Guía 07 Series de Potencia Complejas

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Laboratorio Variable Compleja y Análisis de Fourier 1 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
 
 
 
 
SERIES INFINITAS DE NÚMEROS COMPLEJOS 
 
1. SERIE INFINITA EN C: Sea  
1
,n n
z

 es una sucesión de números complejos, a la expresión 
siguiente 
1 2 ... ...,nz z z    llamaremos serie infinita de números complejos y denotaremos: 
 
 1 2
1
... ...n n
n
z z z z


     
 
Donde los , 1,2,3,...,nz n  se denomina términos de la serie infinita. 
 
A partir de la serie infinita 
1
n
n
z


 Formamos una sucesión del modo siguiente: 
1 1S z 
2 1 2S z z  
3 1 2 3S z z z   
1 2
1
...
n
n n i
i
S z z z z

     
 
A la sucesión de números complejos así definida  
1
,n n
z

 se denomina sucesión de las sumas 
parciales de la serie infinita 
1
n
n
z


 
Si la sucesión  
1
,n n
z

 es convergente o sea que lim ,n
n
S S

 se dice que la serie 
1
n
n
z


 es 
convergente y su suma es: 
1
limn n
n
n
z S S



  
 
1.1. Teorema: La serie 
1 1
( )n n n
n n
z x i y
 
 
   es convergente, si y solo sí 
1
n
n
x


 y 
1
n
n
y


 son 
convergentes y si 1
1
n
n
x S


 y 2
1
,n
n
y S


 entonces 1 2
1
n
n
z S i S S


   
 
1.2. Propiedades de las Series Complejas: 
 
1°) Si la serie 
1
n
n
z


 es convergente, entonces lim 0n
n
z

 
 
2°) Si la serie 
1
n
n
z


 es convergente, entonces 
1
n
n
k z


 es convergente. 
 
3°) Si las series 
1
n
n
z


 y 
1
m
n
z


 son convergentes, entonces 
1
( )n m
n
z z


 es convergente. 
Assinatura: Var. Compleja y Anal. de F 
Docente: Ms.C. Ronald Reyes Narváez 
Tema: Series Infinitas Complejas 
 
 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 2 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
Ejemplo 01: Calcule lim ,n
n
z

 donde 
3 2
2
2 5
(3 4 3)( )
n
i n i n i
z
n i n i
  

  
 
Solución: 
3 2
2
2 5
lim lim
(3 4 3)( )
n
n n
i n i n i
z
n i n i 
  

  
 Dividimos 
3n 
 
3
2
2 5
0 0
lim lim
4 3 (3 0) (1 0) 3
(3 ) (1 )
n
n n
i i
i
i in nz
i i
n n
 

 
 
  
  
 
 
Por tanto: lim
3
n
n
i
z

 
 
2. SERIES DE POTENCIAS: Una serie de potencias en el plano complejo es de la forma: 
 
2
0 0 1 0 2 0 0
0
( ) ( ) ( ) ... ( ) ...n nn n
n
c z z c c z z c z z c z z


          ...(*) 
 
Donde: 
- 
nc son constantes reales y complejas llamados coeficientes. 
- 
0z es constante y se llama centro de la serie. 
- z es la variable compleja. 
 
Si 0 0,z  la serie (*) se reduce a la forma: 
2
0 1 2
0
... ...n nn n
n
c z c c z c z c z


      Serie de 
potencias en .z 
 
Observaciones: 
 
1°) La serie 0
0
( ) nn
n
c z z


 es absolutamente convergente, z  tal que 0z z R  y es 
divergente, z  tal que 0z z R  
 
2°) Si 0,R  tal que 0
0
( ) nn
n
c z z


 converge absolutamente en 0z z R  y si 0 ,R  la 
serie 0
0
( ) nn
n
c z z


 converge uniformemente en 0 .z z   
 
3°) La serie 0
0
( ) nn
n
c z z


 converge absolutamente z  (En particular 0z z ) tal que 
0z z R  y si 0 ,R  entonces la serie converge uniformemente, z  tal que 
00 .z z    
 
4°) Al número 0,R  se le llama radio de convergencia de la serie 0
0
( ) .nn
n
c z z


 
 
5°) Para ,z se tiene 0 ,z z R  denominado región de convergencia. 
 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 3 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6°) Para determinar el radio y región de convergencia de una serie de la forma 0
0
( ) nn
n
c z z


 se 
emplea el criterio de la razón que se caracteriza por el teorema siguiente. 
 
2.1. Teorema (Criterio de la Razón): Sea 0
0
( ) nn
n
c z z


 una serie de potencia en y sea 
0( ) ,
n
n nu c z z  tal que 
1
lim ,
n
n
n
u
L
u

 
 entonces 
 
i) Si 1,L  la serie 0
0
( ) nn
n
c z z


 convergente absolutamente. 
 
ii) Si 1,L  la serie 0
0
( ) nn
n
c z z


 es divergente. 
 
iii) Si 1,L  el criterio no decide. 
 
Ejemplo 02: Desarrolle la serie de potencia, para la función 
1
( ) ,
4 3
f z
z


 alrededor de 
0 1z i  
Solución: 
Se conoce la serie de potencia: 0
0
( ) ( ) nn
n
f z c z z


  
0
1
( ) ( (1 ))
4 3
n
n
n
f z c z i
z


   

 
1
0 0 0
1 1 1 1 1
( )
4 3 4 3( 1 1 ) 4 3( 1 ) 3 3 (1 3 ) 3( 1 ) 3( 1 )
(1 3 ) 1
1 3
1 1 1 3 ( 1 ) 1 3 ( 1 ) 3 ( 1 )
3 ( 1 )1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 (1 3 )
1
1 3
n n n n
n
n n n
f z
z z i i z i i i z i z i
i
i
z i z i z i
z ii i i i i i
i
  

  
    
                 
  
 
        
               

  
 
Por tanto: 
1
0
1 3 ( 1 )
( )
4 3 (1 3 )
n n
n
n
z i
f z
z i



 
 
 
 
 
 
Im (z) 
Re (z) 
R 
 
 
0 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 4 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
Ejemplo 03: Determine la región de convergencia en la serie 
2
1
( 3 )
1
n
n
n
z i
n





 
Solución: 
Sea 
1
1
1 2
( 3 ) ( 3 )
1
n n
n n
n n
u z i u z i
n n


 
    

 
1
1
2 1 2
( 3 ) (1 ) (1 )
( 1) ( 2)
lim lim lim ( 3 ) lim ( 3 )
1 1( 1)
( 3 ) (1 )
1
n
n
n n n nnn
n
z iu n nn n nL z i z i
nu n n
z i
n n


    

  
 
     
 
 

6 
 
 3 1z i   Por teorema debe ser absolutamente convergente. 
 
2 23 3 ( 3) ( 3) 1z i x i y i x i y x y           
 
Por tanto: 
2 2( 3) 1x y   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. SERIE DE TAYLOR COMPLEJA: Sea 0
0
( ) ( ) nn
n
f z c z z


  una serie de potencia convergente 
z  tal que 0 ,z z R  
 
Hacemos el desarrollo de la serie: 
 
2 3 4
0 1 0 2 0 3 0 4 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... (*)
n
nf z c c z z c z z c z z c z z c z z             
 
Para 
0z z 0 0( )f z c  
 
Primera Derivada: 
 
2 3 1
1 2 0 3 0 4 0 0'( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ... ( ) ...
n
nf z c c z z c z z c z z nc z z
           
Para 0z z 0 1'( )f z c  1 0'( )c f z  
 
Segunda Derivada: 
 
2 2
2 3 0 4 0 0' '( ) 2 3.2 ( ) 4.3 ( ) ... .( 1) ( ) ...
n
nf z c c z z c z z n n c z z
          
 
Im (z) 
Re (z) 0 
2i 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 5 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
Para 
0z z 0 2' '( ) 2f z c  
0
2
' ' ( )
2!
f z
c  
 
Tercera Derivada: 
 
3
3 4 0 0' ' '( ) 3.2 4.3.2 ( ) ... .( 1)( 2) ( ) ...
n
nf z c c z z n n n c z z
         
 
Para 
0z z 0 3' ' '( ) 3.2.f z c  
0
3
' ' ' ( )
3!
f z
c  
 
Así sucesivamente: 
( )
0( )
!
n
n
f z
c
n
  
 
Reemplazando en (*) 
 
( )
0 0 02 3
0 0 0 0 0 0
' ' ( ) ' ' '( ) ( )
( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...
2! 3! !
n
n
f z f z f z
f z f z f z z z z z z z z z
n
           
 
Por tanto: 
( )
0 0
0
( ).( )
( )
!
n n
n
f z z z
f z
n



 Es la Serie de Taylor alrededor de 0z z 
 
Si hacemos 
0 0z  
La nueva serie es: 
( )
0
(0).
( )
!
n n
n
f z
f z
n


 Es la Serie de Maclaurin. 
 
3.1. Teorema: Sea ( )f z una función analítica en 0 ,z entonces tiene una representación en serie 
de Taylor 
( )
0 0
0
( ).( )
( ) ,
!
n n
n
f z z z
f z z
n



  en algún disco con centro en 0z 
 
Ejemplo 04: Desarrolle en serie de Taylor la función 
2
2 3
( ) ,
2 3 1
z
f z
z z


 
 alrededor de 
0 1.z   
Solución:( )
0
0
( ).( 1)
( )
!
n n
n
f z z
f z
n



 
Por fracciones parciales: 
2
2 3 1 1
2 3 1 1 2 1 1 2 1
z A B
z z z z z z

    
     
 
 
Eliminando denominadores: 2 3 (2 1) ( 1)z A z B z     
1 1 1
1 1 ; 1
2 2 2
z A z B B          
 
Se conoce la serie geométrica: 
0
0 0 0
0
1
1
n
n
z z
z z w z
w z


 
  
   

 
Para la fracción: 
0
1 1 1 1 1 1 1 1
( 1)
1 11 1 2 ( 1) 2 2 2
2 1 ( 1) 1 ( 1)
2 2
n
n
z
z z z
z z


 
                      
   
 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 6 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
1
0
1 ( 1)
1 2
n
n
n
z
z




 

 
 
Para la fracción: 
0
1 1 1 1 1 1 1 2
( 1)
2( 1) 22 1 1 2 3 2( 1) 3 3 3
3 1 1 ( 1)
3 3
n
n
z
zz z z
z


 
                     
   
 
1
0
1 2 ( 1)
2 1 3
n n
n
n
z
z




 

 
 
Ahora tenemos: 
1 1
0 0
( 1) 2 ( 1)
( )
2 3
n n n
n n
n n
z z
f z
 
 
 
 
   
 
Por tanto: 
1 1
0
2 1
( ) ( 1)
3 2
n
n
n n
n
f z z

 

 
   
 
 
 
Ejemplo 05: Desarrolle en serie de Taylor para ( ) ln ( 1)f z z  alrededor de 0 0z  
Solución: 
( )
0
(0).
( )
!
n n
n
f z
f z
n


 
2 3 4 ( )' ' (0) ' ' '(0) (0) (0)
( ) (0) '(0) ... ...
2! 3! 4! !
iv n nf z f z f z f z
f z f f z
n
        
Partimos: 
 
( ) ln ( 1) (0) ln (1) 0f z z f     
1
'( ) '(0) 1
1
f z f
z
  

 
 
2
1
''( ) ' '(0) 1
( 1)
f z f
z
    

 
4 3
2( 1) 2
' ' '( ) ' ' '(0) 2
( 1) ( 1)
z
f z f
z z
 
      
  
 
 
2
6 4
2.3( 1) 6
( ) (0) 6
( 1) ( 1)
iv ivzf z f
z z
 
       
  
 
3
8 5
2.3.4( 1) 24
( ) (0) 24
( 1) ( 1)
v vzf z f
z z
 
      
  
 
 
Reemplazando en el desarrollo de la serie: 
 
2 3 4 5 2 3 4 52 6 24 2 6 24
( ) 0 ... ...
2! 3! 4! 5! 2! 3! 4! 5!
z z z z z z z z
f z z z             
 
2 3 4 5 1 1
0
( 1) ( 1)
( ) ... ...
2 3 4 5 1 1
n n n n
n
z z z z z z
f z z
n n
 

 
        
 
 
 
Por tanto: 
1
0
( 1)
( ) ln ( 1)
1
n n
n
z
f z z
n



  

 
 
 
 
 
 
 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 7 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
MISCELÁNEA 
 
01. Desarrolle la función ( )f z en una serie de Taylor alrededor del punto indicado: 
a) 
02
( ) ; 0
2
z
f z z
z z
 
 
 
b) 
02
( ) ; 1
3 2
z
f z z
z z
 
 
 
c) 
02
1
( ) ; 2
( 1) ( 2)
z
f z z
z z

 
 
 
d) 
02 2
1
( ) ; 2
( 1) ( 1)
f z z
z z
 
 
 
e) 
2
0( ) ; 0
( 2) ( 1)
e
f z z
z z
 
 
 
 
02. Desarrolle la serie de potencia 
0
n
n
n
c z


 
a) 
2
( )
4 13
z
f z
z z

 
 b) 
2
2
( )
( 1)
z
f z
z


 
c) 
2( ) ln ( 3 2)f z z z   
 
03. Desarrolle las funciones dadas en una serie de potencias de 1z  
a) 
2
2
( )
( 1)
z
f z
z


 b) 
2
( )
2 5
z
f z
z z

 
 
 
c) ( )
2
z
f z
z

