426590193-Teoria-de-Conjuntos-Di-Prisco

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Colección Monograf́ıas
92
Teoŕıa de Conjuntos
Carlos Augusto Di Prisco
Teoŕıa de Conjuntos
Universidad Central de Venezuela
Consejo de Desarrollo Cient́ıfico y Humańıstico
Caracas, 2008
c© Carlos Augusto Di Prisco, 2008
c© Consejo de Desarrollo Cient́ıfico y Humańıstico, 2008
Universidad Central de Venezuela
ISBN: 980-00-2364-X
Depósito Legal: 1f17520066204065
Cuidado de la Edición:
Yandra Araujo
Diagramación y Montaje:
Bŕıgida Molina
Diseño de Carátula:
Elizabeth Cornejo
Impreso en Venezuela por Miguel Ángel Garćıa e hijo.
Todas las obras publicadas por el CDCH son sometidas a arbitraje.
Di Prisco, Carlos Augusto
Teoŕıa de Conjuntos / Carlos Augusto Di Prisco.–
Caracas: U.C.V., Consejo de Desarrollo Cient́ıfico y Humańıstico,
2008.– (Colección Monograf́ıas; 96)
ISBN: 980-00-2364-X
D.L. 1f17520066204065
1. Teoŕıa de Conjuntos. I. T́ıtulo
515.42
I68
Contenido
Prefacio 11
Caṕıtulo 1. Axiomas de la teoŕıa de conjuntos 13
1. La teoŕıa axiomática de Zermelo-Fraenkel 13
2. El lenguaje de la teoŕıa de conjuntos 16
Caṕıtulo 2. Matemáticas basadas en conjuntos 25
1. Números naturales 25
2. Propiedades de los números naturales 26
3. Operaciones artiméticas de números naturales 30
4. El orden de los números naturales 31
5. Números enteros 33
6. El orden de los números enteros 35
7. Números racionales 36
8. El orden de los números racionales 38
9. Números reales 39
10. Aritmética de números reales 40
Caṕıtulo 3. Conjuntos equipotentes 43
Caṕıtulo 4. Ordinales 49
1. Conjuntos bien ordenados. 49
2. Definición y Propiedades de los ordinales 56
3. Principio de inducción para ordinales 60
4. Aritmética de ordinales 63
9
Caṕıtulo 5. La jerarqúıa acumulativa de conjuntos y el
axioma de regularidad 71
Caṕıtulo 6. Cardinales 77
Caṕıtulo 7. El axioma de elección 83
Caṕıtulo 8. Aritmética de cardinales 93
1. Cofinalidad. Cardinales regulares 95
2. Exponenciación de cardinales. La hipótesis del
continuo 97
Caṕıtulo 9. Cardinales inaccesibles 105
Caṕıtulo 10. El teorema de Ramsey y la teoŕıa de
particiones 109
Caṕıtulo 11. Particiones de conjuntos no numerables 117
Caṕıtulo 12. Conjuntos estacionarios 127
Caṕıtulo 13. Filtros, ultrafiltros y cardinales medibles 135
Caṕıtulo 14. El espacio de Baire y otros espacios
relacionados a la recta real 143
1. Topoloǵıa de la recta 143
2. El espacio de Baire 145
3. Conjuntos anaĺıticos 151
Caṕıtulo 15. Exponentes infinitos: conjuntos de Ramsey 153
1. Particiones de [N]ω y la propiedad de Ramsey 153
2. Los conjuntos anaĺıticos son Ramsey 160
Bibliograf́ıa 167
10
Prefacio
El objetivo principal de este libro es presentar una intro-
ducción a un área de la teoŕıa de conjuntos conocida como teoŕıa
combinatoria de conjuntos. En particular se tratan temas de la
teoŕıa de particiones que tienen su origen en el famoso teorema
de Ramsey. Estos temas van precedidos de un desarrollo de la
teoŕıa axiomática de conjuntos.
El libro puede ser usado como apoyo para un curso des-
tinado a estudiantes avanzados de matemáticas. Aunque los
conocimientos previos necesarios para iniciar el estudio de este
tema son mı́nimos, es conveniente que el estudiante tenga ya
una base sólida de análisis matemático, de topoloǵıa y de álge-
bra, lo que garantiza la madurez matemática necesaria para
asimilar adecuadamente los conceptos básicos de la teoŕıa de
conjuntos. Se necesitarán nociones de topoloǵıa en el caṕıtulo
sobre el axioma de elección, en particular para demostrar la
equivalencia de este axioma con el teorema de Tychonoff, y en
los dos caṕıtulos finales.
Hemos escogido presentar la teoŕıa axiomática de conjun-
tos sin mucho formalismo. Luego de presentar los axiomas
de la teoŕıa de Zermelo-Fraenkel, salvo tres que se dejan para
más adelante, cuando son necesarios, se pasa a mostrar que
esta teoŕıa puede servir de fundamentación para el resto de
las matemáticas. Aśı, se definen los números naturales, los
números enteros, los números racionales y los números reales
como conjuntos, y se demuestran sus propiedades básicas. Los
caṕıtulos que siguen están dedicados al estudio del concepto de
equipotencia, y de números ordinales y cardinales. Para intro-
ducir el concepto de cardinalidad y las operaciones aritméticas
entre cardinales, hace falta el axioma de elección. Este se in-
troduce en el caṕıtulo 7, donde se demuestran sus equivalencias
más importantes.
11
Los temas desarrollados en los caṕıtulos siguientes reflejan
en buena medida los gustos del autor. Estos caṕıtulos tratan
temas de la teoŕıa de particiones y su relación con los cardinales
grandes, y son de un nivel de dificultad mayor al de los caṕıtulos
anteriores.
Este libro es una revisión aumentada de [2]. Hemos incor-
porado correcciones, algunas de ellas sugeridas por colegas, y
hemos expandido algunos caṕıtulos y añadido otros. Agradezco
especialmente a Carlos Uzcátegui su lectura cuidadosa del texto
y sus acertadas sugerencias.
12
CAṔıTULO 1
Axiomas de la teoŕıa de conjuntos
1. La teoŕıa axiomática de Zermelo-Fraenkel
En 1908, ante la necesidad de dar a la teoŕıa de conjun-
tos fundamentos sólidos que eviten los problemas presentados
por la teoŕıa intuitiva de Cantor, Zermelo publica una axio-
matización de la teoŕıa de conjuntos. Modificada por Fraenkel
en 1922, esta axiomatización es una de las más comunmente u-
sadas. Estudiaremos la teoŕıa axiomática de Zermelo-Fraenkel;
que denotaremos por ZF , y por ZFC cuando se incluye el
axioma de elección. Hay otros sistemas de axiomas intere-
santes para la teoŕıa de conjuntos, como el de von Neumann-
Gödel-Bernays y el de Kelley-Morse. Estos dos sistemas consi-
deran la existencia de clases además de la existencia de conjun-
tos propiamente dichos.
1. AXIOMA DE EXTENSIONALIDAD: Expresa que no
se puede distinguir entre conjuntos que tienen los mismos ele-
mentos.
∀x∀y(x = y ↔ (∀z(z ∈ x↔ z ∈ y))).
2. AXIOMA DEL CONJUNTO VACIO: Existe un con-
junto que no tiene elementos.
∃x∀y(y /∈ x).
13
1. Axiomas de la teoŕıa de conjuntos
Por el axioma de extensionalidad, este conjunto es único, y
lo denotaremos por ∅.
3. AXIOMA DE PARES: Dados dos conjuntos, existe un
conjunto cuyos elementos son los dos conjuntos dados.
∀x∀y∃z(∀u(u ∈ z ↔ (u = x ∨ u = y))).
Dados x e y, el axioma de extensionalidad implica que hay
un único conjunto cuyos elementos son x e y; este conjunto, se
denota por {x, y}, y se llama el par (desordenado) x e y. Nótese
que {x, y} = {y, x}. En particular, si x = y, {x, x} = {x} (por
extensionalidad) es el conjunto cuyo único elemento es x.
Estos axiomas nos permiten también definir pares ordena-
dos: Dados x e y, el conjunto {{x}, {x, y}} es el par ordenado
(x, y).
Ejercicio 1.1. a) Demuestre que si (x, y) = (a, b), en-
tonces x = a y y = b.
b) Definamos (a, b, c) por (a, (b, c)). Demuestre que (a, b, c) =
(x, y, z) implica a = x, b = y y c = z.
c) Más generalmente, defina (a1, a2, . . . , an) por inducción
en n y demuestre la propiedad correspondiente, es decir,
(a1, a2, . . . , an) = (b1, b2, . . . , bn)
implica
a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn.
4. AXIOMA DE LA UNIÓN: Si a es un conjunto, entonces
existe un conjunto b cuyos elementos son los elementos de los
elementos de a.
∀a∃b∀z(z ∈ b↔ ∃c(c ∈ a ∧ z ∈ c)).
Este conjunto b es único ya que si b y b′ tienen la propiedad
anterior, entonces tienen los mismos elementos y por el axioma
14
Teoŕıa de Conjuntos
de extensionalidad, son iguales. El conjunto b dado por este
axioma se denota por ∪a. Tenemos entonces, por ejemplo, que
si a, b y c son conjuntos, existe un conjunto cuyos elemen-
tos son exactamente a, b y c. Podemos obtener este conjunto
como la unión del conjunto {{a}, {b, c}} y lo denotamos por
{a, b, c}. Inductivamente, dado un número finito de conjuntos
a1, a2, . . . , an, podemos definir el conjunto {a1, a2, . . . , an}. Si
a y b son conjuntos, ∪{a, b} se denota comunmente por a ∪ b.
Ejercicio1.2. Demuestre los siguientes hechos:
a) ∪∅ = ∅.
b) ∪{a} = a.
c) a ∪ b = b ∪ a
d) a ∪ (b ∪ c) = (a ∪ b) ∪ c.
e) a ∪ a = a.
5. AXIOMA DEL CONJUNTO DE PARTES: Sean a y b
conjuntos, si todo elemento de a es un elemento de b, decimos
que a es una parte de b y denotamos esto por a ⊆ b. En otras
palabras, a ⊆ b es una abreviación de ∀z(z ∈ a → z ∈ b).
Usaremos a ⊂ b para expresar que a ⊆ b y a 6= b.
El axioma del conjunto de partes establece que para todo
conjunto a existe un conjunto c cuyos elementos son las partes
de a:
∀a∃c∀z(z ∈ c→ z ⊆ a).
También en este caso se tiene por el axioma de extensio-
nalidad que el conjunto c es único, y se denota por P(a).
Antes de continuar con la lista de axiomas, conviene que
nos detengamos por un momento a hacer varias consideraciones
sobre el lenguaje formal de la teoŕıa que desarrollamos.
15
1. Axiomas de la teoŕıa de conjuntos
2. El lenguaje de la teoŕıa de conjuntos
Al enunciar cada uno de los axiomas anteriores hemos dado
primero una explicación de lo que significa el axioma y a conti-
nuación lo hemos enunciado mediante una expresión simbólica.
Todos los enunciados de la teoŕıa de conjuntos se pueden ex-
presar en ese lenguaje formal cuyo único śımbolo, además de
los śımbolos lógicos, es el śımbolo ∈ de pertenencia. Para de-
sarrollar formalmente la teoŕıa de conjuntos es necesario pre-
cisar el lenguaje formal que estamos utilizando. En particular,
para explicar que cada uno de los axiomas de reeemplazo que
enunciaremos a continuación es una expresión de ese lenguaje
formal, conviene dar una definición precisa del mismo.
Los śımbolos lógicos son
a) las variables x1, x2, . . . ,
b) las conectivas ¬, ∨, para expresar respectivamente ne-
gación y disyunción,
c) el cuantificador universal ∀, y
d) el śımbolo de identidad =.
Como fue mencionado arriba, añadimos a nuestro lenguaje
el śımbolo ∈, éste será interpretado como la relación de perte-
nencia.
Para simplificar la notación incluimos también, como śım-
bolos de nuestro lenguaje a los paréntesis “ ( ” y “ ) ” y la coma
“, ”.
Las fórmulas del lenguaje se definen inductivamente. Las
fórmulas más sencillas, llamadas fórmulas atómicas son aquellas
de la forma “x ∈ y” o de la forma “x = y”, donde x e y son
variables. A partir de las fórmulas atómicas definimos el resto
de las fórmulas de la manera siguiente:
(i) Toda fórmula atómica es una fórmula,
(ii) Si φ y ψ son fórmulas, entonces (¬φ) y (φ ∨ ψ) son
fórmulas,
16
Teoŕıa de Conjuntos
(iii) Si φ es una fórmula y x es una variable, (∀xφ) es una
fórmula.
Utilizaremos varias abreviaciones para simplificar la escri-
tura. Si φ y ψ son fórmulas, escribiremos
(φ ∧ ψ) para abreviar (¬((¬φ) ∨ (¬ψ))),
(φ→ ψ) para abreviar ((¬φ) ∨ ψ),
(φ↔ ψ) para abreviar (φ→ ψ) ∧ (ψ → φ),
(∃xφ) para abreviar (¬(∀x(¬φ))), y finalmente,
(∃!xφ) abrevia la fórmula
(∃x(φ(x) ∧ (∀yφ(y)→ x = y))),
que expresa existe un único x tal que φ(x).
Decimos que una ocurrencia de una variable en una fórmula
φ es ligada por un cuantificador (∀ o ∃) si esa ocurrencia de la
variable está bajo el alcance de ese cuantificador; en caso con-
trario decimos que es una ocurrencia libre. Más formalmente,
definimos lo que es una ocurrencia libre de una variable en una
fórmula por inducción.
Definición 1.3. Si φ es una fórmula atómica, todas las
ocurrencias de las variables que aparecen en φ son libres.
Una ocurrencia de una variable es libre en (¬φ) si esa ocu-
rrencia es libre en φ. Una ocurrencia de una variable es libre
en (φ ∨ ψ) si esa ocurrencia es libre en φ o en ψ.
Una ocurrencia de una variable es libre en ∀xφ si es una
ocurrencia libre en φ y esa variable no es x (x aparece bajo el
alcance de ∀).
Si x ocurre libre en las fórmula φ, decimos que x es una
variable libre de φ.
Cuando escribimos φ(x1, x2, . . . , xn), queremos expresar que
las variables libres de φ están entre x1, . . . , xn.
Todos los axiomas de ZFC pueden expresarse en este len-
guaje formal.
17
1. Axiomas de la teoŕıa de conjuntos
Los śımbolos ∈ y = son śımbolos relacionales binarios. De
manera que las fórmulas atómicas x ∈ y y x = y, determi-
nan relaciones binarias. Una fórmula φ(x1, . . . , xn) con n va-
riables libres determina una relación n-aria. Una relación bi-
naria dada por una fórmula φ(x, y) es una relación funcional si
∀x(∃yφ(x, y)→ (∀z(φ(x, z)→ z = y))). Es decir, para todo x,
si existe y tal que φ(x, y), entonces existe un único y tal que
φ(x, y).
Una relación de n+2 argumentos dada por φ(x, y, x1, . . . , xn)
es funcional en x, y con parámetros a1, . . . , an, si la relación bi-
naria
φ(x, y, a1, . . . , an)
que se obtiene fijando los valores de x1, . . . , xn en a1, . . . , an, es
una relación funcional.
6. AXIOMA DE REEMPLAZO: (Este es, en realidad, un
esquema de axiomas)
Si φ(x, y, x1, . . . , xn) es una fórmula, entonces la fórmula
siguiente es un axioma, que llamaremos el axioma de reemplazo
correspondiente a φ:
∀x1, . . . ,∀xn(∀x∃!yφ(x, y, x1, . . . , xn)→
∀u∃v∀z(z ∈ v ↔ ∃x(x ∈ u) ∧ φ(x, z, x1, . . . , xn))).
Es decir, si la relación obtenida de φ(x, y, x1, . . . , xn) fijando
valores para las variables x1, . . . , xn, es una relación funcional
en x, y, dado un conjunto u, existe un conjunto v cuyos ele-
mentos son las imágenes de los elementos de u por esa relación
funcional.
La idea intuitiva de conjunto es la de una colección de obje-
tos que tienen alguna propiedad en común, como es bien sabido,
esa idea intuitiva no es adecuada para desarrollar la teoŕıa
axiomática ya que lleva a contradicciones casi inmediatamente.
18
Teoŕıa de Conjuntos
Por ejemplo, la colección de todos los conjuntos no puede ser
un conjunto, ni tampoco la colección de todos aquellos con-
juntos que no son elementos de si mismos. Sin embargo, la
colección de elementos de un conjunto dado que tienen una
propiedad en común si es un conjunto. Esto es lo que se conoce
como Axioma de Separación, uno de los postulados incluidos
en la formulación original de la teoŕıa de Zermelo. En nuestro
caso, no lo incluiremos como uno de los axiomas de la teoŕıa
sino más bien lo obtendremos como consecuencia del axioma
de reemplazo.
Teorema 1.4. (Separación). Dada una fórmula
φ(x, x1, . . . , xn),
∀x1 . . . ∀xn∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ ((z ∈ x) ∧ φ(z, x1, . . . , xn))).
Este teorema expresa que dada una fórmula φ(x, x1, . . . , xn),
y dados conjuntos a1, . . . , an, y un conjunto A, existe un con-
junto B cuyos elementos son aquellos elementos a de A tales
que φ(a, a1, . . . , an), es decir,
B = {a ∈ A : φ(a, a1, . . . , an)}.
Demostración. Dados a1, . . . , an, si no existe ningún ele-
mento a ∈ A tal que φ(a, a1, . . . , an) entonces B = ∅. En caso
contrario, sea a0 ∈ A tal que φ(a0, a1, . . . , an), y consideremos
la relación funcional ψ(x, y, x0, x1, . . . , xn) dada por
(y = x ∧ φ(x, x1, . . . , xn)) ∨ (y = x0 ∧ ¬φ(x, x1, . . . , xn)).
Es fácil verificar que esta fórmula define una relación funcional,
y que el conjunto que obtenemos del axioma de reemplazo
correspondiente es exactamente el conjunto B = {a ∈ A :
φ(a, a1, . . . , an)}. �
19
1. Axiomas de la teoŕıa de conjuntos
Ejercicio 1.5. Derive el axioma de pares de los axiomas
de extensionalidad, conjunto vaćıo, conjunto de partes y reem-
plazo.
Definición 1.6. Dado un conjunto no vaćıo a, definimos
∩a = {x : x ∈ b para todo b ∈ x}.
Nótese que ∩a, la intersección de los elementos de a, es un
conjunto, ya que dado cualquier c ∈ a, tenemos que
∩a = {x ∈ c : x ∈ b para todo b ∈ x},
y podemos entonces usar el teorema de separación.
Usualmente escribimos a ∩ b en vez de ∩{a, b}.
Dados dos conjuntos a y b, denotamos por a \ b al conjunto
{x ∈ a : x /∈ b}.
Definición 1.7. Dados conjuntos A y B, definimos A×B,
el producto cartesiano de A y B como el conjunto {(a, b) : a ∈
A, b ∈ B}, y lo denotamos por A×B.
Debemos demostrar que el producto cartesiano de A y B
es, en efecto, un conjunto. Para ello notemos que si a ∈ A y
b ∈ B, entonces {a} ∈P(A) y {a, b} ∈ P(A ∪ B). Como {a}
es también un elemento de P(A ∪ B), entonces {{a}, {a, b}} ∈
PP(A ∪B). Entonces el producto cartesiano A×B se obtiene
aplicando el teorema de separación al conjunto PP(A ∪ B) y
la fórmula φ(x, x1, x2) que dice “x es un par ordenado cuya
primera coordenada está en x1 y su segunda coordenada está
en x2”.
Ejercicio 1.8. Demuestre que para cada par de conjuntos
A y B, A × B es un conjunto. (Es decir, escriba una fórmula
φ(x, x1, x2) que exprese lo indicado arriba, y verifique que se
obtiene el conjunto A × B al aplicar el teorema de separación
con esta fórmula al conjunto PP(A∪B) fijando el valor de x1
como A y el de x2 como B).
20
Teoŕıa de Conjuntos
Podemos definir de manera similar productos cartesianos
de más de dos conjuntos, aśı, A1×A2× · · ·×An es el conjunto
{(a1, a2, . . . , an) : a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An}.
Una relación binaria es simplemente un subconjunto del
producto cartesiano de dos conjuntos A y B, entonces una
relación binaria en un conjunto A es un subconjunto de A×A.
Una relación n-aria es un subconjunto del producto cartesiano
de n conjuntos. Una función f de A en B es una relación bina-
ria definida en A× B tal que para todo a ∈ A existe un único
b ∈ B que satisface (a, b) ∈ f .
Escribiremos f : A→ B para expresar que f es una función
de A en B, y usualmente escribiremos f(a) = b en vez de
(a, b) ∈ f , y decimos que b es la imagen de a por la función f .
Si f : A→ B, decimos que el dominio de f es el conjunto A, lo
denotaremos por dom(f), y el rango de la función f , denotado
por ran(f), es el conjunto {b ∈ B : ∃a ∈ A(b = f(a))}.
Si C es un subconjunto de A, f � C = {(a, b) : a ∈ C} es la
función f restringida a C. Denotaremos por f [C] al conjunto
de imágenes de elementos de C, en otras palabras,
f [C] = ran(f � C) = {b ∈ B : ∃a ∈ C(f(a) = b)}.
Una relación de equivalencia en un conjuntoA es una relación
binaria en A, es decir, un subconjunto E del producto carte-
siano A×A, con las siguientes propiedades:
(1) Reflexividad: (a, a) ∈ E para cada a ∈ A.
(2) Simetŕıa: Dados a, b ∈ A, si (a, b) ∈ E, entonces
(b, a) ∈ E.
(3) Transitividad: Dados a, b, c ∈ A, si (a, b) ∈ E, y
(b, c) ∈ E, entonces (a, c) ∈ E.
Si E es una relación de equivalencia en un conjunto A y
a ∈ A, la clase de equivalencia de a (respecto a la relación E)
21
1. Axiomas de la teoŕıa de conjuntos
es el conjunto
[a]E = {b ∈ A : (a, b) ∈ E}.
Cuando no haya posibilidad de confusión respecto a la rela-
ción de equivalencia considerada, escribimos simplemente [a]
para denotar la clase de equivalencia de a.
Ejercicio 1.9. Sea E una relación de equivalencia en un
conjunto A. Demuestre que dados a, b ∈ A, si [a] 6= [b], en-
tonces [a] ∩ [b] = ∅.
Ejercicio 1.10. (Cociente de un conjunto por una relación
de equivalencia) Dada una relación de equivalencia E en un
conjunto A, el cociente de A por E, denotado por A/E, es
el conjunto de las clases de equivalencia de elementos de A
respecto a la relación de equivalencia E. Demuestre que A/E
es, en efecto, un conjunto. Demuestre también que ∪(A/E) =
A.
Uno de los conceptos que jugará un papel central más ade-
lante es el de relación de orden.
Una relación binaria R en un conjunto A es una relación
de orden si es reflexiva, es decir si para todo a ∈ A se tiene
(a, a) ∈ R; transitiva, es decir, dados a, b, c ∈ A, si (a, b) ∈ R,
y (b, c) ∈ R, entonces (a, c) ∈ R; y antisimétrica, es decir, para
a, b ∈ A, si (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R, entonces a = b. A veces
estas relaciones se llaman relaciones de orden parcial. Se dice
que una relación de orden R es total (o lineal) si para cada
par de elementos distintos a, b ∈ A, se tiene que (a, b) ∈ R o
(b, a) ∈ R.
Si R es una relación de orden en A y B ⊆ A, un elemento
x ∈ B es un elemento minimal de B (respecto a la relación
R) si no existe y ∈ B, y 6= x tal que (y, x) ∈ R. Decimos que
x ∈ B es un menor elemento de B si (x, y) ∈ R para todo y ∈ B
(y 6= x).
22
Teoŕıa de Conjuntos
Una relación de orden R en un conjunto A es un buen orden
si todo subconjunto no vaćıo B ⊆ A, tiene un menor elemento.
Ejercicio 1.11. Muestre que si R es un buen orden en A,
entonces R es un orden total.
Si R es una relación de orden en A, se acostumbra escribir
aRb en vez de (a, b) ∈ R. Más adelante, en el caṕıtulo 4,
volveremos a tratar estos conceptos.
Como consecuencia del axioma de reemplazo no puede e-
xistir el conjunto de todos los conjuntos. Supongamos lo con-
trario, y veamos que llegamos a una contradicción. Sea A el
conjunto de todos los conjuntos, aplicando el teorema de sepa-
ración al conjunto A con la relación x /∈ x, obtenemos el con-
junto B = {x : x /∈ x}. Pero B ∈ B si y solamente si B /∈ B,
una contradicción.
Más adelante introduciremos el resto de los axiomas, estos
son :
7. AXIOMA DEL INFINITO
8. AXIOMA DE FUNDAMENTACIÓN O DE REGULAR-
IDAD
9. AXIOMA DE ELECCIÓN
Ejercicio 1.12. (1) Muestre que si A ⊆ B entonces
P(A) ⊆ P(B).
(2) Si a, b ∈ B, entonces (a, b) ∈ PP(B).
(3) Dé ejemplos de conjuntos A y B tales que ∪A = ∪B
pero A 6= B.
(4) Muestre que si A ∈ B entonces P(A) ∈ PP(∪B).
Ejercicio 1.13. (Producto Cartesiano) Si A es un con-
junto, el producto cartesiano de sus elementos se define del
23
1. Axiomas de la teoŕıa de conjuntos
modo siguiente:
∏
A = {f : f es una función f : A→ ∪A y pa-
ra todo a ∈ A, f(a) ∈ a}.
Demuestre:
a) Para todo conjunto A,
∏
A es un conjunto.
b) Si A = {a, b} entonces
∏
A = a× b.
c) Si ∅ ∈ A entonces
∏
A = ∅.
d) Si ∩A 6= ∅, entonces
∏
A 6= ∅.
e) Si A = {A1, A2, . . . } entonces
∏
A =
∏
i∈ω Ai = el
conjunto de las sucesiones a1, a2, . . . tales que ai ∈ Ai.
24
CAṔıTULO 2
Matemáticas basadas en conjuntos
En este caṕıtulo indicaremos cómo se pueden desarrollar
varios aspectos de las matemáticas a partir de la teoŕıa de con-
juntos.
1. Números naturales
En nuestra teoŕıa todos los objetos matemáticos deben ser
conjuntos, y por ello identificaremos a los números naturales
con ciertos conjuntos espećıficos.
0 es el conjunto ∅,
1 es el conjuntos {0},
2 es el conjunto {0, 1},
3 es el conjunto {0, 1, 2},
etc.
En general, el número n es el conjunto {0, 1, 2, . . . , n − 1}
de sus predecesores.
Definición 2.1. Dado un conjunto a. definimos a′, el suce-
sor de a, como el conjunto a′ = a ∪ {a}.
Definición 2.2. Decimos que un conjunto A es inductivo
si ∅ ∈ A y para todo conjunto a, si a ∈ A, entonces a′ ∈ A.
Ninguno de los axiomas introducidos hasta ahora nos garan-
tiza la existencia de conjuntos inductivos, por eso necesitamos
el siguiente axioma.
25
2. Matemáticas basadas en conjuntos
AXIOMA DEL INFINITO: existe un conjunto inductivo.
∃x(∅ ∈ x ∧ ∀z(z ∈ x→ z ∪ {z} ∈ x)).
Definición 2.3. Un conjunto a es un número natural si
pertenece a todo conjunto inductivo.
Por ejemplo, ∅, {∅}, {∅, {∅}} son números naturales.
El axioma del infinito nos permite definir el conjunto ω de
todos los números naturales. SeaA un conjunto inductivo (cuya
existencia está garantizada por el axioma del infinito). Pon-
gamos ω = {a ∈ A : a pertenece a todo conjunto inductivo}.
Por el teorema de separación, ω es un conjunto, y además es
inductivo. Como cada número natural está en cada conjunto in-
ductivo, tenemos que ω es el conjunto de los números naturales
(y es el menor conjunto inductivo con respecto a la relación de
contención). El párrafo anterior constituye una demostración
del siguiente resultado.
Teorema 2.4. Existe un conjunto ω cuyos miembros son
exactamente los números naturales. Además ω es inductivo y
está contenido en todo conjunto inductivo. �
Es interesante notar que 0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 . . . y también se
tiene 0 ⊆ 1 ⊆ 2 ⊆ . . .
2. Propiedades de los números naturales
1. Ya mencionamos que ω es un conjunto inductivo (0 ∈ ω,
y si n ∈ ω, entonces n′ = n ∪ {n} ∈ ω).
2. Principio de inducción: Todo subconjunto inductivo de
ω es igual a ω. Es decir, si A ⊆ ω y 0 ∈ A y para todo n ∈ ω,
n ∈ A → n′ ∈ A, entonces A = ω. (Esto es una consecuenciainmediata de la definición de ω).
26
Teoŕıa de Conjuntos
3. Todo número natural excepto el 0 es el sucesor de algún
número natural.
Demostración: Sea
T = {n ∈ ω : n = 0 ó es el sucesor de un número natural}.
Obviamente T es inductivo, luego T = ω. �
Antes de continuar con las propiedades de los números
naturales conviene introducir una concepto sumamente impor-
tante.
Definición 2.5. Un conjunto A es transitivo si x ∈ a y
a ∈ A implica x ∈ A; es decir, si todo elemento de un elemento
de A es a su vez un elemento de A.
Por ejemplo, {0, 1, 4, 5} no es transitivo, pero {0, 1, 2} si lo
es.
Ejercicio 2.6. Demuestre que A es transitivo si y sólo si
∪A ⊆ A y si y sólo si A ⊆ P(A).
Lema 2.7. Un conjunto a es transitivo si y solamente si
∪a′ = a.
Demostración: ∪a′ = ∪(a∪{a}) = (∪a)∪(∪{a}) = (∪a)∪a.
Entonces, si a es transitivo, como ∪a ⊆ a, se tiene que ∪a′ = a.
Rećıprocamente, si (∪a) ∪ a = ∪a′ = a, entonces ∪a ⊆ a y por
lo tanto a es transitivo. �
Lema 2.8. Todo número natural es transitivo.
Demostración: Por inducción. Sea
T = {n ∈ ω : n es transitivo}.
Veamos que T es inductivo. En efecto, ∅ es transitivo, y si n
es transitivo entonces n′ = n ∪ {n} también lo es, porque si
x ∈ m con m ∈ n′ entonces o bien m = n y entonces x ∈ n y
27
2. Matemáticas basadas en conjuntos
por lo tanto x ∈ n′, o bien m ∈ n y en este caso x ∈ n por ser
n transitivo y también resulta que x ∈ n′. �
Lema 2.9. El conjunto ω es transitivo.
Demostración: El enunciado del teorema es lo mismo que
decir que todo elemento de un número natural es, a su vez, un
número natural. Esto lo demostraremos por inducción. Sea
T = {n ∈ ω : n ⊆ ω}; obviamente T es inductivo, luego
T = ω. �
4. Dados n,m ∈ ω si m′ = n′ entonces n = m.
Demostración: Como n y m son transitivos ∪n′ = n y
∪m′ = m. Por hipótesis, n′ = m′ luego n = m. �
Ejercicio 2.10. (1) Demuestre por inducción que
ningún número natural es un subconjunto de uno de
sus elementos. En consecuencia, ningún número nat-
ural es elemento de si mismo.
(2) Demuestre que:
(a) Si A es un conjunto transitivo entonces A′ es
transitivo y ∪A es transitivo.
(b) A es transitivo si y sólo si P(A) es transitivo.
(3) Si ∪A′ es transitivo, ¿ es A transitivo? (considere el
conjunto A = {{∅}}). Si ∪A es transitivo, ¿ es A
transitivo?
(4) Demuestre que si ∪A′ = A, entonces A es transitivo.
Teorema 2.11. (Teorema de Recursión) Si A es un con-
junto, a ∈ A y F : A → A, entonces existe una única función
h : ω → A tal que h(0) = a y h(n′) = F (h(n)), para todo n ∈ ω.
Demostración: Diremos que una función v es aceptable si
domv ⊆ ω, ran(v) ⊆ A y,
28
Teoŕıa de Conjuntos
(i) si 0 ∈ domv entonces v(0) = a
(ii) Si n′ ∈ domv entonces n ∈ domv y v(n′) = F (v(n)).
Sea H la colección de todas las funciones aceptables (nótese
que H es un conjunto) y pongamos h = ∪H. Tenemos que
(n, b) ∈ h↔ (n, b) ∈ v para alguna v aceptable. Demostraremos
a continuación que h es la única función que satisface las condi-
ciones del enunciado del teorema.
Primero, h es una función cuyo dominio es ω ya que el
conjunto s = {n ∈ ω : (n, y) ∈ h para un único y} es inductivo.
Además, h es aceptable ya que h(0) = a y si (n′, x) ∈ h, se tiene
que (n′, x) ∈ u para alguna función aceptable u, y por lo tanto,
x = F (u(n)) = F (h(n)).
La función h es única. En efecto, si h1 y h2 satisfacen las
conclusiones del teorema, el conjunto {n ∈ ω : h1(n) = h2(n)}
es inductivo. �
Ejercicio 2.12. (1) Demuestre que el conjunto H de
la prueba del teorema anterior es en efecto un con-
junto. (Use el teorema de separación).
(2) Sea f : A → A es inyectiva y c /∈ ran(f), si h(0) = c
y h(n′) = f(h(n)), entonces h es inyectiva.
(3) Sea f : B → B y A ⊆ B. Pongamos C∗ = ∩{X : A ⊆
X ⊆ B y f [X] ⊆ X} y C∗ = ∪i∈ωh(i), donde h : ω →
P(B) está dada por h(0) = A, h(n′) = h(n) ∪ f [h(n)]
(h es única por el teorema de recursión). Demuestre
que C∗ = C∗ = clausura de A bajo f .
(4) Sea B = R y f(x) = x − 1 y A = {0}. Calcule C∗ y
C∗.
Veamos ahora como podemos desarrollar la aritmética. Para
definir las operaciones de suma y producto usamos el teorema
de recursión:
29
2. Matemáticas basadas en conjuntos
3. Operaciones artiméticas de números naturales
SUMA DE NÚMEROS NATURALES. Para cada número
natural m, definimos la función Sm de la manera siguiente:
Sm(0) = m,
Sm(n
′) = (Sm(n))
′.
y definimos la operación binaria + : ω × ω → ω poniendo
m+ n = Sm(n).
Teorema 2.13. Para todo para de números naturales n y
m se tiene
(i) m+ 0 = m,
(ii) m+ n′ = (m+ n)′.
Demostración: Ejercicio. �
PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALES. Primero defi-
nimos para cada m ∈ ω la función Pm : ω → ω por
Pm(0) = 0,
Pm(n
′) = Pm(n) +m
y definimos la operación binaria � : ω × ω → ω poniendo, para
cada par de números naturales m y n, m � n = Pm(n).
Teorema 2.14. Para todo par de números naturales m y
n tenemos m � 0 = 0 y m � n′ = m � n+m.�
Teorema 2.15. Dados números naturales n, m y p,
(1) m+ (n+ p) = (m+ n) + p.
(2) m+ n = n+m.
(3) m � (n+ p) = m � n+m � p.
(4) m � (n � p) = (m � n) � p.
(5) m � n = n �m.
(6) m+ p = n+ p implica m = n.
30
Teoŕıa de Conjuntos
Demostración: Ejercicio. �
Sugerencia: 1. Demuestre que {p : m+(n+p) = (m+n)+p}
es inductivo. 2. Demuestre que 0 + n = n para todo número
natural n y que m′ + n = (m + n)′ para todo par de números
naturales m y n.
4. El orden de los números naturales
Primero notemos que ∈ define una relación de orden en ω.
a) Si n ∈ m y m ∈ p, entonces n ∈ p (ya que todo número
natural p es transitivo).
b) Por la definición de número natural tenemos que ∈ de-
termina una relación de orden estricto ({n ∈ w : n /∈ n} es
inductivo). Probemos ahora la ley de tricotomı́a: Si m,n ∈ ω
entonces m ∈ n, n ∈ m ó m = n.
Lema 2.16. Para todo par de números naturales m y n se
tiene m ∈ n si y sólo si m′ ∈ n′.
Demostración: Primero demostraremos que si m′ ∈ n′ en-
tonces m ∈ n. Si m′ ∈ n′ entonces m′ ∈ n∪{n} luego m′ ∈ n ó
m′ = n. Pero como m ∈ m′ tenemos por transitividad que en
ambos casos m ∈ n. Ahora, para demostrar que n ∈ m→ n′ ∈
m′, basta ver que el conjunto {n ∈ ω : (∀m ∈ n)(m′ ∈ n′)} es
inductivo.�
Teorema 2.17. Dados m,n ∈ ω, una (y sólo una) de las
siguientes posibilidades ocurre: n ∈ m, m ∈ n, m = n.
Demostración: Ya que ningún número natural pertenece a
si mismo y todos los números naturales son transitivos, sabemos
que ocurre a lo sumo una de las posibilidades del enunciado.
Veamos que ocurre al menos una. Demostraremos que T =
{n ∈ ω : ∀m ∈ ω(m ∈ n, n ∈ m ∨ m = n)} es inductivo.
31
2. Matemáticas basadas en conjuntos
Primero, es claro que 0 ∈ T ya que podemos demostrar por
inducción que {n : 0 ∈ n ∨ 0 = n} es todo ω. Después, vemos
que si k ∈ T , entonces k′ también pertenece a T ya que k′ =
k ∪ {k}, y dado m, m ∈ k ó k ∈ m ó k = m. En el primer
caso m ∈ k′, en el tercero m ∈ k′ también. En el segundo caso
(es decir, si k ∈ m) entonces, por el lema, k′ ∈ m′ = m ∪ {m}
entonces k′ ∈ m ó k′ = m. Aśı, tenemos que en cualquiera de
los tres casos, m ∈ k′ ó k ∈ m ó k′ = m y luego k′ ∈ T , por lo
tanto T es inductivo. �
Corolario 2.18. Dados m,n ∈ ω, m ∈ n↔ m ⊂ n.
Demostración: Si m ∈ n, como n es transitivo, m ⊆ n y la
contención es estricta ya que ningún número natural pertenece
a śı mismo. Rećıprocamente, si m ⊂ n entonces m ∈ n ó n ∈ m.
Pero este último caso no puede ocurrir, ya que si n ∈ m, por
transitividad sigue que n ∈ n. Entonces, m ∈ n. �
El orden dado por ∈ en ω es un buen orden, es decir, todo
subconjunto no vaćıo de ω tiene un menor elemento.
Teorema 2.19. Si A ⊆ ω y A 6= ∅, entonces existe un m
tal que para todo n ∈ A, m ∈ n ó m = n. Tal m es único.
Demostración: Si A ⊆ ω no tiene menor elemento, entonces
B = {m : ∀k(k ∈ m→ k /∈ A)} es inductivo. Esto implica que
A = ∅.�
Teorema 2.20. (principio de inducción fuerte) Sea A ⊆ ω,
y supon-gamos que para todo n ∈ ω, si todo número menor que
n pertenece a A, entonces n ∈ A. Entonces A = ω.
Demostración: Ejercicio. �
32
Teoŕıade Conjuntos
Ejercicio 2.21. Dados números naturales n,m, y p, m ∈
n→ m+ p ∈ n+ p, y si p 6= 0, m ∈ n→ m � p ∈ n � p.
Ejercicio 2.22. Demuestre que si m,n ∈ ω, entonces
m < n→ ∃!k(m+ k = n).
Ahora pasaremos a construir otras estructuras numéricas
usadas en matemáticas. Esto muestra como las matemáticas
pueden ser consideradas como parte de la teoŕıa de conjuntos
(aunque esto no quiere decir que sean en realidad parte de la
teoŕıa de conjuntos).
5. Números enteros
Obtenemos los números enteros calculando diferencias entre
números naturales. Por ejemplo −1 = 3 − 4, −2 = 6 − 8,
3 = 8−5, etc. Esto indica que una manera de definir el número
negativo −1 es mediante el par (3, 4). El problema es que hay
muchos pares que serviŕıan para esto, por ejemplo, (10, 11),
(13, 14), etc. Lo que haremos es identificar todos estos pares,
de modo que el −1 venga a ser la clase de todos los pares
(a, b) tales que a y b son números naturales y a − b = −1.
Hagamos ahora esto más formalmente (notemos que no hemos
definido todav́ıa la operación a − b entre números naturales).
Definimos una relación de equivalencia ≈ entre pares ordenados
de números naturales de la manera siguiente.
(a, b) ≈ (p, q) si y sólo si a+ q = p+ b, y ponemos [(a, b)] =
{(p, q) : (a, b) ≈ (p, q)}.
Ejercicio 2.23. Demuestre que ≈ es una relación de equiv-
alencia y que para cada par de números naturales a y b, [(a, b)]
es un conjunto.
Definición 2.24. El conjunto Z de los números enteros es
la colección de clases de equivalencia ω × ω/ ≈.
33
2. Matemáticas basadas en conjuntos
Es interesante notar que los números naturales están “su-
mergidos” en los enteros; dicho de otra manera, hay una copia
de ω en Z. Esto lo haremos preciso más adelante.
Definición 2.25. (Suma de enteros) [(m,n)] + [(p, q)] =
[(m+ p, n+ q)]
El siguiente lema, cuya demostración proponemos como
ejercicio, muestra que esta definición no depende de los re-
presentantes tomados en cada clase.
Lema 2.26. Si (m,n) ≈ (m̄, n̄) y (p, q) ≈ (p̄, q̄), entonces
(m+ p, n+ q) ≈ (m̄+ p̄, n̄+ q̄).
Demostración: Ejercicio. �
Teorema 2.27. La suma de enteros es asociativa y conmu-
tativa. El entero OZ = [(0, 0)] es un elemento neutro respecto a
la suma. Dado a = [(m,n)] existe un único entero −a tal que
a+ (−a) = 0Z, y −a = [n,m]. �
Definición 2.28. (Multiplicación de enteros) Definimos
[(m,n)] � [(p, q)] = [(m � p+ n � q,m � q + n � p)].
Para demostrar que esta definición es correcta (es decir, que
no depende de los representantes de cada clase), hay que probar
el siguiente lema.
Lema 2.29. Si (m,n) ≈ (m̄, n̄) y (p, q) ≈ (p̄, q̄), entonces
(mp+ nq,mq + np) ≈ (m̄p̄+ n̄q̄, m̄q̄ + n̄p̄).
Demostración: Ejercicio. �
Teorema 2.30. La multiplicación de enteros es asociativa,
conmutativa y distributiva sobre la suma de enteros. El entero
1Z = [(1, 0)] es un elemento neutro respecto a la multiplicación.
34
Teoŕıa de Conjuntos
Demostración: Ejercicio. �
Usualmente no denotamos a los enteros como pares orde-
nados (ni clases de pares ordenados) usamos 1Z para denotar
[(1, 0)] y OZ para denotar [(0, 0)], y aśı usamos −3 para deno-
tar a la clase [(0, 3)], etc. Cuando no haya lugar a confusión,
omitimos el sub́ındice del 0 y del 1.
Ejercicio 2.31. Sean n,m y p números enteros. Si n 6= 0Z
entonces np = nm implica p = m.
6. El orden de los números enteros
Definimos una relación de orden en Z de la manera si-
guiente: [(m,n)] < [(p, q)] si y sólo si m + q ∈ p + n. Esta
relación está bien definida como lo muestra e siguiente lema.
Lema 2.32. Si (m,n) ≈ (m̄, n̄) y (p, q) ≈ (p̄, q̄), entonces
[(m,n)] < [(p, q)] implica [(m̄, n̄)] < [(p̄, q̄)].
Demostración: Ejercicio. �
Teorema 2.33. La relación < en Z es una relación de
orden lineal (estricto), es decir,
(i) < es transitiva y no reflexiva,
(ii) < satisface la ley de tricotomı́a.
Demostración: (i) queda como ejercicio. (ii) Si a y b son
enteros, una de las siguientes posibilidades ocurre: a < b, a = b
o b < a. Esto es consecuencia de la ley de tricotomı́a en ω ya
que si a = [(m,n)] y b = [(p, q)] las tres posibilidades anteriores
equivalen a m+ q ∈ n+ p, m+ q = n+ p o n+ p ∈ m+ q. �
35
2. Matemáticas basadas en conjuntos
Ejercicio 2.34. Demuestre que Z es un dominio de inte-
gridad, es decir, es un anillo conmutativo sin divisores de cero.
Lo que falta por demostrar es que no hay divisores de cero, y
para esto, verifique que si a � b = 0 entonces a = 0 o b = 0.
Ejercicio 2.35. Demuestre que la suma de enteros y el
producto por enteros positivos preservan el orden.
(a) Si a < b entoces a+ c < b+ c.
(b) Si c > 0 entonces a < b→ a � c < b � c.
Finalmente, veamos como ω está sumergido en Z. Con-
sideremos la aplicación E : ω → Z dada por E(n) = [(n, 0)].
Tenemos que E preserva las operaciones:
(a) E(n+m) = E(m) + E(n).
(b) E(n �m) = E(m) � E(n).
(c) m ∈ n→ E(m) < E(n)
(d) E(0) = [(0, 0)] = 0Z,
(e) E(1) = [(1, 0)] = 1Z.
.
7. Números racionales
De la misma manera que extendimos los números naturales
a los enteros para obtener opuestos respecto a la suma (i.e.
soluciones a la ecuación n + x = 0), extenderemos ahora los
enteros para obtener inversos respecto a la multiplicación (es
decir, para obtener soluciones de a � x = 1, a ∈ Z). Defini-
mos una relación de equivalencia en Z × (Z \ {0}) de la ma-
nera siguiente. El producto cartesiano anterior es el conjunto
{(a, b) : a ∈ Z, b ∈ Z, b 6= 0}. Definimos alli la relación ∼
poniendo
(a, b) ∼ (c, d) si y sólo si a � d = c � b.
36
Teoŕıa de Conjuntos
El conjunto Q de los números racionales es el conjunto de
clases que equivalencia Z× (Z \ {0}).
La clase de (1, 2) es el racional 1/2, la clase de (5, 7) es el
racional 5/7, etc.
Ejercicio 2.36. Verifique que ∼ es una relación de equi-
valencia.
Definición 2.37. Los racionales [(0, 1)] y [(1, 1)] serán de-
notados por OQ y 1Q respectivamente.
Tal como en el caso de los enteros, cuando no haya lugar a
confusión, escribiremos simplemente 1 y 0 sin los sub́ındices.
Suma de números racionales.
Definición 2.38. [(a, b)]+Q [(c, d)] = [(ad+cb, bd)] (nótese
que como b y d son distintos de cero, bd 6= 0).
Como anteriormente, se puede demostrar que la suma está
bien definida.
Teorema 2.39. La suma de números racionales es aso-
ciativa y conmutativa. El OQ es un elemento neutro para la
suma (y es único), y para cada racional [(a, b)] existe un único
opuesto respecto a la suma, −[(a, b)] = [(−a, b)]. �
Multiplicación de números Racionales.
Definición 2.40. si [(a, b)] y [(c, d)] son números racionales,
[(a, b)] � [(c, d)] = [(ac, bd)].
La multiplicación está bien definida, es decir, no depende
de los representantes tomados en cada clase.
Teorema 2.41. La multiplicación de racionales es asocia-
tiva, conmutativa y distributiva sobre la suma. El racional 1
es el (único) elemento neutro respuecto a la multiplicación.
37
2. Matemáticas basadas en conjuntos
Además, para cada racional [(a, b)] 6= 0 existe un único inverso
respecto a la multiplicación que se denota por [(a, b)]−1.
Demostración: El inverso multiplicativo de [(a, b)] es [(b, a)].
Nótese que a 6= 0 ya que [(a, b)] 6= 0. �
Ejercicio 2.42. Demuestre que para todo racional r se
tiene que 0 � r = 0.
Corolario 2.43. Q es un dominio de integridad, es decir,
si r � s = 0, entonces r = 0 o s = 0.
Demostración: Dados r, s ∈ Q ambos distintos de 0, existen
r−1 y s−1 tales que r � r−1 = ss−1 = 1Q.
Usando la conmutatividad y asociatividad tenemos (r � s) �
(r−1 � s−1) = 1 y esto implica que r � s 6= 0 ya que si r � s = 0
entonces 0 = 0 � (r−1 � s−1) = 1, una contradicción. �
8. El orden de los números racionales
Definición 2.44. [(a, b)] <Q [(c, d)] si y sólo si ad < cb,
siempre que b y d sean positivos.
Teorema 2.45. La relación binaria <Q es un orden lineal
en Q.
Demaostración: Ejercicio. �
Teorema 2.46. Sean r, s, y t números racionales.
(a) Si r < s, entonces r + t < s+ t
(b) Si t > 0, entonces r < s↔ r � t < s � t.
Los enteros están sumergidos en los racionales.Para de-
mostrarlo, basta considerar la inmersión E′ : Z → Q dada por
E′(a) = [(a, 1)]. Se puede verificar fácilmente lo siguiente:
38
Teoŕıa de Conjuntos
(a) E′(a+ b) = E′(a) + E′(b),
(b) E′(a � b) = E′(a) � E(b),
(c) E′(a) <Q E
′(b)↔ a < b,
(d) E′(0Z) = [(0, 1)] = 0Q,
(e) E′(1Z) = [(1, 1)] = 1Q.
9. Números reales
Hay varias maneras de construir los números reales. Usare-
mos para ello las llamadas Cortaduras de Dedekind.
Definición 2.47. Una cortadura de Dedekind es un sub-
conjunto x de Q tal que
(i) ∅ 6= x 6= Q,
(ii) si q ∈ x y r < q entonces r ∈ x.
(iii) x no tiene máximo.
El conjunto R de los números reales es el conjunto de las
cortaduras de Dedekind. El orden de R es simple de definir:
x ≤R y ↔ x ⊆ y. En consecuencia, x <R y si y solamente si
x ⊂ y, y por lo tanto y \ x es no vaćıo.
Teorema 2.48. La relación <R es un orden lineal.
Demostración: Es fácil ver que <R es transitiva. Veamos
que satisface la ley de tricotomı́a. Dados x e y, una de las tres
posibilidades siguientes ocure: x < y, x = y o y < x. Si no se
tiene x < y, entonces existe r ∈ x \ y. Notemos que todo s ∈ y
es tal que s < r (porque si s = r o r < s se tendŕıa que r ∈ y)
y como x es ”cerrado hacia abajo” s ∈ x. Luego y ⊆ x. �
Dado un conjunto A de números reales, diremos que A es
acotado superiormente si existe un número real x mayor o igual
que cada elemento de A. Tal x se llama una cota superior de
A.
39
2. Matemáticas basadas en conjuntos
Teorema 2.49. Todo conjunto acotado superiormente y no
vaćıo de R tiene un supremo, es decir, tiene una menor cota
superior .
Demostración: Sea A un conjunto no vaćıo y acotado supe-
riormente de números reales. El supremo de A es simplemente
∪A.
a) ∪A es una cota superior de A, ya que si x ∈ A, entonces
x ⊆ ∪A.
b) Veamos que ∪A es la menor cota superior de A. Sea
z una cota superior de A, es decir x ⊆ z para todo x ∈ A,
entonces ∪A ⊆ z.
c) Falta ver que ∪A ∈ R. Primero, A 6= ∅, y como cada
número real es no vaćıo, entonces ∪A 6= ∅. Además ∪A 6= Q,
porque A es acotado y entonces existe alguna cota superior z
tal que ∪A ⊆ z. Por último ∪A es cerrado hacia abajo, ya que
si r ∈ ∪A, entonces r ∈ x para algún x ∈ A, y si s < r entonces
s ∈ x y también s ∈ ∪A.
10. Aritmética de números reales
Dados x, y ∈ R, definimos x+R y = {q+ r : q ∈ x y r ∈ y}.
Lema 2.50. Si x, y ∈ R, entonces x+ y ∈ R.
Demostración:
(i) x+ y 6= ∅.
(ii) Veamos que x + y 6= Q. Basta tomar r /∈ x y s /∈ y,
entonces para todo r′ ∈ x y s′ ∈ y, r′ + s′ < r + s.
Luego r + s /∈ x+ y.
(iii) x+ y es cerrado hacia abajo: Si q + r ∈ x+ y (donde
q ∈ xyr ∈ y), y p < q + r, entonces, sumando −q,
obtenemos p − q < r, luego p − q ∈ y. Entonces
p = q + (p− q) ∈ x+ y.
40
Teoŕıa de Conjuntos
(iv) x + y no tiene máximo: Si q + r ∈ x + y ( donde
q ∈ x, r ∈ y) entonces, como ni x ni y tienen máximo,
existen q < q′ y r < r′ con q′ ∈ x y r′ ∈ y, entonces
q′ + r′ ∈ x+ y y es mayor que q + r. �
Las propiedades de la suma se enuncian sin demostración
en el siguiente teorema.
Teorema 2.51. La suma de números reales es asociativa,
conmutativa, OR = {r ∈ Q : r < 0} es elemento neutro, y
para todo x ∈ R, el real −x = {r ∈ Q : ∃s > r(−s /∈ x)}
es su opuesto respecto a la suma. Además x < y si y sólo si
x+ z < y + z para todo x, y, z ∈ R.
Ejercicio 2.52. Demuestre que
−x = {r ∈ Q : ∃s > r(−s /∈ x)}
es un número real.
Antes de definir la multiplicación de números reales, con-
viene definir el valor absoluto de un número real.
Definición 2.53. El valor absoluto |x| de un número real
x es el mayor entre x y −x. Podemos expresar esto aśı: |x| =
x ∪ −x.
Nótese que |x| ≥ 0 para todo x ∈ R.
Ejercicio 2.54. Demuestre que si x ∈ R entonces |x| ∈ R.
Para definir la multiplicación de x por y, lo primero que
uno intentaŕıa es poner x � y = {r � s : r ∈ x, s ∈ y}, pero esto
no funciona porque ambos reales x e y contienen racionales
negativos arbitrariamente pequeños, y el producto tendŕıa en-
tonces racionales arbitrariamente grandes. Para resolver este
problema hacemos una definición por casos.
41
2. Matemáticas basadas en conjuntos
Definición 2.55. (a) Si x e y son reales no negativos,
x � y = 0R ∪ {r � s : 0 ≤ r ∈ x y 0 ≤ s ∈ y}
(b) Si x e y son ambos reales negativos x � y = |x| � |y|.
(c) Si x e y son números reales y uno es negativo y el otro
no negativo entonces x � y = −(|x| � |y|).
Sea 1R = {r ∈ Q : r < 1}, (obsérvese que 0R < 1R)
Teorema 2.56. Dados x, y ∈ R,
(a) x � y ∈ R.
(b) La multiplicación es asociativa, conmutativa y distribu-
tiva sobre la suma.
(c) 1R es neutro respecto a la multiplicación, es decir, x �
1R = x para todo x ∈ R.
(d) Multiplicación por un real positivo preserva el orden,
es decir, si 0R < z, entonces x < y → x � z < y � z. �
De igual manera que en los casos anteriores podemos definir
una inmersión E′′ de Q en R:
E′′(r) = {s ∈ Q : s < r}.
Se tiene:
(a) E′′(r + s) = E′′(r) + E′′(s);
E′′(r � s) = E′′(r) � E′′(s).
(b) E′′(0Q) = 0R y E
′′(1Q) = 1R.
(c) r < s→ E′′(r) < E′′(s).
También en este caso, usamos simplemente 0 y 1, sin el
sub́ındice cuando no haya lugar a confusión. Identificando cada
número racional r con su imagen E′′(r), podemos considerar
que los racionales están contenidos en R, y por la definición
del órden, si x <R y, entonces existe un racional r tal que
x <R r <R y. En otras palabras, Q es un subconjunto denso
en R.
42
CAṔıTULO 3
Conjuntos equipotentes
Definición 3.1. Dos conjuntos A y B son equipotentes si
existe una biyección f : A → B. Esto lo denotaremos por
A ≈ B.
Consideremos algunos ejemplos sencillos, 3 ≈ {7, 6, 5}, y
en general, cualquier conjunto de exactamente tres elementos
es equipotente al conjunto 3; ω ≈ {n ∈ ω : n es par }, en
efecto, la función que manda cada número natural n en 2n es
una biyección. Tenemos también que ω ≈ Q, ¿Puede el lector
verificarlo?
Teorema 3.2. Dados dos conjuntos A y B, se tiene que
(i) A ≈ A.
(ii) A ≈ B si y sólo si B ≈ A.
(iii) Si A ≈ B y B ≈ C entonces A ≈ C.
Demostración: Sigue inmediatamente de la definición. �
Proposición 3.3. Dados A y B, existen conjuntos C y D
tales que C ≈ A, D ≈ B y C ∩D = ∅.
Demostración: Basta tomar C = A×{∅} y D = B×{{∅}}.
�
Definición 3.4. Dados conjuntos A y B, denotamos por
AB al conjunto {f : f : B → A}.
43
3. Conjuntos equipotentes
Teorema 3.5. Dados conjuntos A, B, C y D,
(i) Si A ≈ B y C ≈ D entonces AC ≈ BD,
(ii) Si B ∩ C = ∅ entonces AB∪C ≈ AB ×AC ,
(iii) (A×B)C ≈ AC ×BC ,
(iv) (AB)
C ≈ AB×C
Demostración: Ejercicio. �
Teorema 3.6. Dado un conjunto A, P(A) ≈ 2A.
Demostración: Si B ⊆ A, sea χB : A→ 2 la función carac-
teŕıstica de B, esto es, la función
(1) χB(a) =
{
0, si a /∈ B;
1, si a ∈ B.
Es fácil demostrar que la función F : P(A)→ 2A dada por
F (B) = χB es una biyección. �
Teorema 3.7. (Cantor): Para todo conjunto A, A 6≈ P(A).
Demostración: Sea f : A → P(A) una sobreyección. Con-
sideremos el conjunto B = {a ∈ A : a /∈ f(a)}. Es claro que
B ∈ P(A). Por ser f sobreyectiva, existe un b ∈ A tal que
f(b) = B. Tenemos entonces que b ∈ B si y sólo si b /∈ f(b)
pero esto último es lo mismo que b /∈ B, y aśı obtenemos una
contradicción. �
Nótese que sólo usamos la sobreyectividad de f. Para todo
A, existe una inyección de A en P(A), por ejemplo, la función
que manda cada elemento a de A en {a}.
Denotamos por A w B el hecho de que exista una inyección
de A en B y escribimos A ≺ B si A w B pero A 6≈ B. Tenemos
entonces que A ≺ P(A) para todo A.
44
Teoŕıa de Conjuntos
Teorema 3.8. (Schroeder-Bernstein) Dados conjuntos A y
B, si A w B y B w A, entonces A ≈ B.
Demostración: Sean f : A → B y g : B → A funciones in-
yectivas. Claramente, B ≈ ran(g) ⊆ A, y g◦f es una inyección
de A en ran(g), luego A w ran(g). Entonces, para demostrar
el teorema basta probar el siguiente lema.
Lema 3.9. Si C ⊆ A y A w C entonces A ≈ C.
Demostración del lema: Sea h : A → C una inyección.
Pongamos A0 = A\C, A1 = h[A0], y en general, An+1 = h[An].
(recordemos que h[B] ={x : x = h(a) para algún a ∈ B}).
Definamos F : A→ C de la manera siguiente:
Dado a ∈ A,
(2) F (a) =
{
a, si a /∈ ∪{An : n ∈ ω};
h(a), si a ∈ ∪{An : n ∈ ω}.
A
C
A0 = A \ C
'
&
$
%A1
'
&
$
%
45
3. Conjuntos equipotentes
Veamos que F es una biyección:
(1) Verifiquemos primero que F es inyectiva; es decir si
a 6= b, entonces F (a) 6= F (b). Hay varios casos que
considerar; sean a 6= b elementos de A.
(i) Si a /∈ ∪{An : n ∈ ω} y b /∈ ∪{An : n ∈ ω}
entonces, F (a) = a y F (b) = b; como a 6= b,
entonces F (a) 6= F (b).
(ii) Si a /∈ ∪{An : n ∈ ω} y b ∈ ∪{An : n ∈ ω},
entonces F (a) = a y F (b) = h(b). Como a /∈
∪{An : n ∈ ω} y h(b) ∈ ∪{An : n ∈ ω}, entonces
F (a) 6= F (b).
(iii) Si a ∈ ∪{An : n ∈ ω} and b ∈ ∪{An : n ∈ ω},
tenemosF (a) = h(a) y F (b) = h(b), pero como h
es inyectiva, h(a) 6= h(b).
(2) Veamos ahora que F es sobreyectiva, es decir, para
cada c ∈ C existe un a ∈ A tal que F (a) = c.
Sea c ∈ C, si c /∈ ∪{An : n ∈ ω}, entonces
F (c) = c; si en cambio, c ∈ ∪{An : n ∈ ω}, en-
tonces observemos que como c ∈ C, c /∈ A0 = A \ C.
Entonces c ∈ Ap para algún p ≥ 1. Por lo tanto existe
d ∈ Ap−1 tal que F (d) = h(d) = c. �
Ejercicio 3.10. Use el teorema anterior para demostrar
que
[0, 1] ≈ (0, 1) ≈ R.
Definición 3.11. Un conjunto A es un conjunto finito si
es equipotente con algún número natural. A es infinito si no es
finito.
Demostraremos una propiedad básica de los números na-
turales.
46
Teoŕıa de Conjuntos
Teorema 3.12. Ningún número natural es equipotente con
un subconjunto propio.
Demostración: Veamos que el conjunto
T = {n ∈ ω : toda función inyectiva de n en n es sobreyectiva}
es inductivo. Obviamente, 0 ∈ T . Supongamos que k ∈ T y sea
f : k′ → k′ una inyección. Consideremos dos posibilidades, a)
f [k] ⊆ k (donde f [k] = {x : x = f(m) para algún m ∈ k}). En
este caso, como f es una inyección, la hipótesis de inducción
implica f [k] = k. Entonces f(k) = k y tenemos que f es
sobreyectiva.
b) Si existe p ∈ k tal que f(p) = k. Definimos entonces la
función f̂ : k′ → k′ por
(3) f̂(x) =

f(k) si x = p,
f(p) = k, si x = k,
f(x) para todo x ∈ k, x 6= p.
(Esta función intercambia las imágenes de p y k).
La función f̂ satisface la condición del caso a) y por lo tanto
es una biyección. Es inmediato que entonces f tiene también
que ser biyectiva.�
Corolario 3.13. Ningún conjunto finito es equipotente
con un subconjunto propio.
Corolario 3.14. (a) Si B ⊂ A y A ≈ B entonces A es
infinito.
(b) ω es infinito.
Demostración: b) Sea B = {1, 2, . . . } = ω \ {∅}. Es fácil
definir una biyección de ω sobre B. �
47
3. Conjuntos equipotentes
Corolario 3.15. Todo conjunto finito es equipotente con
un único número natural.
Demostración: Si A es finito y equipotente a dos números
naturales n y m, con n 6= m, entonces como n ∈ m o m ∈ n, por
transitividad uno de los números es un subconjunto propio del
otro y ambos equipotentes con A. Esto contradice el teorema.
�
Ejercicio 3.16. Demuestre que si B es finito y A ⊆ B,
entonces A es finito.
Ejercicio 3.17. (1) Demuestre que tanto la unión
como el producto cartesiano de dos conjuntos finitos
son conjuntos finitos.
(2) Si A es finito y f : A→ A es inyectiva, entonces f es
sobreyectiva.
Definición 3.18. Un conjunto es Dedekind-finito si no es
equipotente con ninguno de sus subconjuntos propios.
Ejercicio 3.19. (1) Si A ⊂ B y B es Dedekind-finito,
entonces A es Dedekind-finito.
(2) A ≈ B y B Dedekind finito, entonces A es Dedekind-
finito.
(3) A w B y B Dedekind-finito, entonces A es Dedekind-
finito.
Definición 3.20. Un conjunto A es numerable (o contable)
si es equipotente con ω. Se dice que A es a lo sumo numerable
si es finito o numerable.
Ejemplos: Z y Q son numerables. {0, 1}ω no es numerable,
R no es numerable. Si A es numerable entonces A × A es
numerable.
48
CAṔıTULO 4
Ordinales
En este caṕıtulo estudiaremos el concepto de número ordi-
nal y demostraremos algunas de sus propiedades más impor-
tantes. Primero daremos varias definiciones relacionadas con
conjuntos ordenados y veremos cómo el principio de inducción
se puede llevar a contextos muy generales. Consideraremos
primero el concepto de buen orden y demostraremos varios
hechos sobre conjuntos bien ordenados. Una vez hecho todo
esto definiremos los ordinales y estudiaremos sus propiedades.
Recordemos que una relación binaria en un conjunto A es sim-
plemente un subconjunto del producto cartesiano A×A.
1. Conjuntos bien ordenados.
Definición 4.1. Una relación binaria R en un conjunto A
es una relación de orden parcial si
(i) ∀x ∈ A(xRx),
(ii) ∀x ∈ A∀y ∈ A(xRy ∧ yRx→ x = y),
(iii) ∀x, y, z ∈ A(xRy ∧ yRz → xRz).
(Esto es, R es una relación del tipo ≤).
Definición 4.2. Decimos que R es una relación de orden
parcial estricto en A si:
(i) ∀x ∈ A¬(xRx),
(ii) ∀x, y ∈ A(xRy → ¬yRx)
49
4. Ordinales
(iii) ∀x, y, z ∈ A(xRy ∧ yRz → xRz).
(En este caso tenemos una relación del tipo <).
Nótese que para toda relación de orden parcial R existe una
relación de orden parcial estricto asociada R′ definida por xR′y
si y solamente si xRy ∧ x 6= y. Tambień, dada una relación
de orden parcial estricto R′, podemos definir una relación de
orden parcial R poniendo xRy si y solamente si xRy ó x = y.
Ejemplos:
1. Dado un conjunto x, consideremos el orden dado por ⊆
en P(x). Si x = {a, b}, P(x) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
Tenemos, por ejemplo, ∅ ⊆ {a}, {b} ⊂ {a, b}, pero no {a} ⊆
{b}.
2. A = R, y R =< (el orden usual en los números reales).
3. A = N, R la relación “es divisor de”.
4. A = N× N, y R es el orden lexicográfico dado por
(n,m)R(p, q)↔ n < p ∨ (n = p ∧m < q).
Definición 4.3. Si A es un conjunto parcialmente orde-
nado y B ⊆ A, decimos que x es un elemento minimal (maxi-
mal) de B si x ∈ B y no existe ningún y ∈ B, y 6= x, tal que
yRx (xRy). Decimos que x es una cota inferior (superior) de
B si para todo y ∈ B xRy ∨ x = y (yRx ∨ x = y), y decimos
que x es un ı́nfimo (supremo) para B si x es una cota inferior
(superior) y para todo y ∈ A, si y es una cota inferior (supe-
rior) entonces yRx o y = x (xRy o x = y). Diremos que x es
un menor elemento de B si x ∈ B y ∀y ∈ B xRy.
Definición 4.4. Una relación de orden R es un orden total
(o lineal) si R es una relación de orden parcial tal que ∀x, y ∈
A(xRy ∨ yRx ∨ x = y)
Ejemplos: (N,≤), (Q,≤), (R,≤).
50
Teoŕıa de Conjuntos
Definición 4.5. Una relación de orden R en un conjunto
A es un buen orden si R es una relación de orden y cada sub-
conjunto no vaćıo de A tiene un menor elemento.
Nótese que un buen orden es siempre una relación de orden
total.
Ejemplo 4.6. (1) (N,≤).
(2) N× N con la relación (n,m) < (p, q) si y sólo si m <
q ∨ (m = q ∧ n < p).
(3) N ordenado de la manera siguiente: primero los nú-
meros pares y después los impares, es decir nRm si y
solamente si (n es par y m es impar) o (ambos son
pares y n < m) o (ambos son impares y n < m).
A continuación estudiaremos algunas propiedades de los
conjuntos (estrictamente) bien ordenados. Una propiedad muy
útil e importante de estos conjuntos es que nos permiten gene-
ralizar el principio de inducción tal como veremos en el si-
guiente teorema.
Teorema 4.7. (Principio de inducción transfinita) Sea
(A,R) un conjunto bien ordenado y φ(v) una fórmula del len-
guaje de la teoŕıa de conjuntos.
(∀x ∈ A[∀y ∈ A(yRx→ φ(y))→ φ(x)])→ ∀x ∈ Aφ(x).
Demostración: Supongamos que φ(v) es tal que, dado x,
si todo predecesor de x satisface φ entonces φ(x). Si no todo
elemento de A satisface φ entonces, como A es bien ordenado,
existe un menor elemento x0 que no satisface φ, pero todo pre-
decesor de x0 satisface φ y nuestra hipótesis implica que φ(x0).
�
Nótese que aplicando este principio a N con su orden natural
obtenemos el principio de inducción fuerte.
51
4. Ordinales
Definición 4.8. Dos conjuntos bien ordenados (A,R) y
(B,S) son isomorfos si existe una biyección f : A→ B tal que
xRy ↔ f(x)Sf(y) para todo par de elementos x, y ∈ A; se dice,
es este caso,que f es un isomorfismo de A en B .
Ejercicio 4.9. Decida si Q y Q \ {0} son isomorfos. Lo
mismo para R y R \ {0}.
Definición 4.10. Un segmento inicial de un conjunto bien
ordenado (A,R) es un subconjunto B ⊆ A tal que
∀x, y(x ∈ B ∧ yRx→ y ∈ B).
Dado un conjunto bien ordenado (A,R) y un elemento a ∈ A,
el segmento inicial de A determinado por a es Sa(A) = {x ∈
A : xRa}. Denotaremos por S(A) al conjunto de los segmentos
iniciales de A.
Nótese que todo segmento inicial propio es de la forma
Sa(A) para algún a ∈ A.
Lema 4.11. Sea (A,<) un conjunto bien ordenado, si f :
A → B es un isomorfismo entre A y un subconjunto B de A,
entonces x ≤ f(x) para todo x ∈ A.
Demostración: por inducción transfinita. Supongamos que
∀y < x(y ≤ f(y)), entonces si f(x) < x como f es un isomor-
fismo f(f(x)) < f(x). Pero por otra parte, como f(x) < x,
nuestra hipótesis nos indica que f(x) ≤ f(f(x)), una con-
tradicción. �
Teorema 4.12. Si (A,<A) y (B,<B) son conjuntos bien
ordenados, existe a lo sumo un isomorfismo entre ellos.
Demostración: Supongamos que f y g son isomorfismos de
A en B. Entonces f−1 ◦ g es un isomorfismo de A en A, y
por el lema anterior, x ≤ f−1 ◦ g(x) para todo x ∈ A. Por
52
Teoŕıa de Conjuntos
lo tanto, f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ A. Analogamente se demuestra
que g(x) ≤ f(x) para todo x ∈ A, y esto nos da el resultado
deseado. �
Teorema 4.13. Un conjunto bien ordenado (A,<) no es
isomorfo a ninguno de sus segmentos iniciales propios.
Demostración: Supongamos f : A → Sa(A) es un isomor-
fismo para algún a ∈ A. Por el lema 4.11, a ≤ f(a). Entonces
f(a) /∈ Sa(A), y esto es una contradicción. �
Teorema 4.14. Todo conjunto bien ordenado (A,<A) es
isomorfo al conjunto de sus segmentos iniciales propios orde-
nados por ⊆.
Demostración: Obsérvese primero que el conjunto de los
segmentos iniciales de (A,<A) con el orden dado por la in-
clusión es un conjunto bien ordenado. La función f de A en
el conjunto de los segmentos iniciales propios de A dada por
f(a) = Sa(A) es una biyección. Si a < b entonces Sa(A) ⊂
Sb(A). �
Teorema 4.15. (Teorema de Recursión Transfinita.) Sea
(A,<) un conjunto bien ordenado y B un conjunto. Si G :
S → B, dónde S = {h : ∃a ∈ A(h : Sa(A) → B)}, entonces
existe una única función f : A → B tal que para todo a ∈ A,
f(a) = G(f � Sa(A)).
Demostración: Dejamos la demostración de la unicidad
como ejercicio, y demostramos la existencia. Consideremos el
conjunto H de todas las funciones g definidas en un segmento
inicial de A tales que si dom(g) = Sa(A), para todo t < a,
53
4. Ordinales
g(t) = G(g � St(A)). Este conjunto no es vaćıo (a menos que
A sea vaćıo), ya que uno de sus elementos es la función
{(menor elemento de A,G(∅))}.
Tomemos ahora F = ∪H, y verifiquemos que F satisface
las condiciones que buscamos. Primero, para ver que F es
una función, hay que verificar, usando el teorema de inducción
transfinita, que para todo a ∈ A, existe a lo sumo un b ∈ B
tal que (a, b) ∈ F . En efecto, supongamos que esto vale para
cada a′ < a, entonces, si (a, b) ∈ F , se tiene que (a, b) ∈ g para
alguna g ∈ H, y g(a) = b = G(g � Sa(A)); si a ∈ dom(g′)
para otra función g′ ∈ H, g′(a) = G(g′ � Sa(A)), pero g y g′
coinciden en Sa(A). Se demuestra fácilmente que la función F
satisface F (a) = G(F � Sa(A)) para todo a en su dominio, ya
que por lo que acabamos de ver, si a ∈ dom(F ), entonces todas
las funciones g ∈ H con a en su dominio coinciden en Sa(A)
entre si y con F . De manera similar se prueba que el dominio
de F es todo A. Supongamos que dom(F ) esté estrictamente
contenido en A, y sea a el menor elemento de A fuera del do-
minio de F , entonces F ∪ {(a,G(F )} es una función en H, y
por lo tanto a debe pertenecer al dominio de F . �
Haremos uso de este teorema para probar el resultado si-
guiente.
Teorema 4.16. Dados dos conjuntos bien ordenados, o son
isomorfos o uno de ellos es isomorfo a un segmento inicial
propio del otro.
Demostración: Sean (A,<A) y (B,<B) conjuntos bien or-
denados. Supongamos que (B,<B) no es isomorfo a un seg-
mento inicial propio de (A,<A), y definamos, por el teorema
de recursión transfinita, una función f : A → B. Si a0 es el
menor elemento de A, f(a0) es el menor elemento de B.
54
Teoŕıa de Conjuntos
Sea G : S → B, dónde S = {h : ∃a ∈ A(h : Sa(A) → B)},
la función definida aśı: G(h) es el menor elemento fuera de la
imagen de h cuando dom(h)=Sa(A) para algún a ∈ A (y G(h)
es un elemento arbitrario de B en los demás casos). Por el
teorema de recursión existe f : A → B tal que f(a) = G(f �
Sa(A)) para todo a ∈ A. Veamos que f es una inyección de
A sobre un segmento inicial de B. Si a es el primer elemento
de A tal que existe b < f(a) fuera de la imagen de F , en-
tonces f(a) no es el primer elemento fuera de la imagen de f ,
contradiciendo la definición de G. Entonces la imagen de f es
un segmento inicial de B. Además, f es una inyección por la
misma definición de G. �
Una manera menos formal de expresar el contenido de esta
demostración es la siguiente. Si (B,<B) no es isomorfo a un
segmento inicial propio de (A,<A), definimos, por el teorema
de recursión transfinita, una función f : A → B. Supongamos
que f ha sido definida en {a′ : a′ <A a}. Por nuestra suposición,
f no puede ser una biyección entre ese conjunto y B, entonces
ponemos f(a) = b donde b es el menor elemento de B fuera
del conjunto {f(a′) : a′ <A a}. Tenemos entonces que f está
definida en todo A. Si f es una biyección, entonces los dos
conjuntos son isomorfos; si no, entonces f es un isomorfismo de
(A,<A) en un segmento inicial propio de (B,<B).
Ejercicio 4.17. 1. Halle dos conjuntos totalmente ordena-
dos no isomorfos pero tales que cada uno de ellos es isomorfo
a un subconjunto del otro.
2. De ejemplo de un conjunto totalmente ordenado (A,<)
y un isomorfismo f : A→ A tal que ∀x ∈ Af(x) 6= x.
3. Sea (A,<) un conjunto totalmente ordenado. Demuestre
que A está bien ordenado si todo segmento inicial propio de A
está bien ordenado.
55
4. Ordinales
4. Compare los conjuntos bien ordenados del Ejemplo 4.6.
Determine si hay isomorfismos entre ellos o cuáles son isomor-
fos a un segmento inicial de otro.
5. Dé ejemplo de un conjunto totalmente ordenado no iso-
morfo a ninguno de sus segmentos iniciales propios que no sea
bien ordenado.
Ejercicio 4.18. Deduzca el Teorema de Recursión (Teo-
rema 2.11) del teorema de Recursión Transfinita (Teorema 4.15).
2. Definición y Propiedades de los ordinales
Definición 4.19. Un conjunto a es un ordinal si es tran-
sitivo y está estrictamente bien ordenado por ∈.
Ejemplos: ∅, {∅}, n (donde n ∈ w), ω.
A continuación demostramos varias de las propiedades bási-
cas de los ordinales.
1. Todo segmento inicial de un ordinal es un ordinal.
Demostración: Claramente si α es un ordinal y S ⊆ α es
un segmento inicial de α, entnces S está bien ordenado por ∈.
Como S es un segmento inicial respecto a la relación ∈, si ξ ∈ y
para algún y ∈ S entonces ξ ∈ S, es decir, S es transitivo. �
2. Sea α un ordinal. Los segmentos iniciales de α son el
mismo α y los elementos de α.
Demostración: Si S es un segmento inicial de α y S 6= α
entonces S = Sξ(α) para algún ξ ∈ α. Pero Sξ(α) = {y ∈ α :
y ∈ ξ} = ξ (por ser α transitivo). Rećıprocamente si ξ ∈ α,
ξ ⊆ α y entonces ξ = Sξ(α). �
3. Todo elemento de un ordinal es un ordinal. (Aunque
esto sigue directamente de 1 y 2, daremos una demostración
detallada).
56
Teoŕıa de Conjuntos
Demostración: Si ξ ∈ α, y α es un ordinal, entonces ξ =
Sξ(α). Como ξ ⊆ α (por ser α transitivo), ξ está bien ordenado
por ∈, y como ξ es un segmento inicial de α, es a su vez un
conjunto transitivo. �
4. Para todo ordinal α se tiene α /∈ α.
Demostración. Si ξ ∈ α entonces, como ∈ bien ordena α
estrictamente, ξ /∈ ξ; luego, si α ∈ α tenemos α /∈ α. �
5. Dados ordinales α y β, exactamente una de las siguientes
posibilidades ocurre: α = β o α ∈ β o β ∈ α.
Demostración: Consideremos al conjunto ξ = α ∩ β. En-
tonces ξ es el conjunto de elementos de αmenores que β. Clara-
mente, ξ es un segmento inicial de α, y también un segmento
inicial de β. Entonces, hay varias posibilidades:
(i) ξ = α y ξ = β, en este caso α = β.
(ii) ξ = α y ξ ∈ β, en este caso α ∈ β.
(iii) ξ ∈ α y ξ = b, en este caso β ∈ α.
(iv) ξ ∈ α y ξ ∈ β, en este caso ξ ∈ α ∩ β, es decir, ξ ∈ ξ
pero esto es una contradicción, por lo que este último caso no
puede ocurrir. �
6. Hay una fórmula del lenguaje de la teoŕıa de conjuntos,
On(x), con una variable libre x tal queOn(x)↔ x es un ordinal
(On(x) es la fórmula que dice: “x es transitivo y está estricta-
mente bien ordenado por ∈ ”). �
Denotaremos por On a la clase de todos los ordinales. La
relación ∈ es un buen orden en On (es decir, la relación binaria
“On(x) ∧ On(y) ∧ x ∈ y” es un buen orden). Como para todo
ordinal α, α = Sα(On), si A es un conjunto de ordinales, y
α ∈ A, si α no es el menor elemento de A, entonces existe
un menor elemento de A en α = Sα(On), y este es el menor
elemento de A. Resulta entonces que On no es un conjunto,
57
4. Ordinales
ya que si lo fuese seŕıa un ordinal y por lo tanto perteneceŕıa
a On. Pero esto contradice que ningún ordinal pertenece a si
mismo.
Nótese que α ≤ β si y sólo si α ⊆ β
7. Si α es un ordinal, β = α ∪ {α} es también un ordinal y
es el menor ordinal mayor que α. Denotaremos a α ∪ {α} por
α′.
Demostración: α ∪ {α} es un ordinal ya que es transitivo
y bien ordenado por ∈. Como α ∈ β, tenemos que α < β.
Además, si α < δ (δ un ordinal) entonces α ⊆ δ y como α ∈ δ,
entonces α ∪ {α} ⊆ δ, es decir, α ∪ {α} ≤ δ.�
8. ∅ ⊆ α para todo ordinal α, por lo tanto ∅ es el menor
ordinal. �
9. La unión de un conjunto A de ordinales es un ordinal
y es la menor cota superior del conjunto, es decir, es el menor
ordinal β tal que α ≤ β para todo α ∈ A.
Demostración: Sea A un conjunto de ordinales. Sea β =
∪A =
⋃
α∈A α. Verifiquemos que β es un ordinal. Si ξ ∈ β,
entonces ξ ∈ α para algún α ∈ A. Además, si η ∈ ξ, entonces
η ∈ α por que α es transitivo. Entonces η ∈ ∪A, lo que muestra
que β es transitivo. Como todo elemento de un ordinal es un
ordinal, ∪A es un conjunto de ordinales, y como On está bien
ordenada por ∈, lo mismo es cierto de ∪A.
Mostremos ahora que β = ∪A es una cota superior de A.
En efecto, veamos que si α ∈ A, entonces α ⊆ ∪A = β: Si
δ ∈ α entonces, como α ∈ A, δ ∈ ∪A. De aqúı sigue que α ⊆ β.
β es la menor cota superior de A. Si γ es una cota superior
de A, entonces para todo α ∈ A, α ∈ γ o α = γ. Veamos que
∪A ⊆ γ, si δ ∈ ∪A, entonces δ ∈ α para algún α ∈ A, pero
α ⊆ γ, entonces δ ∈ γ. De aqúı que β ≤ γ. �
58
Teoŕıa de Conjuntos
Teorema 4.20. Si α y β son ordinales y f : α → β es
una biyección que preserva el orden, entonces α = β y f es la
identidad.
Demostración: El resultado sigue de que ningún conjunto
bien ordenado es isomorfo a uno de sus segmentos iniciales pro-
pios.
Hagamos la dempostración directamente, supongamos que
f no es la identidad y sea ξ el primer elemento de α tal que
f(ξ) 6= ξ. Tenemos que si η < ξ, entonces f(η) = η, entonces
ξ ⊆ β. Además ξ es un segmento inicial de β ya que es un
ordinal. Por otra parte, ξ 6= β ya que si ξ = β entonces f
manda un segmento inicial propio de α sobre β y por lo tanto
no puede ser un isomorfismo. Concluimos que ξ ∈ β. Si η <
ξ,η = f(η) < f(ξ). Es decir, f(ξ) > η para todo η < ξ. De aqúı
que f(ξ) ≥ ξ. Pero como f(ξ) 6= ξ entonces f(ξ) > ξ. Tenemos
entonces que ξ ∈ β no está en el rango de f ; y esto contradice
que f es una biyección. �
Teorema 4.21. Para cada conjunto bien ordenado (A,<),
existe un único isomorfismo de (A,<) sobre un ordinal.
A este ordinal se le llama el tipo de orden de (A,<).
Demostración:
Unicidad: Sigue de resultados anteriores sobre conjuntos
bien ordenados. También se puede demostrar directamente de
la forma siguiente: Si f : A→ α es un isomorfismo de A sobre
un ordinal α, y g : A → β es un isomorfismo sobre β entonces
g ◦ f−1 es la identidad, de donde g = f (y α = β).
Existencia: Sea (A,<A) nuestro conjunto bien ordenado.
Sea
B = {x ∈ A : Sx(A) es isomorfo a un ordinal}
(nótese que B no es vaćıo). Para todo x ∈ B, Sx(A) es isomorfo
a un único ordinal (por la unicidad), llamémoslo βx. Si y ∈ B
59
4. Ordinales
y x <A y, entonces x ∈ B y βx < βy, ya que considerando
el isomorfismo de Sy(A) sobre βy, el segmento inicial propio
Sx(A) de Sy(A), es aplicado a un segmento inicial de βy, es
decir al ordinal βx < βy. El conjunto {βx : x ∈ B} (es un
conjunto por el axioma de reemplazo) es un segmento inicial
de On, es decir, si ξ ≤ βx para algún x ∈ B entonces x = βy
para algún y ∈ B. Luego {βx : x ∈ B} es un ordinal β. La
aplicación que manda x en βx es un isomorfismo de B sobre β.
Si B 6= A entonces B = Sx0(A) para algún x0 ∈ A (ya que B es
un segmento inicial de A). Pero como acabamos de demostrar
que Sx0(A) es isomorfo a un ordinal (β), tenemos que x0 ∈ B,
y esto contradice la definición de Sx0(A). Luego B = A. �
Ejercicio 4.22. Como ha sido mencionado, ω es un ordi-
nal. Demuestre que es el primer ordinal infinito.
Sea ω1 = {α : α es un ordinal numerable}. Demuestre que
ω1 es un ordinal y es el primer ordinal no numerable.
3. Principio de inducción para ordinales
Ya que cada ordinal es un conjunto bien ordenado, tenemos
un principio de inducción para cada ordinal: Dado un ordinal
α y una fórmula φ(v),
[∀ξ ∈ α(∀η ∈ α(η < ξ → φ(η))→ φ(ξ)]→ ∀ξ ∈ αφ(ξ).
Ahora consideraremos un principio de inducción para la
clase de todos los ordinales.
Teorema 4.23. Sea φ(v) una fórmula, entonces
(∀α ∈ On[∀β ∈ On(β < α→ φ(β))→ φ(α)]→ ∀α ∈ Onφ(α).
60
Teoŕıa de Conjuntos
Demostración: (es la misma que para el principio de in-
ducción transfinita con la diferencia de que estamos haciendo
la inducción en una clase propia y no en un conjunto). Supon-
gamos que se cumple la hipótesis y que (∃α ∈ On)(¬φ(α)).
Como On está bien ordenada por ∈, sea α0 el menor ordinal
tal que ¬φ(α0). Tenemos que ∀β(β < α0 → φ(β)), luego, por
la hipótesis, tenemos φ(α0), una contradicción. �
Teorema 4.24. (de recursión en ordinales). Si F es una
relación funcional, para todo ordinal α y todo conjunto a, existe
una única función definida en α = {β : β < α} tal que f(0) =
a, y f(β) = F (f � β) para 0 < β < α.
(Recordemos que F es una relación funcional quiere decir
que existe una fórmula φ(x, y, x1, . . . , xn) y conjuntos t1, . . . , tn
tales que
∀x∃!yφ(x, y, t1, . . . , tn)
y ponemos
y = F (x)↔ φ(x, y, t1, . . . , tn).)
Demostración: Unicidad: Sean α un ordinal, y f y g dos
funciones como en el teorema. Tenemos que f(0) = g(0) = a,
y si dado ξ, (∀β ∈ On)(β < ξ → f(β) = g(β), entonces f(ξ) =
F (f � ξ) = g(ξ). Por el principio de inducción, ∀β ∈ α(f(β) =
g(β)).
Existencia: Sea S el conjunto de los ordinales η < α tales
que η = 0 o existe una única fη tal que fη(0) = a, y fη(β) =
F (fη � β) para todo β < η. S es un segmento inicial de α ya
que si β′ < β y β ∈ S, entonces fβ′ = fβ � β′ es la función
que garantiza β′ ∈ S. Esta función es única por el mismo
razonamiento anterior. Por lo tanto, S es un ordinal.
Definamos fS(0) = a y fS(β) = F (fβ) para todo β ∈ S,
β > 0. Tenemos entonces que si 0 < ξ < β ∈ S, fS(ξ) =
F (fξ) = F (fβ � ξ) = fβ(ξ). Por lo tanto, fβ = fS � β y
61
4. Ordinales
fS(β) = F (fS � β) para todo β ∈ S. Entonces si S < α, sigue
que S ∈ S (y esto es una contradicción) luego S = α. �
Corolario 4.25. Si F es una relación funcional y a un
conjunto, se puede definir una única relación funcional f tal
que f(0) = a y f(α) = F (f � α) para todo α ∈ On.
Demostración: La relación funcional y = f(α) que quere-
mos es la relación funcional φ(α, y) definida del modo siguiente:
α es un ordinal y existe un ordinal δ > α y una función fδ
definida en δ tal que
fδ(0) = a,
∀β < δ(fδ(β) = F (fδ � β)) y y = fδ(α).
Para demostrar que tales funciones fδ existen usamos el teo-
rema anterior, el cual nos garantiza también la unicidad de fδ
para cada δ. Es fácil demostrar que para cada α existe un único
y tal que y = f(α). Porel principo de inducción se demuestra
que esta f es única. �
Definición 4.26. Si α ∈ On y existe β tal que β′ = β ∪
{β} = α, se dice que α es un ordinal sucesor . α es un ordinal
ĺımite si α 6= 0 y α no es sucesor.
Es fácil obtener versiones modificadas del principio de in-
ducción para ordinales y del teorema de recursión:
Principio de Inducción Modificado: Dada φ(v)
[φ(0) ∧ ∀α(φ(α)→ φ(α′))∧
∀α(α ĺımite ∧ ∀β < αφ(β))→ φ(α)]→ ∀αφ(α).
Teorema 4.27. (de Recursión modificado). Sea α un ordi-
nal. Si F1 y F2 son relaciones funcionales y a es un conjunto,
entonces existe una única función f definida en α tal que
f(0) = a,
62
Teoŕıa de Conjuntos
f(β) = F1(f � β) si β es sucesor,
f(λ) = F2(f � λ) si λ es ĺımite.
Análogamente se puede definir un Teorema de Recursión
modificado para obtenter relaciones funcionales definidas en
On. Dejamos al lector la tarea de dar el enunciado y de de-
mostrar esta versión del Teorema de Recursión.
4. Aritmética de ordinales
Definiremos suma y producto de ordinales usando ciertas
construcciones de buenos órdenes. Dados ordinales α y β sean
(A,R) y (B,S) conjuntos bien ordenados de tipo de orden α y
β respectivamente y tales que A ∩B = ∅.
Definimos α+ β como el tipo de orden del buen orden
(A ∪B,R⊕ S) donde R⊕ S = R ∪ S ∪ (A×B).
Esto es, (R⊕S) es el orden que se obtiene poniendo B con
su orden, a continuación de A.
α β
Tipo de orden de α+ β
Lema 4.28. α+ β está bien definido, es decir
(1) R⊕ S es un buen orden,
(2) Si (A,R) es isomorfo a (A′, R′) y (B,S) es isomorfo
a (B′, S′) y A′ ∩ B′ = ∅ entonces (A ∪ B,R ⊕ S) es
isomorfo a (A′ ∪B′, R′ ⊕ S′).
Demostración: Queda como ejercicio para el lector.�
63
4. Ordinales
Definición 4.29. α � β es el tipo de orden del buen orden
(A×B,R∗S) donde R∗S está definido de la siguiente manera:
(α1, β1)R ∗ S(α2, β2)↔ (β1Sβ2) ∨ [(β1 = β2) ∧ (α1Rα2)].
En palabras, α � β es el tipo de orden que se obtiene si
tomamos un orden de tipo α y lo repetimos β veces.
. . .
α α α
(β veces)
Tipo de orden de α � β
Otra forma de describir este tipo de orden es la siguiente.
Tomemos un conjunto ordenado en tipo de orden β, y susti-
tuyamos cada punto de ese conjunto por un conjunto ordenado
en tipo de orden α. El resultado tiene precisamente tipo de
orden α � β.
Lema 4.30. α � β está bien definido (es decir, R ∗ S es un
buen orden y α � β no depende de A y B)
Demostración: Ejercicio. �
Es importante notar que ni la suma ni el producto de ordi-
nales son operaciones conmutativas:
(a) ω � 2 = ω + ω
2 � ω = ω
(b) ω + 1 6= 1 + ω = ω.
El producto no se distribuye en la suma por la derecha:
(ω+ 1) � 2 6= ω � 2 + 1 � 2 ( ya que el lado izquierdo es de tipo
de orden ω+ω+ 1, mientras que el lado derecho es ω+ω+ 2).
Teorema 4.31. Dados ordinales α, β, γ, se cumplen las
siguientes igualdades:
(a) (Asociatividad de la suma ) (α+β) +γ = α+ (β+γ).
64
Teoŕıa de Conjuntos
(b) (Asociatividad del producto) (α � β) � γ = α � (β � γ).
(c) α+ 0 = 0 + α = α,
α � 1 = 1 � α = α,
α � 0 = 0 � α = 0.
Demostración: Ejercicio. �
Ejercicio 4.32. Demuestre que para todo ordinal α,
α+ 1 = α′ = α ∪ {α}.
Otra manera de definir estas operaciones es por inducción;
tal como lo hicimos para los números naturales.
Dado α ∈ On, definimos la operación Sα (sumar a α) del
modo siguiente:
Sα(0) = α,
Sα(β
′) = (Sα(β))
′,
Sα(λ) = ∪{Sα(β) : β < λ} si λ es ĺımite.
Una vez hecho esto, se define α+ β = Sα(β).
Se puede demostrar por inducción transfinita que obtene-
mos el mismo resultado que con la definición dada anterior-
mente usando tipos de orden. También podemos definir la o-
peración Mα (la operación de multiplicar a α por . . . ):
Mα(0) = 0 (= α � 0),
Mα(β
′) = Mα(β) + α (= α � β′ = α � β + α),
Mα(λ) = ∪{Mα(β) : β < λ} (= α � λ = ∪{α � β : β <
λ}), si λ es ĺımite.
De esta manera podemos también definir la exponenciación
de ordinales :
α0 = 1,
αβ
′
= αβ � α,
αλ = ∪{αβ : β < λ} si λ es ĺımite.
Ejemplo 4.33. 2ω = ∪{2n : n ∈ ω} = ω.
65
4. Ordinales
Definición 4.34. Una relación funcional que a cada or-
dinal α le asigna otro ordinal tα es a menudo llamada una o-
peración en ordinales . Una operación en ordinales es monótona
si α ∈ β → tα ∈ tβ. La operación es continua si tλ = ∪{tβ :
β < λ} cuando λ es ĺımite. Una operación es normal si es
monótona y continua.
Ejercicio 4.35. (sobre operaciones en ordinales) Demuestre
las siguientes afirmaciones.
(1) La operación tα = α + 1 no es continua (pero es
monótona).
(2) Una operación t continua es monótona si tα ∈ tα+1
para todo α (por inducción).
(3) Si t es continua y S es un conjunto no vaćıo de ordi-
nales, entonces t∪S = ∪{tα : α ∈ S}.
Lema 4.36. Para toda operación normal en los ordinales,
dado β ≥ t0, el conjunto {α : tα ≤ β} tiene un máximo.
Demostración: La monotońıa de t implica que el conjunto
{α : tα ≤ β} es transtitivo, y por lo tanto es un ordinal que
llamaremos λ. Como β ≥ t0, λ no es cero. Veamos que no puede
ser un ordinal ĺımite. Si λ fuese un ordinal ĺımite, entonces por
la continuidad de t, tendŕıamos que tλ ≤ β y por lo tanto,
λ ∈ λ, una contradicción. Entonces, λ es un ordinal sucesor,
λ = γ + 1, y γ es el máximo buscado. �
Teorema 4.37. (Teorema del punto fijo) Si α → tα es
monótona y continua, entonces tiene puntos fijos arbitraria-
mente grandes (es decir, para cada β existen ordinales α ≥ β
tales que α = tα).
Demostración: Primero veamos que la normalidad de t im-
plica que para todo ordinal α, α ≤ tα.
66
Teoŕıa de Conjuntos
Obviamente, 0 ≤ t0. Si para un ordinal α se tiene α ≤ tα,
entonces, por la monotońıa, como α < α + 1, tenemos que
tα < tα+1, y por lo tanto, α+ 1 ≤ tα+1.
Si λ es ĺımite y para cada α < λ tenemos que α ≤ tα, la
continuidad de t garantiza que λ ≤ tλ. Entonces, por inducción
en los ordinales, tenemos el resultado deseado.
Ahora, dado un ordinal cualquiera β, consideremos la suce-
sión dada por α0 = β, y αn+1 = tαn . Pongamos λ = ∪{αn :
n ∈ ω}; es fácil verificar que λ es un punto fijo de t. En efecto,
si β = tβ, entonces λ = β es un punto fijo, y si β < tβ entonces
la parte (3) del ejercicio anterior implica que λ es un punto
fijo.�
Teorema 4.38. (a) La operación Sα es normal para
todo α.
(b) La operación Mα es normal para todo α ≥ 1.
(c) La operación Eα(β) = α
β (que a cada β le asigna αβ)
es normal para cada α ≥ 2.
Demostración: La operación Sα es continua por definición.
Para verificar que es monótona, usando parte del ejercicio an-
terior, basta ver que Sα(β) < Sα(β + 1), y esto también sigue
de la definición de Sα.
De la misma forma tratamos el caso de Mα. Esta operación
es continua por definición. Veamos que Mα(β) < Mα(β + 1)
para demostrar la monotońıa. Esto sigue de que Mα(β + 1) =
Mα(β) +α y de la monotońıa de la función Sγ con γ = Mα(β),
ya que como 0 < α por hipótesis, Mα(β) = Sγ(0) < Sγ(α) =
Mα(β) + α.
La demostración de la normalidad de la operación Eα con
α ≥ 2 queda como ejercicio. �
67
4. Ordinales
Corolario 4.39. Dados ordinales α, β y γ, se cumple lo
siguiente:
(1) (a) β ∈ γ → α+ β ∈ α+ γ,
(b) β ∈ γ → α � β ∈ α � γ (si α ≥ 1),
(c) β ∈ γ → αβ ∈ αγ (si α ≥ 2).
(2) (a) α+ β = α+ γ → β = γ,
(b) α � β = α � γ → β = γ (si α ≥ 1),
(c) αβ = αγ → β = γ (si α ≥ 2).
Nótese que la ley de cancelación por la derecha no vale para
la suma, por ejemplo, 2 + ω = 3 + ω = ω.
Además, 2 ∈ 3 y sin embargo, 2 + ω /∈ 3 + ω, 2 � ω /∈ 3 � ω,
y 2ω /∈ 3ω.
Ejercicio 4.40. Halle el primer punto fijo de cada una de
las operaciones Sα, Mα (con α ≥ 1) y Eα (con α ≥ 2).
Teorema 4.41. (de la sustracción) Si α ≤ β, existe un
único ordinal δ tal que α+ δ = β.
Demostración: El teorema se puede demostrar aśı: α + �
es una operación monótona y continua, por lo que existe un
máximo ordinal δ tal que α + δ ≤ β (por el Lema 4.36 sobre
operaciones normales). Pero si α+δ ∈ β, entonces α+(δ+1) ≤
β. Esto es una contradicción.
Nótese que δ es el tipo de orden de β \α = {x ∈ β : x /∈ α}.
δ es ú nico por el corolario anterior. �
Teorema 4.42. (de