esta defnicin es independiente de la usada para
las otras seis unidades.
La XI Conferencia
general de pesas y
medidas (CGPM),
real izada en 1960,
adopt para el sistema
de medicin el nombre
Systme International
dUnits. La CGPM se
conforma de
representantes de 54
Estados miembros y 31
Estados y economas
asociados.
Captulo 1 25
En la siguiente tabla, se muestran las siete unidades base y sus
respectivas magnitudes sicas.
magnitud sica Unidad base Sbolo de la unidad base
Longitud metro m
Masa ki logramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente
elctrica
amperio A
Temperatura kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
En el SI hay otras unidades, las unidades derivadas. Estas unidades
se expresan en uncin de las unidades base. Algunas de estas
unidades, junto con sus magnitudes sicas, se enumeran a
continuacin:
El metro cuadrado (m2) para rea
El metro cbico (m3) para volumen
El metro por segundo (m s) para celeridad o velocidad
El kilogramo por metro cbico (kg m3) para densidad o
densidad de masa
En Estudios Matemticos, las unidades base SI que se usan
ms comnmente son m, kg, y s, y sus unidades derivadas son:
m2 (rea), m3 (volumen), km h (velocidad), kg m3 (densidad).
Ejemplo 23
Escriba el smbolo usado para las magnitudes sicas que estn
resaltadas:
a La velocidad de un objeto que recorre 1000 km en 3 horas
b La densidad de un objeto con una masa de 550 g y un volumen de
400 cm3
Respuestas
a km h1
b g cm3
Velocidad es kilmetros porhora.
Densidad es gramos por centmetro cbico.
Prefjos en el SI
Para evitar escribir cantidades muy pequeas o muy grandes, se
utilizan prefjos. Algunos de estos se muestran en la siguiente tabla.
Factor Prefjo Sbolo Factor Prefjo Sbolo
103 ki lo k 103 mi l i m
102 hecto h 102 centi c
101 deca da 101 deci d
Un metro se defne en
el SI como la d istancia
que recorre la luz en el
vaco en
1
299 792 458
segundos.
Las unidades
derivadas son
productos de
potencias de las
unidades base.
El ki logramo es la
nica unidad base del
SI que tiene un prefjo
como parte de su
nombre.
Nmero y lgebra 126
Ejemplo 24
Convierta cada medida a la unidad indicada:
a 1 dm a m b 1 das a s c 1 hg a g
Respuestas
a 1 dm = 101 m
b 1 das = 101 s
c 1 hg = 102 g
Usar la inormacin de prefjos dada
en la tabla anterior
dm se lee decmetro.
das se lee decasegundo.
hg se lee hectogramo.
k
10
10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10
h da unidad
SI
d c m
Ejemplo 25
Convierta cada medida a la unidad indicada. D sus respuestas en
notacin cientfca.
a 2,8 m a hm b 3200 s a ms c 0,5 kg a dg
Respuestas
a 1 m = 102 hm
2,8 m = 2,8 102 hm
b 1 s = 103 ms
3200 s = 3200 103 ms
= 3,2 106 ms
c 1 kg = 104 dg
0,5 kg = 0,5 104 dg
= 5 103 dg
En este ejemplo, utilizar el diagrama
reemplazando unidad SI con m
Dividir dos veces por 10 para
convertir de m a hm, por lo tanto,
1 m = 10 2 hm
En este ejemplo, reemplazar en el
diagrama unidad SI con s
Multiplicar tres veces por 10 para
convertir de s a ms, por lo tanto,
1 s = 10 3 ms
En este ejemplo, reemplazar en el
diagrama unidad SI con g
Multiplicar cuatro veces por 10 para
convertir de kg a dg, por lo tanto,
1 kg = 10 4 dg
Este d iagrama nos
resulta ti l para
real izar conversiones
entre unidades.
Investigacin: unidades del SI
a Cuntos nombres y smbolos de prefjos hay hoy en da?
b En la tabla anterior se muestran seis nombres de prefjos y sus
smbolos. Hal le los otros.
c El i ja al menos dos de el los y describa situaciones en las que
se uti l izan.
Ayuda el uso de
la notacin SI a
pensar la matemtica
como un lenguaje
universal?
Captulo 1 27
Ejercitacin 1O
1 Escriba el smbolo usado para las magnitudes fsicas que estn resaltadas:
a La aceleracin de un objeto que tiene unidades medidas en
kilmetros por hora al cuadrado
b La densidad de un objeto con una masa de 23 kg y un volumen
de 1,5 m3
c La velocidad promedio de un objeto que recorre 500 m en 70 segundos
2 Escriba estas unidades con palabras:
a dag b cs c mm d dm
3 Convierta estas cantidades a la unidad indicada:
a 32 km a m b 0,87 m a dam c 128 cm a m
4 Convierta estas cantidades a la unidad indicada:
a 500 g a kg b 357 kg a dag c 1080 dg a hg
5 Convierta estas cantidades a la unidad indicada:
a 0,080 s a ms b 1200 s a das c 0,8 hs a ds
6 a Convierta 67 800 000 mg a kg. D su respuesta redondeada
al kg ms cercano.
b Convierta 35 802 m a km. D su respuesta redondeada
al km ms cercano.
c Convierta 0,654 g a mg. D su respuesta en la forma
a 10k, donde 1 a < 10 y k .
Unidades SI de rea y volumen
rea
Los diagramas siguientes muestran dos formas de representar m2.
1 m
1 m
1 m
2
10 dm
10 dm
[ Un metro cuadrado
es igua l a l rea de un
cuadrado cuyos lados
m iden 1 m .
[ 1 m 2 = 100 dm2
m2 = m m = 0 dm 0 dm = 00 dm2
Nmero y lgebra 128
Para convertir de m2 a dm2 multiplicamos por 100 o por 02.
Podemos usar el mismo mtodo para convertir de:
km2 a hm2
hm2 a dam2
dam2 a m2
m2 a dm2
dm2 a cm2
cm2 a mm2
Ejemplo 26
Convierta cada cantidad a la unidad indicada.
D su respuesta en forma decimal.
a 1,5 m2 a cm2
b 3240 m2 a km2
Respuestas
a 1 m2 = 104 cm 2
Entonces
1,5 m2 = 1,5 104 cm 2
= 15 000 cm 2
b 1 m2 = 106 km 2
Entonces
3240 m2 = 3240 106 km 2
= 0,003240 km2
Para convertir de m2 a cm2,
multiplicar por 10 2 dos veces; es decir
multiplicar por 10 4:
10
2
2
( ) = 10 4
Para convertir de m2 a km2, dividir
por 10 2 tres veces; es decir dividir por
10 6 o multiplicar por 10 6:
10
2
3
( ) = 10 6
Volumen
Los diagramas siguientes muestran dos formas de representar m3.
1 m
1 m
1 m
1 m
3
10 dm
10 dm
10 dm
[ Un metro cbico es
igua l a l volumen de
un cubo cuyos l ados
m iden 1 m .
[ 1 m3 = 1000 dm3
m3 = m m m = 0 dm 0 dm 0 dm = 000 dm3
km
2
hm
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
dam
2
m
2
dm
2
cm
2
mm
2
Captulo 1 29
Para convertir de m3 a dm3 multiplicamos por 000 o por 03.
Podemos usar el mismo mtodo para convertir de:
km3 a hm3
hm3 a dam3
dam3 a m3
m3 a dm3
dm3 a cm3
cm3 a mm3
Ejemplo 7
Convierta cada cantidad a la unidad indicada.
D su respuesta en notacin cientfca.
a 0,8 m3 a cm3
b 15 900 cm3 a dam3
Respuestas
a 1 m3 = 106 cm3
Entonces
0,8 m3 = 0,8 106 cm3
= 8 105 cm3
b 1 cm3 = 109 dam3
Entonces
15 900 cm3
= 15 900 109 dam3
= 1,59 105 dam3
Para convertir de m 3 a cm3,
multiplicar por 10 3 dos veces; es
decir, multiplicar por 10 6:
(10 3) 2 = 10 6
Para convertir de cm 3 a dam 3,
dividir por 10 3 tres veces; es decir,
multiplicar por 10 9
Ejercitacin 1P
1 Convierta estas medidas a la unidad indicada.
D su respuesta en orma decimal.
a 2,36 m2 a cm2 b 1,5 dm2 a dam2
c 5400 mm2 a cm2 d 0,06 m2 a mm2
e 0,8 km2 a hm2 f 35 000 m2 a km2
2 Convierta estas medidas a la unidad indicada.
D su respuesta en la orma a 10k, donde 1 a < 10
y k .
a 5 m3 a cm3 b 0,1 dam3 a m3
c 3 500 000 mm3 a dm3 d 255 m3 a mm3
e 12 000 m3 a dam3 f 0,7802 hm3 a dam3
3 El lado de un cuadrado mide 13 cm. Halle el rea en:
a cm2 b m2
4 El lado de un cubo mide 0,85 m. Halle el volumen del cubo en:
a m3 b cm3
km
3
hm
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
dam
3
m
3
dm
3
cm
3
mm
3
13 cm
Nmero y lgebra 130
5 Escriba estas medidas en orden, comenzando desde la menor:
0,081 dam2; 8 000 000 mm2; 82 dm2; 7560 cm2; 0,8 m2
6 Escriba estas medidas en orden, comenzando desde la menor:
,2 m3; 200 dm3; 0,0 dam3; 020 000 000 mm3; 0 900 000 cm3
Unidades aceptadas en el SI que no son del SI
Hay algunas unidades que no son unidades del SI, pero son
aceptadas para usar con el SI porque son ampliamente usadas
en la vida cotidiana, por ejemplo, min, h, l.
Cada una de estas unidades tiene una defnicin exacta en uncin
de una unidad del SI. La tabla muestra algunas de estas unidades
junto con sus equivalentes en unidades SI.
Magnitud
fsica
Nombre de la
unidad
Smbolo
Equivalente en unidades
SI
Tiempo minuto min 1 min = 60 s
hora h 1 h = 60 min = 3600 s
da d 1 d = 24 h = 86 400 s
rea hectrea ha 1 ha = 1 hm2 = 104 m2
Volumen l itro L, l 1 l = 1 dm3
Masa tonelada t 1 t = 103 kg
Ejemplo 28
a Convierta 3 d 15 h 6 min a segundos.
b Convierta una velocidad promedio de 12 km h 1 a m s 1.
Respuestas
a 1 d = 86 400 s
3 d = 259 200 s
1 h = 3600 s 15 h = 54 000 s
1 min = 60 s 6 min = 360 s
Entonces
3 d 15 h 6 min = 259 200 s
+ 54 000 s + 360 s
= 313 560 s
b Velocidad promedio = 12 km h1
en 1 h el objeto recorri 12 km.
en 3600 s recorri 12 000 m.
Velocidad promedio =
m
s
12000
3600
= 3,33 m s1 (3 cs)
1 da = 24 horas
= 24 60 min
= 24 60 60 s
1 h = 60 min
= 60 60 s
12 km = 12 000 m
Convierta todo a la
misma unidad.
Convierta todo a la
misma unidad.
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