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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE GEOLOGÍA Y PETRÓLEOSFACULTAD DE GEOLOGÍA Y PETRÓLEOS
INGENIERÍA EN PETRÓLEOSINGENIERÍA EN PETRÓLEOS
MATEMÁTICA AVANZADAMATEMÁTICA AVANZADA
GRUPO 6GRUPO 6
ECUACIONES CLÁSICAS Y PROBLEMAS DE VALOR EN ECUACIONES CLÁSICAS Y PROBLEMAS DE VALOR EN LALA
FRONTERAFRONTERA
INTEGRANTES:INTEGRANTES:
DAVID VALVERDEDAVID VALVERDE
XAVIER JARRINXAVIER JARRIN
15-09-201515-09-2015
CONTENIDOCONTENIDO
●● INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
●● NOCIONES BREVESNOCIONES BREVES
●● CLASIFICACIÓNCLASIFICACIÓN
●● CONDICIONES DE FRONTERACONDICIONES DE FRONTERA
●● ED PARCIALESED PARCIALES
●● TIPOSTIPOS
●● PROPIEDADESPROPIEDADES
●● EJERCICIOSEJERCICIOS
●● REFERENCIASREFERENCIAS
INTRODUCCIÓN
● Las ecuaciones clásicas dentro de nuestro campo de estudio se deben
entender como ecuaciones diferenciales en derivadas parciales “edp´s”
●  Así como estudiamos las edo's y formamos
modelos matemáticos en una sola variable independiente, usaremos las
edp´s para modelar un problema de la vida real desde el punto de vista
matemático en el que se haga intervenir dos o más variables
independientes.
● Las edp's resultan ser más complicadas y más veraces que las edo's
precisamente por considerar más variables .
● Las edp´s tienen soluciones generales y particulares.
DEFINICIÓN
● Se llama ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) a la
ecuación de la forma:
● Que nos permite conexionar las variables independientes xi,∀i=1, 2, … ,
n, la función que se busca y sus derivadas parciales.
● Se cumple que: ki,∀i=1, 2, … , n, son enteros no negativos tales que:
k1 + k2 + … + kn = m
● EJEMPLO BREVE:
CLASIFICACIÓN CLÁSICA (GRÁFICA)
● Ecuaciones de tipo Hiperbólico (problemas que refieren fenómenos
oscilatorios: vibraciones de cuerda, membranas, oscilaciones
electromagnéticas).
● Ecuaciones de tipo Parabólico
(problemas que aparecen al estudiar
los procesos de conductividad
térmica y difusión).
● Ecuaciones de tipo Elíptico
(problemas que aparecen al estudiar
procesos estacionarios, o sea que no
cambian con el tiempo).
ENTRE ELLAS:
● Ecuaciones lineales y no lineales (PRIMER ORDEN)
● Ecuaciones de onda (HIPERBÓLICAS)
● Conducción de calor (PARABÓLICAS)
● Propagación de calor en una varilla finita (PARABÓLICAS)
● Ecuación de Poisson (ELÍPTICAS)
● Ecuación de Laplace (ELÍPTICAS)
● Flexión mecánica de una placa elástica (ORDEN SUPERIOR)
● Vibración flexional de una viga (ORDEN SUPERIOR)
PREGUNTAS FRECUENTES
◇ ¿La EDP tiene alguna solución?
◇ ¿Qué tipo de datos necesitamos especificar para resolver la
EDP?
◇ ¿La solución de la EDP es única para los datos dados?
◇ ¿Cuáles son las propiedades cualitativas básicas de la
solución?
◇ ¿Qué sucede si variamos los datos del problema
ligeramente?
Condiciones de Valor en la Frontera
Definición
Son condiciones dadas para resolver una ecuación diferencial en donde, se
especifica el valor de la variable dependiente y/o de sus derivadas en puntos
distintos. Entre los ejemplos clásicos de esta clase de problemas se encuentran:
● La Ecuación de Onda
● La Ecuación de Transmisión de Calor
● La Ecuación de Laplace
● La Ecuación de Poisson
● La ecuación de Schrödinger, entre otras
1. Condición de frontera de Dirichlet
2. Condición de frontera de Neumann
3. Condición de frontera de Cauchy 
4. Condición de frontera de Robin
5. Condición de frontera Mixta
TIPOS:
1.- CONDICIÓN DE FRONTERA DE DIRICHLET
“primer tipo”, denominado así en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet,
cuando en una EDO o una EDP, se le especifican los valores de la solución que
necesita la frontera del dominio. La cuestión de hallar las soluciones a esas
ecuaciones con esta condición se le conoce como problema de Dirichlet.
En caso de una ecuación diferencial ordinaria tal como:
Sobre el intervalo [0,1], las condiciones de frontera de Dirichlet toman la forma:
son números dados.
Para que una función f(x) sea susceptible de ser expandida en series de Fourier
debe ser:
● Periódica
● Univaluada y continua a trozos con un número finito de máximos y mínimos
● La integral debe ser convergente. Donde quiere indicar
el intervalo de definición de una función con período .
PROPIEDADES
2.- CONDICIÓN DE FRONTERA DE NEUMANN
“segundo tipo” es una condición de frontera o contorno, llamada así en alusión a
Carl Neumann. Se presenta cuando a una EDO o una EDP, se le especifican los
valores de la derivada de una solución tomada sobre la frontera o contorno del
dominio.
En EDO o EDP imponen valores específicos a la
solución de una ecuación diferencial que se toma de
la frontera de D y de la derivada normal a la frontera.
Esto es igual a imponer dos tipos de condiciones: la
condición de frontera de Dirichlet y la condición de
frontera de Neumann. Las condiciones de Cauchy son
también llamadas condiciones de valor inicial .
3.- CONDICIÓN DE FRONTERA DE CAUCHY
Las condiciones de Cauchy son una forma “mixta” de
valores iniciales entre “dirichlet y neumann”
4.- CONDICIÓN DE FRONTERA DE ROBIN
“tercer tipo”  cuando en una EDO o una EDP, se le
especifica una combinación lineal de los valores de una
función “ y”  y los valores de su derivada sobre la frontera
del dominio.
Las condiciones de frontera de Robin son una
combinación ponderada de las condiciones de Dirichlet
y Neumann. Es el contraste de las condiciones de
frontera mixtas, las cuales son condiciones de frontera
de diferentes tipos especificadas en diferentes
subconjuntos de la frontera.
Aquí, u es la solución desconocida definida sobre D y ∂u/∂n es la derivada normal
en la frontera. En general a y b pueden ser funciones dadas en lugar de
constantes.
5.- CONDICIÓN DE FRONTERA MIXTA
En matemáticas, una condición de frontera mixta para una
ecuación diferencial en derivadas parciales indica que se
utilizan diferentes condiciones de frontera o contorno
sobre partes diferentes de la frontera del dominio de la
ecuación.
Por ejemplo, si u es una solución a una ecuación
diferencial en derivadas parciales sobre el conjunto Ω
con frontera ∂Ω suave a tramos, y ∂Ω está dividida en dos
partes, Γ₁ y Γ₂, una puede usar la condición de frontera de
Dirichlet sobre Γ₁ y una condición de frontera de
Neumann sobre Γ₂:
ECUACIÓN LINEAL Y NO LINEAL:
Definición 2: La ecuación en derivadas parciales se llama lineal, si ésta es lineal respecto a la
función buscada y todas sus derivadas que forman parte de la ecuación. En caso contrario
se llama no lineal.
Definición 2.1: La EDP de segundo orden para la función de dos variables independientes “x”
e “y” en el caso general tiene la forma:
PROPIEDADES
Debido al carácter de linealidad del operador L los siguientes teorema son válidos y
representan las propiedades de las soluciones de las EDP’s homogéneas.
SEGUNDO ORDEN (CLASIFICACIÓN)
ECUACIÓN HIPERBÓLICA
Los fenómenos oscilatorios de diferente naturaleza (vibraciones de cuerdas,
membranas, oscilaciones acústicas del gas en los tubos, oscilaciones
electromagnéticas) se describen por las ecuaciones del tipo hiperb´olico. La más
simple es la ecuación de vibraciones de la cuerda (ecuación ondulatoria
unidimensional)
ONDAS
EJEMPLO
Ecuaciones de tipo Parabólico
Una barra metálica de 100 cm de longitud tiene sus extremos x = 0, x = 100 mantenidos a 0ºC. Inicialmente,
la mitad de la barra está a 60ºC, mientras que la otra mitad está a 40ºC. Asumiendo un coeficiente de
difusividad de 0.16 unidades c.g.s. y un entorno aislado, encontrar la temperatura en cualquier posición de
la barra en cualquier tiempo.
La ecuación de conducción del calor es
Siendo es la temperatura en el lugar al tiempo .
Las C.F. son
Desarrollo
EJEMPLO
Una varilla delgada de longitud L tiene una temperatura inicial y sus extremos se mantienen a la
temperatura cero en todo momento t > 0.
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No Homogénea
REFERENCIAS
● normas APA (Apellido, Nombre. Título, Edición, año. URL )
● Kincaid, D; Cheney, W Análisis Numérico. Las matemáticas del cálculo científico Ed. Addison
Wesley, 1994.
● A. Ca˜nada Villar,Apuntes de Ecuaciones en Derivadas Parciales, http://www.ugr.es/∼dpto
am/docencia/Apuntes/EDPMatematicas Canada.pdf
● I. Peral, Primer Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, http://www.uam.es/personal
pdi/ciencias/ireneo/libro.pdf
● Abascal Ramón (2006)-Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior:EDUTECNE.
http://www.edutecne.utn.edu.ar/eulerianas/6%20-%20Ecuaciones%20Diferenciales%20de%20Deriv
adas%20Parciales.pdf