Resolucion de triángulos rectángulos

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Misión: Desarrollar valores y competencias necesarias promoviendo el pensamiento crítico en las personas, de modo a favorecer y mejorar la empleabilidad de las mismas, para que sean 
factores de cambio positivo en su entorno, cambiante y desafiante 
 
 
 
Recopilación para CPI/ CTFP-PJ – Lic. Lilian Pedrozo 1 
 
 
MATEMATICA 
TRIGONOMETRÍA 
Resolución de triángulos rectángulos 
 
Llamamos ángulo de elevación al que 
forman la horizontal del observador y el lugar 
observado cuando este está situado arriba 
del observador y ángulo de depresión al 
que se va a medir por debajo de la 
horizontal. 
 
 
 
Para la resolución de problemas sobre triángulos rectángulos se utilizan 
las siguientes relaciones y fórmulas,a partir del triángulo ABC, recto en A 
 B 
C A 
 
 
Relación entre ángulos interiores Relación entre los tres lados 
BC
CB
CB
CB
CB
CBA






º90
º90
º90
º90º180
º180º90
º180
 
22
22
22
222
Pitágoras de Teorema
bac
cab
cba
cba




 
Relaciones entre ángulos y lados 
b
c
adycat
opcat
tg
a
b
hip
adcat
a
c
hip
opcat
sen



.
.
.
cos
.



 
c
b
adycat
opcat
tg
a
c
hip
adcat
a
b
hip
opcat
sen



.
.
.
cos
.



 
 
 
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Perímetro Área 
cbaP  
22
cbcatcat
A hb



 
 
Ejemplos resueltos 
1) Resuelve el triángulo rectángulo ABC, recto en A. 
Los datos que se observan en el gráfico son la 
hipotenusa 𝑎 = 5𝑚 y el ángulo agudo B 𝐵 = 41,7º =
41º42` 
 
1º) Se calcula el valor del otro ángulo agudo. C 
𝐶 = 90º − 41º42` = 48º18` 
2º) Se puede hallar uno de los catetos utilizando definición de función 
trigonométrica 
𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
𝑐𝑎𝑡.𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
 𝑠𝑒𝑛41º42 =
𝑏
5𝑚
 , se despeja b 5𝑚 × 𝑠𝑒𝑛41º42` = 𝑏 
Luego: 𝑏 = 3,3𝑚 
 
3º) el tercer lado (cateto c ), se puede calcular utilizando el Teorema de 
Pitágoras 
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √(5𝑚)2 − (3,3)2 = 3,8𝑚 
4º) 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜: 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 5𝑚 + 3,3𝑚 + 3,8𝑚 = 12,1𝑚 
5º) 𝐴𝑟𝑒𝑎: 𝐴 =
𝑏×𝑐
2
=
3,3𝑚×3,8𝑚
2
= 6,27𝑚2 
 
2) Dado un triángulo rectángulo de la figura, calcula las medidas de los 
ángulos agudos. 
 
Se tienen como datos la 
hipotenusa y un cateto. 
Para hallar el ángulo 𝛼, se aplicará 
la definición SENO 
 
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑐𝑎𝑡.𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
30
150
 
 
 
 
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Luego para hallar el valor del ángulo se aplica 
𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 ቀ
30
150
ቁ = 11º32`13`` 
Atención! En la calculadora, se usan las teclas SHIFT y SIN ቀ
30
150
ቁ 
Para determinar el valor del otro ángulo agudo, ya se puede aplicar la 
relación 𝛽 = 90º − 𝛼 = 90º − 11º32`13`` = 78º27`47`` 
 
3) Calcula la longitud de la escalera, según los 
datos del gráfico. 
Se observa que los datos son un ángulo agudo, 
el cateto opuesto a ese ángulo y se quiere 
conocer el valor de la hipotenusa. Por tanto, la 
función que puede relacionar eso elementos es 
SENO 
 
𝑠𝑒𝑛60º =
𝑐𝑎𝑡.𝑜𝑝
ℎ𝑖𝑝
 𝑠𝑒𝑛60º =
4,33𝑚
𝑐
, se depeja el 
valor de c 
𝑐 =
4,33𝑚
𝑠𝑒𝑛60º
= 4,99 ≈ 5𝑚 
 
 
4) Halla la longitud de la sombra que proyecta un edificio de 16metros de 
altura, si el ángulo de elevación de los rayos del sol sobre el horizonte es 
17º. 
Los datos que se observan en el gráfico son 
El ángulo de elevación y la altura del 
edificio(cateto opuesto) al ángulo dado y se 
quiere calcular el otro cateto(x) 
La función cuya definición relaciona estos 
elementos es la de tangente. 
𝑡𝑔𝐴 =
𝑐𝑎𝑡.𝑜𝑝
𝑐𝑎𝑡.𝑎𝑑𝑦
 𝑡𝑔17º =
14𝑚
𝑥
, se despeja el valor de x 
𝑥 =
14𝑚
𝑡𝑔17º
= 45,8𝑚 
 
 
 
 
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5) Desde lo alto de un faro, a 57m sobre el 
nivel del mar se observa un barco con un 
ángulo de depresión de 37º. Calcula la 
distancia de la base del faro al barco. 
El ángulo de depresión es igual al ángulo E(de 
elevación) por ser ángulos alternos internos entre 
paralelas. 
Se tiene como dato un ángulo agudo y su cateto 
opuesto. Se quiere calcular el otro cateto, por tanto, la función trigonométrica que 
relaciona estos elementos es la de tangente. 
𝑡𝑔𝐸 =
𝑐𝑎𝑡.𝑜𝑝𝑐
𝑎𝑡.𝑎𝑑𝑦
 𝑡𝑔37º =
57𝑚
𝑥
, se despeja el valor de x. 
𝑥 =
57𝑚
𝑡𝑔37º
= 75,6𝑚 
6) Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 14cm y los ángulos 
iguales 65º. Calcula las longitudes de la altura y la base del triángulo. 
 
Se traza la altura del triángulo isósceles y ésta lo divide 
en dos triángulos rectángulos iguales. 
En el triángulo rectángulo de la derecha, los catetos son 
la altura y la mitad de la base del triángulo isósceles. 
Se tiene un ángulo agudo(65º) y la hipotenusa(14m) 
como datos y se quiere hallar la altura(b). La función 
que relaciona estos elementos es SENO 
𝑠𝑒𝑛65º =
𝑏
14𝑐𝑚
, se despeja el valor de b 14𝑐𝑚 × 𝑠𝑒𝑛65º = 𝑏 
12,7𝑐𝑚 = 𝑏 
Para hallar el cateto a, se puede aplicar el Teorema de Pitágoras 
𝑎 = √(14𝑐𝑚)2 − (12,7𝑐𝑚)2 = 5,9𝑐𝑚 
Pero 𝑎 =
𝑏𝑎𝑠𝑒
2
, por tanto la base del triángulo isósceles es 
 2𝑎 = 2 × 5,9 = 11,8𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
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Practica en tu cuaderno 
1) Dado el triángulo ABC, recto en B, cuyos datos son lado a=24,8m y 
ángulo C=38º. Calcula el ángulo A y la hipotenusa. R: A=52º y b=31,5m 
 C 
 
 
 
 
 A B 
2) La parte más alta de una torre de control de un aeropuerto se observa 
en un terreno horizontal desde un punto que dista 70m de su pie. EL 
ángulo de elevación de dicho punto a la cúspide de la torre mide 38º. 
Encuentra la altura de la torre. R: altura=54,7m 
3) Averigua la altura de una antena de una emisora de radio, sabiendo que 
proyecta una sombra de 21metros de longitud, y que el ángulo de 
elevación es 50º. R: altura=25m 
4) Determina la altura de un avión que se encuentra a 4km(en ese instante) 
en la horizontal del observador y el ángulo de elevación es de 24º. R: 
altura=1,78km 
5) Calcula el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio 
de 50m de altura ve, el otro lado de la calle bajo un ángulo de depresión 
de 60º. R: ancho=28,9m 
6) Se tiene una rampa de 10m para prácticas deportivas, la altura de la 
misma es de 3m. Calcula el ángulo de elevación. R: ángulo=17º27`27`` 
7) De la cima de un faro de10m, se divisa una embarcación con un ángulo 
de depresión de 8º. Calcula la distancia entre la embarcación y el pie del 
faro. R: distancia=71,2m 
8) Halla la altura de un poste de tendido eléctrico, sabiendo que la cuerda 
que lo sostiene al piso mide 18m y forma un ángulo de 30º con éste. R: 
altura=9m.