Ejemplos Multiplicadores de Lagrange

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DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
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Ejemplos de 
Multiplicadores de Lagrange 
 
Ejemplos del Lagrangeano y de la técnica de los 
multiplicadores de Lagrange en acción 
La técnica del multiplicador de Lagrange. Recapitulación 
rápida 
COMPESP N° 01 
Aplica el Método de 
Lagrange en la solución de 
problemas de optimización 
multivariable. 
ACTIVIDAD N° 01 
 
Estudie la siguiente información sobre 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
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OPTIMIZACIÓN RESTRINGIDA 
 
Cuando quieres maximizar (o minimizar) una función 
multivariable ( , ,...)f x y sujeta a la restricción de que otra 
función multivariable sea igual a una constante ( , ,...)g x y c= , 
sigue estos pasos: 
Paso 1 introduce una nueva variable  y define una nueva 
función L como sigue: 
 
( , ,..., ) ( , ,...) [ ( , ,...) ]L x y f x y g x y c = − − 
 
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3 
Esta función L se llama el “lagrangeano”, y a la nueva 
variable  se le conoce como un “multiplicador de 
Lagrange” 
Paso 2 haz el gradiente de L igual al vector cero. 
 
En otras palabras, encuentra los puntos críticos de L. 
Paso 3 considera cada solución, las cuales se ven algo como 
0 0 0( , ,..., )x y  . Sustituye cada una en f . O más bien, primero 
quita la componente 0 , después sustitúyela en f , ya que 
 no es una entrada de f . La que dé el valor más grade (o 
más chico) es el punto máximo (o mínimo) que estás 
buscando. 
Ejemplo 1 Restricciones presupuestarias 
El problema 
Supón que tienes una fábrica que produce cierto tipo de 
dispositivo que requiere acero como materia prima. Tus 
( , ,..., ) 0L x y  =
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costos son predominantemente mano de obra, que cuesta $20 
por hora para tus trabajadores y el propio acero, que 
cuesta $170 por tonelada. Supón que tus ingresos, R , se 
modelan vagamente por la siguiente ecuación: 
2 3 1 3( , ) 200R h s h s= 
➢ h representa las horas de trabajo 
➢ s representa las toneladas de acero 
 
Si tu presupuesto es de $20 000, ¿cuál es el ingreso máximo 
posible? 
Solución 
Los costos de $20 por hora de trabajo y de $170 por tonelada 
de acero nos dicen que el costo total de producción, en 
términos de h y s , es 
20 170h s+ 
Por lo tanto, el presupuesto de $20 000 se puede traducir en 
la constricción 
20 170 20000h s+ = 
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Antes de profundizar en el cálculo, puedes darte una idea de 
este problema al usar el siguiente diagrama interactivo. 
Puedes ver cuáles valores de ( , )h s dan un ingreso dado (curva 
azul) y cuáles satisfacen la restricción (recta roja). 
[Diagrama interactivo] 
 
 
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Como necesitamos maximizar una función 
2 3 1 3( , ) 200R h s h s función objetivo=  
sujeta a una restricción, 
20 170 20000h s restricción+ =  
empezamos por escribir la función lagrangeana para esta 
configuración (paso 1): 
2 3 1 3
( , , ) ( , ) [ ( , ) ]
( , , ) 200 [20 170 20000]
L h s f h s g h s c
L h s h s h s
 
 
= − −
= − + − 
A continuación, hacemos el gradiente de L igual al vector 
cero (paso 2): 
( )( , , ) 0 0,0,0L h s  = = 
Esto es lo mismo que hacer cada derivada parcial igual a cero. 
Primero, nos encargamos de la derivada parcial con respecto 
a h : 
 2 3 1 3
1 3 1 3
( , , ) 200 [20 170 20000] 0
2
200. 20 0
3
L h s h s h s
h h
h s
 
−
 
= − + − =
 
= − =
 
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A continuación, nos encargamos de la derivada parcial con 
respecto a s : 
 2 3 1 3
2 3 2 3
( , , ) 200 [20 170 20000] 0
1
200. 170 0
3
L h s h s h s
s s
h s s
 
−
 
= − + − =
 
= + =
 
Por último, hacemos la derivada con respecto a λ: 
 2 3 1 3( , , ) 200 [20 170 20000] 0
20 170 20000 0
20 170 20000
L h s h s h s
h s
h s
 
 
 
= − + − =
 
= + − =
= + =
 
Al juntarlo todo, el sistema de ecuaciones que tenemos que 
resolver es 
2 3 2 3
2 3 2 3
1
200. 170 0
3
1
200. 170 0
3
20 170 20000
h s s
h s s
h s
−
−
+ =
+ =
+ =
 
En la práctica, cuando tengas un sistema de ecuaciones como 
este, casi siempre debes usar una computadora. En especial 
porque, en las aplicaciones reales, es muy probable que la 
ecuación sea más complicada que esta. Una vez que lo 
resuelvas, vas a encontrar que la respuesta es 
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8 
3
2000
666.667
3
2000
39.2157
51
8000
2.593
459
h
s

= 
= 
= 
 
Esto significa que debes emplear alrededor de 667 horas de 
mano de obra y comprar 39 toneladas de acero, lo cual te dará 
un ingreso máximo de (paso 3) 
( ) ( )
2 3 1 3
2 3 1 3
( , ) 200
(667,39) 200 667 39 $51777
R h s h s
R
=
=  
 
Ejemplo 2 
Optimización con dos restricciones o 
ligaduras 
El modelo de Lagrange 
Para optimizar 
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( , , )f x y z función objetivo 
sujeto a las dos restricciones: 
1
2
( , , )
( , , )
g x y z c
h x y z c
=
= 
se debe resolver el siguiente sistema: 
1
2
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) 1
( , , ) 2
x x x
y y y
z z z
f x y z g x y z h x y z
f x y z g x y z h x y z
f x y z g x y z h x y z
f x y z g x y z h x y z
g x y z c restricción
h x y z c restricción
 
 
 
 
 =  +  
= +
= +
= +
= 
= 
 
para las variables: , , ,x y z y  y luego se debe 
reemplazar en la función objetivo ( , , )f x y z . 
 
 
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Aplicándolo a un problema 
Sea 
2( , , ) 20 2 2T x y z x y z= + + + 
la temperatura en cada punto en la esfera 
2 2 2 11x y z+ + =
Halle las temperaturas extremas en la curva formada por la 
intersección del plano 3x y z+ + = y la esfera. 
Solución 
Las dos restricciones o ligaduras son: 
2 2 2( , , ) 11
( , , ) 3
g x y z x y z
h x y z x y z
= + + =
= + + = 
Usando 
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( , , ) 2 2 2
( , , ) 2 2 2
( , , )
T x y z i j zk
g x y z xi y j zk
h x y z i j k
   
   
 = + +
 = + +
 = + +
 
Se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente 
2 2 2
2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , )
2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , )
2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , )
11 Re 1
3 Re 2
x x x
y y y
z z z
x T x y z g x y z h x y z
x T x y z g x y z h x y z
x T x y z g x y z h x y z
x y z stricción
x y z stricción
   
   
   
= + = +
= + = +
= + = +
+ + =
+ + =
 
Restando la segunda ecuación de la primera, se obtiene el 
sistema siguiente 
( )
2 2 2
0
2 (1 ) 0
11
3
x y
z
x y z
x y z

 
− =
− − =
+ + =
+ + =
 
De la primera ecuación, se concluye que 
 ( ) 0 0x y x y − =  =  = 
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Si 0 = , se puede demostrar que los puntos críticos son: 
( ) ( )3, 1,1 1,3,1y− − 
Si 0  , entonces x y= y se puede mostrar que los puntos 
críticos se presentan donde 
3 2 3 34 3
,
3 3
x y z
 
= = =
 
Por último, para encontrar las soluciones óptimas, se deben 
comparar las temperaturas en los cuatro puntos críticos 
( ) ( )3, 1,1 1,3,1 25
3 2 3 3 2 3 3 4 3 91
, , 30.33
3 3 3 3
3 2 3 3 2 3 3 4 3 91
, , 30.33
3 3 3 3
mín
máx
T T T
T T
T
− = − = 
 − − +
=    
 
 + + −
=   
 
 
¡Te corresponde aplicarlo en la solución de 
Problemas!