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Series numéricas
Curso: Cálculo Integral
24 de julio de 2023
1. Series
1.1. Series numéricas
Definición [Serie infinita]. Si {an}∞n=1 es una sucesión y los números a1, a2, . . . , an, . . .
son los términos de la serie infinita
∞
∑
n=1
an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · ·
1.2. Algunas propiedades de las series
Teorema [Propiedades de las series]. Si ∑ an y ∑ bn son series convergentes, en-
tonces también lo son las series ∑ can (donde c es una constante), ∑(an + bn) y ∑(an −
bn) Además,
i)
∞
∑
n=1
can = c
∞
∑
n=1
an
ii)
∞
∑
n=1
(an + bn) =
∞
∑
n=1
an +
∞
∑
n=1
bn
iii)
∞
∑
n=1
(an − bn) =
∞
∑
n=1
an −
∞
∑
n=1
bn
1
https://wlh.es/v2/1690385506671/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690385506671/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
1.3. Algunas series importantes
1.3.1. p-Series (o series p)
llamaremos una serie p a cualquiera de las series
∞
∑
n=1
1
np
, para p un número real
positivo
∞
∑
n=1
1
np

converge si p > 1
diverge si 0 < p ≤ 1
Ejemplo . Determine la convergencia de las siguientes series
1.
∞
∑
n=1
1
3
√
n2
. 2.
∞
∑
n=1
5
9n2
. 3.
∞
∑
n=1
2
7
√
n15
. 4.
∞
∑
n=1
6
nπ
.
Solución Note qy¿ue cada serie es una serie p
1.
∞
∑
n=1
1
3
√
n2
=
∞
∑
n=1
1
n2/3
. Diverge ya que es una serie p, con p = 2/3 < 1.
2.
∞
∑
n=1
5
9n2
=
5
9
∞
∑
n=1
1
n2
. Converge ya que es una serie p con p = 2 > 1.
3.
∞
∑
n=1
2
7
√
n15
= 2
∞
∑
n=1
1
n15/7
. Converge ya que es una serie p con p = 15/7 > 1.
4.
∞
∑
n=1
6
nπ
= 6
∞
∑
n=1
1
nπ
. Converge ya que es una serie p con p = π > 1.
Un acso particular de las series p es la serie Serie armónica
∞
∑
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ·
Note que la serie armónica es divergente, ya que es una serie p con p = 1.
1.3.2. Serie telescópica
Definición [Serie telescópica]. Las series
∞
∑
n=1
an tales que cada término se pueda
expresar como una diferencia de forma:
an = bn − bn+1
se denominan series telescópicas .
2
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Observación . Una serie telescópica puede ser
∞
∑
n=1
(bn − bn+1) o bien
∞
∑
n=1
(bn+1 − bn).
Teorema [Convergencia de una serie telescópica]. La serie
∞
∑
n=1
an =
∞
∑
n=1
(bn −
bn+1) converge, si y sólo si, existe lı́mn→∞ bn, encuyo caso se tiene que
∞
∑
n=1
an =
∞
∑
n=1
(bn − bn+1) = b1 − lı́mn→∞ bn
Ejemplo . Determine la convergencia de las siguientes series
a)
∞
∑
n=1
(
1
n2 + n
)
. b)
∞
∑
n=1
(3n2 + 3n + 1).
Solución En general la idea de este ejemplo es expresar cada serie como una serie
telescópica y luego determinar la convergencia.
a)
∞
∑
n=1
(
1
n2 + n
)
. Sea an =
1
n2 + n
. Luego, realizando descomposición en fracciones
parciales
an =
1
n2 + n
=
1
n(n + 1)
=
A
n
+
B
n + 1
Es fácil ver que A = 1 y B = −1. Por lo tanto an =
1
n
− 1
n + 1
Note que si tomamos bn =
1
n
, entonces an =
1
n
− 1
n + 1
= bn − bn+1. Como
lı́m
n→∞
bn = lı́mn→∞
1
n
= 0 existe, se tiene que
∞
∑
n=1
(
1
n2 + n
)
=
∞
∑
n=1
(
1
n
− 1
n + 1
)
= b1 − lı́mn→∞ bn = 1 + 0 = 1.
Por lo tanto, la serie es convergente y
∞
∑
n=1
(
1
n2 + n
)
= 1.
b)
∞
∑
n=1
(3n2 + 3n + 1). Sea an = 3n2 + 3n + 1. Luego,
an = 3n2 + 3n + 1 = n3 − n3 + 3n2 + 3n + 1 = n3 + 3n2 + 3n + 1 − n3 = (n + 1)3 − n3
Luego,
∞
∑
n=1
(3n2 + 3n + 1) =
∞
∑
n=1
(n + 1)3 − n3 = 1 − lı́m
n→∞
n3 = 1 − ∞ (1)
Por lo tanto la serie diverge.
3
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Definición [Series geométricas]. Una serie dada por
∞
∑
n=1
arn−1 = a + ar + ar2 + · · · · · ·
es llamada una serie geométrica de razón r.
Respecto a esta serie tenemos lo siguiente
∞
∑
n=1
arn−1

converge si 0 < |r| < 1
diverge si |r| ≥ 1
Cuando la serie geométrica converge, el valor de la suma se calcula como
∞
∑
n=1
arn−1 =
a
1 − r
Ejemplo . Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentes
a)
∞
∑
n=1
3
2n
b)
∞
∑
n=1
(
3
2
)n
Solución La idea es verificar que estas son series geométricas y luego determinar u
convergencia.
a) Note que
∞
∑
n=1
3
2n
=
∞
∑
n=1
3 · 1
2n
=
∞
∑
n=1
3 · 1
2
(
1
2
)n−1
=
∞
∑
n=1
3
2
·
(
1
2
)n−1
Claramente es una serie geométrica con a = 3/2 y r = 1/2. Como |r| = |1/2| < 1,
entonces la serie es convergente y su suma es
∞
∑
n=1
3
2n
=
∞
∑
n=1
3 ·
(
1
2
)n
=
∞
∑
n=1
3
2
·
(
1
2
)n−1
=
a
1 − r =
3/2
1 − 1/2 =
3/2
1/2
= 3
b) Note que
∞
∑
n=1
(
3
2
)n
=
∞
∑
n=1
3
2
·
(
3
2
)n−1
Claramente es una serie geométrica con a = 3/2 y r = 3/2. Como |r| = |3/2| > 1,
entonces la serie es divergente
4
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2. Algunos criterios y pruebas importantes para la
convergencia o divergencia de series
2.1. Prueba de la divergencia
Teorema [Prueba de la divergencia]. Si lı́m
n→∞
an no existe o si lı́mn→∞ an ̸= 0, enton-
ces la serie
∞
∑
n=1
an diverge.
Ejemplo . Estudiar la convergencia de las siguientes series
a)
∞
∑
n=0
2n b)
∞
∑
n=1
n!
2n! + 1
Solución La idea es aplicar la prueba de la divergencia
a) Considere la serie
∞
∑
n=0
2n, donde an = 2n. Como lı́mn→∞ 2
n → ∞ no existe, entonces
∞
∑
n=0
2n es divergente.
b) Considere la serie
∞
∑
n=1
n!
2n! + 1
donde an =
n!
2n! + 1
. Como lı́m
n→∞
n!
2n! + 1
=
1
2
̸= 0,
entonces
∞
∑
n=0
n!
2n! + 1
es divergente.
2.2. Criterio de comparación
Teorema [Criterio de comparación]. Sea
∞
∑
n=1
an una serie de términos positivos
i) Si
∞
∑
n=1
bn una serie de términos positivos que es convergente y an ≤ bn para todos
los enteros positivos n, entonces la serie
∞
∑
n=1
an es convergente.
ii) Si
∞
∑
n=1
bn una serie de términos positivos que es divergente y bn ≤ an para todos
los enteros positivos n, entonces la serie
∞
∑
n=1
an es divergente.
Ejemplo . Determine si la serie es convergente o divergente
5
https://wlh.es/v2/1690385506694/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690385506694/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
a)
∞
∑
n=1
4
3n + 1
b)
∞
∑
n=1
1√
n
Solución La idea es utilizar el criterio de comparación
a) Considere la serie
∞
∑
n=1
4
3n + 1
donde an =
4
3n + 1
, luego, vamos a comparar esta
serie con la serie geométrica
∞
∑
n=1
4
3n
donde bn =
4
3n
, a = 4/3 y r = 1/3 Como
|1/3| < 1, entonces la serie
∞
∑
n=1
4
3n
es convergente.
Además,
3n ≤ 3n + 1 ⇔ 1
3n + 1
≤ 1
3n
⇔ 4
3n + 1
≤ 4
3n
⇔ an ≤ bn
Como dicha desigualdad se cumple para todo entero positivo n, entonces por el
criterio de comparación se sigue que
∞
∑
n=1
4
3n + 1
es convergente.
b) Considere la serie
∞
∑
n=1
1√
n
con an =
1√
n
, luego, vamos a comparar esta serie con
la serie armónica
∞
∑
n=1
1
n
donde bn =
1
n
Note que
√
n ≤ n ⇔ 1
n
≤ 1√
n
⇔ bn ≤ an
Como dicha desigualdad se cumple para todo entero positivo n, entonces por el
criterio de comparación se sigue que
∞
∑
n=1
1√
n
es divergente.
2.3. Criterio de comparación por paso al lı́mite
Teorema [Criterio de comparación por paso al lı́mite]. Sean
∞
∑
n=1
an y
∞
∑
n=1
bn dos
series de términos positivos
i) Si lı́m
n→∞
an
bn
= c > 0 entonces ambas series son convergentes o ambas son diver-
gentes.
6
https://wlh.es/v2/1690385506697/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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) Si lı́m
n→∞
an
bn
= 0 y
∞
∑
n=1
bn converge, entonces
∞
∑
n=1
an converge.
iii) Si lı́m
n→∞
an
bn
→ ∞ y
∞
∑
n=1
bn diverge, entonces
∞
∑
n=1
an diverge.
Ejemplo . Determine si la serie es convergente o divergente utilizando el criterio de
comparación por paso al lı́mite
a)
∞
∑
n=1
ln(n)
n3/2
b)
∞
∑
n=1
1 + n2 ln(n)
n2 + 5
c)
∞
∑
n=1
1
2n − 1
Solución Utilizaremos el criterio de comparación por paso al lı́mite
a)
∞
∑
n=1
ln(n)
n3/2
.
Puesto que ln(n) crece más lentamente que nc para cualquier constante positiva
c, es posible comparar la serie con una serie p convergente. Para obtener la serie
p, vemos que
ln n < n ⇐⇒ ln(n)
n3/2
<
n1/4
n3/2
=
1
n5/4
Entonces, tomando an = (ln(n))/n3/2 y bn = 1/n5/4, tenemos
lı́m
n→∞
an
bn
= lı́m
n→∞
ln(n)
n1/4
= lı́m
n→∞
1/n
(1/4)n−3/4
Regla de L’Hôpital
= lı́m
n→∞
4
n1/4
= 0.
Como
∞
∑
n=1
bn =
∞
∑
n=1
1
n5/4
es una serie p con p > 1, converge, por la parte (ii) del
criterio de comparación del lı́mite se tiene que
∞
∑
n=1
ln(n)
n3/2
converge.
b)
∞
∑
n=1
1 + n ln(n)
n2 + 5
Sea an = (1 + n ln n)/
(
n2 + 5
)
. Para n grande, esperamos que an se comporte
como (n ln n)/n2 = (ln n)/n, que es mayor a 1/n para n ≥ 3, ası́ que tomamos
bn = 1/n. Ya que
∞
∑
n=1
bn =
∞
∑
n=1
1
n
diverge
7
https://wlh.es/v2/1690385506703/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
y
lı́m
n→∞
an
bn
= lı́m
n→∞
n + n2 ln n
n2 + 5
= ∞
por la parte (iii) del criterio de comparación del lı́mite,
∞
∑
n=1
1 + n ln(n)
n2 + 5
diverge.
c)
∞
∑
n=1
1
2n − 1 .
Sea an = 1/ (2n − 1). Para n grande, tenemos que an se comporte como 1/2n, ası́
que tomamos bn = 1/2n. Como
∞
∑
n=1
bn =
∞
∑
n=1
1
2n
converge
Luego,
lı́m
n→∞
an
bn
= lı́m
n→∞
2n
2n − 1 = lı́mn→∞
1
1 − (1/2n) = 1
Por la parte (i) del criterio de comparación del lı́mite,
∞
∑
n=1
1
2n − 1 converge.
2.4. Prueba de la integral
Teorema [Prueba de la integral]. Suponga que f es una función continua, positi-
va y decreciente sobre [1, ∞) y sea a an = f (n). Entonces la serie ∑∞n=1 an es conver-
gente si y sólo si la integral impropia
∫ ∞
1 f (x) dx es convergente. En otras palabras:
i) Si
∫ ∞
1
f (x) dx es convergente, entonces
∞
∑
n=1
an es convergente.
ii) Si
∫ ∞
1
f (x) dx es divergente, entonces
∞
∑
n=1
an es divergente.
Ejemplo . Determine si la serie es convergente o divergente
a)
∞
∑
n=1
ne−n b)
∞
∑
n=2
1
n
√
ln n
Solución La idea de es ejemplo es aplicar la prueba de la integral
a) Considere la serie
∞
∑
n=1
ne−n donde an = ne−n. Sea f (x) = xe−x, claramente f es
continua y positiva sobre [1, ∞).
Veamos que f es decreciente sobre [1, ∞). Para ello calcularemos la derivada
f ′(x) = e−x − xe−x = (1 − x)e−x
8
https://wlh.es/v2/1690385506708/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Como f ′(x) < 0 para x > 1, entonces se tiene que f es decreciente para x ≥ 1.
Por lo tanto, se satisfacen todas las condiciones de la prueba de la integral.
Aplicando integración por partes, tenemos que∫
xe−x dx = −e−x(1 − x) + C.
Luego, ∫ ∞
1
xe−x dx = lı́m
b→∞
(∫ b
1
xe−x dx
)
= lı́m
b→∞
[
−e−x(1 − x)
]b
1
= lı́m
b→∞
[
2
e
− b + 1
eb
]
=
2
e
−
��
��
��*
0
lı́m
b→∞
b + 1
eb
=
2
e
Note que es necesario aplicar la regla de L’hospital para verificar que lı́m
b→∞
b + 1
eb
=
0.
Ası́, tenemos que
∫ ∞
1
xe−x dx =
2
e
converge, por lo tanto, por la prueba de la
integral tenemos que
∞
∑
n=1
ne−n =
2
e
converge.
b) Dada la serie
∞
∑
n=2
1
n
√
ln n
, consideremos la función f (x) =
1
x
√
ln x
. Note que f es
continua y positiva para x ≥ 2. Además, si 2 ≤ x1 < x2, se tiene que f (x1) >
f (x2), de modo que es decreciente para x ≥ 2. Por lo tanto, aplicando la prueba
de la integral. ∫ ∞
2
1
x
√
ln x
dx = lı́m
b→∞
[∫ b
2
1
x
√
ln x
dx
]
= lı́m
b→∞
[
2
√
ln x
]b
2
= lı́m
b→∞
[
2
√
ln b − 2
√
ln 2
]
= lı́m
b→∞
2
√
ln b − 2
√
ln 2 → ∞
Ası́, la integral es divergente y por lo tanto,
∞
∑
n=2
1
n
√
ln n
es divergente.
9
https://wlh.es/v2/1690385506716/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690385506716/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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.5. Series alternantes
UnaSerie alternante es una serie cuyos términos son alternadamente positivos y
negativos. Por ejemplo las siguientes series so alternantes
∞
∑
n=1
(−1)n−1 1
n
= 1 − 1
2
+
1
3
− 1
4
+ · · ·
∞
∑
n=1
(−1)n n
n + 1
= −1
2
+
2
3
− 3
4
+
4
5
− 5
6
+ · · ·
Teorema [Prueba de la serie alternante]. Sea an > 0, las series alternantes
∞
∑
n=1
(−1)nan y
∞
∑
n=1
(−1)n+1an
convergen si se satisfacen las siguientes dos condiciones.
i) an+1 ≤ an para todo n,
ii) lı́m
n→∞
an = 0
Ejemplo . Determine si la serie
∞
∑
n=1
(−1)n n + 2
n(n + 1)
es convergente o divergente
Solución Claramente la serie
∞
∑
n=1
(−1)n n + 2
n(n + 1)
es alternante donde an =
n + 2
n(n + 1)
Además, como an+1 ≤ an es equivalente a tener que an+1/an ≤ 1
an+1
an
=
n+3
(n+1)(n+2)
n+2
n(n+1)
=
n(n + 3)
(n + 2)2
=
n2 + 3n)
n2 + 4n + 4
< 1
Por otra parte,
lı́m
n→∞
an = lı́mn→∞
n + 2
n(n + 1)
= lı́m
n→∞
1/n + 2/n2
1 + 1/n
= 0
Por lo tanto la serie
∞
∑
n=1
(−1)n n + 2
n(n + 1)
es convergente.
10
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Definición [Convergencia absoluta]. Una serie ∑ an es llamada absolutamente
convergente si la serie de valores absolutos ∑ |an| es convergente.
Definición [Convergencia condicional]. Una serie ∑ an es condicionalmente
convergente si ∑ an converge pero ∑ |an| es divergente.
Teorema S. i una serie ∑ an es absolutamente convergente, entonces es convergente.
Ejemplo . Determinar si cada una de las series es convergente o divergente. Clasifi-
car cada serie como absolutamente convergente o condicionalmente convergente.
a)
∞
∑
n=1
(−1)n(n+1)/2
3n
b)
∞
∑
n=1
(−1)n
ln(n + 1)
Solución a) Note que
∞
∑
n=1
∣∣∣∣∣ (−1)n(n+1)/23n
∣∣∣∣∣ = ∞∑n=1 13n
es una serie geométrica convergente, se puede aplicar el teorema 9.16 para con-
cluir que la serie dada es absolutamente convergente (y por consiguiente conver-
gente).
b) Note que
∞
∑
n=1
∣∣∣∣ (−1)nln(n + 1)
∣∣∣∣ = 1ln 2 + 1ln 3 + 1ln 4 + ·
Como
ln(n + 1) ≤ n + 1 ⇔ 1
n + 1
≤ 1
ln(n + 1)
Como la serie ∑ 1n+1 , entonces por el criterio domparaci+on se tiene que la serie
∑∞n=1
∣∣∣ (−1)n(ln(n+1) ∣∣∣ es divergente. Sin embaargo, la serie es condicionalmente convergente
(ejercicio).
2.6. Prueba de la razón
Teorema Prueba de la razón. Sea ∑ an una serie con términos distintos de cero.
i) Si lı́m
n→∞
∣∣∣∣ an+1an
∣∣∣∣ = L < 1, entonces la serie ∑∞n=1 an es absolutamente convergente
(y, por tanto, convergente).
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ii) Si lı́m
n→∞
∣∣∣∣ an+1an
∣∣∣∣ = L > 1, o bien, lı́mn→∞
∣∣∣∣ an+1an
∣∣∣∣ = ∞, entonces la serie ∑∞n=1 an es
divergente.
iii) Si lı́m
n→∞
∣∣∣∣ an+1an
∣∣∣∣ = 1, la prueba de la razón no es concluyente; es decir, no se puede
sacar conclusión alguna con respecto a la convergencia o a la divergencia de
∑∞n=1 an..
Ejemplo . Determinar la convergencia o divergencia de
∞
∑
n=0
2n
n!
Solución Sea an =
2n
n!
. Luego,
lı́m
n→∞
∣∣∣∣ an+1an
∣∣∣∣ = lı́mn→∞
∣∣∣∣∣∣
2n+1
(n+1)!
2n
n!
∣∣∣∣∣∣
= lı́m
n→∞
2n+1
(n+1)!
2n
n!
= lı́m
n→∞
2·2n
(n+1)·n!
2n
n!
= lı́m
n→∞
2 · 2n · n!
2n · (n + 1) · n!
= lı́m
n→∞
2
n + 1
= lı́m
n→∞
2/n
1 + 1/n
= 0
Como lı́m
n→∞
∣∣∣∣ an+1an
∣∣∣∣ = 0 < 1, entonces por la prueba de la razón se tiene que ∞∑
n=0
2n
n!
es
convergente.
2.7. Prueba de la raı́z
Teorema [Prueba de la raı́z]. Sea ∑ an una serie
i) Si lı́m
n→∞
n
√
|an| = L < 1, entonces la serie ∑∞n=1 an es absolutamente convergente
(y, por tanto, convergente).
ii) Si lı́m
n→∞
n
√
|an| = L > 1, o bien, lı́mn→∞
n
√
|an| = ∞, entonces la serie ∑∞n=1 an es
divergente.
iii) Si lı́m
n→∞
n
√
|an| = 1, la prueba de l no es concluyente.
Ejemplo . Determine si la serie
∞
∑
n=1
e2n
nn
es convergente o divergente
12
https://wlh.es/v2/1690385506734/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Solución Se puede aplicar el criterio de la raı́z como sigue.
lı́m
n→∞
n
√
|an| = lı́mn→∞
n
√∣∣∣∣ e2nnn
∣∣∣∣ = lı́mn→∞ n
√
e2n
nn
= lı́m
n→∞
e2n/n
nn/n
= lı́m
n→∞
e2
n
= 0 < 1
Como este lı́mite es menor que 1, se puede concluir que la serie es absolutamente
convergente (y por consiguiente converge).
3. Series de potencias
Definición [Series de potencias]. Si x es una variable, entonces una serie infinita
de la forma
∞∑
n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + · · ·
se llama serie de potencia.
De manera más general, una serie infinita de la forma
∞
∑
n=0
an(x − c)n = a0 + a1(x − c) + a2(x − c)2 + · · ·
se llama serie de potencia centrada en c, donde c es una constante.
Ejemplo . Determine los valores de x para los cuales la serie de potencia es conver-
gente.
∞
∑
n=1
(−1)n+1 2
nxn
n3n
Solución Para la serie dada tenemos que an = (−1)n+1
2nxn
n3n
y an+1 = (−1)n+2
2n+1xn+1
(n + 1)3n+1
.
Luego,
lı́m
n→∞
∣∣∣∣ an+1an
∣∣∣∣ = lı́mn→∞
∣∣∣∣ 2n+1xn+1(n + 1)3n+1 · n3n2nxn
∣∣∣∣
= lı́m
n→∞
2
3
n
n + 1
|x|
=
2
3
|x| lı́m
n→∞
n
n + 1
=
2
3
|x|
Note que la serie de potencias es absolutamente convergente cuando 23 |x| < 1 o equi-
valentemente |x| < 32
Teorema [Convergencia de una serie de potencia]. Para una serie de potencia
dada por
∞
∑
n=0
an(x − c)n, exactamente una de las siguientes afirmaciones es verdadera.
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https://wlh.es/v2/1690385506741/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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i) La serie converge sólo cuando x = c.
ii) La serie converge absolutamente para toda x.
iii) Hay un número positivo R tal que la serie converge si |x − c| < R y y diverge si
|x − c| > R
El número R es el radio de convergencia de la serie de potencia. Si la serie sólo
converge en c, el radio de convergencia es R = 0 y si la serie converge para todo x,
el radio de convergencia es R = ∞. El conjunto de todos los valores de x para los
cuales la serie de potencia converge es el intervalo de convergencia de la serie de
potencia.
Ejemplo . Determine el intervalo de convergencia de la serie
∞
∑
n=1
n(x − 2)n
Solución Al aplicar el criterio de la razón se tiene que
lı́m
n→∞
∣∣∣∣ an+1an
∣∣∣∣ = lı́mn→∞
∣∣∣∣ (n + 1)(x − 2)n+1n(x − 2)n
∣∣∣∣
= |x − 2| lı́m
n→∞
n + 1
n
= |x − 2|
La serie dada será absolutamente convergente si
|x − 2| < 1 ⇔ −1 < x − 2 < 1
⇔ 1 < x < 3
Por lo tanto, el intervalo de convergencia es (1, 3).
3.1. Representación de las funciones como series de potencias
Una serie de potencia en x puede verse como una función de x
f (x) =
∞
∑
n=0
an(x − c)n
donde el dominio de f es el conjunto de todas las x para el que la serie de potencia
converge.
Note que cada serie de potencia converge en su centro c porque
f (c) =
∞
∑
n=0
an(c − c)n = a0 + 0 + 0 + · · · 0 + · · ·
= a0
Ası́, c siempre queda en el dominio de f .
El teorema (3) establece que el dominio de una serie de potencia puede tomar tres
formas básicas: un solo punto, un intervalo centrado en c, o toda la recta real,
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3.1.1. Derivación e integración de series de potencias
Teorema . Si
∞
∑
n=0
an(x − c)n es una serie de potencia cuyo radio de convergencia es
R > 0, entonces la función f definida por f (x) =
∞
∑
n=0
an(x − c)n es derivable (y, por
tanto, continua) sobre el intervalo (c − R, c + R) y
i) f ′(x) =
∞
∑
n=1
nan(x − c)n−1
ii)
∫
f (x) dx = C +
∞
∑
n=0
an
(x − c)n+1
n + 1
Los radios de convergencia de f (x), f ′(x) y
∫
f (x) dx es también R.
4. Series de Taylor y de Maclaurin
Teorema . Si f se puede representar como una serie de potencias (expansión) en a,
es decir, si
f (x) =
∞
∑
n=0
cn(x − a)n, |R| < R
entonces sus coeficientes están dados por la fórmula
cn =
f n(a)
n!
4.1. Series de Taylor
Definición [Serie de Taylor de la función f en a]. Si sustituimos la fórmula pa-
ra cn de nuevo en la serie, observamos que si f tiene un desarrollo en serie de potencias
en a, entonces debe ser de la forma siguiente:
f (x) =
∞
∑
n=0
f n(a)
n!
(x − a)n = f (a) + f
′(a)
1!
(x − a) + f
′′(a)
2!
(x − a)2 + f
′′′(a)
3!
(x − a)3 + · · ·
Ejemplo . Halle la serie de Taylor generada por f (x) = 1/x en a = 2. ¿Converge la
serie a 1/x? ¿Dónde?
Solución Necesitamos determinar f (2), f ′(2), f ′′(2), . . . Al derivar, tenemos
f (x) = x−1, f ′(x) = −x−2, f ′′(x) = 2!x−3, · · · , f (n)(x) = (−1)nn!x−(n+1),
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f (2) = 2−1 =
1
2
, f ′(2) = − 1
22
,
f ′′(2)
2!
= 2−3 =
1
23
, · · · , f
(n)(2)
n!
=
(−1)n
2n+1
.
La serie de Taylor es
f (2) + f ′(2)(x − 2) + f
′′(2)
2!
(x − 2)2 + · · ·+ f
(n)(2)
n!
(x − 2)n + · · ·
=
1
2
− (x − 2)
22
+
(x − 2)2
23
− · · ·+ (−1)n (x − 2)
n
2n+1
+ · · ·
Ésta es una serie geométrica con 1/2 como primer término y razón r = −(x − 2)/2.
Converge absolutamente para |x − 2| < 2 y su suma es
1/2
1 + (x − 2)/2 =
1
2 + (x − 2) =
1
x
.
En este ejemplo, la serie de Taylor generada por f (x) = 1/x en a = 2 converge a 1/x
para |x − 2| < 2 o 0 < x < 4.
4.2. Series de Maclaurin
Para el caso especial a = 0 la serie de Taylor se transforma en la serie de Maclaurin.
Definición [Serie de Maclaurin].
f (x) =
∞
∑
n=0
f n(0)
n!
xn = f (0) +
f ′(0)
1!
x +
f ′′(0)
2!
x2 +
f ′′′(0)
3!
x3 + · · ·
Ejemplo . Determine la serie de Maclaurin de la función f (x) = ex y su radio de
convergencia.
Solución Si f (x) = ex , entonces f (n)(x) = ex , por lo que f (n)(0) = e0 = 1 para toda
n. Por tanto, la serie de Taylor para f en 0 (es decir, la serie de Maclaurin) es
∞
∑
n=0
f n(0)
n!
xn =
∞
∑
n=0
xn
n!
= 1 +
x
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·
Para determinar el radio de convergencia hacemos an = xn/n! Entonces
lı́m
n→∞
∣∣∣∣ an+1an
∣∣∣∣ = lı́mn→∞
∣∣∣∣ xn+1(n + 1)! · n!xn
∣∣∣∣
= |x| lı́m
n→∞
1
n + 1
= 0 < 1
ası́ que, según la prueba de la razón, la serie converge para toda x y el radio de con-
vergencia es R = ∞.
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4.2.1. ¿En qué circunstancias una función es igual a la suma de su serie de
Taylor?
En otras palabras, si f tiene derivadas de todos los órdenes, cuándo es cierto que
f (x) =
∞
∑
n=0
f n(a)
n!
(x − a)n
Como sucede con cualquier serie convergente, esto quiere decir que f (x) es el lı́mite
de la sucesión de sumas parciales. En el caso de la serie de Taylor, las sumas parciales
son
Tn(x) =
∞
∑
i=0
f i(a)
i!
(x − a)n = f (a) + f
′(a)
1!
(x − a) + f
′′(a)
2!
(x − a)2 + f
′′′(a)
3!
(x − a)3 + · · ·
Observe que Tn es una polinomial de grado n llamado polinomio de Taylor de n-
ésimo grado de f en a.
En general, f (x) es la suma de su serie de Taylor si
f (x) = lı́m
n→∞
Tn(x)
Si hacemos
Rn(x) = f (x)− Tn(x) ⇔ f (x) = Tn(x) + Rn(x)
entonces Rn(x) se llama residuo de la serie de Taylor.
Teorema [Convergencia de las series de Taylor]. Si f (x) = Tn(x) + Rn(x) don-
de Tn(x) es el polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f en a y
f (x) = lı́m
n→∞
Rn(x) = 0
Para |x − a| < R, entonces
f (x) =
∞
∑
n=0
f n(a)
n!
(x − a)n en el intervalo |x − a| < R
Teorema [Desigualdad de Taylor]. Si | f n+1| ≤ M para |x − a| < d, entonces el
residuo Rn(x) de la serie de Taylor cumple con la desigualdad
|Rn(x)| ≤
M
(n + 1)!
|x − a|n+1 para |x − a| ≤ d
Ejemplo . Demuestre que ex es igual a la suma de su serie de Maclaurin.
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Solución Si f (x) = ex , entonces f (n+1)(x) = ex para toda n. Si d es cualquier número
positivo y |x| ≤ d, entonces f (n+1)(x) = ex ≤ ed . Ası́ que la desigualdad de Taylor, con
a = 0 y M = ed , establece que
|Rn(x)| ≤
ex
(n + 1)!
|x|n+1 para |x| ≤ d
Observe que la misma constante M = ed funciona para todo valor de n. Luego,
lı́m
n→∞
ed
(n + 1)!
|x|n+1 = ed lı́m
n→∞
|x|n+1
(n + 1)!
= 0
Se infiere entonces del teorema de la compresión que lı́mn→∞ |Rn(x)| = 0 y, por tanto,
lı́mn→∞ Rn(x) = 0 para todos los valores de x. De acuerdo con el teorema , x es igual a
la suma de su serie de Maclaurin, es decir
ex =
∞
∑
n=0
xn
n!
para x
En particular, para x = 1
e =
∞
∑
n=0
1
n!
= 1 +
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ · · ·
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