236_DERIVADAS_ PARCIALES

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EJERCICIOS DE DERIVADAS PARCIALES. 
 
1. En cada ejercicio hallar 
y
z
x
z
∂
∂
∂
∂
; de la primera forma y comprobar usando la segunda 
forma: a) [ ])ln()ln(
2
1
ln 22 yxyxyxz ++−=+= 
 b) yx
yy
x
yy
x e
ee
e
ee
ez +
−−
=−⋅++⋅=
22
 
 c) [ ] [ ][ ]222222
22
)2(ln)2(ln
2
1
)2(
)2(
ln yxyx
yx
yx
z ++−+−=
++
+−= 
2. Si z = (x2 + y2)sen(x2 + y2), demostrar que 0=
∂
∂−
∂
∂
y
z
x
x
z
y 
3. Demostrar que la función 
y
x
senyz 2= satisface la ecuación: z
y
z
y
x
z
x 2=
∂
∂+
∂
∂
 
4. Si yxez
1
= , entonces 02 =
∂
∂+
∂
∂
y
z
y
x
z
x 
5. Demostrar que U = tan-1 ��
�
�
�
�
x
y
es una solución de 0
2
2
2
2
=
∂
∂+
∂
∂
y
U
x
U
 
6. Si z = ,
2
22
��
�
�
��
�
� +
y
yx
f demostrar que 0=
∂
∂+
∂
∂
y
z
y
x
z
x 
7. Si z = f(F(x)+G(y)), demostrar que 0
)()( =
∂
∂−
∂
∂⋅
y
z
dx
xdF
x
z
dy
ydG
 
8. Si ( ) ( ),cos ctxctxsenU ++−= entonces 
2
2
2
2
2
x
U
c
t
U
∂
∂=
∂
∂
 
9. Demostrar que la ecuación diferencial del problema 8 se satisface por 
U = ),()( ctxgctxf ++− donde )(uf y )(vg son funciones cualesquiera. 
10. En los siguientes problemas, hallar las segundas derivadas parciales 
yxxyyyxx ffff ,,, : 
 10.1. xyyxyxf 25),( 34 += 
 10.2. 
1
1
),(
−
+=
y
x
yxf 
 10.3. yxeyxf
2
),( = 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2- 
 10.4. )ln(),( 22 yxyxf += 
 10.5. 22),( yxyxf += 
 10.6. xyexyxf 2),( = 
11. En los siguientes problemas, utilizar la Regla de la Cadena para hallar 
dt
dz
. 
Comprobar la respuesta escribiendo z en forma explìcita como una función de t y 
Derivando directamente co respecto a t: 
11.1 z = x + 2y; x = 3t; y = 2t + 1 
11.1. z = 3x2 +xy; x = t + 1; y = 1 – 2t 
11.2. 
x
y
z = ; x = t2; y = 3t 
11.3. 
y
x
z = ; x = 2t; y = t3 
11.4. 
yx
yx
z
−
+= , x = t3 + 1; y = 1 – t3 
11.5. z = (2x + 3y)2; x = t2; y = 2t 
11.6. z = (x – y2)3; x = 2t; y = 3t 
11.7. z = xy; x = et; y = e-t 
11.8. 3
1
2
1
yxz = ; x = e2t; y = e3t 
12. Si U = sen(x – ct) + cos(x + ct), entonces: 
 
2
2
2
2
2
x
U
c
t
U
∂
∂⋅=
∂
∂
 
 (Téngase presente que: c∈IR, constante, y además: (sen(v))’= cos(v)⋅v’; 
 (cos(v))’= -sen(v)⋅v’) 
13. Demostrar que U = tan-1 ��
�
�
�
�
x
y
 es una solución de la ecuación diferencial en 
derivadas parciales: 
 0
2
2
2
2
=
∂
∂+
∂
∂
y
U
x
U
 
 (Téngase presente que (tan-1( v ))’= '
1
1
2 vv
⋅
+
) 
14. Hállese la derivada de w respecto a u, sabiendo que: 
 W = F(x,y,z); x = f(u,v); y = g(u,x); z = h(u,v) 
 
 
 
 
 
 
 
 
-3- 
15. En los siguientes ejercicios, derìvese implìcitamente para obtener las primeras 
derivadas parciales de z: 
15.1. x2 + y2 +z2 = 25 
15.2. xz + yz + xy = 0 
15.3. tan(x + y) + tan(y + z) = 1 (Téngase presente: (tan(v))’= sec2(v)⋅v’) 
15.4. z = ex⋅sen(y + x) 
16. Derìvese implícitamente para obtener las primeras derivadas parciales de w: 
16.1. xyz + xzw – yzw + w2 = 5 
16.2. x2 + y2 + z2 + 6xw – 8w2 = 12 
17. Funciones Implícitas y Jacobianos: 
17.1. Si U = x3y; x5 + y = t; x2 + y3 = t2; hállese 
dt
dU
 
17.2. Si u2 – v = 3x + y; u – 2v2 = x – 2y; encontrar, por dos métodos. 
 a) 
x
u
∂
∂
 
 b) 
x
v
∂
∂
 
 c) 
y
u
∂
∂
 
 d) 
y
v
∂
∂
 
17.3. Si x = u – v + w; y = u2 – v2 – w2; z = u3 + v, hállese el Jacobiano: 
 
),,(
),,(
wvu
zyx
∂
∂
 
17.4. Evaluar 
),(
),
vu
GF
∂
∂
 si F(u,v) = 3u2 – uv; G(u,v) = 2uv2 + v3 
17.5. Si F = x + 3y2 – z3; G = 2x2yz; H = 2z2 – xy; hállese 
),,(
);;(
zyx
HGF
∂
∂
 en 
el punto A(1,-1,0). 
 
17.6. Si u = f(x,y), v = g(x,y) son funciones diferenciables, demostrar que: 
 
 1=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂
v
x
x
v
u
x
x
u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4- 
 
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES A PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA 
ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN: 
1. Supóngase que la producción diaria Q de una fàbrica depende de la cantidad K del 
capital (medido en unidades de US$1.000) invertido en la planta y el equipo, y 
tambièn del tamaño L de la fuerza laboral(medida en horas-trabajador). En 
economía las derivadas parciales 
K
Q
∂
∂
 y 
L
Q
∂
∂
 se conocen como productos 
marginales (o productividades marginales) del capital y de la mano de obra, 
respectivamente. Del punto de vista de la economía, significan: 
 
El producto marginal de la mano obra 
L
Q
∂
∂
 es la razón a la que 
cambia la producción Q con respecto a la mano de obra L para un 
nivel fijo K de inversión de capital. Por tanto, 
L
Q
∂
∂
 es 
aproximadamente el cambio resultante en la producción si la 
inversión de capital se mantiene fija, y la mano obra aumenta en 
una hora-trabajador. 
Del mismo modo, el producto marginal 
K
Q
∂
∂
 del capital es 
aproximadamente el cambio resultante en la producción si el 
tamaño de la fuerza laboral se mantiene fijo y la inversión de 
capital aumenta en US$1.000. 
 
 2. Se estima que la producción semanal en cierta planta està dada por la función: 
 Q(x,y) = 1200x + 500y + x2y – x3 – y2 
donde x es el nùmero de trabajadores calificados e y el nùmero de trabajadores 
no calificados empleados en la planta. En la actualidad, la fuerza laboral està 
conformada por 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Aplicar el 
análisis marginal para calcular el cambio resultante en la producción semanal al 
adicionar un trabajador calificado, si no cambia el nùmero de trabajadores no 
calificados. 
3. En determinada fàbrica, la producción diaria es Q(K,L) = 60K1/2⋅L1/3 unidades, 
donde K representa la inversiòn de capital medida en unidades de US $1000 y L 
el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Si la inversiòn actual de 
capital es US $900,000 y se utilizan 1000 horas-trabajador de mano de obra cada 
dìa, aplicar el análisis marginal para calcular el efecto provocado en la producción 
diaria por una inversión adicional de capital de US $1,000, si el tamaño de la fuerza 
laboral no cambia. 
 
 
 
-5- 
 
UNA APLICACIÓN DE LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS 
EN MICROECONOMÍA. 
 
1. Definición. Curva de indiferencia en IR2 o Superficie de indiferencia en IRn 
muestra un conjunto ( ) ( )1 2 3, , , ,..., nx y o x x x x , respectivamente, de cestas de 
consumo entre las que el individuo es indiferente por el hecho de que todas las 
cestas reportan el mismo nivel de utilidad. 
2. Definición. Relación Marginal de Sustitución (RMS) es la pendiente negativa de 
una curva de indiferencia ; es decir: 
 
dy
RMS
dx
= −  C 
 
 donde la notación indica que la pendiente ha de calcularse a lo largo de la curva de 
indiferencia. 
 
 Supongamos que la curva de indiferencia C está dado por ( , ) 0f x y = la cual es 
una función implícita y que de acuerdo con la definición de la RMS, se debe determinar 
dy
dx
, y por ello: 
 
( )
( )
.
,
x
y
f x ydy
dx f x y
= − 
 
 Por lo tanto: 
( )
( )
,
,
x
y
f x y
RMS
f x y
= 
 
Trabajo de Investigación: Como una forma de lograr el dominio de la derivación parcial, 
el trabajo que Ud. debe realizar tiene que ver con el siguiente problema:: 
 
Problema. ¿Cómo se obtiene 
( )d RMS
dx
 con resultado expresado en la forma más simple? 
Importante. Este trabajo será evaluado en la Primera Prueba Solemne del presente Curso.