Resposta de frequência para sistemas mecânicos

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Respuesta en frecuencia para sistemas mecánicos
Fabian Enrique Cruz Puerto
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ingenierı́a
Bogotá, Colombia
20151005105
Ariana Ortiz León
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ingenierı́a
Bogotá, Colombia
20151005045
José Sebastián Pinilla
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ingenierı́a
Bogotá, Colombia
20151005097
Resumen—This document seeks to analyze the behavior of a
mechanical system, taking into account their respective frequency
characterization. The system works with a DC motor, with its
corresponding power stage to allow variations in speed. All this
in order to obtain the frequency response of the open loop speed
system.
Index Terms — Control, Error, Frecuencia, Motor, Respues-
ta.
I. INTRODUCCIÓN
El uso de técnicas de respuesta en frecuencia proporcio-
na una alternativa a los criterios de comportamiento en el
dominio temporal de los sistemas invariantes en el tiempo.
La herramienta matemática básica es el álgebra de fasores.
Si se aplica una entrada sinusoidal a un sistema,la respuesta
forzada se observa como otra señal sinusoidal de la misma
frecuencia.[1]
En esta práctica de laboratorio de grafica en Matlab la res-
puesta en frecuencia para un sistema de control de velocidad
de un motor DC cuyo voltaje de entrada varı́a entre 0 y 9V,
para cumpir el objetivo se realizarán medidas a diferentes
frecuencias obtener la respuesta en frecuencia respectiva al
sistema a trabajar, y ası́ comparar la teorı́a con lo real.
II. OBJETIVO
A partir de la teorı́a que se conoce relacionada con
la respuesta en frecuencia de un sistema, obtenga la
respuesta en frecuencia del sistema de velocidad en lazo
abierto.
III. MARCO TEÓRICO
Criterios de respuesta en frecuencia con un polo domi-
nante
Si la función de transferencia que describe al sistema mediante
álgebra de fasores viene dada por un único polo (o determinada
aproximadamente por un único polo dominante),la función de
transferencia es:
Y (jω)
R(jω)
=
K
jωT + 1
=
K
jω
ω0
+ 1
(1)
Es una práctrca relativamente común construir diagramas
de respuesta en frecuencia utilizando una formulación llamada
diagrama de Bode. La ganancia se representa utilizando deci-
belios, y la ganancia en decibelios se dibuja frente a la frecuen-
cia con escala de frecuencia logarı́tmica . Como la ganancia
en decibelios es una función logarı́tmica, el efecto total es el
equivalente a producir una gráfica log-log. La genención de
este diagrama es ventajosa porque se puede observar un rango
amplio de ganancias y valores de frecuencia, y ciertos tramos
del diagrama se aproximarán por lı́neas rectas asintóticas. Si se
considera una parte del diagrama que está predominantemente
definida por un único término (una única potencia de ω es la
dominante), la función presenta una aproximación asintótica
a una lı́nea recta. Por supuesto, la ganancia es igual a la
magnitud de la función de transferencia. Con la magnitud de
la función de transferencia, M(ω), convertida a decibelios,
20logM(ω) = 20log
Y (jω)
R(jω)
= 20log
K
jω
ω0
+ 1
(2)
El ángulo de fase, φ, de la señal de salida con respecto a la
señal de entrada es:
φ = −tan−1
(
ω
ω0
)
(3)
Este resultado se presenta en la Figura 1
IV. DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA
El sistema a implementar es un sistema mecánico que evalúe
la variación de la velocidad de un motor DC de 9V, el cual
es alimentado por una etapa de potencia para permitir que
el sistema pueda lograr una variación gradual de voltaje en
la entrada del motor, y por lo tanto, una variación en su
velocidad, también de esta manera se asegura que la corriente
sea la menor cuidando la integridad de los motores. Una vez
realizada la variación de la velocidad del sistema, se pasa
a realizar el sensado de la velocidad, esto por medio de un
motor de caracterı́sticas semejantes (un motor DC de 9V),
este motor debe ir acondicionado de tal manera que lo que
Figura 1. Ganancia en dB (a) y desplazamiento de fase (b) con un modelo
de único polo.
entra al motor 1, sea lo mismo que sale en el motor 2 que
funciona como sensor, por lo cual es necesario caracterizar
el sistema para determinar cuanto se debe acondicionar para
que el funcionamiento sea identico, para ello se implementa
una etapa de acondicionamiento y filtrado para tener la menor
cantidad de errores.
Figura 2. Etapa de potencia
La señal de entrada de este circuito, será una señal cuadrada
de aproximadamente 1.6 Vpp, con un voltaje DC de 2V,
posteriormente se variará el valor de la frecuencia desde 0.1Hz
hasta 10Hz, para poder analizar el comportamiento de la salida
del motor. Estos valores son escogidos ya que se sabe que
la respuesta en fase empieza a descender una década antes
de su frecuencia de corte hasta una década después de esta
misma, con estos valores se puede obsevarla caida de -20 db
por década magnitud y de menos 45◦ por década en fase.
V. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA
De la caracterización inicial que se hizo por medio de la
respuesta al escalón de la planta se llego a que el sistema
obedece a la funciónn de transferencia:
FT =
k
τs+ 1
=
0,98
0,049s+ 1
(4)
Al momento de realizar el barrido de frecuencias se obtiene
la siguiente tabla de resultados:
Frecuencia(Hz) Desfase(Grados) Ganancia
0.1 2.16 1.288462
0.2 3.6 1.211538
0.5 8.64 1.211538
0.7 11.088 1.192308
1 12.96 1.173077
2 18 1.096154
5 41.4 0.0692308
7 50.4 0.519231
10 57.6 0.384615
12 64.8 0.307692
15 70.2 0.230769
17 76.5 0.211538
20 82.8 0.173077
30 81 0.134615
40 93.6 0.076923
Cuadro I
DATOS OBTENIDOS EN LA PRÁCTICA
Una vez realizada esta tabla, se procede a pasar estos valores
de frecuencia y de ganancia a rads y a dB, respectivamente,
para poder realizar el trazado de los diagramas de Bode de
magnitud y fase.
Para realizar la conversión de hertz a readianes se hace:
ω = 2πf (5)
Frecuencia(Hz) Desfase(Grados) Ganancia
0.62832 2.16 2.20142918
1.256664 3.6 1.66674412
3.1416 8.64 1.66674412
4.39824 11.088 1.52776692
6.2832 12.96 1.38652983
12.5664 18 0.79743024
31.416 41.4 -3.1940169
43.9824 50.4 -5.6927916
62.832 57.6 -8.299467
75.3384 64.8 -10.27667
94.248 70.2 -12.736442
106.8144 76.5 -13.492213
125.664 82.8 -15.235217
188.496 81 -17.418106
251.328 93.6 -22.278867
Cuadro II
DATOS OBTENIDOS EN LA PRÁCTICA
VI. RESULTADOS
Se toman los distintos valores de frecuencia y se realizanlos
cálculos respectivos
Figura 3. Señal de salida para el sistema mecánico
En la figura 3 es posible observar la señal de salida de (color
naranja) respecto a la entrada (color azul) y la forma en como
las señales se comportan cuando se opera a una frecuencia de
0.1Hz.
Figura 4. Señal de salida para el sistema mecánico
En la figura 4 se trabaja a una frecuencia de 5Hz y se
empieza a evidenciar como el desfase aumenta en comparación
a como trabajaba el circuito a frecuencias bajas.
Figura 5. señal salida del sistema mecánico
En la figura 5 se trabaja a una frecuencia de 20Hz y se
empieza a evidenciar como el desfase es aun mayor, además
la ganancia se reduce drasticamente.
VII. ANÁLISIS DE RESULTADOS
Como se muestra en la figura 6 se hace la comparación
de los datos obtenidos en el laboratorio con la simulación
realizada en Simulink de la función de transferencia del
sistema.
Obteniendo la respuesta en frecuencia se observa que aun-
que es un sistema de segundo orden ya que supera los 90◦.
el sistema se aproxima a uno de primer orden tal como el
simulado.
Además de ver el comportamiendo del sistema se confirma
la estabilidad del sistema cuando la magnitud no cruza por
cero, y además la fase no llega a 180◦.
Figura 6. Diagrama de bode para el sistema mecánico
VIII. CONCLUSIONES
El sistema es vulnerable al ruido y a factores externos,
por eso, es necesario compensar y filtrar la señal de salida
para obtener el menor error posible en la toma de datos.
A partir de la respuesta en frecuencia se corroboraron los
datos obtenidos en las practicasanteriores como el τ del
sistema de lazo abierto el cual se encuentra en el inverso
de la frecuencia de corte en radianes por segundo.
Los resultados se acoplan a la teorı́a de manera correcta,
con un error minimo
REFERENCIAS
[1] C.Yang, P. H. Lewis. Sistemas de control en ingenierı́a.Madrid PREN-
TICE HALL IBERIA, 1999.
[2] Ogata, K, (2010), Ingenierı́a de Control Moderna. 5ed.