GE_Sem6

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Semana 6
Geometría
Material Didáctico Academia ADUNI
Ángulos entre bisectrices
Bisectriz interior y exterior
α
α ωω
A C
β
B x
x =
β
2
Bisectrices interiores
α
α
A C
y
β
θ
θ
B
y = ° +90
2
β
Bisectrices exteriores
ω ωφ
φ
A C
z
β
B
z = ° −90
2
β
Aplicación
Bisecar. En geometría, significa dividir al 
ángulo o al segmento en dos partes con 
la misma medida.
Glosario
semana
06
Triángulos II
A los triángulos se les puede asociar una serie de líneas, las cuales 
tienen características especiales llamadas líneas notables.
LÍNEAS NOTABLES
en
Triángulos
acutángulos
B
H
Triángulos
rectángulos
B
H
Triángulos
obtusángulos
B
H
B
Ma a
Interior
B
D
β β
B
L
A a a
Exterior
θ
θ
B
F
Mediatriz
BisectrizMedianaAltura
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa 
por su punto medio.
A
L
a a B
La recta L es la mediatriz del segmento AB.
 
Anual Virtual ADUNI Geometría
Cuando en el problema se mencione ce-
viana interior o exterior de un determina-
do triángulo, se graficará de la siguiente 
manera.
A P C Q
B
BP: ceviana interior relativa al lado AC
BQ: ceviana exterior relativa al lado AC
¡Tenga en cuenta que...!
ββ
θθ
a
x
b
Se cumple que
x
a b
=
+
2
¡Sabía que...!
Problemas resueltos
1. En el gráfico se observa las reglas ECF y DHG. Calcule x si CJ y 
GJ son bisectrices.
 
x FF
G
C
D
E
H
J
 Resolución
 
x
22,5°22,5°
22,5°22,5°
30°30°
FF
30°30° G
C
D
E
H
J 90°
 Las reglas ECF y DHG por convención tienen medidas de 60° y 
45°, respectivamente y, además, la medida del angulo CFG es 
90°, entonces 
 x+22,5°+30°=90°
 ∴ x=37,5°
Material Didáctico Academia ADUNI
Si en un triángulo se observa que un 
ángulo es el doble de otro de sus ángu-
los, se sugiere trazar cevianas, tal como 
se muestran en los gráficos, para formar 
triángulos isósceles.
2θ2θ 2θ2θ
θθ
θθ
trazar
2θ2θ θθ
θ
θ
trazar
¡Tenga en cuenta que...!
2. En un T ABC, m BAC=2(m BCA). Se traza la bisectriz interior 
BD. Calcule AD si AB=6 y BC=10.
 Resolución 
 Nos piden x.
A
B
CDE
10
10
1066
2β2β
ββ
βββ
θθ
θ+βθ+β
θ
6 x
 Traza BE, de modo que BE=BC=10
 → m BEC=b
 Luego 
 m EBA=b
 → EA=AB=6
 En T BDC, por teorema del ángulo exterior
 m BDA=q+b
 De donde el T EBD es isósceles.
 ED=EB
 → x+6=10
 ∴ x=4
Anual Virtual ADUNI Geometría
Práctica dirigida
1. En el gráfico, se muestra una repisa. Calcule, 
aproximadamente, la medida del ángulo que 
determinan las bisectrices de los ángulos DEC 
y DCE.
 
D
E
C
A) 42° B) 38° C) 48° D) 45°
2. Calcule el valor de x si BD y BC trisecan al án-
gulo ABE; además, BE es bisectriz exterior del 
T ABC.
 A
B
CD E
α
α θ
θ
x
A) 15° B) 20° C) 30° D) 45°
3. Manuel tiene un terreno y lo divide en 4 partes 
donde sembrará papa, camote, yuca y olluco, 
por ello construye pequeñas acequias que ser-
virán para el riego. Calcule x.
 
xx
αα
68°68°
72°72°
θθ
θθ
αα
ollucoolluco
camotecamote
papapapa
yuca
yuca
acequia
A) 72° B) 80°
C) 85° D) 100°
4. En el gráfico, AB=CD. Calcule x.
A
B
C
D
x
44° 22°
38°
A) 20° B) 25°
C) 35° D) 30°
5. Del gráfico, calcule BC si AB=3 y AD=2.
 
θ θ
2m m
A D
B
C
A) 2 B) 6
C) 5 D) 9
Práctica domiciliaria
1. Del portaservilletas, calcule x.
 
100°
αα θθ
θθαα
xx
A) 130° B) 120°
C) 110° D) 135°
Academia ADUNI Material Didáctico
2. Del gráfico, calcule x.
 
α
α
θ
θ
2x
5x
A) 10° B) 30° C) 35° D) 25°
3. Del gráfico, calcule q.
 
β
βω
θ
ω
α
α
4m
m
A) 20° B) 30° C) 35° D) 45°
4. En el gráfico mostrado, determine el valor de 
x+y.
 
θαα θ
y
x
L
N
n
50°
B
M
C
A
A) 35° B) 65° C) 55° D) 45°
5. Del gráfico, calcule q+f.
α
α
θ
φ
β β
40°
A) 200° B) 180° C) 120° D) 160°
6. Antony, Willian y César se van de campa-
mento cada uno instalado en su carpa como 
se indica en el gráfico. Si se traza AH ⊥ CW y 
m ACH=2m AWH, calcule la distancia entre 
la carpa de Antony y César.
 
A
C
W
H
2 m
7 m
A) 3 m B) 3,5 m C) 4 m D) 5 m
7. Del gráfico, calcule x.
 
ϕϕθθ
80°
70°
x
A) 50° B) 55° C) 45° D) 65°
Anual Virtual ADUNI Geometría
01 - A
02 - B
03 - D
04 - B
05 - A
06 - D
07 - C
08 - D
09 - C
10 - A
8. Un carpintero después de construir muebles 
junta todas las maderas sobrantes y las coloca 
de la siguiente forma. Calcule x.
 
θ
θ
15°
x
β
β
A) 10°
B) 15°
C) 20°
D) 30°
9. Del gráfico, calcule x.
α
180° – 2α
α
θθ
2θ
x
60°
A) 100° B) 80° C) 90° D) 60°
10. En un T ABC, se trazan la bisectriz interior AD 
y la ceviana interior BE que interseca a dicha 
bisectriz en P, tal que PB=BD. Calcule la 
medida del ángulo exterior en el vértice B si 
m BEC=80°.
A) 80° B) 20° C) 30° D)40°