Derivadas Parciales

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DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Derivadas Parciales 
 
Qué vamos a construir 
 
Para una función multivariable, como ( )
2,f x y x y= , calcular 
las derivadas parciales se ve algo como esto: 
( ) ( )
( ) ( )
 
2
2 2
 ; 
 
 ; 
 
, 2
,
trata a y como una constante
toma la derivada
trata a x como una constante
toma la derivada
f x y x y xy
x x
f x y x y x
y y
 
= =
 
 
= =
 
 
COMPESP N° 01 
Define, interpreta 
geométricamente y aplica 
las derivadas parciales. 
ACTIVIDAD N° 01 
Estudie la siguiente información sobre 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
2 
➢ El símbolo  con forma de d , a menudo llamado "del", 
se utiliza para distinguir las derivadas parciales de las 
derivadas de una variable. O debo decir para 
diferenciarlas. 
 
➢ La razón de definir un nuevo tipo de derivada es que 
cuando una función es multivariable, queremos ver cómo 
cambia la función al mover una sola variable mientras 
mantenemos fijas las demás. 
 
➢ Con respecto a las gráficas tridimensionales, puedes ver 
la derivada parcial 
f
x


 al rebanar la gráfica de f con un 
plano que representa un valor constante de y y medir la 
pendiente de la curva que resulta a lo largo del corte. 
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3 
 
INTERSECCIÓN DEL PLANO 0y = CON LA GRÁFICA 
 
¿Qué es una derivada parcial? 
 
Vamos a suponer que estás familiarizado con la derivada 
ordinaria del cálculo de una sola variable, 
dy
dx
. Me gusta 
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4 
mucho esta notación para la derivada, porque la puedes 
interpretar como sigue: 
➢ Interpreta dx como "un cambio muy pequeño en x ". 
➢ Interpreta " "df como "un cambio muy pequeño en el 
valor de salida de f ", donde se entiende que este 
pequeño cambio es lo que sea que resulte de ese pequeño 
cambio dx en el valor de entrada. 
De hecho, creo que esta idea intuitiva para el símbolo 
df
dx
 es 
uno de los puntos más útiles del cálculo de una variable, y 
cuando realmente lo empieces a internalizar, la mayoría de 
los conceptos alrededor de la derivada comienzan a tener 
mucho sentido. 
Por ejemplo, cuando aplicas este concepto a la gráfica de f 
puedes interpretar esta "razón" 
df
dx
 como el desplazamiento 
vertical/horizontal de la gráfica de f , que depende del punto 
donde comenzaste. 
 
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5 
 
 
¿Cómo funciona esto para 
funciones multivariables? 
 
Considera una función con un valor de entrada bidimensional 
y una salida unidimensional. 
( ) 2, 2f x y x xy= − 
Nada nos impide escribir la misma expresión, 
df
dx
, e 
interpretarla de la misma manera: 
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6 
➢ dx todavía representa un pequeño cambio en la variable 
x , que ahora solo es una componente de la entrada. 
➢ df todavía representa el cambio resultante en el valor de 
salida de la función ( ),f x y . 
Sin embargo, esto ignora el hecho de que hay otra variable de 
entrada: y . El espacio de entrada ahora tiene varias 
dimensiones, así que podemos variar la entrada en otras 
direcciones además de x . Por ejemplo, ¿qué pasa si hacemos 
un pequeño cambio dy en y ? Si volvemos a interpretar que 
df representa el pequeño cambio en el valor de salida de la 
función que ocasiona este pequeño cambio dy , tendremos 
una derivada diferente: 
df
dx
. 
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7 
 
 
Ninguna de estas derivadas por separado narra la historia 
completa de cómo cambia nuestra función ( ),f x y cuando 
sus entradas cambian un poco, así que las llamamos 
"derivadas parciales". Para enfatizar la diferencia, ya no 
usamos la letra " "d para indicar los pequeños cambios, sino 
que introducimos el novedoso símbolo  , para escribir cada 
derivada parcial como ,
f f
x y
 
  , etcétera. 
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8 
El símbolo 
f
x


 se lee como "la derivada parcial de f con 
respecto a x ". 
 
 
Ejemplo: calcular una derivada 
parcial 
 
Considere esta función: 
( ) 2 3,f x y x y= 
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Supón que te pido evaluar 
f
x


, la derivada parcial con 
respecto x , en el valor de entrada ( )3,2 
 
"¿Qué? ¡Pero todavía no he aprendido cómo hacer eso!" 
 
No te preocupes, es casi la misma mecánica que para una 
derivada ordinaria. 
 
De la introducción anterior, debes saber que se te está 
preguntando sobre la tasa a la cual cambia el valor de salida 
de f a medida que cambiamos un poco el valor de la 
componente x de la entrada, quizá moviéndola de ( )3,2 a 
( )3.01,2 . 
Como solo nos importa el movimiento en la dirección x
podríamos tratar el valor y como una constante. De hecho, 
podemos sustituir 2y = antes de calcular la derivada. 
( ) ( )
32 2,2 2 8f x x x= = 
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Ahora, la pregunta de cómo cambia f en respuesta a un 
pequeño desplazamiento en x es una derivada ordinaria de 
una sola variable. 
 
VERIFICACIÓN DE CONCEPTOS 
¿Cuál es la derivada de esta función ( )
2, 2 8f x x= evaluada 
en 3x = ? 
( ) ( )2, 2 8 16
d d
f x x x
dx dx
= = 
Al sustituir 3x = vemos que la respuesta debe ser ( )16 3 48= 
sin evaluar a y . 
Ahora supón que te pido obtener 
f
x


, pero sin evaluarla en un 
punto específico. En otras palabras, debes obtener una nueva 
función multivariable que tome cualquier punto ( ),x y como 
su entrada y diga cuál es la razón de cambio de f cerca de 
ese punto a medida que nos movemos solamente en la 
dirección de x . 
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Puedes empezar del mismo modo, considerando el valor y 
como una constante. Esta vez, sin embargo, no puedes 
sustituir un valor constante, como 2y = . En lugar de eso, 
pretende que y es constante y toma la derivada. 
( ) ( )2 3 3
 y 
, 2
Pretende que es constante
d d
f x y x y xy
dx dx
= =
 
O, mejor dicho, para enfatizar que esta es una función de 
varias variables, usamos el símbolo  en vez de d : 
( ) ( )2 3 3, 2f x y x y xy
x x
 
= =
 
 
Para comprobar el resultado, puedes sustituir ( )3,2 para ver 
que se obtiene el mismo resultado que arriba. 
"Entonces, ¿cuál es la diferencia entre 
d
dx
 y 
x


? Parece que 
se usan de la misma manera". 
A decir verdad, en realidad no hay una diferencia entre estas 
operaciones. Podrías ser pedante y decir que una solo está 
definida para funciones de una sola variable. Pero en cuanto 
a la intuición y al cálculo, son la misma cosa y la diferencia 
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radica es solo para aclarar qué tipo de función está siendo 
derivada. 
 
Interpretar derivadas parciales 
con gráficas 
 
Considere esta función: 
( ) ( )2
1
, 2 3
5
f x y x xy= − + 
Aquí está un video que muestra su gráfica rotando, para tener 
una idea de su naturaleza tridimensional. 
 
 
 
 
 
( ) ( )2
1
, 2 3
5
f x y x xy= − +[Video: Rotación de ]DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
13 
 
 
Ahora piensa acerca la derivada parcial de f con respecto a 
x , tal vez evaluada en el punto ( )2,0 . 
( )2,0
f
x


 
En términos de la gráfica, ¿qué nos dice el valor de esta 
expresión acerca del comportamiento de la función f en el 
punto ( )2,0 ? 
https://www.youtube.com/embed/pWccSRU3ntM?feature=oembed
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14 
y →Trata a como una constante corta la 
gráfica con un plano 
El primer paso es tratar a y como una constante. En 
específico, si estamos limitándonos a ver lo que sucede en el 
punto ( )2,0 , solo deberíamos ver el conjunto de puntos 
donde 0y = . En un espacio tridimensional, este conjunto de 
puntos conforma un plano perpendicular al eje y que pasa 
por el origen. 
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15 
 
INTERSECCIÓN DEL PLANO 0y = CON LA GRÁFICA 
 
Este plano 0y = , mostrado en blanco, corta la gráfica de 
( ),f x y a lo largo de una curva parabólica, que se muestra 
débilmente en rojo. Podemos interpretar que 
f
x


 da la 
pendiente de una recta tangente a esta curva. ¿Por qué? 
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16 
Porque x es un ligero desplazamiento en la dirección de la 
coordenada x , la dirección horizontal, y f es el cambio 
resultante en la dirección z , el desplazamiento vertical. 
¿Qué sucede con 
f
y

 en el mismo punto 
( )2,0 ? Los puntos 
donde 2x = también forman un plano, pero esta vez es uno 
perpendicular al eje x que intercepta al punto ( )2,0 . Este 
plano corta la gráfica a lo largo de una nueva curva, y 
f
y

 nos 
dará la pendiente de esa nueva curva. 
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INTERSECCIÓN DEL PLANO 2x = CON LA GRÁFICA. 
 
PREGUNTA PARA REFLEXIONAR 
En la figura, la "curva" donde la gráfica de 
( ) ( )2
1
, 2 3
5
f x y x xy= − + 
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interseca el plano definido por 2x = se ve como que podría 
ser una línea recta. 
 
¿Es reamente una recta? 
¡Lo es! 
Explicación 
[Una evaluación más profunda de esta derivada parcial] 
 
Intersectar la gráfica de f con el plano 2x = corresponde 
con tratar x como la constante 2 . Es decir, vemos ( )2,f y 
como una función de una sola variable, y : 
( ) ( )
1 4 4
2, 4 4 3 3
5 5 5
19 4
5 5
f y y y
y
= − + = − +
= −
 
Esta función es lineal, así que su gráfica es una recta con 
pendiente 4 5− . 
 
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19 
La derivada parcial 
f
y

 evaluada en cualquier punto 
( )2, y da 
la pendiente de esta recta, 4 5− , sin importar el valor de y 
De hecho, la derivada parcial de esta función no depende de 
y para nada: 
( ) ( )
( )
21, 2 3
5
1
0 2 0
5
2
5
f x y x xy
y y
x
x
   
= − +    
= − +
= −
 
Gráficamente, esto significa que conforme escogemos 
distintos valores de x , el plano que representa el valor 
constante x se mueve a la derecha o a la izquierda y siempre 
se interseca con la gráfica en una recta, pues su pendiente es 
constante con respecto a y . Más aún, la pendiente de esa 
recta siempre será 2 5− el valor de x . 
 
 
( ) ( )2
1
, 2 3
5
f x y x xy= − +[Video: Rotación de ] 
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20 
 
 
Frases y notación 
Aquí hay algunas frases que podrías observar en referencia a 
la operación 
f
x


: 
 
➢ "La derivada parcial de f con respecto a x " 
➢ "De f , de x " 
https://www.youtube.com/embed/zzV2fYGm5to?feature=oembed
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21 
➢ "Parcial de f con respecto a x " 
➢ "La derivada parcial (de f ) en la dirección de x " 
 
Notación alternativa 
De la misma manera como algunos prefieren escribir 'f , 
tenemos la siguiente notación: 
x
f
f
x



 
lg var
var
a una iable
f
f
la misma iable


 
 
Una nota acerca de “del” 
Aunque es común referirse al símbolo parcial  como "del", 
esto puede ser confuso porque "del" también es el nombre del 
símbolo Nabla ∇, el cual introduciremos posteriormente. 
 
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22 
Una definición más formal 
Aunque pensar acerca de dx o de x como cambios 
realmente muy pequeños en el valor de x es una idea 
intuitiva útil, es saludable que ocasionalmente demos un paso 
atrás y recordemos que definir las cosas de manera precisa 
requiere introducir límites. Después de todo, ¿cuál valor 
pequeño específico sería x ? ¿Un centésimo? ¿Un 
millonésimo? ¿
101010− ? 
El punto del cálculo es que no usemos ningún valor pequeño, 
sino considerar todos los posibles valores y analizar qué 
sucede cuando estos se acercan a un valor límite. La derivada 
de una sola variable, por ejemplo, está definida así: 
( )
( ) ( )0
0
0
lim
h
f x h f xdf
x
dx h→
+ −
= 
➢ h representa el "pequeño valor" que intuitivamente 
pensamos como dx . 
➢ La parte de 0h→ debajo del límite indica que nos 
importan valores muy pequeños de h , aquellos que 
tienden a 0 . 
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23 
➢ ( ) ( )0f x h f x+ − es el cambio del valor de salida que 
resulta de sumarle h a la entrada, que es lo que pensamos 
como df . 
 
Definir de manera formal la derivada parcial se ve casi 
idéntica. Si ( ), , ,...f x y z es una función con múltiples valores 
de entrada, así es como se ve: 
 
( )
( ) ( )0 0 0 0 0 0
0 0 0
0
, , ,... , , ,...
, , ,... lim
h
f x h y z f x y zf
x y z
x h→
+ −
=

 
 
Del mismo modo, así se ve la derivada parcial con respecto a 
y : 
 
( )
( ) ( )0 0 0 0 0 0
0 0 0
0
, , ,... , , ,...
, , ,... lim
h
f x y h z f x y zf
x y z
y h→
+ −
=
 
El punto es que h , que representa un pequeño ajuste al valor 
de entrada, se suma a diferentes variables de entrada, 
dependiendo de cual derivada parcial estemos tomando. 
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24 
A menudo esto se refiere como la definición por límite de una 
derivada parcial. 
 
Pregunta para reflexionar: ¿Cómo podemos pensar 
acerca de esta definición por límite en el contexto de la 
interpretación gráfica dada antes? ¿Qué es h ? ¿Cómo se ve 
para 0h→ ? 
 
Resumen 
➢ Para una función multivariable, como ( )
2,f x y x y= , 
calcular las derivadas parciales se ve algo como esto: 
( ) ( )
( ) ( )
 
2
2 2
 ; 
 
 ; 
 
, 2
,
trata a y como una constante
toma la derivada
trata a x como una constante
toma la derivada
f x y x y xy
x x
f x y x y x
y y
 
= =
 
 
= =
 
 
 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
25 
➢ El símbolo  con forma de d , a menudo llamado "del", 
se utiliza para distinguir las derivadas parciales de las 
derivadas de una variable. O debo decir para 
diferenciarlas. 
 
➢ La razón de definir un nuevo tipo de derivada es que 
cuando una función es multivariable, queremos ver cómo 
cambia la función al mover una sola variable mientras 
mantenemos fijas las demás. 
 
➢ Con respectoa las gráficas tridimensionales, puedes ver 
la derivada parcial 
f
x


 al rebanar la gráfica de f con un 
plano que representa un valor constante de y y medir la 
pendiente de corte resultante. 
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INTERSECCIÓN DEL PLANO 0y = CON LA GRÁFICA 
 
 
 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
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Introducción 
 
Derivadas Parciales: Notación y Ejemplos 
 
Las derivadas parciales de una función de varias 
variables son aquellas que determinan la razón de cambio de 
la función cuando una de las variables tiene una variación 
infinitesimal, mientras las otras variables permanecen 
constantes. 
Para concretar la idea supongamos el caso de una función de 
dos variables: ( , )z f x y= . La derivada parcial de la función 
( , )f x y respecto a la variable x se calcula como la derivada 
ordinaria respecto de x pero considerando a la variable y 
como constante. 
Notación de la derivada parcial 
La ( , )z f x y=derivada parcial de la función respecto de la 
xvariable , se define como: 
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28 
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
x x x
h
z f x y f x y f x y g x y
x
f x h y f x y
lím
h→

= = = = =

+ −
=
 
La ( , )z f x y=derivada parcial de la función respecto de la 
variable y , se define como: 
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
y y y
k
z f x y f x y f x y h x y
y
f x y k f x y
lím
k→

= = = =

+ −
=
 
En las derivadas parciales se usa el símbolo  , a diferencia 
de la derivada ordinaria para funciones de una sola variable 
en las que se usa la letra d . 
 
Cálculo y significado de la derivada parcial 
Para determinar la derivada o razón de cambio de la función 
( , )z f x y= 
➢ con respecto a la variable x en un punto concreto ( , )P a b
primero se calcula la derivada ordinaria respecto a la 
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29 
variable x considerando a la variable y como constante; 
luego se sustituye las coordenadas del punto: 
x a y b=  = , es decir ( , )xf a b . Geométricamente, 
( , )xf a b es la pendiente en dirección paralela al eje x y 
que pasa por el punto ( , )P a b . 
➢ con respecto a la variable y en un punto concreto ( , )P a b
primero se calcula la derivada ordinaria respecto a la 
variable y considerando a la variable x como constante; 
luego se sustituye las coordenadas del punto: 
x a y b=  = , es decir ( , )yf a b . Geométricamente, 
( , )xf a b es la pendiente en dirección paralela al eje y y que 
pasa por el punto ( , )P a b . 
 
 
 
 
 
[Video: Derivadas Parciales de una función] 
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30 
 
 
Ejemplos de derivadas parciales 
Algunos ejemplos de derivadas parciales son los siguientes: 
Ejemplo 2 
Dada la función: 
2 2( , ) 6z f x y x y= = − − + . Halle las razones de 
cambio o las derivadas parciales de orden 1, respecto al eje x 
y al eje y en el punto (1, 2)P . 
https://www.youtube.com/embed/zxEXPpMVeRk?start=118&feature=oembed
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31 
Solución 
La función ( , )z f x y= es un paraboloide que se abre hacia 
abajo, mostrada en la siguiente figura de color ocre. 
Las derivadas de orden 1 son: 
( , ) 2x xz f x y x= = − 
( , ) 2y yz f x y y= = − 
 
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32 
FUNCIÓN 
2 2( , ) 6z f x y x y= = − − + Y SUS DERIVADAS PARCIALES 
f
x


 Y 
f
x


 EN EL PUNTO 
(1, 2)P 
 
1. Para calcular la derivada parcial de la función respecto de 
la variable x , es decir ( , )x xz f x y= , se calculó la 
derivada ordinaria respecto a la variable x considerando 
a la variable y como constante; luego se sustituyó las 
coordenadas 1 2x y y= = , es decir (1, 2)xf . 
Geométricamente, (1, 2)xf es la pendiente en dirección 
paralela al eje x y que pasa por el punto (1, 2)P . La figura 
1 muestra la recta tangente (en color rojo) a la curva 
determinada por la intersección de la función ( , )f x y con 
el plano 2y = , la pendiente de esta recta es 2− . 
2. Para calcular la derivada parcial de la función respecto de 
la variable y , es decir ( , )y yz f x y= , se calculó la derivada 
ordinaria respecto a la variable y considerando a la 
variable x como constante; luego se sustituyó las 
coordenadas 1 2x y y= = , es decir (1, 2)yf . La figura 
1 muestra también la recta tangente (en verde) a la curva 
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33 
que define la intersección de la función ( , )f x y con el 
plano 1x = , la pendiente de esta recta es 4− . 
 
Ejemplo 3 
Si 
2
3
( , , ) arctanxyz
xy
f x y z e
z
 
= +  
  
Halle 
, ,
f f f
x y z
  
   . 
Solución 
2
4 2 2
2
4 2 2
4 2 2
3
;
9
3
;
9
6
9
xyz
xyz
xyz
f yz
yze
x z x y
f xz
xze
y z x y
f xyz
xye
z z x y

= +
 +

= +
 +

= −
 +
 
 
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34 
Ejemplo 4 Derivada de una función de dos 
variables 
Dada 
( )2 2
2 2
, ( , ) (0,0)
( , )
0 , ( , ) (0,0)
xy x y
x y
f x y x y
x y
 −
 
=  +

=
 
Halle: 
( ) ( )0, , ,0
f f
y x
x y
 
  
Solución 
Paso 1 Primero hallamos ( )0,
f
y
x

 
Caso 1 Si 0y  , 
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
0 0
2 2 3
20
0
0 , 0,
0, lim lim
lim
h h
h
hy h y
f h y f yf h y
y
x h h
y h y y
y
h y
→ →
→
−
−
+ − −
= =

− −
= = −
 
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35 
Si 0y = , 
( )0,0 0
f
x

=
 
Resumiendo, el primer caso 
( )0, ,
f
y y y
x

= −  
 
Caso 2 Si 0x  , 
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
0 0
2 2
2 20
0,0 ,0
0, lim lim
lim
k k
k
hk h k
f x k f xf h ky
y k k
x x k
x
x k
→ →
→
−
−+ − −= =

−
= =
−
 
Si 0x = , 
( )0,0 0
f
y

=
 
Resumiendo, el segundo caso 
( ),0 ,
f
x x x
y

=  
 
 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
36 
Ejemplo 5 Continuidad de una función de 
dos variables 
Dada 
( )2 2
2 2
, ( , ) (0,0)
( , )
0 , ( , ) (0,0)
xy x y
x y
f x y x y
x y
 −
 
=  +

=
 
a) ¿ ( ) ( )0,0 0,0xy yxf f= ? 
b) ¿ ( ),xf x y es continua en ( )0,0 ? 
c) ¿ ( ),yf x y es continua en ( )0,0 ? 
d) ¿ f es diferenciable en ( )0,0 ? 
Solución 
Para la parte (d) hay que tener en cuenta el siguiente: 
Teorema Cualquier función 1C (existen las derivadas 
parciales de primer orden y son continuas) es diferenciable. 
 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
37 
a) ¿ ( ) ( )0,0 0,0xy yxf f= ? 
Paso 1 Primero hallamos ( ),xf x y 
Caso 1 Si ( , ) (0,0)x y  , 
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
, xx
y y x
f x y e
x y
−
= +
+
 
Caso 2 Si ( , ) (0,0)x y = , 
( ) ( )
0
0 0
0 ,0 0,0
(0,0) lim
1 2 1
lim lim 1
x
h
h h
h h
f h f
f
h
e e
h h
→
→ →
+ −
= =
+ − −
= = =
 
Haciendo un resumen con los dos casos: 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
, , 0,0
,
1 , , 0,0
x
x
y y x
e x y
f x y x y
x y
 −
 + 
= +

=
 
Paso 2 Análogamente, hallamos ( ),yf x y 
Caso 1 Si ( , ) (0,0)x y  , 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUEPOR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
38 
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
, yy
x x y
f x y e
x y
−
= +
+
 
Caso 2 Si ( , ) (0,0)x y = , 
( ) ( )
0
0 0
0,0 0,0
(0,0) lim
1 2 1
lim lim 1
y
k
k k
k h
f k f
f
k
e e
k k
→
→ →
+ −
= =
+ − −
= = =
 
Haciendo un resumen con los dos casos: 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
, , 0,0
,
1 , , 0,0
y
y
x x y
e x y
f x y x y
x y
 −
 + 
= +

=
 
Paso 3 Ahora hallamos la primera parte solicitada 
( ) ( )
2
2 0
0
(0 ,0) (0,0)
0,0 0,0 lim
1
lim 1
x x
xx
h
h
h
f h ff
f
x h
e
h
→
→
+ −
= = =

−
= =
 
Paso 4 Del mismo modo, hallamos la segunda parte solicitada 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
39 
( ) ( )
2
0
0
( ,0) (0,0)
0,0 0,0 lim
1
lim
y y
yx
h
h
f h ff
f
x y h→
→
−
= = =
 
=
3
4
1
h
h
+ −
20
1
lim
hh h→
 
   
= = +   
  
 
 
 
b) ¿ ( ),xf x y es continua en ( )0,0 ? 
c) ¿ ( ),yf x y es continua en ( )0,0 ? 
d) ¿ f es diferenciable en ( )0,0 ? 
( ),xf x y y ( ),yf x y son continuas en ( )0,0 . Luego, 
( )1 0,0f C . Por lo tanto, f es diferenciable en ( )0,0 . 
 
 
 
 
 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
40 
Ejemplo 3 Problema de aplicación a la 
Física 
Un vaso de forma cónica en un instante dado contiene agua 
de modo que la superficie del agua tiene radio r y nivel h . 
Pero el vaso tiene un agujero en el fondo por el que se pierde 
agua a un ritmo de 
3 /C cm s . Determine la velocidad de 
descenso (razón de cambio) del nivel del agua h . 
 
Solución 
En primer lugar, es necesario recordar que el volumen del 
agua: 
21
3
V r h= 
El volumen V es una función de las dos variables: el radio r 
y el nivel h , es decir: ( , )V r h . 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
41 
 
 
Cuando el volumen V cambia en un instante t , también 
cambia tanto el radio r como el nivel h del agua de acuerdo 
a la siguiente relación: 
( )
dV V dr V dh
dt r dt h dt
 
= + 
 
 
Se procede a calcular las derivadas parciales de V respecto a 
r y h , respectivamente: 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
42 
2
2
3
1
3
V
rh
r
V
r
h



=


=

 
Además, el radio r y el nivel h cumplen la siguiente relación: 
r
tg r h tg
h
 =  = 
Donde  es la apertura angular del cono. 
De esta relación se obtiene que: 
dr dh r dh
tg
dt dt h dt
= = 
Sustituyendo en la expresión ( ) se obtiene: 
2 22 1 2 1( )
3 3 3 3
dV dr dh r dh dh
rh r rh r
dt dt dt h dt dt
   = + = + 
Simplificando queda: 
2dV dhr
dt dt
= 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
43 
Pero 
3 /
dV
C cm s
dt
= (dato dado) es el volumen de agua 
perdido por unidad de tiempo, mientras que 
dh
dt
 es la 
velocidad de descenso del nivel del agua. Es decir, 
2
2
dh dh C
C r
dt dt r


=  = 
el nivel del agua en un instante dado t desciende a una 
velocidad: 
2
/
dh C
v cm s
dt r
= = . 
Particularmente, supongamos que: 3 , 4r cm h cm= = y 
el caudal de pérdida 
33 /C cm s= . Entonces la velocidad de 
descenso del nivel del agua en ese instante es: 
2
3
0,11 /
3
dh
v cm s
dt 
= = = . 
 
 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
44 
Derivadas parciales de funciones 
de dos variables 
 
Las derivadas parciales de orden 1 son: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
0
, ,
, , , limx
h
f x h y f x yf
x y f x y f x y
x h→
+ −
= = =

 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
0
, ,
, , , limy
h
f x y h f x yf
x y f x y f x y
y h→
+ −
= = =
 
Las derivadas parciales de orden 2 son: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
112
2
2 0
, , ,
, ,
lim
xx
x x
h
f f
x y f x y f x y
x x x
f x h y f x yf
x h→
  
= = =
  
+ −
=

 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
12
2
0
, , ,
, ,
lim
xy
x x
h
f f
x y f x y f x y
y x y x
f x h y f x yf
y x h→
  
= = =
   
+ −
=
 
 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
45 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
21
2
0
, , ,
, ,
lim
yx
y y
h
f f
x y f x y f x y
x y x y
f x y h f x yf
x y h→
  
= = =
   
+ −
=
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
22
2
2 0
, , ,
, ,
lim
yy
y y
h
f f
x y f x y f x y
y y y y
f x h y f x yf
y h→
  
= = =
   
+ −
=

 
 
 
Ejemplo 4 Derivada de Funciones de dos 
variables 
 
Halle las derivadas parciales de segundo orden de las 
siguientes funciones 
a) ( )2 2lnz x y= + 
b) 
x yz e= 
c) 
x y
z
x y
−
=
+ 
Solución 
a) ( )2 2lnz x y= + 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
46 
Paso 1 Derivadas parciales de orden 1 
( ) ( )2 2 2 2
2 2
, , ,
f x f y
x y x y
x x y y x y
 
= =
 +  + 
 
Paso 2 Derivadas parciales de orden 2 
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 22 2
2 22 22 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
, ;
4
y x x yz z
x yx y x y
f f xy
x y y x x y
− − 
= =
 + +
 
= = −
    +
 
 
b) 
x yz e= (ejercicio) 
 
c) 
x y
z
x y
−
=
+ (ejercicio) 
 
Nota 1 Sea 
2:f → una función continua. Si 
2 2
, ,
f f f f
x y x y x y
   

      
son también continuas, entonces 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
47 
2 2f f
x y x y
 
=
    
 
Nota 2 Una función 
2:f → se llama armónica si 
satisface la ecuación de Laplace: 
2 2
2 2
0
f f
x y
 
+ =
  
 
Ejemplo 5 Funciones Armónicas 
 
Probar si las siguientes funciones son armónicas: 
a) ( )2 2lnz x y= + 
b) cos
xz e y−= 
c) 
2 2
sin 2x yz e xy−= 
d) 2 2
1
z
x y
=
+ 
Solución 
a) ( )2 2lnz x y= + 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
48 
( ),z f x y= es armónica si 
2 2
2 2
0
f f
x y
 
+ =
  . 
Verificando 
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2 2
2 2
1 cos , cos
2 sin , cos ;
1 2 cos cos 0
x x
x x
x x
f f
e y e y
x x
f f
e y e y
y x
f f
e y e y
x x
− −
− −
− −
 
= − =
 
 
= − = −
 
 
+ = + = − =
 
 
Como satisface la ecuación de Laplace, ( ),z f x y= es 
armónica. 
 
b) cos
xz e y−= (ejercicio) 
c) 
2 2
sin 2x yz e xy−= (ejercicio) 
d) 2 2
1
z
x y
=
+ (ejercicio) 
 
Ejemplo 6 Aplicación a la Física 
Probar que 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
49 
( )
2 2 2
2
, sin ,
n
t
Ln x
u f x t e n
L
 

 
−  
  = =  
  
satisface la ecuación unidimensional del calor: 
2
2
2
u u
t x

 
=
 
. 
 
Ejemplo 7 Derivada de Funciones de dos 
variables 
 
Calcule el determinante (matriz hessiana) 
 
2xx xy
xx yy xy
yx yy
z z
z z z
z z
 = = −
 
 
si 
2
22
3
( , )
x y
tz z x y e dt
+
−= =  
Solución 
 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
50 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
22 2
2
2
22 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
'
2 ' 22
3
2
'
2 ' 22
3
2
2 22
2 22 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 4 2
2 8 2
8 2
8 2
8
x y x yt
x x
x y
x y x yt
y y
x y
x y x y
xx
x y x y
x y
yy
x y
xy
yx
z e dt x y xe
z e dt x y e
z e x x x y e
e x x y e
z e x y
z xe x y
z x
+ − +−
+
+ − +−
+
− + − +
− + − +
− +
− +
 
= + = 
 
 
= + =
 
 = + − +
 
= − +
= − +
= − +
= −


( ) ( )
2
2 2 2 2
x y
e x y
− +
+
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
51 
2xx xy
xx yy xy
yx yy
z z
z z z
z z
 = = −
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 22 2 2
2 22 2
22 2 2 22 2 2
2 8 2 8 2
8 2 8 2
16 2 64 2
x y x y x y
x y x y
x y x y
e x x y e xe x y
xe x y e x y
x y e x x y e
− + − + − +
− + − +
− + − +
− + − +
=
− + − +
= − + + + ( ) ( )
2
22 2 22 264 2
x y
x x y e
− +
− +
( ) ( )
2
22 2216 2
x y
x y e
− +
= − +
 
 
Ejemplo 8 Derivada de Funciones de dos 
variables 
Dada 
2 2
, ( , ) (0,0)
( , )
2, , ( , ) (0,0)
x y xye e x y
x yf x y
x y

+ + 
+= 
 =
 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
52 
Halle: 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
0,0 0,0 , 0,0 0,0xx yx
f f
f f
x x y
 
= =
   
Solución 
Paso 1 Primero hallamos ( ),xf x y 
Caso 1 Si ( , ) (0,0)x y  , 
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
, xx
y y x
f x y e
x y
−
= +
+
 
Caso 2 Si ( , ) (0,0)x y = , 
( ) ( )
0
0 0
0 ,0 0,0
(0,0) lim
1 2 1
lim lim 1
x
h
h h
h h
f h f
f
h
e e
h h
→
→ →
+ −
= =
+ − −
= = =
 
Haciendo un resumen con los dos casos: 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
53 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
, , 0,0
,
1 , , 0,0
x
x
y y x
e x y
f x y x y
x y
 −
 + 
= +

=
 
Paso 2 Análogamente, hallamos ( ),yf x y 
Caso 1 Si ( , ) (0,0)x y  , 
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
, yy
x x y
f x y e
x y
−
= +
+
 
Caso 2 Si ( , ) (0,0)x y = , 
( ) ( )
0
0 0
0,0 0,0
(0,0) lim
1 2 1
lim lim 1
y
k
k k
k h
f k f
f
k
e e
k k
→
→ →
+ −
= =
+ − −
= = =
 
Haciendo un resumen con los dos casos: 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
, , 0,0
,
1 , , 0,0
y
y
x x y
e x y
f x y x y
x y
 −
 + 
= +

=
 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
54 
Paso 3 Ahora hallamos la primera parte solicitada 
( ) ( )
2
2 0
0
(0 ,0) (0,0)
0,0 0,0 lim
1
lim 1
x x
xx
h
h
h
f h ff
f
x h
e
h
→
→
+ −
= = =

−
= =
 
Paso 4 Del mismo modo, hallamos la segunda parte solicitada 
( ) ( )
2
0
0
( ,0) (0,0)
0,0 0,0 lim
1
lim
y y
yx
h
h
f h ff
f
x y h→
→
−
= = =
 
=
3
4
1
h
h
+ −
20
1
lim
hh h→
 
   
= = +   
  
 
 
 
 
Ejemplo 9 Problema de aplicación al 
Análisis Matemático 
 
El teorema de Clairaut – Schwarz afirma que si una función 
( , )z f x y= es continua en sus variables independientes 
x e y , al igual que sus derivadas parciales de orden 1 y 
de orden 2 mixtas; entonces las derivadas parciales mixtas de 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
55 
segundo orden son iguales. Comprobar este teorema para la 
función 
2( , )z f x y x y= = 
es decir que debe cumplirse que ( , ) ( , )xy yxf x y f x y= . 
Solución 
 
2
2
2
( , ) ( , ) ( , ) 2 2 ;
( , ) ( , ) ( , ) 2
xy
yx
f
f x y x y x y xy x
y x y x y
f
f x y x y x y x x
x y x y x
    
= = = =      
    
 = = = =        
 
Se ha comprobado que el teorema de Clairaut – Schwarz se 
cumple.