Análise Numérica: Derivadas e Método de Euler

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Universidad de Córdoba
Facultad de Ciencias Básicas
Departamento de Matemáticas y Estad́ıscticas
Monteria - Córdoba
Analisis Numerico
Parcial 1
Presentado por:
Lina Paola Arteaga Genes
Mario Luis Viloria
Sandra Vanesa Galván López
Docente:
Abraham Arenas
14 de mayo de 2019
Ejercicios.
1. 2.) Usando el teorema de taylor verifique las siguientes fórmulas de derivadas
Demostración.
a.) One-side
Por la expanción de la serie de taylor de orden tres tenemos
f(xi + h) = f(xi) + hf
′(xi) +
h2
2!
f ′′(xi) +
h3
3!
f ′′′(ξ1) (1)
Para ξ1 ∈ (xi, xi + h)
f(xi + 2h) = f(xi) + 2hf
′(xi) +
4h2
2!
f ′′(xi) +
8h3
3!
f ′′′(ξ2)
Para ξ2 ∈ (xi, xi + 2h)
Ahora multiplicando la ecuación (1) por −2 se tiene que
−2f(xi + h) = −2f(xi)− 2hf ′(xi)−
h2
2
f ′′(xi) +
h3
3
f ′′′(ξ1) (2)
Luego sumando las ecuaciones (1) y (2) obtenemos
f(xi + 2h)− 2f(xi + h) = −2f(xi + h) = −f(xi) + h2f ′′(xi) +
h3
3
f ′′′(η) (3)
Despejando f ′′(xi) de la ecuación (3) tenemos
f ′′(xi) =
f(xi)− 2f(xi + h) + f(xi + 2h)
h2
+ ϑ(h2); ϑ(h2) =
h3
3
f ′′′(η) (4)
Reemplazando la ecuación (4) en (1) se tiene
f ′(xi) =
f(xi + h)− f(xi)
h
− f(xi)− 2f(xi + h) + f(xi + h)
2h2
h+ ϑ(h2); ϑ(h2) =
h3
3
f ′′′(η)
Aśı
f ′(xi) =
−f(xi + 2h) + 4f(xi + h)− 3f(xi)
2h
+ ϑ(h2); ϑ(h2) =
h3
3
f ′′′(η)
Tomese xi+1 = xi + h y xi+2 = xi + 2h, entonces
f ′(xi) =
−f(xi+2) + 4f(xi+1)− 3f(xi)
2h
+ ϑ(h2); ϑ(h2) =
h3
3
f ′′′(η)
b.) One-side
Por la expanción de la serie de taylor de orden tres tenemos
f(xi + h) = f(xi) + hf
′(xi) +
h2
2!
f ′′(xi) +
h3
3!
f ′′′(ξ1)
Para ξ1 ∈ (xi, xi + h)
f(xi − 2h) = f(xi)− 2hf ′(xi) +
4h2
2!
f ′′(xi)−
8h3
3!
f ′′′(ξ2)
Para ξ2 ∈ (xi − 2h, xi)
Ahora multiplicando la primera ecuación por −2 y sumandola a la segunda tenemos
f(xi − 2h)− 2f(xi + h) = 4f(xi + h) = f(xi)− h2f ′′(xi) +
h3
3
f ′′′(η)
Despejando f ′′(xi) tenemos
f ′′(xi) =
f(xi − 2h) + 2f(xi + h)− f(xi)
h
+
h3
3
f ′′′(η)
Reemplazando esta última ecuación en la primera tenemos
f ′(xi) =
f(xi + h)− f(xi)
h
+
f(xi)− 2f(x+ − h)− 2f(xi − 2h)
2h3
h+ ϑ(h2); ϑ(h2) =
h3
3
f ′′′(η)
Aśı
f ′(xi) =
3f(xi)− 4f(xi + h) + f(xi − 2h)
2h
+ ϑ(h2); ϑ(h2) =
h3
3
f ′′′(η)
Tomese xi−1 = xi + h y xi−2 = xi − 2h, etonces
f ′(xi) =
3f(xi)− 4f(xi−1) + f(xi−2)
2h
+ ϑ(h2); ϑ(h2) =
h3
3
f ′′′(η)
c.) Centered
Por la expanción de la serie de taylor de orden tres tenemos
f(xi + h) = f(xi) + hf
′(xi) +
h2
2!
f ′′(xi) +
h3
3!
f ′′′(ξ1)
Para ξ1 ∈ (xi, xi + h)
f(xi − h) = f(xi)− hf ′(xi) +
h2
2!
f ′′(xi) +
h3
3!
f ′′′(ξ1)
Para ξ1 ∈ (xi − h, xi) Luego sumando estas dos ecuaciones tenemos
f(xi + h) + f(xi − h) = f(xi) + hf ′(xi) +
h2
2!
f ′′(xi) +
h3
3!
f ′′′(ξ1) + f(xi)− hf ′(xi) +
h2
2!
f ′′(xi)−
h3
3!
f ′′′(ξ2)
= 2f(xi) + h
2f ′′(xi) +
h3
3!
(f ′′′ξ1 − f ′′′(ξ2))
entonces
f ′′(xi) =
f(xi + h) + f(xi − h)− 2f(xi)
h2
+ ϑ(h2); ϑ(h2) =
−h2
12
f ′′′(η)
Tomando xi+1 = xi + h y xi−1 = xi − h, etonces
f ′′(xi) =
f(xi+1) + f(xi−1)− 2f(xi)
h2
+ ϑ(h2); ϑ(h2) =
−h2
12
f ′′′(η)
3.) Apply Euler’s method to the IVP
calculate x1; x2; and deduce an expression for xn in terms of tn = nh and thereby guess the exact
solution of the IVP. Use the expression (2,6) to calculate the LTE and then appeal to the proof of
Theorem 2,4 to explain why xn = x(tn)
Demostración. Usando el metodo de Euler dado por xn+1 = xn + hf(xn, tn), tn = nh se tiene que:
x1 = x0 + hf(t0;x0) = 0 + hf(0, 0)
= h(1 + 0− 0)
= h
Como t1 = h entonces
x2 = x1 + hf(t1;x1) = h+ hf(t1;h)
x2 = h+ hf(h;h) = h+ h(1 + h− h) = h+ h = 2h
t2 = 2h;x3 = x2 + hf(t2;x2)
= 2h+ hf(2h; 2h)
= 2h+ h(1 + 2h− 2h)
= 2h+ h = 3h.
.
.
.
xn+1 = (n+ 1)h
Usando la expanción en series de taylor tenemos
x(tn + 1) = x(tn) + hx
′(tn) +
h2
2
x′′(tn) +R(t1)
x′′(tn) =
2
h2
[x(tn+1)− x(tn)− hx′(tn)−R(tn)]
x′′(tn) =
2x(tn+1)− 2x(tn)− 2hx′(tn)− 2R1(tn)
h2
x′′(ε) =
2x(tn+1)− 2x(ε)− 2hx′(ε)− 2R1(tn)
h2
Aśı R1(tn) =
h2x′′(ε)
2!
, ε ∈ (t, t+ h)
R1(tn) = x
′′(ε) = x(n+1)− x(ε)− hx′(ε)−R1(tn)
2R1(tn) = xn+1 − x(ε)− hx′(ε)
R1(tn) =
xn+1 − x(ε)− hx′(ε)
2
Con ε ∈ (t, t+ h)
4.) Usando h = 0,1, calculemos u(0,2), v(0,2)
f(u; v) = −2u(t) + v(t); g(u; v) = −u(t)− 2v(t)
un+1 = un + hf(un; vn); vn+1 = vn + hg(un; vn)